Redalyc.Modelos matemáticos de transferencia de masa en deshidratación osmótica

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Ciencia y Tecnología Alimentaria
ISSN: 1135-8122
[email protected]
Sociedad Mexicana de Nutrición y Tecnología
de Alimentos
México
Ochoa Martínez, C. I.; Ayala Aponte, A.
Modelos matemáticos de transferencia de masa en deshidratación osmótica
Ciencia y Tecnología Alimentaria, vol. 4, núm. 5, julio, 2005, pp. 330-342
Sociedad Mexicana de Nutrición y Tecnología de Alimentos
Reynosa, México
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=72450405
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Cienc. Tecnol. Aliment. Vol. 4, No. 5, pp 330-342, 2005 www.altaga.org/cyta
Copyright 2005 Asociación de Licenciados en Ciencia y Tecnología de los Alimentos de Galicia (ALTAGA). ISSN 1135-8122
MODELOS MATEMÁTICOS DE TRANSFERENCIA DE MASA
EN DESHIDRATACIÓN OSMÓTICA
MATHEMATICAL MODELS OF MASS TRANSFER IN OSMOTIC DEHYDRATION
MODELOS MATEMÁTICOS DE TRANSFERENCIA DE MASA EN DESHIDRATACIÓN OSMÓTICA
Ochoa-Martínez, C. I.; Ayala-Aponte, A.*
Departamento de Ingeniería de Alimentos, Universidad del Valle, Apartado 25360, Cali, Colombia
*Autor para la correspondencia: Tel [phone], fax [phone]. E-mail: [email protected]
Recibido: 18 de Noviembre de 2004; aceptado: 22 de Febrero de 2005
Received: 18 November 2004; accepted: 22 February 2005
Abstract
Mass transfer in osmotic dehydration at atmospheric pressure has been basically modeled using a Fick's law solution
(Crank model), which is the best known phenomenological model. Some authors have developed empirical models using
mass balances and variable correlations. Frequently, some other authors obtain correlations using multiple regression
analysis with second order polynomials. Hydrodynamic mechanism model (HDM) is used for processes that involve
vacuum pressures. The purpose of this work is to discuss some of the models used to simulate osmotic dehydration
processes. © 2005 Altaga. All rights reserved.
Keywords: Osmotic dehydration, mathematical models, mass transfer
Resumen
La transferencia de masa en el proceso de deshidratación osmótica a presión atmosférica se modela
fenomenológicamente utilizando generalmente el modelo de Crank que consiste en una solución de la ley de Fick. Las
demás alternativas que existen para modelar el proceso de deshidratación osmótica, corresponden a modelos empíricos.
Algunos de éstos modelos se desarrollaron a partir de ajustes polinómicos y otros, a partir de los balances de masa y de las
relaciones entre las variables del proceso. Para procesos que involucran presiones de vacío, la transferencia de masa se
representa principalmente con el modelo del Mecanismo Hidrodinámico (HDM). El objetivo de este trabajo es presentar
los modelos matemáticos más utilizados en la literatura para simular el proceso de deshidratación osmótica, haciendo un
análisis crítico de los mismos.© 2005 Altaga. Todos los derechos reservados.
Palabras clave: Deshidratación osmótica, modelos matemáticos, transferencia de masa
Resumo
A transferencia de masa no proceso de deshidratación osmótica a presión atmosférica modélase fenomenolóxicamente
empreñando xeralmente o modelo de Crank que consiste nunha solución da lei de Fick. As demáis alternativas que existen
para modela-lo proceso de deshidratación osmótica, corresponden a modelos empíricos. Algúns destes modelos
desenroláron-se a partir de axustes polinómicos e outros, a partir dos balances de masa e das relacións entre as variables
do proceso. Para procesos que involucran presións de vacío, a transferencia de masa represéntase principalmente co
modelo do Mecanismo Hidrodinámico (HDM). O obxetivo deste traballo é presenta-los modelos matemáticos máis
empregados na literatura para simula-lo proceso de deshidratación osmótica, facendo unha analise crítica dos mesmos. ©
2005 Altaga. Tódolos dereitos reservados.
Palabras chave: Deshidratación osmótica, modelos matemáticos, transferencia de masa
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ALTAGA ©2005 Ochoa-Martínez y Ayala-Aponte: Modelos matemáticos de transferencia de masa...
Nomenclatura tanto en el diseño de los equipos como de los procesos.
Estas restricciones están relacionadas principalmente con
D difusividad efectiva, m2/s la falta de modelos predictivos de cinéticas de pérdida de
e
l longitud característica (semiespesor), m humedad y ganancia de sólidos que permitan relacionar
M masa, kg con precisión las características de los productos
D M pérdida (o ganancia) de masa, kg deshidratados con las de la materia prima y las variables
D V pérdida o ganancia de volumen, m3 del proceso.
t tiempo, s Aunque la deshidratación osmótica ha sido
V volumen, m3 utilizada desde muchos años atrás, generalmente se ha
x fracción másica del componente j en el alimento, trabajado en forma empírica y la información experimental
kg componente/kg totales se interpreta con modelos que son válidos solamente para
X fracción de volumen ocupada por la disolución reproducir condiciones semejantes a las del trabajo del
osmótica cual fueron obtenidos. Las limitaciones en la modelación
y fracción másica del componente j en la de la OD se deben principalmente a la presencia de un
disolución osmótica mecanismo complejo de transferencia de masa simultánea
Y fuerza impulsora reducida de dos flujos en contracorriente en un sistema que es
z fracción másica del componente j en la fase polifásico y multicomponente (Barat, 1998).
líquida del alimento El objetivo de éste trabajo es presentar una
g nivel de deformación revisión crítica del estado del arte de los modelos
r densidad de la disolución osmótica, kg/m3 matemáticos más utilizados en el proceso de
os
r , r densidad real y densidad aparente deshidratación osmótica.
r b
respectivamente, kg/m3
superíndices 2. GENERALIDADES
j genérico para un componente del alimento La deshidratación osmótica consiste en la
j=w agua extracción de agua de un producto que se sumerge en una
j=ss sólidos solubles disolución hipertónica a un tiempo y temperatura
j=0 masa total específicos. Esta extracción se debe a la fuerza impulsora
que se crea por la alta presión osmótica (o baja actividad
subíndices de agua) de la disolución o por el gradiente de
concentración entre la disolución y el sólido (Rastogi y
0 valor inicial Raghavarao, 1996). Se han propuesto otros nombres para
t valor en un tiempo t éste proceso tales como deshidratación impulsada por
(cid:181) valor en el equilibrio diferencias de concentración o deshidratación e
impregnación por inmersión (Spiazzi y Mascheroni,
1997).
1. INTRODUCCIÓN Durante la OD, la fase líquida del alimento está
separada de la disolución osmótica por las membranas
La deshidratación o secado se realiza para celulares, por lo tanto, el equilibrio entre fases se logra
aumentar la vida útil de los alimentos (Rastogi y cuando se igualan los potenciales químicos a ambos lados
Raghavarao, 2002), para disminuir los costos de de la membrana lo que depende principalmente de la
transporte, de empaque y de almacenamiento, para suplir reducción de la actividad del agua dentro de las
las necesidades de materia prima seca como ingrediente membranas celulares del alimento (Waliszewski et al.,
para otros productos (yogurt, mermeladas, cereales y 2002, Shi y Le Maguer, 2002b) la cual ocurre por el
productos de panadería) y en el desarrollo de nuevos intercambio de agua y de sólidos a través de la membrana
productos atractivos a los consumidores tales como los (Sablani y Rahman, 2003; Parjoko et al., 1996). En
«snacks» de frutas. El proceso de deshidratación consecuencia, la OD es un proceso de contra-difusión
generalmente se realiza por medio de un secado térmico simultáneo de agua y solutos (Saputra, 2001) donde
utilizando técnicas como secado con aire, al sol y al vacío, ocurren tres tipos de transferencia de masa en
microondas, liofilización y fritura, pero con la consecuente contracorriente: flujo de agua del producto a la disolución,
modificación de las propiedades organolépticas del transferencia de soluto de la disolución al producto y salida
alimento y su degradación por descomposición térmica, de solutos del producto hacia la disolución (azúcares,
oxidación o pardeamiento enzimático. Se ha comprobado ácidos orgánicos, minerales y vitaminas que forman parte
que efectuando un tratamiento de deshidratación osmótica del sabor, el color y el olor) (Sablani y Rahman, 2003;
(OD) previo al proceso de secado térmico se reduce el van Nieuwenhuijzen et al., 2001), este último flujo se
daño de las propiedades texturales, estructurales y desprecia para todos los efectos de modelación ya que
sensoriales del alimento (Kawamura, 1988) y se aunque es importante en las características organolépticas
disminuyen los costos energéticos. del alimento, es muy pequeño comparado con los otros
A pesar de sus ventajas, la OD aún tiene dos flujos. La transferencia de masa ocurre en regiones
restricciones para su implementación a nivel industrial específicas del tejido de acuerdo a la estructura celular
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(pared celular, membrana celular y espacios extracelulares - Debido a que la velocidad de secado térmico se reduce
e intercelulares) (Shi y Le Maguer, 2002a). con muestras previamente sometidas a OD
El proceso de OD se caracteriza por periodos (reducción del coeficiente de difusión por la
dinámicos y periodos de equilibrio. En el periodo impregnación del azúcar) (Grabowski et al., 2002),
dinámico, las velocidades de transferencia de masa varían el consumo de energía por kg de agua eliminada
hasta alcanzar el equilibrio donde la tasa neta de transporte se aumenta, sin embargo, los costos globales de
de masa es cero. Entonces, para modelar el proceso energía son menores ya que hay menos agua para
osmótico, entender los mecanismos de transferencia de eliminar (van Nieuwenhuijzen et al., 2001).
masa involucrados en el sistema y desarrollar los modelos - Aunque se requiere más tiempo para el secado
teóricos para el cálculo de los parámetros de proceso, se combinado, que para el secado sin OD (van
requiere estudiar el estado de equilibrio (Sablani y Nieuwenhuijzen et al., 2001), se reduce el tiempo
Rahman, 2003; Parjoko et al., 1996; Shi y Le Maguer, de secado a altas temperaturas que afectan al
2002b). producto (Saputra, 2001).
La cinética del proceso de OD está determinada - Es posible introducir solutos y especies tales como
por la aproximación al equilibrio, por la presión osmótica agentes conservantes, nutrientes, saborizantes o
diferencial inicial entre el alimento y el agente osmótico mejoradores de textura como componentes activos
y por las velocidades de difusión del agua y del soluto a través de la disolución osmótica (Sablani y
(Azuara et al., 2002) y éstas velocidades de difusión están Rahman, 2003).
controladas usualmente por el transporte de humedad en -Los productos secados por OD adquieren las propiedades
el producto y por la estructura de la fruta (porosidad) mecánicas necesarias (firmeza, dureza) sin
(Saputra, 2001). El agua puede difundirse más fácilmente cambios sustanciales en la superficie, permitiendo
que los solutos a través de la membrana celular (Sablani un eficiente post-tratamiento (Tobback y Feys,
y Rahman, 2003) siendo el coeficiente de difusión del 1989).
agua de 10 a 100 veces mayor que el de los azúcares -Con la VOD se obtiene mayor velocidad de
(glucosa, sacarosa, fructosa, etc) en un rango de deshidratación, salida de agua más rápida en la
temperaturas entre 45 y 70 °C (Tobback y Feys, 1989). primera media hora y mayor entrada de sólidos
Cuando se hace vacío durante todo el proceso de solubles (Barat, 1998), además se modifican las
deshidratación osmótica (VOD), o pulsos de vacío propiedades térmicas (conductividad y difusividad)
(PVOD) ocurre, además del mecanismo difusional, el del producto, mejorando la eficiencia de
llamado mecanismo hidrodinámico (HDM), que consiste tratamientos térmicos posteriores y la calidad del
en que el gas presente en los poros se expande y sale producto (Martínez-Monzó et al., 2000).
gradualmente. Una vez restaurada la presión del sistema,
el gradiente de presión actúa como fuerza impulsora Las variables que afectan la transferencia de masa
provocando la compresión del gas remanente y durante la OD son: la concentración y la temperatura de
permitiendo que la disolución exterior ocupe dicho la disolución osmótica, el tiempo de inmersión, la
espacio (Salvatori et al., 1999; Barat, 1998) y se aumente estructura (porosidad) del material, la geometría (tamaño,
el área de contacto interfacial, causando un incremento forma y área superficial), la composición de la disolución
en la transferencia de masa y por lo tanto una cinética (peso molecular y naturaleza del soluto), la presión (vacío
más rápida (Rastogi y Raghavarao, 1996). La entrada o atmosférica), el nivel de agitación, la relación
masiva de disolución osmótica provoca cambios en la disolución-producto y el pretratamiento del producto
composición y en el peso de la muestra, favoreciendo los (Sablani y Rahman, 2003; Rastogi y Raghavarao, 1996;
procesos difusionales en la fase líquida a través de los van Nieuwenhuijzen et al., 2001; Rastogi y Raghavarao,
poros donde se ha sustituido el gas por líquido (Barat, 2002).
1998).Algunas ventajas de la deshidratación osmótica Existen numerosos estudios experimentales para
son: determinar el efecto de las variables de proceso sobre la
- Lograr un producto de mejor color, textura y sabor que transferencia de masa, que combinan, algunos de ellos,
en el secado térmico (Azuara et al., 2002; Saputra, hasta cinco de las variables que afectan el proceso, como
2001; Parjoko et al., 1996). se observa en la Tabla 1.
- Inhibir la transferencia de oxígeno a la fruta por la De estos estudios se han obtenido algunas
presencia de azúcar sobre la superficie, reduciendo relaciones cualitativas, por ejemplo, se conoce que la
el pardeamiento enzimático (Saputra, 2001). pérdida de agua es proporcional a la concentración de la
- Aumentar la vida útil de los productos y evitar la pérdida disolución, la temperatura, el tiempo de inmersión
de su naturaleza crujiente ya que se reduce la (Saputra, 2001; Madamba y López, 2002; Parjoko et al.,
difusividad del agua en el proceso de sorción 1996; van Nieuwenhuijzen et al., 2001; Panagiotou et al.,
(Saputra, 2001). 1998), el espesor (Madamba y López, 2002) y la velocidad
- Retardar la pérdida de volátiles durante el secado térmico de agitación (Mavroudis et al., 1998; Azuara et al., 1996;
(Azuara et al., 2002). Rastogi y Raghavarao, 2002, Panagiotou et al., 1998), e
- La OD requiere menor energía que otros tipos de secado, inversamente proporcional al área superficial (van
ya que la eliminación del agua se hace sin cambio Nieuwenhuijzen et al., 2001; Panagiotou et al., 1998).
de fase (Sablani y Rahman, 2003; Madamba y También se sabe que la ganancia de sólidos es
Lopez, 2002). proporcional a la concentración de la disolución, la
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Tabla 1.- Estudios de variables que afectan a la transferencia de masa. *(1) concentración de la disolución osmótica, (2) temperatura, (3)
tiempo de inmersión, (4) estructura (porosidad) del material, (5) geometría (tamaño, forma y área superficial), (6) naturaleza del soluto, (7)
presión, (8) agitación y (9) relación disolución-producto.
Factor >
1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9*
Autor
Panagiotou (1998) x x x x x
Sereno (2001); Saputra (2001); Kaymok-Erteki (2000);
x x x x
Biswal (1992)
Moreira (2003) x x x x
Barat (2001) x x x x
Sablani (2003); van-Nieuwenhuijzen (2001); Madamba
x x x x
(2002); Rahman (2001);
Mújica-Paz (2003b) x x x x
Mújica-Paz (2003a) x x x
Mavroudis (1998) x x x
Azuara (1996) x x x
Sacchetti (2001) x x x
Salvatori (1999) x x x
Parjoko (1996); Park (2002); Rastogi (2004); Burhan-Uddin
x x x
(2004); Rastogi (1997a); Rastogi (1997b)
Moreno (2004) Rastogi (1996) Azuara (2002) x x
Giraldo (2003) x x
Kowalska (2001) x x
Emam-Djomeh (2001) x x

temperatura y el tiempo de inmersión (Saputra, 2001; 3. MODELOS MATEMÁTICOS
Madamba y López, 2002; Parjoko et al., 1996; Van
Nieuwenhuijzen et al., 2001; Panagiotou et al., 1998) e Para desarrollar un modelo fenomenológico que
inversamente proporcional al área (van Nieuwenhuijzen describa la transferencia de masa en la OD se deben
et al., 2001; Panagiotou et al., 1998) y al espesor de la conocer los fundamentos relacionados con la
muestra (Madamba y López, 2002). Se ha concluido fisicoquímica y la termodinámica del sistema, así como
además que después de tres horas de deshidratación ya se los mecanismos y las cinéticas de transferencia de masa
ha reducido el agua en más del 50% y ha ocurrido la mayor (Barat, 1998).
ganancia de sólidos (Saputra, 2001); que la fuerza máxima, En lo relacionado a la fisicoquímica, el sistema
la dureza, la calidad del color y la dulzura aumentan con alimento-disolución osmótica se considera multi-
el tiempo de inmersión y con la concentración de la componente y polifásico. Las fases presentes son la
disolución y que el olor se reduce con el incremento de la disolución osmótica, la matriz sólida del producto, la fase
temperatura (Moyano et al., 2002). En general, se sabe líquida interna (intra y extracelular) y la fase gaseosa
que el incremento en la concentración y la temperatura atrapada en la estructura porosa (Barat, 1998).
de la disolución osmótica y la disminución en el tamaño Respecto a la termodinámica, en general, el sistema
de muestra incrementa la velocidad de transferencia de se encuentra muy alejado del equilibrio, lo que provoca
masa hasta un punto por encima del cual se obtienen espontáneamente los fenómenos de transporte, aunque
cambios indeseables de sabor, color y textura (Rastogi y durante el proceso se pasa por unos puntos de pseudo-
Raghavarao, 1996; van Nieuwenhuijzen et al., 2001), el equilibrio que están controlados por la cinética.
uso de solutos de alto peso molecular favorece la pérdida Adicionalmente, el proceso de OD se lleva a cabo en
de agua a expensas de la ganancia de sólidos (Spiazzi y condiciones isotérmicas, lo que implica que la
Mascheroni; 1997; Rastogi et al., 2002) y la disminución transferencia de energía no es relevante, excepto por la
de la presión del sistema aumenta la velocidad de energía que se almacena debida a las tensiones que se
transferencia de masa (Rastogi y Raghvarao, 1996; provocan por la pérdida de agua celular (mecanismos de
Moreno et al., 2004). deformación-relajación o encogimiento-hinchamiento,
Sin embargo, dada la complejidad del sistema, no generados por fenómenos mecánicos que provocan
se conocen relaciones matemáticas que permitan predecir gradientes de presión en el sistema) (Barat, 1998; Shi y
de manera óptima las variables de proceso para unas Le Maguer, 2002b).
variables de respuesta dada. En general, los indicadores En lo que se refiere a los mecanismos de
para dicha selección, de acuerdo a la aplicación final, son transferencia de masa, pueden presentarse (Barat, 1998;
los cambios de las propiedades organolépticas y los Shi y Le Maguer, 2002):
valores de pérdida de agua y ganancia de sólidos que se - Mecanismos dependientes del gradiente de
determinan experimentalmente. concentración que incluyen los mecanismos
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osmóticos y Fickianos, y que se afectan es el modelo fenomenológico más conocido para
principalmente por la permeabilidad de la representar el mecanismo difusional (Giraldo et al., 2003;
membrana a los diferentes componentes. Park et al., 2002; Walizsewiski et al., 2002; Rodríguez et
- Mecanismos dependientes del gradiente de presión, que al., 2003; Azuara et al., 2002; Salvatori et al., 1999; El-
son los mecanismos hidrodinámicos (HDM) que Aouar et al.,2003, Kaymak-Ertekin y Sultanoglu, 2000).
son inducidos por la aplicación de vacío o por las Con el modelo de Crank, se estiman la difusividad
tensiones liberadas en el proceso de relajación y efectiva (D ) del agua y del soluto, simulando los
e
que están condicionados por la estructura del experimentos con condiciones límites y resolviendo las
alimento (porosidad). ecuaciones analítica o numéricamente, pero las
- Mecanismos de vaporización-condensación cuando se suposiciones que se hacen no siempre son fáciles de lograr
trabaja a presiones cercanas a la presión de vapor. lo que implica grandes limitaciones (Parjoko et al., 1996).
Las limitaciones del modelo de difusión de Fick para
La alta complejidad del sistema hace que la propósitos prácticos son: (1) se asume un cuerpo semi-
precisión predictiva sea difícil cuando se usan modelos infinito por lo tanto la transferencia de masa es
matemáticos rigurosos y que ésta dependa de la unidireccional, (2) se asume que el agente osmótico es un
determinación apropiada de las condiciones de equilibrio medio semi-infinito, por lo tanto se requiere una relación
y de parámetros como la difusividad. disolución/alimento muy grande, (3) aunque tiene en
Esta dificultad, hace que en la mayoría de los casos, cuenta la forma y las dimensiones, sólo hay soluciones
se interprete la información experimental bajo esquemas analíticas para láminas planas, cilindros, cubos y esferas,
empíricos o semiempíricos que son válidos solamente para entonces se requieren técnicas numéricas para materiales
reproducir condiciones semejantes a las del trabajo del irregulares, (4) el punto de equilibrio tiene que
cual se obtuvieron. La metodología que se utiliza es la determinarse experimentalmente, (5) se asume que sólo
correlación directa de la pérdida de agua y la ganancia de se presenta el mecanismo de difusión para la extracción
sólidos con algunas variables de proceso o el de agua, (6) no hay efecto de los sólidos ganados ni de
planteamiento de un ajuste polinómico, sin embargo, estos los solutos perdidos sobre la pérdida de agua, (7) se
métodos no permiten la extrapolación más allá del rango desprecia el encogimiento debido a la transferencia de
experimental, necesitan un alto número de parámetros que masa y (8) se desprecia la resistencia externa a la
no tienen significado físico, o no siempre generan un buen transferencia de masa, pero esto no se puede lograr a baja
coeficiente de correlación (Parjoko et al., 1996). temperatura ni a alta concentración de soluto (Parjoko et
Generalmente, cuando se quiere utilizar un modelo al., 1996).
fenomenológico para procesos a presión atmosférica (OD) La difusividad efectiva explica al mismo tiempo
se emplea el modelo de Crank, que consiste en una la variación de las propiedades físicas del tejido y la
solución de la ley de Fick en estado estacionario y que influencia de las características de la disolución y de las
representa el mecanismo difusional (Crank, 1964). En variables de proceso, por lo tanto, observando
cuanto a los modelos empíricos y semiempíricos, se usan simplemente la magnitud de D no se entiende
e
Azuara (Azuara, 1998), Magee (Parjoko et al., 1996; explícitamente el impacto de los diferentes parámetros
Giraldo et al., 2003; Moreira, 2003), Raoult-Wack sobre el proceso de OD (Yao y Le Maguer, 1997b).
(Raoult-Wack et al., 1991), Palou (Palou et al., 1993; En las ecuaciones (1) a la (4) se presenta la solución
Sacchetti; 2001) entre otros, o se recurre al ajuste para láminas planas semi-infinitas (Crank, 1964; Barat,
polinómico (Mújica-Paz et al., 2003a; Mújica-Paz et al., 1998; Rastogi y Raghavarao, 2002):
2003b; Rahman et al., 2001; Sablani y Rahman, 2003).
También se han desarrollado modelos mecanísticos Para tiempos largos
(Marcotte et al., 1991 (citado por Kaymak-Ertekin y
Sirruelvtaernsoibglleu (,B 2is0w0a0l )y) Byo zmorogdmeelhors, 1d9e9 2t)e qrmueo idnivnoálumcircana (cid:231)(cid:231)Ł(cid:230) MM00jj-- MM¥tjj(cid:247)(cid:247)ł(cid:246) =1- (cid:229)n¥=0(2n+81)2p 2 exp(cid:238)(cid:237)(cid:236) - (2n+1)2 p 24Fo(cid:254)(cid:253)(cid:252) (1)
la estructura celular de la fruta, pero estos requieren una
gran cantidad de propiedades que no están disponibles en
Donde el número de Fourier (Fo) está dado por
la literatura (Kaymak-Ertekin y Sultanoglu, 2000; Spiazzi
y Mascheroni, 1997). Para modelar procesos al vacío Fo =Dj t l2
e
(VOD) o con pulsos de vacío (PVOD) se usan
principalmente el modelo del Mecanismo Hidrodinámico Para tiempos cortos
(HDM) (Barat, 1998; Mújica-Paz et al., 2003a; Mújica-
Paz et al., 2003b; Betoret et al., 2003; Gras et al., 2003;
Cy hRáafgehr veat raalo., (21090936)) y. el modelo desarrollado por Rastogi (cid:231)(cid:231)Ł(cid:230) MM00jj -- MM¥tjj (cid:247)(cid:247)ł(cid:246) = 2(Fo)0.5 (cid:238)(cid:237)(cid:236) p- 0.5 +2(cid:229)n¥=1(- 1)n ierfc Fno(cid:254)(cid:253)(cid:252) (2)
ierfc : integral de la función de error complementaria.
3.1 Modelo de Crank (1964)
Consiste en un grupo de soluciones de la ley de
El modelo puede simplificarse usando únicamente
difusión de Fick para diferentes geometrías, condiciones
el primer término de la serie, de acuerdo a las ecuaciones
límite y condiciones iniciales desarrolladas por Crank.
(3) y (4), aunque es menos riguroso matemáticamente.
Este modelo ha sido empleado por muchos autores ya que
334
ALTAGA ©2005 Ochoa-Martínez y Ayala-Aponte: Modelos matemáticos de transferencia de masa...
Tabla 2.- Valores de difusividad efectiva para agua y sólidos
Concentración
D (m2/s) D (m2/s) Fruta T (°C) Referencia
e,w e,s (°Brix)
Conway et al., 1983 citado
15x10-9 a 60x10-9 manzana 30-50 50-70 por Spiazzi y Mascheroni,
1997
0,157x10-9 a 0,172x10-9 a Salvatori et al., 1999
manzana 20-50 65
1,046x10-9 1,048x10-9
0,016x10-9 a 0,013x10-9 a Salvatori et al., 1999
manzana 20-50 65
0,187x10-9 0,211x10-9
0,0332 x10-9 a 0,0385 x10-9 a Kaymak et al., 2000
manzana 20-50 40-60
0,213 x10-9 0,108 x10-9
0,314x10-9 a 0,107x10-9 a Rodríguez et al., 2003
papaya 30-50 50-70
0,655x10-9 0,933x10-9
1,3x10-9 3,47x10-9 papaya 25 saturado Mendoza et al., 2002
0,347 x10-9 a 0,199 x10-9 a
pera 40-60 40-70 Park et al., 2002
1,92 x10-9 3,6 x10-9
0,2 x10-9 a Waliszewski et al. 2002
1,72 x10-9 piña 50-70 50-70
0,46 x10-9
1,48 x10-9 a 0,53 x10-9 a Rastogi et al., 2004
piña 30-50 40-70
3,24 x10-9 1,54 x10-9
Beristain et al., 1990 citado
0,6x10-9 a
piña 30-50 50-70 por Spiazzi y Mascheroni,
2,5x10-9
1997
0,85x10-9 a Rastogi et al., 1997a
banano 25-45 40-70
2,43x10-9
0,018x10-9 a
mango 30 35-65 Giraldo et al., 2003
0,077x10-9

Para tiempos largos 3.2. Modelo de Magee (1978)
Este modelo fue propuesto por Hawkes y Flink
(1978) (citado por Moreira et al., 2003) pero varios
(cid:230) M j - M j (cid:246) 8 (cid:236) p 2 Fo(cid:252)
(cid:231)(cid:231)Ł M00j - M¥tj (cid:247)(cid:247)ł =1- p 2 exp(cid:238)(cid:237) - 4 (cid:254)(cid:253) (3) amuotdoirfeicsa clioo naetsr i(bPuaryjeonko a e tM ala.,g 1e9e9,6 ;q Guiieranl dhoi ezto a la.,l 2g0u0n3a)s.
M j - M j
Para tiempos cortos 0M0 t =k t0.5 +k0 (5)
t
(cid:230) M j - M j (cid:246) (cid:230) Fo(cid:246) 0.5 k y k son parámetros cinéticos empíricos, pero se
(cid:231)(cid:231) 0 t (cid:247)(cid:247) =2(cid:231) (cid:247) (4) 0
Ł M j - M j ł Ł p ł les puede asignar un significado físico; k se asocia con
0 ¥
las velocidades de transferencia de agua y de solutos que
ocurren a través del mecanismo osmótico-difusional
A partir de las ecuaciones (1) a la (4), se determina
(constante cinética de difusión) dado que la transferencia
el Fo para cada punto experimental y con una gráfica de
de masa que ocurre por mecanismos difusionales es
Fo vs. t se infiere el valor de la difusividad efectiva Dej proporcional a la raíz cuadrada del tiempo en procesos
(Rastogi et al., 1997; Shi y Le Maguer, 2002b).
cortos de acuerdo a la ecuación de Crank y k cuantifica
Las formas de presentar las soluciones de Crank 0
la ganancia o pérdida de masa que ocurre después de
varían entre autores, y cada uno ha encontrado el
tiempos de proceso muy cortos debido a la acción del
coeficiente de difusión efectivo que se ajusta a sus datos
HDM promovido por presiones impuestas o capilares
experimentales como se muestra en la tabla 2. Aunque las
(Giraldo et al.,2003). Este modelo sólo es válido para
diferencias entre los valores pueden atribuirse a la
tiempos cortos (Parjoko et al., 1996) o sea durante las
diversidad de los productos y de condiciones utilizadas
primeras etapas de deshidratación, en las cuales los
en el ensayo, también puede considerarse que se deben a
cambios son mas relevantes para los procesos industriales
que no se cumplen todas las hipótesis sobre las cuales se
(Sereno et al., 2001).
desarrolló el modelo (Spiazzi y Mascheroni, 1997) y a la
Sereno et al. (2001) definen los parámetros k y k
existencia de mecanismos no fickianos. 0
como coeficientes globales de transferencia de masa ya
Por lo tanto el uso del modelo de Crank se convierte
que tienen en cuenta las resistencias internas y externas a
en un procedimiento empírico para ajustar a los datos
la transferencia, lo que no hace el modelo de Crank.
experimentales y D en un parámetro cinético fuertemente
e
dependiente de las condiciones experimentales y del
3.3. Modelo de Raoult-Wack et al. (1991)
método matemático (Salvatori, 1999; Shi y Le Maguer,
Ajusta los datos a una ecuación biexponencial
2002b).
(Raoult-Wack et al., 1991):
335
Cienc. Tecnol. Aliment. Vol. 4, No 5, pp 330-342, 2005 ISSN 1135-8122 ©2005 ALTAGA
t 1 t
f (t)= a (1- e- k1t)+ a (1- e- k2t) (6) D Mss = s D Mss +D Mss (14)
1 2 t 2 ¥ ¥
donde f(t) es una función que define una propiedad con
dependiente del tiempo que se determina a partir de datos ( ) ( )
M0xw - M0xw
experimentales. Los valores de a , a , k y k son D Mw = 0 0 t t (15)
1 2 1 2 t M0
parámetros empíricos sin significado físico. 0
Para hallar los valores en el equilibrio, se obtiene
el límite de la función cuando t fi (cid:181) , M0(1- xw)- M0(1- xw)
D Mss = t t 0 0 (16)
entonces: t M0
( ) 0
f¥ = ltifim¥ f t = a1 + a2 (7) Las ecuaciones (15) y (16) son propuestas por
Beristain et al. (1990) (citado por Parjoko et al., 1996) y
Y derivando la ecuación (6) se obtiene la velocidad
son utilizadas por la mayoría de los autores (Moreno et
de transferencia de masa, así:
al., 2004; Mavroudis et al., 1998; Parjoko et al., 1996;
( ) ( ) Azuara et al., 1998; Giraldo et al., 2003; Kaymak-Ertekin
f'(t)=a k e- k1t +a k e- k2t (8) y Sultanoglu, 2000) para el cálculo de pérdida de agua y
1 1 2 2
ganancia de sólidos a partir de datos experimentales. Estas
3.4. Modelo de Azuara (1992a) ecuaciones corresponden a un balance general de agua y
Azuara modeló la pérdida de agua y la ganancia de sólidos respectivamente, suponiendo que no hay salida
de sólidos en la OD a partir de los balances de masa, de solutos.
obteniendo ecuaciones que requieren dos parámetros Representando en forma gráfica las ecuaciones
ajustables (Azuara, et al., 1992a, Azuara et al., 1998; (13) y (14), se obtienen los parámetros
Azuara et al., 2002; Walizsewiski et al., 2002, Parjoko et s , s ,D M w ,D M ss que permiten calcular
al., 1996, Kaymak-Ertekin y Sultanoglu, 2000). 1 2 ¥ ¥
D M w , D M ss , xw , xss para cualquier tiempo t a unas
t t t t
Balance de masa para el agua
condiciones dadas.
D M tw = D M ¥w - M mw (9) Adicionalmente, si se obtiene una línea recta en
donde Mw es el agua capaz de difundirse que una gráfica de D M w M 0 vs.D M ss M 0 , entonces
m t 0 t 0
permanece en el alimento en un tiempo t. D M w D M ss es constante y éste es un criterio
t t
Como la pérdida de agua es función del agua que
importante para determinar si predomina el proceso de
es capaz de difundirse y del tiempo (si se tienen la
deshidratación (>1) o el proceso de impregnación (<1)
concentración de la disolución osmótica y la temperatura
(Azuara et al., 2002).
constantes), entonces
Azuara propone calcular el coeficiente de difusión
efectivo relacionando su modelo con la ecuación
D Mtw = s1 t M mw (10) simplificada de Fick para láminas semi-infinitas (Ecuación
4) de acuerdo a la siguiente ecuación (Azuara, 1992b).
reemplazando (10) en (9) y reorganizando se obtiene
p t Ø (cid:230) s l (cid:246) (cid:230) D M w,mod (cid:246) ø 2
D Mtw = s11t+DsMt¥w (11) De,w = 4 ŒŒº (cid:231)(cid:231)Ł 1+1s1 t(cid:247)(cid:247)ł (cid:231)(cid:231)Ł D M¥¥w,exp (cid:247)(cid:247)ł œœß (17)
1
Haciendo un tratamiento similar, se obtiene la donde D Mw,modcorresponde a la pérdida de agua en el
¥
expresión para la ganancia de sólidos equilibrio calculada a partir de la ecuación (13) y D Mw,exp
¥
es el valor obtenido experimentalmente.
s t D M ss El modelo de Azuara es un modelo empírico que
D Mtss = 21+ s t¥ (12) se basa en el ajuste de una ecuación a los datos
2
experimentales. Su mayor ventaja es que no se requiere
llegar al equilibrio para predecirlo. Su gran desventaja es
s y s son parámetros que pueden definirse como
1 2 su validez, que se limita al rango experimental para el
constantes de velocidad relativas a la pérdida de agua y a
que se obtuvieron los parámetros. Este método, al igual
la ganancia de sólidos respectivamente (Parjoko et al.,
que los demás modelos empíricos no tienen en cuenta las
1996).
dimensiones, la forma ni la estructura del material.
Linealizando las ecuaciones (11) y (12) se obtiene:
3.5. Modelo de Biswal y Bozorgmehr (1992)
t = 1 + t Biswal y Bozorgmehr modelaron la pérdida de
D Mw s D M w D Mw (13) humedad y la ganancia de soluto en función de la
t 1 ¥ ¥
336
ALTAGA ©2005 Ochoa-Martínez y Ayala-Aponte: Modelos matemáticos de transferencia de masa...
composición de la disolución osmótica (trabajaron con
m0 xazu
mezcla sacarosa-NaCl-agua), la temperatura y el tiempo D Mazu = t t (27)
t m0 xs
de contacto. 0 0
Se definieron dos parámetros de concentración.
Este modelo solamente es válido para una
Así, el primero es la pérdida de humedad expresada como
disolución osmótica formada por agua, sacarosa y cloruro
una fracción de la humedad original de la muestra
de sodio, con una concentración de agua en la disolución
(ecuación 18)
osmótica de 50% y en un rango de temperatura entre 20 y
( ) ( ) 50°C.
M 0xw - M 0xw
D M w = 0 0 t t (18)
t M 0 xw
0 0 3.6. Modelo de Palou et al. (1994)
Este modelo (Palou et al., 1994; Sacchetti, 2001)
y el segundo es la molalidad equivalente C, expresada está basado en la ecuación de Peleg (utilizada ampliamente
como kgmol de soluto / kg de agua (ecuación 19) en reología).
F t
C = 103 (cid:231)(cid:231)(cid:230) xtsal + xtazu (cid:247)(cid:247)(cid:246) (19) F0 -0 Ft = k1 + k2 t (28)
xw Ł M M ł
t sal azu
con
ddeo nsdoed iMo syal lya Msaaczau rsoosna lroess ppeecstoivsa mmoelnetceu.lares del cloruro k1 =1 AB (29)
k =1 A (30)
Con los datos experimentales y suponiendo que 2
los dos parámetros antes mencionados están en función
de la raíz cuadrada del tiempo (ecuaciones 20 y 21), se donde
determinaron los valores de k y k (parámetros cinéticos). F : fuerza inicial que se ejerce sobre la muestra para
w s 0
producir una deformación
D M w = k t12 (20) Ft : fuerza cuando ha pasado un tiempo t
t w B : velocidad de relajación
C = ks t12 (21) A : límite cuando t fi (cid:181) de (F - F)F
0 t 0
Una vez conocidos estos valores, se
Palou et al. (1994), redefinen la ecuación (28) para
correlacionaron a través de una regresión lineal con la
el proceso de OD así:
concentración inicial de sal y la temperatura de acuerdo a
las ecuaciones (22) y (23).
para la pérdida de agua:
t
kw = 0.836 x0sal +5.6· 10- 4 T (22) xw - xw = k1,w +k2,w t (31)
k = 0.203 xsal +6.6· 10- 4 T (23) 0 t
s 0
para la ganancia de sólidos:
Con las anteriores ecuaciones, la ecuación del
t
balance de masa de los sólidos totales iniciales presentes ( )=k +k t (32)
en la muestra (ecuación 24) y una ecuación empírica xss - xss 1,ss 2,ss
t 0
(ecuación 25) que relaciona las fracciones másicas
De acuerdo a la definición de A, se tiene que
instantáneas del soluto, se forma un sistema que se
resuelve simultáneamente para dar la relación entre la
xw = xw - 1
masa en un tiempo dado y la masa total original ( m0 m0 ) ¥ 0 k (33)
t 0 2,w
y las fracciones másicas de los solutos y de agua en la
xss = xss + 1
muestra en cualquier tiempo ( xsal,xazu,xw). ¥ 0 k (34)
t t t 2,ss
(1- xw) Además, derivando las ecuaciones (31) y (32) se
1- 0 = xsal + xazu + xw (24) obtienen las cinéticas (velocidades de pérdida de agua y
m0 m0 t t t
t 0 ganancia de sólidos), así:
( ) - k
xtsal = 7.99+0.070T +1.106 xtazu x0sal xtazu (25) x'tw = (k +k1,w t)2 (35)
1,w 2,w
Con ésta información y conociendo los sólidos totales
k
idnei caicauleesr deon ae ll ams aetceuraiacli,o snee sc a(2lc6u)l ay l(a2 7g)a.nancia de soluto x'tss = (k1,ss +1k,ss2,ss t)2 (36)
m0 xsal Este modelo empírico es similar al modelo de
D Mtsal = mt0 xts (26) Azuara en cuanto a ventajas y desventajas: se basa en el
0 0
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Cienc. Tecnol. Aliment. Vol. 4, No 5, pp 330-342, 2005 ISSN 1135-8122 ©2005 ALTAGA
ajuste de una ecuación a los datos experimentales y no se Representando gráficamente la ecuación (39) se
requiere llegar al equilibrio para predecirlo (Sacchetti et obtienen los parámetros k y D. Una vez conocidos estos
e
al., 2001), pero su validez se limita al rango experimental parámetros, la ecuación (39) sirve para predecir cambios
para el que se obtuvieron los parámetros. de composición en la fase líquida del alimento ( zw,zss).
t t
El HDM está relacionado con la estructura de los
3.7. Modelo de mecanismo hidrodinámico, HDM
tejidos ya que ésta es discontinua y porosa y posee
(1996)
espacios ocupados por gas (Cháfer et al., 2002; Martínez-
Este modelo se emplea en el proceso de
Monzó et al., 2000; Barat, 1998). Por lo tanto, en procesos
deshidratación osmótica con aplicación de presiones de
de PVOD es importante conocer el comportamiento de la
vacío (Barat, 1998; Martínez-Monzó et al., 2000; Giraldo
porosidad y la deformación del producto cuando se somete
et al., 2003; Salvatori et al., 1999; Cháfer et al., 2003;
a vacío para determinar el volumen que puede ocupar el
Mújica-Paz et al., 2003a; Mújica-Paz et al., 2003b).
líquido externo (Mújica-Paz, 2003a; Mújica-Paz, 2003b).
La cinética del proceso de OD se modela en forma
La porosidad efectiva (e ) de la muestra se calcula como:
diferente a la del proceso de PVOD. Con OD, básicamente
e
se utiliza la ley de Fick ya que el fenómeno está gobernado
principalmente por el mecanismo pseudodifusional (PD) (X - g )r+g
e = 1 (43)
mientras que con PVOD debe tenerse en cuenta, además, e r- 1
el mecanismo hidrodinámico (HDM).
con
El modelo combina los mecanismos difusional e
r » p p (44)
hidrodinámico, asumiendo que el mecanismo 2 1
hidrodinámico (HDM) actúa en t = 0 y que el equilibrio
donde p y p son la presión de trabajo y la presión
es composicional ( zw = yw). De ésta forma se define la 1 2
¥ atmosférica, respectivamente.
fuerza impulsora reducida ( Yw) como: Asumiendo deformación despreciable, la ecuación
t
(43) queda
zw - yw
Yw = t (37)
t z0w - yw X = e (1- 1 r) (45)
e
Y w = Y w (cid:215) Y w (38) representando gráficamente la ecuación (45) se determina
t t HDM,t=0 t PD,t>0 e en un rango de presiones definido (Mújica-Paz, 2003a)
e
y puede compararse con la porosidad real (e ),
utilizando la solución de la ecuación simplificada de Fick r
para la parte difusional y reemplazándola en la ecuación
r - r
(38) se obtiene e = r b (46)
r r
Yw (cid:230) - D p 2 t(cid:246) r
Yw t = k exp(cid:231)(cid:231)Ł 4el2 (cid:247)(cid:247)ł (39) El modelo HDM es un modelo semiempírico que
t HDM,t=0
tiene en cuenta el tamaño y la forma de la muestra a
diferencia de los modelos anteriores. Aunque es fácil de
Como la fase líquida del alimento se considera un
utilizar, requiere de algunos parámetros y propiedades del
sistema binario compuesto por agua y solutos, el
producto (Barat, 1998) que no siempre están disponibles
coeficiente de difusión efectivo es el mismo para ambos
en la literatura y como en los demás casos está limitado a
componentes (Barat, 1998).
los datos experimentales para los que se obtuvieron los
Para el cálculo de Yw se utiliza la ecuación parámetros. Este modelo no predice el equilibrio.
t HDM,t=0
Las ecuaciones que se utilizan en OD no se ajustan
(37), determinando previamente el valor de de acuerdo a
a PVOD debido, en primer lugar, al aumento de peso de
la siguiente expresión:
la muestra durante los primeros momentos del proceso
(se presenta impregnación y deshidratación
( )
M0 xw+ 1+g V X r yw simultáneamente) y en segundo lugar, a las características
ztw HDM,t=0 = M0 x0w+0M0 xSS +(10+g )VOSX r (40) estructurales (porosidad y resistencia mecánica) que se
0 0 0 0 OS
vuelven más importantes debido a que el fenómeno de
transferencia no sólo se produce desde el interior hacia la
con
interfase alimento/disolución osmótica, sino también hacia
X = M t0 - M 00 (41) el espacio poroso ocupado por la disolución osmótica
r OS V0 (Barat, 1998).
y 3.8. Modelo de Rastogi y Raghavarao, 1996
El modelo de Rastogi también se utiliza para
V - V cálculos de cinéticas de deshidratación osmótica bajo
g = t 0 (42) presiones de vacío. Este modelo emplea la presión
V
0 osmótica como parámetro fundamental y calcula el
338