Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHT DES LANDES NORDRHEIN-WESTF ALEN
Nr. 3034 / Fachgruppe Maschinenbau/Verfahrenstechnik
Herausgegeben yom Minister fUr Wissenschaft und Forschung
Prof. Dr. phil. nat. Otto Sch§.fer
Dipl. -Ing. Heinz BUltges
Institut fUr Regelungstechnik
der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen
Regelungen mit schaltenden Reglern
bei stochastischen Storungen
Westdeutscher Verlag 1981
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Schlifer. Otto:
Regelungen mit schaltenden Reglern bei
stochastischen Storungen / Otto Schlifer
Heinz Btiltges. - Opladen : Westdeutscher
Verlag. 1981.
(Forschungsberichte des Landes Nordrhein
Westfalen ; Nr. )0)4 : Fachgruppe Maschi
nenbau, Verfahrenstechnik)
ISBN-13: 978-3-531-03034-0 e-ISBN-13: 978-3-322-87675-1
DOl: 10.1007/978-3-322-87675-1
NE: Btiltges, Heinz:; Nordrhein-Westfalen:
Forschungsberichte des Landes •••
© 1981 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen
Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag
ISBN-13: 978-3-531-03034-0
I I I
INHALT
1. EINLEITUNG ......................................... .
2. GRUNOLAGEN OER UNTERSUCHUNG......................... 3
2.1 Stochastische Signale........................... 3
2.2 Schaltende Regler.............. ................. 7
2.3 Stetige Regler mit StellgroBenbegrenzung........ 10
2.4 Vergleich von Regelungen mit schaltenden Reglern
und solchen mit stetigen Reglern bei stochasti-
schen Storungen................................. 12
3. VERSUCHSAUFBAU UNO VERSUCHSOURCHFOHRUNG............. 14
3.1 Aufbau des Regelstreckenmodells................. 14
3.2 Aufbau der Regler ............................... 17
3.3 Aufbereitung des Testsignals .................... 21
3.4 VersuchsdurchfUhrung ............................ 23
4. ERGEBNISSE OER SIMULATION ........................... 26
4.1 Erlauterung der Simulationsbedingungen.......... 26
4.2 Ergebnisse fUr Regelungen mit PO-Regler......... 31
4.3 Ergebnisse fUr Regelungen mit PID-Regler........ 39
4.4 W~i tere Ergebnisse der Simulation............... 44
5. ZUSM'MENFASSUNG ..................................... 51
6. ANHP,NG.............................................. : 2
6.1 Tabellen ........................................ 52
6.2 Verwendete Formelzeichen ........................ 54
6.3 Literaturverzeichnis............................ 56
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1. EINLEITUNG
Schaltende Regler zeichnen sich, oberflachlich betrachtet, ge
genUber stetigen Reglern durch ihren einfachen Aufbau und ihre
PreiswUrdigkeit aus. Die Auffassung, daB sie nur einfachen Regel
aufgaben gewachsen seien, konnte durch /1/ nicht nur widerlegt
werden, sondern es konnte auch gezeigt werden, daB sie unter be
stimmten Voraussetzungen ein den aquivalenten stetigen Reglern
gleichwertiges Regelverhalten aufweisen.
In /1/ wird das Verhalten von Regelkreisen mit schaltenden PD
und PID-Reg1ern bei konstantem Eingangssigna1 beschrieben. Es
wird ein Vergleich des Regelverha1tens von stetigen und schalten
den Reglern durchgefUhrt und es werden Bemessungsvorschriften
fUr schaltende Regler mit veranderlicher Hysteresebreite angege
ben.
Zur Beurtei1ung der RegelgUte von Regelkreisen werden haufig Test
Eingangsfunktionen verwendet, die sich dadurch auszeichnen, daB
sie besonders einfach erzeugt werden konnen und fUr eine mathe
matische Behandlung geeignet erscheinen. Das wohl bekannteste
Testsignal ist die Sprungfunktion. Die meisten Untersuchungen mit
schaltenden Reg1ern, wie in /1/, /2/, /3/ und /4/, verwenden die
se Eingangsfunktion. Man gelangt dort Uber eine Vielzah1 von
Optimierungsvorschriften fUr eine sprungformige StorgroBe zu
einem gUnstigen Regelverha1ten.
In der Praxis tritt diese StorgroBenform jedoch nur selten auf;
meistens ist die StorgroBe eine zufa11ige oder "stochastische"
Funktion, die sich nur mit Kennwerten der mathematischen Statis
tik beschreiben 1aBt.
In dieser Arbeit soll darum versucht werden, das Verha1ten von
Rege1kreisen mit scha1tenden Reg1ern unter dem Einf1uB stocha
stischer Storungen auf der Grund1age einer hybriden Simulation
zu beschreiben. Dabei wird im Vordergrund der Untersuchungen die
Beobachtung des Regelverha1tens bei ~nderung bestimmter Parameter
des Rege1kreises stehen und nicht die Ermitt1ung optima1er Ein
ste11werte fUr scha1tende Reg1er. Vielmehr stUtzen sich die Reg
lerkennwerte auf eine Einstel1empfehlung von Oppelt /5/ fUr den
1inearen PD-Regler.
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Die wichtigsten Grundlagen der Untersuchung werden im folgenden
Kapitel 2 angegeben, wobei die allgemeine Beschreibung stocha
stischer Signale sowie schaltender und stetiger Regler im Vor
dergrund der Betrachtung steht.
Kapitel 3 erlautert den Versuchsaufbau und gibt Hinweise zum
Versuchsablauf.
Die wichtigsten Ergebnisse werden anschlieBend in Kapitel 4 dis
kutiert.
Eine Zusammenfassung der Ergebnisse erfolgt in Kapitel 5.
Der Anhang in Kapitel 6 enthalt Tabellen, eine Zusammenstel
lung der verwendeten Formelzeichen und das Literaturver
zeichnis.
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2. GRUNDLAGEN DER UNTERSUCHUNG
2.1 Stochastische Signale
In diesem Abschnitt werden kurz die verwendeten Begriffe zur Be
schreibung stochastischer Signale erlautert. FUr tiefergehende
Recherchen sei auf die umfangreiche einschlagige Literatur ver
wiesen /9/, /10/, /11/.
Ein Signal X(t) wird als stochastisch bezeichnet, wenn die Funk
tionswerte des Signals zufallsbedingt sind. Es kann dann nicht
mehr durch einen analytischen Ausdruck, sondern nur noch mit Hil
fe der mathematischen Statistik beschrieben werden.
Soweit die statistischen Kennwerte in dieser Arbeit Verwendung
finden, sollen sie im folgenden angegeben werden.
Bei stationaren stochastischen Signalen, die hier vorausgesetzt
werden sollen, sind diese Kennwerte nicht von dem Zeitintervall
abhangig, in dem sie gemessen werden. Die Wahrscheinlichkeit da
fUr, daB das stochastische Signal X(t) einen Wert annimmt, der
kleiner als ein vorgegebener Schwellenwert x ist, bezeichnet man
als Verteilungsfunktion.
W(x) = P(X ~ x) (2.1)
Sie ist eine monoton wachsende Funktion (Bild 2-1) und besitzt
die Grenzwerte
und
W(-oo) = o.
Aus der Verteilungsfunktion laBt sich durch Differenzbildung er
mitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Signal X(t) innerhalb
4
eines begrenzten Amplttudenbereichs (X,X+6X) liegt. Der Grenzwert
dieses DtfferenzenquQtienten heiSt Verteilungsdichtefunktion und
ist die Ableitung der Verteilungsfunktion W(x):
w(x) dx P(x < X < x+dx) ~dx (2.2)
dx
In Bild (2-1) sind neben dem Signal X(t) die zugehorige Vertei
lungs- und Verteilungsdichtefunktion angegeben.
--- - - - ---=:;-:.---
x_
Bild 2-1: Stochastisches Signal X(t) und zugehorige Vertei
lungs- und Verteilungsdichtefunktion
Bei der statistischen Signalbeschreibung spielt die GauB- cder
Normalverteilung eine groBe Rolle, weil viele praktisch auf
tretende Zufallssignale, wie z.B. die in der Regelungstechnik
vorhandenen StorgroBen eine Amplitudenverteilung besitzen, die
als normalverteilt angesehen werden kann. Ihre Verteilungsdichte
x
funktion wird durch den Mittelwert und die Streuung ax voll
standig beschrieben
_ (x-x-) 2
2
w(x) • e 2 ax (2.3)
5
2 -Z -2
Ox x • x . (2.4)
Der lineare Mittelwert X und die Wurzel aus dem Mittelwert des
Quadrates ~, die auch als Effektivwert des Signals x bezeichnet
wird, konnen wie folgt berechnet werden:
1 T
x lim f x(t) dt (2.5)
T.. .. '" T 0
xeff =.V/ ~(t) (2.6)
Zur Kennzeichnung der Frequenzverteilung des Signals x(t) dient
die spektrale Leistungsdichte Sxx(w). Sie ist definiert als
(2.7)
Die spektrale Amplitudenverteilung
(2.8)
ist die Fourier-Transformierte des stochastischen Signals xT(t)
in einem Intervall der Lange 2T.
Ein stochastisches Signal, dessen Leistungsdichte eine Konstante
ist, nennt man weiBes Rauschen. Wenn auch ein derartiges Signal
technisch nicht realisierbar ist, so kommt ihm doch eine grund
legende Bedeutung zu. Die Leistungsdichtefunktion
(2.9)
bedeutet eine vollkommen gleichmaBige Verteilung der Leistung
des Signals Uber den gesamten Frequenzbereich -"'<W<+"'.
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In der Praxis muD man sich mit einer Leistungsverteilung begnU
gen, die bis zu einer vorgegebenen oberen Grenzfrequenz Vo als
konstant angesehen werden kann. 1m allgemeinen wird man auch die
ses "Breitbandrauschen" nicht unmittelbar zu MeDzwecken benut
zen, sondern durch einen AuswahlprozeD im Frequenzbereich andere
Rauschsignale erzeugen, die ein vorgegebenes Leistungsspektrum
als Funktion der Frequenz besitzen.
Wird ein stochastisches Signal z(t) mit der Leistungsdichte Szz(w)
auf ein lineares Obertragungssystem mit dem Frequenzgang F(jw)
gegeben, so ergibt sich sehr einfach aus der Beziehung
(2.10 )
die Leistungsdichte am Ausgang des Obertragungssystems (Bild 2-2).
z(l) x (I)
Bild 2-2: Lineares Obertragungssystem und Leistungsdichten
1st das Signal z(t) ein breitbandiges Rauschsignal, so bezeich
net man das Obertragungssystem auch als Formfilter fUr das Rausch
signal.
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2.2 Schaltende Regler
Schaltende elektronische Regler bestehen im einfachsten Fall aus
einem Verstarker mit hoher Verstarkung und begrenzter Amplitude.
Durch Wahl unterschiedlicher Ein- und Ausschaltpunkte erhalt
man einen Zweipunktschalter mit Hysterese. Wird dieser Zweipunkt
schalter an Regelstrecken hoherer Ordnung betrieben, so stellen
sich Dauerschwingungen urn einen gewahlten Sollwert ein. Die Am
plitude Xd der Dauerschwingungen - im folgenden auch Arbeits
bewegung genannt - hangt im wesentlichen von der Hysteresebreite
und dem Verhaltnis von Verzugszeit Tu zu Ausgleichszeit Tg abo
Bild 2-3 stellt diese Zusammenhange dar.
t
x
OT-~~-------------------
Bild 2-3: Zweipunktschalter an einer Regelstrecke hoherer
Ordnung
Obgleich die Arbeitsbewegung im Verhaltnis zum Sollwert meist
relativ klein zu sein scheint, kann sie aennoch fUr anspruchs
volle Regelaufgaben wesentlich zu groB sein. Eine Verminderung
der Schwankungsbreite Xd kann erreicht werden, wenn der Zwei
punktschalter eine RUckfUhrung erhalt (Bild 2-4).
BerUcksichtigt man, daB die Hysteresebreite 2d i.a. sehr klein
ist im Verhaltnis zum Regelbereich KS'Yh' dann wird das Obertra
gungsverhalten des Zweipunktschalters mit RUckfUhrung unter
der eingangs gemachten Voraussetzung naherungsweise vom Ver-
