Rapport de stage : Algèbres de Hopf et doubles de groupes finis [expository notes]

19 Pages·2007·0.39 MB·French

by  Sébastien Cartier

Rapport de stage : Algèbres de
Hopf et doubles de groupes finis
Sébastien Cartier
Table des matières
1 Algèbres de Hopf 2
1.1 Définitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés . . . . . . . 4
1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Représentations d’algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Algèbres de Hopf et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires 11
2.1 Algèbres de Hopf presque cocommutatives . . . . . . . . . . . 11
2.2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Double quantique 16
3.1 Construction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Cas d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Représentations irréductibles de D(G) 18
1
Ce stage a été effectué au Laboratoire de Physique Théorique de l’Uni-
versité Montpellier II, sous le tutorat de M. Eric Buffenoir.
SonbutétaitdecomprendrediversesnotionsliéesauxalgèbresdeHopfet
à leurs représentations pour être en mesure de construire les représentations
irréductibles du double de Drinfeld d’un groupe fini.
1 Algèbres de Hopf
1.1 Définitions préalables
Dans toute la suite et sauf indication contraire, K désigne un anneau
unitaire commutatif. On commence par définir les différentes structures qui
permettent d’aboutir à la notion d’algèbre de Hopf.
Définition 1.1.1. Une K-algèbre est un K-module A muni d’homomor-
phismes de K-modules, une multiplication µA : A⊗A → A et une unité
ıA : K → A, tels que les diagrammes suivants commutent :
µ⊗id
A⊗A⊗A (cid:45) A⊗A
id⊗µ µ
(cid:63) (cid:63)
µ
A⊗A (cid:45) A
A⊗K id⊗(cid:45)ı A⊗A K ⊗A ı⊗id(cid:45) A⊗A
∼= µ ∼= µ
(cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:63)
A id (cid:45) A A id (cid:45) A
Le premier diagramme traduit l’associativité de la multiplication, les
deux suivants expriment les propriétés de l’unité.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une algèbre soit commu-
tative est la commutativité du diagramme suivant :
A⊗A σ(cid:45) A⊗A
µ µ
(cid:63) (cid:63)
A id (cid:45) A
où σ : A⊗A → A⊗A est l’application K-linéaire, dite flip des facteurs,
telle que σ(a ⊗a ) = a ⊗a pour tous a ,a ∈ A.
1 2 2 1 1 2
Plus généralement, si l’on pose µ = µ◦σ, alors le triplet (A,ı,µ ) est
op op
également une K-algèbre, dite opposée de A et notée A .
op
2
Si A et B sont des K-algèbres, leur produit tensoriel sur K, noté A⊗B,
est également une K-algèbre avec :
µA⊗B = (µA⊗µB)◦σ
23
ıA⊗B = (ıA⊗ıB)◦ϕ
K
où σ est σ appliquée aux deuxième et troisième facteurs et où ϕ est
23 K
l’isomorphisme canonique de K sur K ⊗K.
Enfin, si A et B sont des algèbres, un homomorphisme d’algèbres entre A
etBestunhomomorphismedeK-modulesϕ : A → Btelquelesdiagrammes
suivants commutent :
A⊗A ϕ⊗ϕ(cid:45) B⊗B K ıA(cid:45) A
µA µB ıB ϕ
(cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:63)
A ϕ (cid:45) B B id(cid:45) B
La définition diagrammatique d’une algèbre permet d’aboutir à une no-
tion duale, celle de cogèbre, en "reversant le sens des flèches".
Définition 1.1.2. Une K-cogèbre est un K-module A muni d’homomor-
phismes de K-modules, une comultiplication ∆A : A → A⊗A ainsi qu’une
coünité εA : A → K, tels que les diagrammes suivants soient commutatifs :
A ∆ (cid:45) A⊗A
∆ id⊗∆
(cid:63) (cid:63)
A⊗A ∆⊗i(cid:45)d A⊗A⊗A
A id (cid:45) A A id (cid:45) A
∆ ∼= ∆ ∼=
(cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:63)
A⊗A id⊗(cid:45)ε A⊗K A⊗A ε⊗i(cid:45)d K ⊗A
La commutativité du premier diagramme exprime lacoassociativité de la
comultiplication.
Il existe également une propriété duale de la commutativité des algèbres.
UnecogèbreAestditecocommutative sietseulementsilediagrammesuivant
commute :
A id (cid:45) A
∆ ∆
(cid:63) (cid:63)
A⊗A σ(cid:45) A⊗A
3
ce qui se traduit par le fait que ∆(A) est contenu dans la partie symétrique
de A⊗A.
De manière plus générale, si l’on pose ∆op = σ◦∆, alors (A,∆op,ε) est
une cogèbre, dite opposée de A et notée Aop. Il est intéressant de remarquer
que K lui-même est une K-cogèbre avec ∆K = ϕ et εK = id .
K K
Si A et B sont des cogèbres, leur produit tensoriel sur K A⊗B possède
une structure naturelle de cogèbre avec :
∆A⊗B = σ ◦(∆A⊗∆B)
23
εA⊗B = ϕ−1◦(εA⊗εB).
K
Enfin,siAetBsontdescogèbres,unhomomorphismedecogèbres entreA
et B est un homomorphisme de K-modules ϕ : A → B vérifiant les relations
suivantes :
(ϕ⊗ϕ)◦∆A = ∆B ◦ϕ
εA = εB ◦ϕ.
Lasuperposition desstructuresd’algèbreetdecogèbreconduitàlanotion
suivante.
Définition 1.1.3. Une K-bigèbre est un K-module A tel que :
1. A est muni à la fois d’une structure d’algèbre et de cogèbre;
2. la multiplication µ et l’unité ı sont des homomorphismes de cogèbres;
3. la comultiplication ∆ et la coünité ε sont quant à eux des homomor-
phismes d’algèbres.
Les conditions 2 et 3 sont équivalentes. On peut également noter que la
donnée d’une bigèbre A fournit en fait trois autres bigèbres, à savoir A ,
op
Aop et Aop.
op
On en arrive maintenant à la définition d’une algèbre de Hopf.
1.2 Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés
Définition 1.2.1. Une algèbre de Hopf sur K est une K-bigèbre A munie
d’un isomorphisme de K-modules SA : A → A, dit antipode, tel que les
diagrammes suivant soient commutatifs :
A ı◦ε (cid:45) A A ı◦ε (cid:45) A
(cid:54) (cid:54)
∆ µ ∆ µ
(cid:63) (cid:63)
A⊗A S⊗i(cid:45)d A⊗A A⊗A id⊗(cid:45)S A⊗A
4
De même que pour les bigèbres, la donnée d’une algèbre de Hopf A
permet de définir trois autres algèbres de Hopf, notées également A , Aop
op
et Aop, avec pour antipodes respectifs (SA)−1, (SA)−1 et SA.
op
Un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un homomorphisme d’al-
gèbres et de cogèbres à la fois.
Un idéal de Hopf d’une algèbre de Hopf A est un idéal bilatère I de
l’algèbre A tel que :
∆(I) ⊆ I ⊗A+A⊗I, ε(I) = 0 et S(I) ⊆ I.
De fait, le quotient A/I hérite de A une structure naturelle d’algèbre de
Hopf. Le noyau d’un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un idéal de
Hopf.
Enfin, si A et B sont des algèbres de Hopf, leur produit tensoriel A⊗B
estégalementunealgèbredeHopfpourlesstructuresd’algèbreetdecogèbre
définies précédemment et avec :
SA⊗B = SA⊗SB.
Remarques 1.2.2.
1. Si une bigèbre possède un endomorphisme vérifiant les caractéristiques
d’un antipode, alors cet endomorphisme est unique. Autrement dit, il
n’existe auplusqu’uneseule structure faisant d’une bigèbre une algèbre
de Hopf.
2. Un homomorphisme d’algèbres de Hopf ϕ : A → B vérifie automati-
quement la relation : ϕ◦SA = SB ◦ϕ.
3. L’antipode S est un anti-automorphisme, autrement dit S : A → Aop
op
est un isomorphisme d’algèbres de Hopf. De fait, S2 est un isomor-
phisme d’algèbres de Hopf, et l’on peut montrer que dans le cas d’une
algèbre de Hopf commutative ou cocommutative, S est involutif.
4. Une définition équivalente de l’antipode fait intervenir la convolution.
Pour f,g ∈ End (A), on définit le produit de convolution par :
K
f ∗g = µ◦(f ⊗g)◦∆.
La commutativité des diagrammes définissant S montre que S est l’in-
verse de l’identité de A pour la convolution. La première de ces re-
marques est une conséquence de cette observation.
Il existe plusieurs variantes de la définition d’une algèbre de Hopf. L’une
d’elle s’applique lorsque A et A⊗A (ainsi que K) sont munis de topologies
pour lesquelles les applications faisant de A un K-module sont continues.
On substitue alors le produit tensoriel usuel A ⊗ A par une complétion
convenable, et l’on requiert des applicaitons de la structure d’algèbre de
Hopf qu’elles soient continues.
5
1.3 Exemples fondamentaux
On donne ici deux exemples fondamentaux qui possèdent naturellement
une structure d’algèbre de Hopf et qui seront utiles pour la suite.
On considère un groupe fini (G,.) non forcément commutatif dont l’élé-
ment neutre est noté e.
Exemple 1.3.1. Le cas le plus simple est celui de l’algèbre de groupe K[G]
deGsurK.C’estleK-modulelibredontunebaseestforméeparleséléments
deGetdontlastructurealgébriques’obtientparextensionlinéaireduproduit
sur G. On définit une structure d’algèbre de Hopf sur K[G] par extension
linéaire des formules suivantes :
ı(1) = e, ε(g) = 1, ∆(g) = g⊗g et S(g) = g−1
pour tout g ∈ G et où 1 est l’élément neutre de K. Il est à noter que K[G]
est toujours cocommutative, mais n’est commutative que lorsque G est com-
mutatif.
Exemple 1.3.2. Le second exemple est celui de l’ensemble F(G) des appli-
cations de G à valeurs dans K. Les structures de K-module et le produit sur
F(G) sont définis classiquement. Pour l’unité, on pose :
ı(α) = (ϕ : g ∈ G (cid:55)→ α ∈ K) ∈ F(G)
α
pour tout α ∈ K. La coünité et l’antipode sont respectivement tels que
ε(f) = f(e) et S(f)(g) = f(g−1)
pour tous f ∈ F(G) et g ∈ G. Pour définir la comultiplication, il suffit
∼
de remarquer qu’en tant que K-algèbres F(G × G) = F(G) ⊗ F(G) par
l’isomorphisme de F(G)⊗F(G) sur F(G×G) :
(f ⊗f ) (cid:55)→ ((g ,g ) ∈ G×G (cid:55)→ f (g )f (g )).
1 2 1 2 1 1 2 2
On pose alors ∆(f)(g ,g ) = f(g g ) pour tous f ∈ F(G) et g ,g ∈ G.
1 2 1 2 1 2
Notons également que F(G) est toujours commutative, mais n’est cocommu-
tative que lorsque G est commutatif.
1.4 Représentations d’algèbres de Hopf
Si A est une K-algèbre, un K-module V est un A-module à gauche,
s’il existe un homomorphisme de K-modules λ : A⊗V → V tel que les
V
diagrammes suivants commutent :
A⊗A⊗V µ⊗id(cid:45)V A⊗V K ⊗V ı⊗id(cid:45)V A⊗V
idA⊗λ λ ∼= λ
A⊗(cid:63)V λ (cid:45) V(cid:63) V(cid:63) idV (cid:45) V(cid:63)
6
Demanièreéquivalente,a (cid:55)→ λ(a⊗·)doitêtreunhomomorphismed’algèbres
deAdansEnd (V).Poursimplifierl’écriture,onnotesouventa.v àlaplace
K
deλ(a⊗v)lorsqu’iln’yapasd’ambiguïté.LesA-modulesàdroite sontdéfinis
de manière similaire.
On a une notion duale pour les cogèbres. Si A est une K-cogèbre, un
K-module V est un A-comodule à droite s’il existe un homomorphisme de
K-modules ρ : V → V ⊗A faisant commuter les diagrammes suivants :
V
ρ
V (cid:45) V ⊗A V idV (cid:45) V
ρ ρ⊗idA ρ ∼=
(cid:63) (cid:63)
V ⊗(cid:63)A idV⊗(cid:45)∆ V ⊗A(cid:63)⊗A V ⊗A idV⊗(cid:45)ε V ⊗K
On peut, de la même façon, définir les A-comodules à gauche.
Si V est lui-même une algèbre ou une cogèbre, il est naturel de demander
que les structures de module ou de comodule respectent la structure supplé-
mentaire de V. Soit A une bigèbre. Une algèbre V est un A-module algèbre
à gauche si c’est un A-module tel que :
(cid:88)
a.(vw) = (a .v)(ai.w), a.1 = εA(a)1
i
i
(cid:80)
pour tous a ∈ A et v,w ∈ V, et avec ∆A(a) = a ⊗ai. De même, une
i i
cogèbre V est un A-module cogèbre à gauche si c’est un A-module à gauche
vérifiant :
(cid:88)
∆V(a.v) = (a .v )⊗(ai.vj), εV(a.v) = εA(a)εV(v)
i j
i,j
(cid:80)
pour tous a ∈ A et v ∈ V, et où ∆V(v) = v ⊗vj. On peut également
j j
définir les notions de A-comodule algèbre à droite et A-comodule cogèbre à
droite.
Définition 1.4.1. Une représentation d’une algèbre de Hopf A est un A-
module à gauche de l’algèbre A. Les notions de sous-représentation et de
représentation irréductible ont leur sens usuel.
Une coreprésentation de A est un A-comodule à droite de la cogèbre A.
Dans la suite, on utilisera indifféremment les termes (co)représentation
et (co)module.
Si V et W sont des représentations d’une algèbre de Hopf A, un homo-
morphisme de représentations de A entre V et W est un homomorphisme
de K-modules ϕ : V → W tel que le diagramme suivant commute :
A⊗V idA⊗(cid:45)ϕ A⊗W
λV λW
(cid:63) (cid:63)
ϕ
V (cid:45) W
7
On caractérise de manière équivalente les homomorphismes de coreprésenta-
tions de A.
D’autre part, on peut remarquer qu’il suffit de considérer des A-module
à gauche, puisque si ρ : V ⊗ A → V est un A-module à droite, alors en
posant λ = ρ◦(id ⊗S) on obtient A-module à gauche. Il en est de même
V
pour les comodules.
Exemple 1.4.2. La représentation triviale d’une algèbre de Hopf A sur un
module V est donnée par :
λ(a⊗v) = ε(a)v
por tous a ∈ A et v ∈ V. Plus généralement, un élément v ∈ V est dit inva-
riant sous l’action de A lorsque l’égalité précédente a lieu pour tout élément
a de A.
Exemple 1.4.3. On peut définir la représentation adjointe, notée ad, d’une
algèbre de Hopf A sur elle-même par :
(cid:88)
ad(a⊗a(cid:48)) = a a(cid:48)S(ai)
i
i
(cid:80)
pour tous a,a(cid:48) ∈ A et où ∆(a) = a ai. Cette représentation fait de A
i i
un A-module algèbre à gauche. Dans le cas d’une algèbre de groupe, elle
s’identifie à l’action du groupe sur lui-même par conjugaison.
Exemple 1.4.4. La représentation régulière d’une algèbre de Hopf A sur
elle-même est sa multiplication µ. Cela fait de A un A-module cogèbre à
gauche.
De même, la coreprésentation régulière de A sur elle-même est sa comulti-
plication ∆. Sous cette action, A devient un A-comodule algèbre à droite.
Bien que la définition d’une représentation d’une lagèbre de Hopf A ne
fait appel qu’à sa structure algébrique, les autres applications structurelles
jouent un rôle important. En effet, on a déjà vu que la coünité permet de
définr la représentation triviale.
De façon plus probante, la comultiplication permet de caractériser le
produit tensoriel de représentations de A. Soient V et W des représentations
de A. Alors, V ⊗W est naturellement une représentation de A⊗A via :
(a ⊗a ).(v⊗w) = (a .v)⊗(a .w)
1 2 1 2
pourtousa ,a ∈ A,v ∈ V etw ∈ W.OnmunitalorsV⊗W d’unestructure
1 2
de représentation de A en posant :
a.(v⊗w) = ∆(a).(v⊗w)
avec a ∈ A, v ∈ V et w ∈ W.
8
Enfin, l’antipode S permet de faire du dual V∗ = Hom (V) d’une repré-
K
sentation V de A une représentation de A avec :
(cid:104)a.ξ,v(cid:105) = (cid:104)ξ,S(a).v(cid:105)
pour tous a ∈ A, v ∈ V, ξ ∈ V∗ et où (cid:104) , (cid:105) : V∗×V → K désigne la dualité
canonique entre V et V∗. On vérifie facilement que l’application canonique
V∗⊗V → K commuteavecl’actiondeA.Deplus,siK estuncorpsetsiV est
de dimension finie, on a le même résultat pour l’application canonique K →
(cid:80)
V ⊗V∗, qui envoie 1 ∈ K sur v ⊗vi, où (v ) est une base de V de base
i i i i
duale (vi) sur V∗. Cependant, il est faux que ces applications commutent
i
avec l’action de A en général. Notons finalement que, puisque S est un anti-
autimorphisme de cogèbre de A, si V et W sont des représentations de A,
l’isomorphisme de K-modules canonique (V ⊗ W)∗ ∼= V∗ ⊗ W∗ commute
également avec A.
Si V et W sont des représentations de A, on peut faire de Hom (V,W)
K
une représentation de A en posant :
(cid:88)
a.f(v) = a .f(S(ai).v)
i
i
(cid:80)
où a ∈ A, f ∈ Hom (V,W), v ∈ V et avec ∆(a) = a ai. On peut
K i i
montrer que, si K est un corps, l’isomorphisme d’espaces vectoriels cano-
nique Hom (V,W) ∼= W ⊗V∗ est en fait un isomorphisme de représenta-
K
tions de A (mais ce n’est pas le cas de l’isomorphisme d’espaces vectoriels
Hom (V,W) ∼= V∗⊗W !).
K
1.5 Algèbres de Hopf et dualité
Pour simplifier, on suppose dans cette section que K est un corps.
SoitAunecogèbresurK.SonespacevectorieldualA∗ estnaturellement
muni d’une structure d’algèbre. En effet, la comultiplication ∆ de A induit
une application ∆∗ : (A⊗A)∗ → A∗ et la multiplication de A∗ est obtenue
par restriction de ∆∗ au sous-espace A∗⊗A∗ de (A⊗A)∗. L’unité de A∗ est
la duale de la coünité de A. Que ces applications définissent une structure
d’algèbresurA∗ résultedelacommutativitédesdiagrammesdeladéfinition
1.1.2 obtenus à partir de ceux de la définition 1.1.1 en "renversant le sens
des flèches".
De plus, si ρ : V → V ⊗A est un A-comodule à droite, on définit une
structure de A∗-module à gauche sur V par :
(cid:88)
λ(α⊗v) = (cid:104)α,ai(cid:105)v
i
i
(cid:80)
pour tous α ∈ A∗, v ∈ V et où ρ(v) = v ⊗ai.
i i
9
En dimension finie, on passe des algèbres aux cogèbres (et des modules
auxcomodules)delamêmemanière.Ainsi,onpeutvoirqueledualA∗ d’une
algèbre de Hopf A de dimension finie est, de façon naturelle, une algèbre de
Hopf (l’antipode du dual étant le dual de l’antipode). On a également un
isomorphisme d’algèbres de Hopf canonique (A∗)∗ ∼= A.
Exemple 1.5.1. On considère un groupe fini G et un corps K. L’application
(cid:104) , (cid:105) : F(G)×K[G] → K définie par :
(cid:88)
(cid:104)f,x(cid:105) = λ f(g )
i i
i
(cid:80)
pour tous f ∈ F(G) et x = ( λ g ) ∈ K[G], induit les isomorphismes
i i i
d’algèbres de Hopf suivants : F(G)∗ ∼= K[G] et F(G) ∼= K[G]∗.
Cependant, en dimension infini, on ne peut pas en général munir le dual
A∗ d’unealgèbredeHopfAd’unestructured’algèbredeHopfparlaméthode
précédente, puisque le dual de la multiplication ne prend a priori pas ses
valeurs dans le sous-espace A∗⊗A∗ de (A⊗A)∗.
En dépit de cette difficulté, on peut définir le dual d’une queconque al-
gèbre de Hopf, de dimension finie ou pas.
Définition 1.5.2. Soit A une algèbre de Hopf sur un corps K. On appelle
dual de Hopf de A l’ensemble A◦ défini par :
A◦ = {α ∈ A∗ | µ∗(α) ∈ A∗⊗A∗}.
C’est une algèbre de Hopf pour les applications naturelles.
En effet, puisque A∗⊗A∗ est une sous-algèbre de (A⊗A)∗, A◦ est une
sous-algèbre de A∗. Et on peut montrer que :
µ∗(A◦) ⊂ A◦, ∆∗(A◦⊗A◦) ⊂ A◦ et S∗(A◦) ⊂ A◦.
Cette construction a en fait une interprétation simple en théorie des re-
présentations.OnpeutmontrerqueA◦ estexactementl’espaceengendrépar
les matrices de toutes les représentations de A de dimensions finies. On en
déduit la généralisation suivante de la notion de dual de Hopf. Soit Σ un
ensemble de représentations de A de dimensions finies, contenant la repré-
sentation triviale, et stable par somme directe, produit tensoriel et passage
au dual (à gauche). Soit A◦ l’espace engendré par les matrices des éléments
Σ
de Σ. Alors A◦ est une sous-algèbre de Hopf de A◦, et toute sous-algèbre de
Σ
Hopf de A◦ et de cette forme.
Il peut être souvent agréable de contourner cette question délicate qu’est
la dualité en travaillant avec la notion plus faible de crochet non-dégénéré
entre des algèbres de Hopf A et B sur un anneau commutatif unitaire K.
10