Table Of ContentErhard Meisler
Randwerlaufgaben der FunkLionentheorie
Leitfäden der angewandten
Mathematik nnd Mechanik
Unter Mitwirkung von
Prof. Dr. E. Becker, Darmstadt Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. P. Kali, Zürich Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Prof. Dr. Dr. h. c. F. K. G. Odqvist, Stockholm
herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. H. Görtler, Freiburg
Band 59
B. G. Teubner Stuttgart
Randwertaufgaben
der Funktionentheorie
Mit Anwendungen auf singuläre Integralgleichungen
und Schwingungsprobleme der mathematisch en Physik
Von Dr. rer. nat. Erhard Meisler
Professor an der Technischen Hochschule DarmSladl
Mil 67 Figuren
B. G. Teubner Stuttgart 1983
Prof. Dr. rer. nat. Erhard Meister
Geboren 1930 in Bernburg/Saale. Studium der Mathematik, Physik und
Astronomie an den Universitäten Heidelberg und Saarbrüeken. 1956 Di
plom in Heidelberg, 1958 Promotion und 1%3 Habilitation in Saar
brüeken. Von 1958 bis 1964 Assistent und von 1964 bis 1966 Dozent in
Saarbrüeken. 1965/66 Lehrstuhlvertretung an der TU Berlin, 1%6 Gastdo
zent an der University of Strathclyde in Glasgow. 1966 bis 1970 o. Profes
sor an der TU Berlin, 1970 bis 1974 an der Universität Tübingen und ab
1974 an der TH Darmstadt.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Meister , Erhard:
Randwertaufgaben der Funktionentheorie : mit An
wendungen auf singuläre Integralgleichungen u.
Schwingungsprobleme d. math. Physik / von Erhard
Meister. - Stuttgart: Teubner, 1983.
(Leitfäden der angewandten Mathematik und
Mechanik; Bd. 59)
ISBN 978-3-322-99819-4 ISBN 978-3-322-99818-7 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-99818-7
NE:GT
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© B. G. Teubner, Stuttgart 1983
Softcover reprint of the hardcover Ist edition 1983
Gesamtherstellung: Passavia Druckerei GmbH, Passau
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Meinen Söhnen Frithjof und Olaf
zu ihrem Abitur gewidmet
Vorwort
Dieses Buch ist eine Einführung in die funktionentheoretischen Methoden,
mit denen sich Randwertprobleme der ebenen Potentialtheorie und allge
meinere Kopplungsprobleme für stückweise holomorphe Funktionen lösen
lassen. Die Theorie singulärer Integralgleichungen mit Cauchyschem Haupt
wert und anderer Klassen läBt sich wie in den klassischen Arbeiten und
Büchern von N.l. Mus h k hel i s h v i 1 i, F.D. Gak h 0 v,
N.P. V e k u a durch Rückführung auf das Riemannsché Kopplungsproblem
aufbauen. Aber auch nach Anwendung der Fourier- oder Laplace-Transfor
mat ion können Integralgleichungen vom Wiener-Hopf-Typ oder geroischte
Randwertprobleme für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung auf derarti
ge funktionentheoretische Kopplungsprobleme zurückgeführt werden.
Es ist das Ziel des Buches, im ersten Kapitel dem Leser die Grundtat
sachen der Funktionentheorie einer komplexen Variablen einschlieBlich
ihres geometrischen Aspekts der konformen Abbildungen so zu vermitteln,
daB die einfachsten Randwertaufgaben der Potentialtheorie explizit ge
löst werden können. Die Transformation der allgemeinen Poincareschen
Randwertaufgaben unter konformer Abbildung wird dann ebenfalls darge
legt.
Im zweiten und dritten Kapitel werden die Hilfsmittel über Integrale vom
Cauchy-Typus und deren Randverhalten bei Annäherung an die Integrations
kurve und deren Endpunkte untersucht. Das klassische lineare Riemannsche
Kopplungsproblem wird dann formuliert und sukzessiv, beginnend mit dem
inhomogenen Sprungwertproblem, gelöst. Das homogene Kopplungsproblem
führt formal durch Logarithmieren auf ein Sprungwertproblem. Aber es
stellt sich dabei das Problem, daB der Logarithmus des Kopplungskoeffi
zienten auf einer geschlossenen Jordankurve i.a. nicht eindeutig ist.
Die Änderung des Arguments bei einem vollen Umlauf definiert den sog.
"Windungainde:x:". der sich als fundamentaler Begriff der Theorie und
ihrer Anwendungen herausstellt und eine Aussage über die Lösungsraum
dimension bzw. die Zahl der zu erfüllenden Nebenbedingungen gestattet.
Die Ergebnisse sind klassisch und schon in den Büchern der genannten
sowjetischen Autoren enthalten, umfassen aber auch periodische und kom
binierte Probleme. Ein Schwerpunkt des vorliegenden Buches liegt jedoch
in den Anwendungen der Funktionentheorie auf die Behandlung ebener Strö
mungen reibungsfreier Fluide. Hier soll an dem komplizierteren problem
der Umströmung eines instationär bewegten Profils im freien Raum bzw.
im Gitterverband die Stärke der direkten funktionentheoretischen Metho
den demonstriert werden.
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Nach Anwendung der komplexen Fouriertransformation läBt sich der Wir
kungsbereich der funktionentheoretischen Methode erheblich erweitern.
Das klassische Beispiel hierzu ist das sog. "Sommerfeldsahe Halbebenen
problem" und die Integralgleichung, die von Wiener & Hopf 1931 zum
ersten Male studiert wurde. Entscheidend bei der sog. "Wiener-Hopf-Me
thode" ist dabei die multiplikative - "Faktorisierung" - und additive
Zerlegung von in Streifen holomorphen Funktionen. Viele Randwertaufgaben
der Mikrowellenphysik und der Wasserwellentheorie wurden in den Vierzi
ger- und Fünfziger Jahren u.a. von A.E. Heins und vielen anderen Autoren
erfolgreich damit behandelt.
Vom theoretischen abstrakten Standpunkt aus ist die Wiener-Hopf-Methode
der fundamentale Baustein für die moderne allgemeine Theorie gemischter
Randwertprobleme für Pseudo-Differential-Gleichungen. Insofern möge das
vorliegende Buch, das sich an Studierende in mittleren Semestern und
Praktiker wendet, die diese Methoden auch an konkreten Beispielen erler
nen wollen, wie sie im nun klassischen Buch 1958 von B. Nob 1 e be
handelt werden, neue Interessenten für die funktionentheoretischen Me
thoden gewinnen.
Das Manuskript besitzt eine lange - vielleicht zu lange - Vorgeschichte,
die mit einer Vorlesung über einen Teil des Gegenstands in englischer
Sprache an der University of Strathclyde im Sommersemester 1966 begann.
Herrn Professor O.c. Pack sei auch an dieser Stelle gedankt für die Gast
dozentur, die dem Autor damals in Glasgow gewährt wurde. In verschiedenen
Versionen hat der Verfasser dann an der Technischen Universität Berlin,
der Universität TÜbingen und an der Technischen Hochschule Darmstadt in
Vorlesungsreihen über den Gegenstand des Buches vorgetragen.
Viele Anregungen verdankt der Autor seinen Mitarbeitern und manchem Kol
legen. Besonders genannt seien die Herren Dr. F.-O. Speek und Dipl.-Math.
G. Thelen, die bei der Abfassung von Skripten mitwirkten und der Durch
sicht des Manuskripts viele Stunden bereitwillig opferten. Herr Speek
hat auch viele Zeichnungen angefertigt, sowie wesentliche Beiträge zur
Theorie des schwingenden Einzelflügels beigesteuert.
Das mehrfache Schreiben des Manuskripts war mühsam und schien kein Ende
zu nehmen. Hier gilt mein groBer Dank meinen Sekretärinnen Frau C. Karl
und D. Lohrer, die schlieBlich die vervielfältigungsreife Vorlage mit
der Maschine sehr sorgfältig schrieb. Fräulein cand.math. B. Becker
danke ich für das Korrekturlesen und das Anfertigen des Sach-, Figuren
und Symbolverzeichnisses im endgültigen Manuskript.
Darmstadt, im Juli 1983 Erhard Meister
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Inhalt
Kapitel 1: Holomorphe und harmonische Funktionen 9
1.1. Einleitung 9
1.2. Ergebnisse der elementaren Funktionentheorie 12
1.3. Einige mehrdeutige analytische Funktionen 31
1.4. Harmonische Funktionen in der Ebene 37
1.5. Konforme Abbildung 49
1.6. Konforme Abbildung und Randwertprobleme für 61
harmonische Funktionen
1.7. Folgen, Reihen und Familien holomorpher Funktionen 74
Kapitel 2: Randverhalten analytischer Funktionen 84
2.1. Integrale vom Cauchy-Typus 84
2.2. Randwerte von Integralen vom Cauchy-Typus 95
2.3. Einfache Anwendungen der Plemelj-Sochozki-Formeln 11 5
Kapitel 3: Riemannsche Kopplungsprobleme und Randwertprobleme 122
für holomorphe Funktionen
3.1. Das Riemannsche Kopplungsproblem für Systeme 122
geschlossener Kurven
3.1.1. Formulierung des allgemeinen problems 122
3.1.2. Das einfache Sprungwertproblem 123
3.1.3. Das homogene Kopplungsproblem • Index 124
3.1.4. Das inhomogene Kopplungsproblem 131
3.2. Das Riemannsche Kopplungsproblem für Bögen und 135
unstetige Koeffizienten
3.3. Periodische Riemannsche Kopplungsprobleme 145
3.4. Allgemeine Kopplungsprobleme für holomorphe 1 51
Funktionen
3.5. Das Riemann-Hilbertsche Randwertproblem 157
3.6. Das kombinierte Riemann-Hilbertsche Kopplungs 169
Randwertproblem
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Kapitel 4: Singuläre Integralgleichungen 173
4.1. Anwendungen auf singuläre Integralgleichungen vom 173
Cauchy-Hauptwert-Typ
4.2. Integralgleichungen vom Abel- und Logarithmustyp 186
4.3. Grundlagen der Fourier- und Laplace-Transformation 196
4.4. Anwendung auf Integralgleichungen vom Faltungstyp 202
Kapitel 5: Anwendungen auf probleme der Strömungsmechanik 212
5.1. Die Grundgleichungen der Hydromechanik 212
5.2. Einfache ebene Potentialströmungen 218
5.3. Ebene Strörnung eines inkompressiblen Gases urn ein 234
instationär bewegtes, dünnes Profil
5.4. Strömung eines inkompressiblen Gases durch ein Gitter 242
schwingender, dünner Profile
Kapitel 6: Einige Randwertprobleme aus der Schwingungstheorie 258
6.1. Das Sommerfeldsche Halbebenenproblem 258
6.2. Das sChwingende dünne Profil in einer kompressiblen 269
Unterschallströmung
6.3. Beugung ebener elektromagnetischer Wellen an Systemen 283
von dünnen, parallelen Platten
Literaturverzeichnis 300
Symbolverzeichnis 310
Verzeichnis der Definitionen 311
Verzeichnis der Lemmata, Sätze und Korollare 312
Figurenverzeichnis 314
Sachverzeichnis 316
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KAPITEL 1: HOLOHORPHE UND HARMONISCHE FUNKTIONEN
1.1. Einleitung
Viele probleme der mathematischen Physik und der Ingenieurwissenschaften
führen auf die sogen. Potentialgleichung 60 = 0 oder auf die allgemei
nere Helmholtzsche Schwingungsgleichung {6+k2)0 = O.
So genügt beispielsweise das elektrische. Potential, das Geschwindig
keitspotential einer wirbelfreien Strömung eines inkompressiblen, rei
bungsfreien Gases oder das zeitlich nicht veränderliche Temperaturfeld
in einem Körper der homogenen Potentialgleichung. Zeitlich stationäre
(eingeschwungene) Wellenvorgänge wie beispielsweise in der Akustik,
Elektrodynamik (Mikrowellenausbreitung) oder Elastodynamik resultieren
in sogen. Randwertproblemen zur skalaren oder vektoriellen Schwingungs
gleichung, die durch Abspaltung des Zeitfaktors e-iwt vom Wellenpo-
tential, d.h. ~(x,y,z,t) = ~{x,y,z)e-iwt, aus der d'Alembertschen Wel-
o2~
lengleichung --- = 0 entsteht.
ot2
In der Theorie elastischer Körper treten als Verallgemeinerungen der ge
nannten partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung auch Glei
chungen vierter Ordnung auf: beispielsweise die Bipotentialgleichung
o oder die Plattengleichung (62_k4)0 = O.
Der mathematisch einfachste Fall liegt offenbar dann vor, wenn möglichst
wenige unabhängige VariabIe vorhanden sind, d.h. z,.ei (x,y) bei der Po-
2 2
tentialqleichunq. Die Lösunqen von 6 0 = ~ + 2.~ o in einem zwei-
222
eX ily
dimensionalen Gebiet D nennt man ebene harmonische Funktionen oder Po
tential-Funktionen.
Sie können als Real- oder Imaginärteile von holomorphen, d.h. komplex
analytischen Funktionen F{z) = 0{x,y) + i·o/{x,y) der komplexen unab
hängigen Variablen z = x+iy in D dargestellt werden.
Viele Eigenschaften harmonischer Funktionen - und auch der Lösungen der
anderen genannten Differentialgleichungen (DGLn) - sind dimensionsunab
hängig, so da~ die funktionentheoretische 11ethode gewissermal3en exempla
risch ist. Es sollen in diesem Buch Rand- und übergangsprobleme für
(ebene) harmonische bzw. holomorphe Funktionen formuliert und effektiv
mit analytischen Methoden gelöst werden. Die einfachsten Randbedingungen
lassen sich in der Form
(1.1.1) a{x,y).0{x,y) + b{x,y).o/{x,y) Re [(a-ib)F{z)] c{x,y)
