Table Of ContentMathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Elisabeth Rathgeb-Schnierer
Charlotte Rechtsteiner
Rechnen lernen
und Flexibilität
entwickeln
Grundlagen – Förderung – Beispiele
Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Herausgegebenvon
FriedhelmPadberg,UniversitätBielefeld,Bielefeld
AndreasBüchter,UniversitätDuisburg-Essen,Essen
DieReihe„MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II“(MPSI+II),herausgegeben
vonProf.Dr.FriedhelmPadbergundProf.Dr.AndreasBüchter,istdieführendeReiheim
Bereich„MathematikundDidaktikderMathematik“.SieistschonlangeaufdemMarkt
undmitaktuellrund60bislangerschienenenoderinkonkreterPlanungbefindlichenBän-
den breit aufgestellt. Zielgruppen sind Lehrende und Studierende an Universitäten und
Pädagogischen Hochschulen sowie Lehrkräfte, dienach neuen Ideen für ihren täglichen
Unterrichtsuchen.
DieReiheMPSI+IIenthälteinegrößereAnzahlweitverbreiteterundbekannterKlassi-
kersowohlbeidenspeziellfürdieLehrerausbildungkonzipiertenMathematikwerkenfür
Studierendealler Schulstufen als auchbeiden Werken zurDidaktik der Mathematik für
diePrimarstufe(einschließlichderfrühenmathematischenBildung),derSekundarstufeI
undderSekundarstufeII.
Die schon langjährige Position als Marktführer wird durch in regelmäßigen Abständen
erscheinende,gründlichüberarbeiteteNeuauflagenständigneuerarbeitetundausgebaut.
Ferner wird durch die Einbindung jüngerer Koautorinnen und Koautoren bei schon lan-
gelaufendenTiteln gleichermaßenfürKontinuitätundAktualitätderReihegesorgt.Die
ReihewächstseitJahrendynamischundbehältdabeidiesich ständigveränderndenAn-
forderungenandenMathematikunterrichtunddieLehrerausbildungimAuge.
(cid:2)
Elisabeth Rathgeb-Schnierer
Charlotte Rechtsteiner
Rechnen lernen und
Flexibilität entwickeln
Grundlagen – Förderung – Beispiele
ElisabethRathgeb-Schnierer CharlotteRechtsteiner
UniversitätKassel PädagogischeHochschuleLudwigsburg
Kassel,Deutschland Ludwigsburg,Deutschland
MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II
ISBN978-3-662-57476-8 ISBN978-3-662-57477-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-57477-5
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Hinweis der Herausgeber
Dieser Band von Elisabeth Rathgeb-Schnierer und Charlotte Rechtsteiner thematisiert
vielseitig undaspektreichdasFlexibleRechnenin derGrundschule.Der Banderscheint
in der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. In dieser Reihe eignen
sichinsbesonderediefolgendenBändezurVertiefunguntermathematikdidaktischenso-
wiemathematischenGesichtspunkten:
(cid:3) P.Bardy:MathematischbegabteGrundschulkinder–DiagnostikundFörderung
(cid:3) C.Benz/A.Peter-Koop/M.Grüßing:FrühemathematischeBildung
(cid:3) M.Franke/S.Reinhold:DidaktikderGeometrieinderGrundschule
(cid:3) M.Franke/S.Ruwisch:DidaktikdesSachrechnensinderGrundschule
(cid:3) K.Hasemann/H.Gasteiger:AnfangsunterrichtMathematik
(cid:3) K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band1
(cid:3) K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band2
(cid:3) F.Käpnick:MathematiklerneninderGrundschule
(cid:3) G.Krauthausen:DigitaleMedienimMathematikunterrichtderGrundschule
(cid:3) G.Krauthausen:EinführungindieMathematikdidaktik–Grundschule
(cid:3) F.Padberg/C.Benz:DidaktikderArithmetik
(cid:3) P.Scherer/E.MoserOpitz:FördernimMathematikunterrichtderPrimarstufe
(cid:3) A.-S.Steinweg:AlgebrainderGrundschule
(cid:3) M.Helmerich/K.Lengnink:EinführungMathematikPrimarstufe–Geometrie
(cid:3) T.Leuders:ErlebnisArithmetik
(cid:3) F.Padberg/A.Büchter:EinführungMathematikPrimarstufe–Arithmetik
(cid:3) F.Padberg/A.Büchter:VertiefungMathematikPrimarstufe–Arithmetik/Zahlentheorie
(cid:3) F.Padberg/A.Büchter:ElementareZahlentheorie
Bielefeld/Essen FriedhelmPadberg
Juni2018 AndreasBüchter
V
Einleitung
Stephan (7 Jahre) ist Schüler einer zweiten Klasse. Während eines individuellen Ge-
sprächszurLernstandbestimmungbeschäftigtersichimschulischenKontextzumersten
Mal mit Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 100 (Rathgeb-Schnierer 2004a). Auf
demTischliegenvieleverschiedeneAufgabenundStephansollsicheineauswählen,die
erlösenmöchte.ErnimmtdieAufgabe„31(cid:4)29“underklärt:„Dieistganzleicht.“Da-
raufhin greift er zu Papier und Bleistift und notiert seine Rechenschritte wie in Abb. 1.
Zuerst schreibt er die Ausgangsaufgabe ohne Ergebnis auf, dann notiert er die Aufga-
ben „9(cid:4)1=8“und „30(cid:4)20=10“,anschließend fasst er seinebeiden Ergebnissein der
Gleichung 31(cid:4)29=18 zusammen und ganz am Ende ergänzt er die 18 bei der zuerst
geschriebenenAufgabe.
Stephans Vorgehen lässt sich aufgrund seiner Notation sehr gut nachvollziehen: Er
zerlegtMinuendundSubtrahendinZehnerundEinerundsubtrahiertdiesegetrenntvon-
einander. Durch die Zerlegung vereinfacht er die Aufgabe, sodass er im ersten Rechen-
schritt nur im Zahlenraum bis Zehn rechnen muss und im zweiten Rechenschritt eine
AufgabemitZehnerzahlenhat.Diesekannwiederumleichtgelöstwerden,vorausgesetzt,
Stephan verfügtüber Analogiewissen und hat die Aufgabe„3(cid:4)2“ automatisiert. Selbst
dann,wenn Stephan Aufgabennochzählendlösen würde,stellt dieZerlegungeine Ver-
einfachungdar,weildadurchwenigerZählschrittenotwendigsind.Genaugenommenhat
StephanbeijedemTeilschritt einrichtigesErgebnisermittelt. Dass er amEndedennoch
zumfalschenErgebnis18kommt,würdenwirwahrscheinlichnichtaufseineRechenfer-
tigkeitenzurückführen.VielmehrlässtsichhiereinrationalbegründbarerFehlervermuten
(Spiegel1996):StephankenntsichmitAdditionsaufgabenausundweiß,dasserbeidie-
senSummandenflexibelzerlegen,tauschenundverknüpfenkannundamEndedanndie
Teilergebnisse addieren muss. Dieses Wissen überträgt er auf die Subtraktionsaufgabe
Abb.1 StephanlöstdieAuf-
gabe„31(cid:4)29“.(Rathgeb-
Schnierer2004a,235)
VII
VIII Einleitung
„31(cid:4)29“, vermutlich deshalb, weil er mit den spezifischen Gesetzmäßigkeiten dieser
OperationimhöherenZahlenraumebennochnichtvertrautist.
Dass Schülerinnen und Schüler beim Lösen mehrstelliger Additions- und Subtrakti-
onsaufgabendieZerlegunginZehnerundEiner–alsodieLösungsmethode„Stellenwerte
extra“ (Abschn. 2.1.1.1) – präferieren, ist allen Lehrerinnen und Lehrern bekannt. Die-
se Lösungsmethode, die bei Additionsaufgabenprinzipiell immer herangezogenwerden
kann,istfürvieleSubtraktionsaufgabennichtadäquatundbirgtsogarSchwierigkeiten.
Warum zerlegt Stephan die Aufgabe spontan in Zehner und Einer? Dieses Vorgehen
entspringtvermutlichdemureigenenBedürfnis,sichbeimAufgabenlösenaufbekanntem
TerrainzubewegenunddasVorgehenzunutzen,beidemmansichsicherfühlt.
ÜberraschendistderweitereVerlaufdesGesprächs:NachdemStephandenLösungs-
wegunddasErgebnisnotierthat,legterseinenBleistiftausderHandundschautaufsein
Blatt.NacheinerkurzenPausesagter:„Abereigentlichistdaszwei.“Verblüfftvondieser
Aussagefrageich,welchesErgebnisdennnunrichtigsei:achtzehnoderzwei.Vermutlich
ahnenSieschon,wasStephanmirantwortet,vollerÜberzeugungsagter:„Achtzehn,weil
ichdasgerechnethabe.“
DerkurzeGesprächsausschnittregtzumNachdenkenanundesdrängensichzweiwe-
sentliche Fragen auf: Warum hat Stephan die Nähe von Minuend und Subtrahend nicht
gleich erkannt und für das Lösen der Aufgabe genutzt? Warum traut er, nachdem er
die spezifischen Merkmale erkanntund damit die Differenzgesehen hat, seinem augen-
blicklichenSehendesErgebnissesnicht?Stephanistvielmehrdavonüberzeugt,dasssein
mehrschrittigerRechenweg,derihmjaaucheinigeAnstrengungabforderte,zumrichtigen
Ergebnisführenmuss.InStephansVerhaltenzeigtsichgenaudas,wasderMathematiker
KarlMenningerschonindererstenHälftedes20.Jahrhundertsgeforderthat:
Diese Faustregel lehrt dich, die Zahlen vor dem Rechnen a n z u s c h a u e n, und das
istdasWichtigste,wenndueinguterRechnerwerdenwillst!Aberwiewenigetundas!Sie
gehenblindlingsaufdieZahlenlos,fahrenihreKanonengenausogutgegenZahlenelefanten
aufwie gegenZahlenmäuschen,diesie, wennsie nurs ehe nwollten,imNu erledigten.
Nurderlerntvorteilhaftrechnen,derdiesenZahlenblickentwickelt(Menninger1940,10f.;
HervorhebungenimOriginal).
AuchStephanfährtzunächstseine„Kanone“desmehrschrittigenZerlegensgegenein
„Zahlenmäuschen“auf. Aber für ein paar kurze Augenblickewird bei ihm das sichtbar,
wasMenninger„Zahlenblick“nennt:StephanschautdieAufgabeanundsiehtdieDiffe-
renz.AllerdingsträgtdiesesspontaneSehennichtsoweitzuvertrauen,dassdasErgebnis
richtigseinmuss.VielmehrtrauterseineraufwändigenVorgehensweise,dieervermutlich
Schritt für Schritt gelernthat. Hiermit stellt Stephan ganzund gar keinen Einzelfall dar.
Ergebnisseverschiedener Forschungsarbeitenzeigen deutlich, dass Kinder insbesondere
nachdemLernenvonVerfahrendieseinadäquatundunreflektiertnutzen,alsounflexibel
handeln (Kap. 3). Dieses Verhalten von Schülerinnen und Schülern deckt sich nicht mit
demzentralenZieldesMathematikunterrichtsimBereich„ZahlenundOperationen“,das
spätestensseitBeginndes21.Jahrhundertsunumstrittenist.
Einleitung IX
The emphasis in teaching arithmetic has changed from preparation of disciplined human
calculatorstodevelopingchildren’sabilitiesasflexibleproblemsolvers(Anghileri2001,79).
DerSchwerpunktimMathematikunterrichthatsichinsoferngeändert,dassesnichtmehr
umdie Bereitstellung diszipliniertermenschlicher Rechenmaschinen geht, sondernum die
EntwicklungflexiblerRechenkompetenzen(ÜbersetzungderAutoren).
Grundschülerinnen und Grundschüler sollen solide Rechenfertigkeiten entwickeln,
aber es reicht nicht aus, sie zu disziplinierten Rechnern zu erziehen. Vielmehr geht es
darum, bei allen Kindern flexible Rechenkompetenzen zu entwickeln. Diese setzen ein
solides Zahl- und Operationsverständnis voraus, ebenso wie das Verständnis von strate-
gischenWerkzeugen.DemMathematikunterrichtinderGrundschule–undfolglichallen
Lehrerinnen und Lehrern, die Mathematik unterrichten – kommt damit eine verantwor-
tungsvolle Aufgabe zu: Es geht darum, alle Kinder bei diesem Lernprozess adaptiv zu
begleiten.
Fragen
Wie kann Rechnenlernengestaltet werden, damit alle Kinder nicht nur solide Fertig-
keitenerwerben,sondernflexibleRechenkompetenzenentwickeln?
Dies ist die Kernfrage des Arithmetikunterrichts der Grundschule, aus der sich ver-
schiedeneandereFragenergeben.ImvorliegendenBuchwirddiesenzunächstallgemein
unddannbezogenaufdieRechenoperationenAdditionundSubtraktiondetailliertnachge-
gangen.DieÜberlegungenundAntwortenumfassenallgemeinetheoretischeGrundlagen,
stoffdidaktische Aspekte sowie konkrete Aktivitäten und Ausführungen zur unterricht-
spraktischenUmsetzung.
Fragen
WielernenKinderundwielernensieRechnen?
DiesistdieLeitfragedeserstenKapitels.SiewirdzunächstaufderGrundlageverschie-
denerkonstruktivistischerSichtweisendiskutiert.Dabeikristallisiertsichheraus,dasssich
Lernen in einem aktiven Prozess vollzieht, dessen zentrales Ziel darin liegt, dass die
Lernenden Verständnis entwickeln. Vor dem Hintergrund dieses Ziels werden zunächst
allgemeineAnforderungenfürdieGestaltungdesLernensabgeleitet.
Währenddie Überlegungenzum Lernen von Kindern im ersten Teil des Kapitels zu-
nächst allgemeiner Natur sind, werden diese im zweiten Teil im Hinblick auf dasRech-
nenlernen konkretisiert. Hierbei stehen zunächst verschiedene praktizierte Zugänge im
Fokus,diesichinSchulbüchernundinderdidaktischenLiteraturfindenlassen:dasRech-
nenlernenüber Beispiel- undMusterlösungen sowie der Ansatz des Rechnenlernensauf
eigenenWegen,derindenletztenJahrenzunehmenddiskutiertwird.DasRechnenlernen
aufeigenenWegenwirdimzweitenTeildesKapitelsdifferenziertausgearbeitetunddabei
insbesonderezweiFragennachgegangen:WieentwickelnsichRechenwegevonKindern?
X Einleitung
UndwelcheRollekommthierbeidemkommunikativenAustauschundderLernumgebung
zu?
Fragen
WaspassierteigentlichbeimRechnenundwasgenaubedeutetflexiblesRechnen?
Tanja(7Jahre)istinderselbenzweitenKlassewieStephan.SiewähltindemGespräch
zurLernstandsbestimmungdieAufgabe„46(cid:4)19“undsagt:
T: Ähm46(.)minus(..)neun–nein,minussechsmachichjetzt–unddannsinddasja40,
unddannminus3sindsiebenunddreißig–unddannnochminus10sind27.
Rechnen scheint eine ganz einfache Sache zu sein. Da wird einem Kind (oder auch
einemErwachsenen)eineRechenaufgabegestelltundnacheinergewissenZeitnenntdas
Kinddas–imbestenFallkorrekte–Ergebnis.
WasaberpassiertinderZwischenzeit?WiegenaukommtdasKindzudiesemErgeb-
nis? Dieser Prozess des Rechnens und die dabei involvierten Ebenen werden im ersten
Teil des zweiten Kapitels anhand von Kinderlösungen veranschaulicht. Beim Rechnen
kommenzunächstunterschiedlicheFormenzumTragen,dieauchexplizitimCurriculum
derGrundschuleverankertsind:dasKopfrechnen,dashalbschriftlicheRechnenunddas
schriftliche Rechnen. Aber allein dadurch, dass ein Kind eine halbschriftliche Methode
nutzt,kannesnochkeineLösungzueinerAufgabeermitteln.HierfürsindkonkreteLö-
sungswerkzeuge notwendig, die nicht davon abhängen, ob eine Aufgabe im Kopf oder
schriftlich gerechnet wird. Lösungswerkzeuge sind das Zählen, das Auswendigwissen
und sogenannte strategische Werkzeuge. Wie diese Lösungswerkzeuge beschaffen sind
und in einem kindlichen Lösungsprozess sichtbar werden, wird am Ende der theoreti-
schen Ausführungenzum Rechnen an verschiedenen Rechenwegen konkretisiert. Dabei
wird deutlich, dass die Ebenen im Lösungsprozess eine Möglichkeit darstellen, die von
KindernartikuliertenRechenwegezuergründenundinihrerKomplexitätzuverstehen.
Imzweiten TeildiesesKapitelswird dannderBlickaufdasflexibleRechnengerich-
tet. Was bedeutet flexibles Rechnen und wie kann flexibles Rechnen gefördert werden?
Auch wenn Einigkeit darüber herrscht, dass im Mathematikunterricht der Grundschule
flexible Rechenkompetenzen gefördert werden sollen, so ist dennoch häufig nicht klar,
was darunter verstanden wird, wie flexibles Rechnen gefördert werden kann und wann
damitbegonnenwerdensollte.GehtesinersterLiniedarum,Kindernverschiedenestra-
tegischeWerkzeugezuvermitteln,sodasssieinderLagesind,beimLöseneinerAufgabe
diepassendenzunutzen?OderkönnenstrategischeWerkzeugeerstdannadäquatgenutzt
werden, wenn die Kinder einen Blick für Merkmale und Beziehungen entwickelt haben
unddiesen– ganzandersalsStephanestut–auchin denLösungsprozessmiteinbezie-
hen.AufderGrundlageaktuellerForschungundverschiedenertheoretischerPerspektiven
wirddasdemBuchzugrundeliegendeVerständnisvonflexiblemRechnenentfaltet.
