Table Of Content142
Graduate Texts in Mathematics
Editorial Board
S. Axler F.W. Gehring P.R. Halmos
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
BOOKS OF RELATED INTEREST BY SERGE LANG
Fundamentals of Diophantine Geometry
A systematic account of fundamentals, including the basic theory of heights,
Roth and Siegel's theorems, the Neron-Tate quadratic form, the Mordell-Weill
theorem, Weil and Neron functions, and the canonical form on a curve as it
related to the Jacobian via the theta function.
Introduction to Complex Hyperbolic Spaces
Since its introduction by Kobayashi, the theory of complex hyperbolic spaces
has progressed considerably. This book gives an account of some of the most
important results, such as Brody's theorem, hyperbolic imbeddings, curvature
properties, and some Nevanlinna theory. It also includes Cartan's proof for the
Second Main Theorem, which was elegant and short.
Elliptic Curves: Diophantine Analysis
This systematic account of the basic diophantine theory on elliptic curves starts
with the classical Weierstrass parametrization, complemented by the basic theory
of Neron functions, and goes on to the formal group, heights and the Mordell
Weil theorem, and bounds for integral points. A second part gives an extensive
account of Baker's method in djophantine approximation and diophantine in
equalities which were applied to get the bounds for the integral points in the
first part.
Cyclotomic Fields I and II
This volume provides an up-to-date introduction to the theory of a concrete and
classically very interesting example of number fields. It is of special interest to
number theorists, algebraic geometers, topologists, and algebraists who work in
K-theory. This book is a combined edition of Cyclotomic Fields (GTM 59) and
Cyclotomic Fields II (GTM 69) which are out of print. In addition to some minor
corrections, this edition contains an appendix by Karl Rubin proving the Mazur-Wiles
theorem (the "main conjecture") in a self-contained way.
OTHER BOOKS BY LANG PUBLISHED BY
SPRINGER-VERLAG
Introduction to Arakelov Theory • Riemann-Roch Algebra (with William Fulton) •
Complex Multiplication • Introduction to Modular Forms • Modular Units (with Daniel
Kubert) • Introduction to Aigebraic and Abelian Functions • Cyclotomic Fields I and il
• Elliptic Functions • Number Theory • AIgebraic Number Theory • SL (R) • Abelian
2
Varieties. Differential Manifolds • Complex Analysis • Real Analysis • Undergraduate
Analysis. Undergraduate Algebra • Linear Algebra • Introduction to Linear Algebra •
Calculus of Several Variables • First Course in Calculus • Basic Mathematics •
Geometry: (with Gene Murrow) • Math! Encounters with High School Students
• The Beauty of Doing Mathematics • THE FILE
Serge Lang
Real and
Functional Analysis
Third Edition
With 37 Illustrations
, Springer
Serge Lang
Department of Mathematics
Yale University
New Haven, CT 06520
USA
Editorial Board
S. Axler F.W. Gehring P.R. Halmos
Department of Department of Department of
Mathematics Mathematics Mathematics
Michigan State University University of Michigan Santa Clara University
Bast Lansing, MI 48824 Ann Arbor, MI 48109 Santa Clara, CA 95053
USA USA USA
MSC 1991: Subject Classification: 26-01, 28-01, 46-01
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Lang, Serge, 1927-
Real and functional analysis / Serge Lang. - 3rd ed.
p. cm. - (Graduate texts in mathematics ; 142)
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-4612-6938-0 ISBN 978-1-4612-0897-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-1-4612-0897-6
1. Mathematical analysis. 1. Title. Il. Series.
QA300.L274 1993
515-dc20 92-21208
CIP
The previous edition was published as Real Analysis. Copyright 1983 by Addison-Wesley.
Printed on acid-frec paper.
© 1993 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Originally published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1993
Softcover reprint ofthe hardcover 3rd edition 1993
AH rights reserved. This work may not be translated or copied in whole or in part without
the written permission ofthe publisher Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, except for
brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis. Use in connection with any
form of information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by
similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed is forbidden.
The use of general descriptive names, trade names, trademarks, etc., in this publication, even
if the former are not especially identified, is not to be taken as a sign that such names, as
understood by the Trade Marks and Merchandise Marks Act, may accordingly be used
freely by anyone.
Production coordinated by Brian Howe and managed by Terry Komak; manufacturing supervised by
Vincent Scelta.
Typeset by Aseo Trade Typesetting Ltd., North Point, Hong Kong.
9 8 7 6 5 4 3 2
SPIN 10545036
FFoorreewwoorrdd
TThhiiss bbooookk iiss mmeeaanntt aass aa tteexxtt ffoorr aa ffiirrsstt yyeeaarr ggrraadduuaattee ccoouurrssee iinn aannaallyyssiiss..
AAnnyy ssttaannddaarrdd ccoouurrssee iinn uunnddeerrggrraadduuaattee aannaallyyssiiss wwiillll ccoonnssttiittuuttee ssuuffffiicciieenntt
pprreeppaarraattiioonn ffoorr iittss uunnddeerrssttaannddiinngg,, ffoorr iinnssttaannccee,, mmyy UUnnddeerrggrraadduuaattee AAnnaall
yyssiiss.. II aassssuummee tthhaatt tthhee rreeaaddeerr iiss aaccqquuaaiinntteedd wwiitthh nnoottiioonnss ooff uunniiffoorrmm ccoonn
vveerrggeennccee aanndd tthhee lliikkee..
IInn tthhiiss tthhiirrdd eeddiittiioonn,, II hhaavvee rreeoorrggaanniizzeedd tthhee bbooookk bbyy ccoovveerriinngg iinnttee
ggrraattiioonn bbeeffoorree ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss.. SSuucchh aa rreeaarrrraannggeemmeenntt ffiittss tthhee wwaayy
ccoouurrsseess aarree ttaauugghhtt iinn aallll tthhee ppllaacceess II kknnooww ooff.. II hhaavvee aaddddeedd aa nnuummbbeerr ooff
eexxaammpplleess aanndd eexxeerrcciisseess,, aass wweellll aass ssoommee mmaatteerriiaall aabboouutt iinntteeggrraattiioonn oonn tthhee
rreeaall lliinnee ((ee..gg.. oonn DDiirraacc sseeqquueennccee aapppprrooxxiimmaattiioonn aanndd oonn FFoouurriieerr aannaallyyssiiss)),,
aanndd ssoommee mmaatteerriiaall oonn ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss ((ee..gg.. tthhee tthheeoorryy ooff tthhee GGeellffaanndd
ttrraannssffoorrmm iinn CChhaapptteerr XXVVII)).. TThheessee uuppggrraaddee pprreevviioouuss eexxeerrcciisseess ttoo sseeccttiioonnss
iinn tthhee tteexxtt..
IInn aa sseennssee,, tthhee ssuubbjjeecctt mmaatttteerr ccoovveerrss tthhee ssaammee ttooppiiccss aass eelleemmeennttaarryy
ccaallccuulluuss,, vviizz.. lliinneeaarr aallggeebbrraa,, ddiiffffeerreennttiiaattiioonn aanndd iinntteeggrraattiioonn.. TThhiiss ttiimmee,,
hhoowweevveerr,, tthheessee ssuubbjjeeccttss aarree ttrreeaatteedd iinn aa mmaannnneerr ssuuiittaabbllee ffoorr tthhee ttrraaiinniinngg
ooff pprrooffeessssiioonnaallss,, ii..ee.. ppeeooppllee wwhhoo wwiillll uussee tthhee ttoooollss iinn ffuurrtthheerr iinnvveessttiiggaa
ttiioonnss,, bbee iitt iinn mmaatthheemmaattiiccss,, oorr pphhyyssiiccss,, oorr wwhhaatt hhaavvee yyoouu..
IInn tthhee ffiirrsstt ppaarrtt,, wwee bbeeggiinn wwiitthh ppooiinntt sseett ttooppoollooggyy,, eesssseennttiiaall ffoorr aallll
aannaallyyssiiss,, aanndd wwee ccoovveerr tthhee mmoosstt iimmppoorrttaanntt rreessuullttss..
II aamm sseelleeccttiivvee hheerree,, ssiinnccee tthhiiss ppaarrtt iiss rreeggaarrddeedd aass aa ttooooll,, eessppeecciiaallllyy
CChhaapptteerrss II aanndd IIII.. MMaannyy rreessuullttss aarree eeaassyy,, aanndd aarree lleessss eesssseennttiiaall tthhaann
tthhoossee iinn tthhee tteexxtt.. TThheeyy hhaavvee bbeeeenn ggiivveenn iinn eexxeerrcciisseess,, wwhhiicchh aarree ddeessiiggnneedd
ttoo aaccqquuiirree ffaacciilliittyy iinn rroouuttiinnee tteecchhnniiqquueess aanndd ttoo ggiivvee fflleexxiibbiilliittyy ffoorr tthhoossee
wwhhoo wwaanntt ttoo ccoovveerr ssoommee ooff tthheemm aatt ggrreeaatteerr lleennggtthh.. TThhee ppooiinntt sseett ttooppooll
ooggyy ssiimmppllyy ddeeaallss wwiitthh tthhee bbaassiicc nnoottiioonnss ooff ccoonnttiinnuuiittyy,, ooppeenn aanndd cclloosseedd
sseettss,, ccoonnnneecctteeddnneessss,, ccoommppaaccttnneessss,, aanndd ccoonnttiinnuuoouuss ffuunnccttiioonnss.. TThhee cchhaapptteerr
vvii FFOORREEWWOORRDD
ccoonncceerrnniinngg ccoonnttiinnuuoouuss ffuunnccttiioonnss oonn ccoommppaacctt sseettss pprrooppeerrllyy eemmpphhaassiizzeess
rreessuullttss wwhhiicchh aallrreeaaddyy mmiixx aannaallyyssiiss aanndd uunniiffoorrmm ccoonnvveerrggeennccee wwiitthh tthhee
llaanngguuaaggee ooff ppooiinntt sseett ttooppoollooggyy..
IInn tthhee sseeccoonndd ppaarrtt,, CChhaapptteerrss IIVV aanndd VV,, wwee ddeessccrriibbee bbrriieeffllyy tthhee ttwwoo
bbaassiicc lliinneeaarr ssppaacceess ooff aannaallyyssiiss,, nnaammeellyy BBaannaacchh ssppaacceess aanndd HHiillbbeerrtt ssppaacceess..
TThhee nneexxtt ppaarrtt ddeeaallss eexxtteennssiivveellyy wwiitthh iinntteeggrraattiioonn..
WWee bbeeggiinn wwiitthh tthhee ddeevveellooppmmeenntt ooff tthhee iinntteeggrraall.. TThhee ffaasshhiioonn hhaass bbeeeenn
ttoo eemmpphhaassiizzee ppoossiittiivviittyy aanndd oorrddeerriinngg pprrooppeerrttiieess ((iinnccrreeaassiinngg aanndd ddeeccrreeaass
iinngg sseeqquueenncceess)).. II ffiinndd tthhiiss eexxcceessssiivvee.. TThhee ttrreeaattmmeenntt ggiivveenn hheerree aatttteemmppttss
ttoo ggiivvee aa pprrooppeerr bbaallaannccee bbeettwweeeenn LL ii--ccoonnvveerrggeennccee aanndd ppoossiittiivviittyy.. FFoorr
mmoorree ddeettaaiilleedd ccoommmmeennttss,, sseeee tthhee iinnttrroodduuccttiioonn ttoo PPaarrtt TThhrreeee aanndd CChhaapptteerr
VVII..
TThhee cchhaapptteerrss oonn aapppplliiccaattiioonnss ooff iinntteeggrraattiioonn aanndd ddiissttrriibbuuttiioonnss pprroovviiddee
ccoonnccrreettee eexxaammpplleess aanndd cchhooiicceess ffoorr lleeaaddiinngg tthhee ccoouurrssee iinn ootthheerr ddiirreeccttiioonnss,,
aatt tthhee ttaassttee ooff tthhee lleeccttuurreerr.. TThhee ggeenneerraall tthheeoorryy ooff iinntteeggrraattiioonn iinn mmeeaa
ssuurreedd ssppaacceess ((wwiitthh rreessppeecctt ttoo aa ggiivveenn ppoossiittiivvee mmeeaassuurree)) aalltteerrnnaatteess wwiitthh
cchhaapptteerrss ggiivviinngg ssppeecciiffiicc rreessuullttss ooff iinntteeggrraattiioonn oonn eeuucclliiddeeaann ssppaacceess oorr tthhee
rreeaall lliinnee.. NNeeiitthheerr iiss sslliigghhtteedd aatt tthhee eexxppeennssee ooff tthhee ootthheerr.. IInn tthhiiss tthhiirrdd
eeddiittiioonn,, II hhaavvee aaddddeedd ssoommee mmaatteerriiaall oonn ffuunnccttiioonnss ooff bboouunnddeedd vvaarriiaattiioonn,,
aanndd II hhaavvee eemmpphhaassiizzeedd ccoonnvvoolluuttiioonnss aanndd tthhee aapppprrooxxiimmaattiioonn bbyy DDiirraacc
sseeqquueenncceess oorr ffaammiilliieess eevveenn mmoorree tthhaann iinn tthhee pprreevviioouuss eeddiittiioonnss,, ffoorr iinn
ssttaannccee,, iinn CChhaapptteerr VVIIIIII,, §§22..
FFoorr wwaanntt ooff aa bbeetttteerr ppllaaccee,, tthhee ccaallccuulluuss ((wwiitthh vvaalluueess iinn aa BBaannaacchh
ssppaaccee)) nnooww ooccccuurrss aass aa sseeppaarraattee ppaarrtt aafftteerr ddeeaalliinngg wwiitthh iinntteeggrraattiioonn,, aanndd
bbeeffoorree tthhee ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss..
TThhee ddiiffffeerreennttiiaall ccaallccuulluuss iiss ddoonnee bbeeccaauussee aatt bbeesstt,, mmoosstt ppeeooppllee wwiillll oonnllyy
bbee aaccqquuaaiinntteedd wwiitthh iitt oonnllyy iinn eeuucclliiddeeaann ssppaaccee,, aanndd iinnccoommpplleetteellyy aatt tthhaatt..
MMoorree iimmppoorrttaannttllyy,, tthhee ccaallccuulluuss iinn BBaannaacchh ssppaacceess hhaass aaccqquuiirreedd ccoonnssiiddeerr
aabbllee iimmppoorrttaannccee iinn tthhee llaasstt ttwwoo ddeeccaaddeess,, bbeeccaauussee ooff mmaannyy aapppplliiccaattiioonnss
lliikkee MMoorrssee tthheeoorryy,, tthhee ccaallccuulluuss ooff vvaarriiaattiioonnss,, aanndd tthhee NNaasshh--MMoosseerr iimm
pplliicciitt mmaappppiinngg tthheeoorreemm,, wwhhiicchh lliieess eevveenn ffuurrtthheerr iinn tthhiiss ddiirreeccttiioonn ssiinnccee oonnee
hhaass ttoo ddeeaall wwiitthh mmoorree ggeenneerraall ssppaacceess tthhaann BBaannaacchh ssppaacceess.. TThheessee rreessuullttss
ppeerrttaaiinn ttoo tthhee ggeeoommeettrryy ooff ffuunnccttiioonn ssppaacceess.. CCff.. tthhee eexxeerrcciisseess ooff CChhaapptteerr
XXIIVV ffoorr ssiimmpplleerr aapppplliiccaattiioonnss..
TThhee nneexxtt ppaarrtt ddeeaallss wwiitthh ffuunnccttiioonnaall aannaallyyssiiss.. TThhee ppuurrppoossee hheerree iiss
ttwwooffoolldd.. WWee ppllaaccee tthhee lliinneeaarr aallggeebbrraa iinn aann iinnffiinniittee ddiimmeennssiioonnaall sseettttiinngg
wwhheerree ccoonnttiinnuuiittyy aassssuummppttiioonnss aarree mmaaddee oonn tthhee lliinneeaarr mmaappss,, aanndd wwee sshhooww
hhooww oonnee ccaann ""lliinneeaarriizzee"" aa pprroobblleemm bbyy ttaakkiinngg ddeerriivvaattiivveess,, aaggaaiinn iinn aa
sseettttiinngg wwhheerree tthhee tthheeoorryy ccaann bbee aapppplliieedd ttoo ffuunnccttiioonn ssppaacceess.. TThhiiss ppaarrtt
iinncclluuddeess sseevveerraall mmaajjoorr ssppeeccttrraall tthheeoorreemmss ooff aannaallyyssiiss,, sshhoowwiinngg hhooww wwee ccaann
eexxtteenndd ttoo tthhee iinnffiinniittee ddiimmeennssiioonnaall ccaassee cceerrttaaiinn rreessuullttss ooff ffiinniittee ddiimmeenn
ssiioonnaall lliinneeaarr aallggeebbrraa.. TThhee ccoommppaacctt aanndd FFrreeddhhoollmm ooppeerraattoorrss hhaavvee aappppllii
ccaattiioonnss ttoo iinntteeggrraall ooppeerraattoorrss aanndd ppaarrttiiaall ddiiffffeerreennttiiaall eelllliippttiicc ooppeerraattoorrss ((ee..gg..
iinn ppaappeerrss ooff AAttiiyyaahh--SSiinnggeerr aanndd AAttiiyyaahh--BBootttt))..
CChhaapptteerrss XXIIXX aanndd XXXXIIXX,, oonn uunnbboouunnddeedd hheerrmmiittiiaann ooppeerraattoorrss,, ccoommbbiinnee
FFOORREEWWOORRDD vviiii
bbootthh tthhee lliinneeaarr aallggeebbrraa aanndd iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy iinn tthhee ssttuuddyy ooff ssuucchh
ooppeerraattoorrss.. OOnnee mmaayy vviieeww tthhee ttrreeaattmmeenntt ooff ssppeeccttrraall mmeeaassuurreess aass pprroovviiddiinngg
aann eexxaammppllee ooff ggeenneerraall iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy oonn llooccaallllyy ccoommppaacctt ssppaacceess,,
wwhheerreebbyy aa mmeeaassuurree iiss oobbttaaiinneedd ffrroomm aa ffuunnccttiioonnaall oonn tthhee ssppaaccee ooff ccoonnttiinn
uuoouuss ffuunnccttiioonnss wwiitthh ccoommppaacctt ssuuppppoorrtt..
II ffiinndd iitt aapppprroopprriiaattee ttoo iinnttrroodduuccee ssttuuddeennttss ttoo ddiiffffeerreennttiiaabbllee mmaanniiffoollddss
dduurriinngg tthhiiss ffiirrsstt yyeeaarr ggrraadduuaattee aannaallyyssiiss ccoouurrssee,, nnoott oonnllyy bbeeccaauussee tthheessee
oobbjjeeccttss aarree ooff iinntteerreesstt ttoo ddiiffffeerreennttiiaall ggeeoommeetteerrss oorr ddiiffffeerreennttiiaall ttooppoollooggiissttss,,
bbuutt bbeeccaauussee gglloobbaall aannaallyyssiiss oonn mmaanniiffoollddss hhaass ccoommee iinnttoo iittss oowwnn,, bbootthh iinn
iittss iinntteeggrraall aanndd ddiiffffeerreennttiiaall aassppeeccttss.. IItt iiss tthheerreeffoorree ddeessiirraabbllee ttoo iinntteeggrraattee
mmaanniiffoollddss iinn aannaallyyssiiss ccoouurrsseess,, aanndd II hhaavvee ddoonnee tthhiiss iinn tthhee llaasstt ppaarrtt,, wwhhiicchh
mmaayy aallssoo bbee vviieewweedd aass pprroovviiddiinngg aa ggoooodd aapppplliiccaattiioonn ooff iinntteeggrraattiioonn tthheeoorryy..
AA nnuummbbeerr ooff eexxaammpplleess aarree ggiivveenn iinn tthhee tteexxtt bbuutt mmaannyy iinntteerreessttiinngg
eexxaammpplleess aarree aallssoo ggiivveenn iinn tthhee eexxeerrcciisseess ((ffoorr iinnssttaannccee,, eexxpplliicciitt ffoorrmmuullaass ffoorr
aapppprrooxxiimmaattiioonnss wwhhoossee eexxiisstteennccee oonnee kknnoowwss aabbssttrraaccttllyy bbyy tthhee WWeeiieerrssttrraassss
SSttoonnee tthheeoorreemm;; iinntteeggrraall ooppeerraattoorrss ooff vvaarriioouuss kkiinnddss;; eettcc)).. TThhee eexxeerrcciisseess
sshhoouulldd bbee vviieewweedd aass aann iinntteeggrraall ppaarrtt ooff tthhee bbooookk.. NNoottee tthhaatt CChhaapptteerrss
XXIIXX aanndd XXXX,, ggiivviinngg tthhee ssppeeccttrraall mmeeaassuurree,, ccaann bbee vviieewweedd aass pprroovviiddiinngg
aann eexxaammppllee ffoorr mmaannyy nnoottiioonnss wwhhiicchh hhaavvee bbeeeenn ddiissccuusssseedd pprreevviioouussllyy::
ooppeerraattoorrss iinn HHiillbbeerrtt ssppaaccee,, mmeeaassuurreess,, aanndd ccoonnvvoolluuttiioonnss.. AAtt tthhee ssaammee
ttiimmee,, tthheessee rreessuullttss lleeaadd ddiirreeccttllyy iinnttoo tthhee rreeaall aannaallyyssiiss ooff tthhee wwoorrkkiinngg
mmaatthheemmaattiicciiaann..
AAss uussuuaall,, II hhaavvee aavvooiiddeedd aass ffaarr aass ppoossssiibbllee bbuuiillddiinngg lloonngg cchhaaiinnss ooff
llooggiiccaall iinntteerrddeeppeennddeennccee,, aanndd hhaavvee mmaaddee cchhaapptteerrss aass llooggiiccaallllyy iinnddeeppeennddeenntt
aass ppoossssiibbllee,, ssoo tthhaatt ccoouurrsseess wwhhiicchh rruunn rraappiiddllyy tthhrroouugghh cceerrttaaiinn cchhaapptteerrss,,
oommiittttiinngg ssoommee mmaatteerriiaall,, ccaann ccoovveerr llaatteerr cchhaapptteerrss wwiitthhoouutt bbeeiinngg llooggiiccaallllyy
iinnccoonnvveenniieenncceedd..
TThhee pprreesseenntt bbooookk ccaann bbee uusseedd ffoorr aa ttwwoo--sseemmeesstteerr ccoouurrssee,, oommiittttiinngg
ssoommee mmaatteerriiaall.. II hhooppee II hhaavvee ggiivveenn aa ssuuiittaabbllee oovveerrvviieeww ooff tthhee bbaassiicc ttoooollss
ooff aannaallyyssiiss.. TThheerree mmiigghhtt bbee ssoommee rreeaassoonn ttoo iinncclluuddee ootthheerr ttooppiiccss,, ssuucchh aass
tthhee bbaassiicc tthheeoorreemmss ccoonncceerrnniinngg eelllliippttiicc ooppeerraattoorrss.. II hhaavvee oommiitttteedd tthhiiss
ttooppiicc aanndd ssoommee ootthheerrss,, ppaarrttllyy bbeeccaauussee tthhee aappppeennddiicceess ttoo mmyy SSLL ((RR}}
22
ccoonnssttiittuutteess aa ssuubb--bbooookk wwhhiicchh ccoonnttaaiinnss tthheessee ttooppiiccss,, aanndd ppaarrttllyy bbeeccaauussee
tthheerree iiss nnoo ttiimmee ttoo ccoovveerr tthheemm iinn tthhee bbaassiicc oonnee yyeeaarr ccoouurrssee aaddddrreesssseedd ttoo
ggrraadduuaattee ssttuuddeennttss..
TThhee pprreesseenntt bbooookk ccaann aallssoo bbee uusseedd aass aa rreeffeerreennccee ffoorr bbaassiicc aannaallyyssiiss,,
ssiinnccee iitt ooffffeerrss tthhee rreeaaddeerr tthhee ooppppoorrttuunniittyy ttoo sseelleecctt vvaarriioouuss ttooppiiccss wwiitthhoouutt
rreeaaddiinngg tthhee eennttiirree bbooookk.. TThhee ssuubbjjeecctt mmaatttteerr iiss oorrggaanniizzeedd ssoo tthhaatt iitt mmaakkeess
tthhee ttooppiiccss aavvaaiillaabb11ee ttoo aass wwiiddee aann aauuddiieennccee aass ppoossssiibbllee..
TThheerree aarree mmaannyy vveerryy ggoooodd bbooookkss iinn iinntteerrmmeeddiiaattee aannaallyyssiiss,, aanndd iinntteerr
eessttiinngg rreesseeaarrcchh ppaappeerrss,, wwhhiicchh ccaann bbee rreeaadd iimmmmeeddiiaatteellyy aafftteerr tthhee pprreesseenntt
ccoouurrssee.. AA ppaarrttiiaall lliisstt iiss ggiivveenn iinn tthhee BBiibblliiooggrraapphhyy.. IInn ffaacctt,, tthhee ddeetteerrmmiinnaa
ttiioonn ooff tthhee mmaatteerriiaall iinncclluuddeedd iinn tthhiiss RReeaall aanndd FFuunnccttiioonnaall AAnnaallyyssiiss hhaass
bbeeeenn ggrreeaattllyy mmoottiivvaatteedd bbyy tthhee eexxiisstteennccee ooff tthheessee ppaappeerrss aanndd bbooookkss,, aanndd
bbyy tthhee nneeeedd ttoo pprroovviiddee tthhee nneecceessssaarryy bbaacckkggrroouunndd ffoorr tthheemm..
vviiiiii FFOORREEWWOORRDD
FFiinnaallllyy,, II tthhaannkk aallll tthhoossee ppeeooppllee wwhhoo hhaavvee mmaaddee vvaalluuaabbllee ccoommmmeennttss
aanndd ccoorrrreeccttiioonnss,, eessppeecciiaallllyy KKeeiitthh CCoonnrraadd,, MMaarrttiinn MMoohhlleennkkaammpp,, TTaakkeessii
YYaammaannaakkaa,, aanndd SStteepphheenn CChhiiaappppaarrii,, wwhhoo rreevviieewweedd tthhee bbooookk ffoorr SSpprriinnggeerr
VVeerrllaagg..
NNeeww HHaavveenn 11999933//11999966 SSEERRGGEE LLAANNGG
CCoonntteennttss
PPAARRTT OONNEE
GGeenneerraall TTooppoollooggyy
CCHHAAPPTTEERR II
SSeettss .......... ................................................................................................................ 33
§§11.. SSoommee BBaassiicc TTeerrmmiinnoollooggyy ................................................................................ 33
§§22.. DDeennuummeerraabbllee SSeettss ............................................................................................ 77
§§33.. ZZoorrnn''ss LLeemmmmaa ...................................................................................... ............ 1100
CCHHAAPPTTEERR IIII
TTooppoollooggiiccaall SSppaacceess 1177
§§ 11.. OOppeenn aanndd CClloosseedd SSeettss .................................................................................... 1177
§§22.. CCoonnnneecctteedd SSeettss ................................................................................................ 2277
§§33.. CCoommppaacctt SSppaacceess .............................................................................................. 3311
§§44.. SSeeppaarraattiioonn bbyy CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss .......................................................... 4400
§§55.. EExxeerrcciisseess .... .................................... .... ................................................................ 4433
CCHHAAPPTTEERR IIIIII
CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss oonn CCoommppaacctt SSeettss 5511
§§11.. TThhee SSttoonnee--WWeeiieerrssttrraassss TThheeoorreemm .................................................................. 5511
§§22.. IIddeeaallss ooff CCoonnttiinnuuoouuss FFuunnccttiioonnss .................................................................... 5555
§§33.. AAssccoollii''ss TThheeoorreemm ............................................................................................ 5577
§§44.. EExxeerrcciisseess ............................................................................................ ................ 5599
