Radiación de Hawking

14 Pages·2010·0.28 MB·Spanish

ENSEN˜ANZA REVISTAMEXICANADEF´ISICAE56(2)213–226 DICIEMBRE2010
Radiacio´n de Hawking
J.MaFerna´ndezCristo´bal
RIESJovellanos,Gijo´n,Asturias,Espan˜a,
e-mail:[email protected]
Recibidoel22dejuniode2010;aceptadoel3deseptiembrede2010
Con un enfoque fundamentalmente dida´ctico se pretende dar una amplia visio´n de la denominada radiacio´n de Hawking de los agujeros
negros,loqueimplicaunapequen˜aintroduccio´nalacuantizacio´nenespacioscurvos.Sesen˜alandosdelosprincipalesme´todosdeobtenerel
espectrodelaradiacio´n:eloriginal,debidoaHawking,yelconocidoporefectotu´nel.As´ımismo,sehaceextensio´ndelsegundomecanismo
para la obtencio´n de radiacio´n en otro tipo de horizontes: concretamente para el horizonte aparente asociado a la me´trica de Friedmann-
Robertson-Walker.Sesen˜alaalgunaobjecio´nsurgidarecientementealaderivacio´nporesteme´todoy,finalmente,sehaceunabrevediscusio´n
sobreelme´tododeGibbons-Hawking
Descriptores:Cuantizacio´nenespacioscurvos;radiacio´ndeHawking;efectotu´nel;horizonteaparente.
Theaimofthisarticleistoprovideageneralanalysisoftheso-calledHawkingradiationinblackholesfromadidacticperspective,including
abriefintroductiontoquantizationincurvedspacetime.Twomainmethodsforobtainingtheradiationspectrumareexplained:theoriginal
oneduetoHawkingandthetunnelingmethod.Also,itisshownhowthesecondmechanismcanbeextendedtoobtaintheradiationspectrum
inadifferentkindofhorizon,thatassociatedtotheFriedmann-Robertson-Walkermetric.Finally,somerecentobjectionstothederivationby
thetunnelingmethodarementioned.
Keywords:Quantizationoncurvedspacetime;Hawkingradiation;tunnelingmethod;apparenthorizon.
PACS:01.30.Bb;04.70.Dy;04.62+v
1. Introduccio´n de´bildeenerg´ıaT vµvν ≥0paratodovµdetipotiempoo
µν
nuloyasumiendocomociertalaconjeturadecensuraco´smi-
EnlaRef.1Bekensteinexpresaladesazo´nqueleproduc´ıala cai,entoncesela´readelhorizontedesucesosdeunespacio-
violacio´n del segundo principio de la termodina´mica que se tiempoasinto´ticamenteplanoesunafuncio´nnodecreciente
verificabaenunexperimentomentalqueelgranf´ısicoWhee- deltiempo.
ler, entonces su director de tesis, le expuso en 1971. Dicho Consecuentemente Bekenstein propuso que la entrop´ıa
experimento,grossomodo,puedeestablecersedelasiguien- del agujero negro, SBH, deber´ıa ser una funcio´n real, posi-
teforma: tiva y mono´tonamente creciente del a´rea del horizonte, A.
Laeleccio´nma´ssencillacompatibleconestascondicioneses
Mezclemos una taza de te caliente con una de agua fr´ıa
sencillamente:
creando as´ı entrop´ıa. Arrojemos la mezcla a un agujero ne-
gro y habremos hecho desaparecer, junto con la mezcla, la
S =C.A, (1)
BH
entrop´ıacreadapuestoquenohayformadeverificarelcam-
bio producido a partir de los tres para´metros (masa, M, car- siendoC(>0)unaconstante.Deestemodoquedabaresuelto
ga,Q,ymomentoangular,J)que,poreldenominadoTeore- el problema propuesto por Wheeler sin tener que asumir la
madeUnicidad (tambie´nconocidocomoeldeAusenciade violacio´n del segundo principio de la termodina´mica puesto
cabello) [2,3] de Carter-Robinson, sabemos que definen to- que alcaer lataza conla mezclade te yagua aumentar´ıa el
do agujero negro. La respuesta a su inquietud fue dada por a´rea del agujero negro y consecuentemente, por (1), su en-
Bekensteinasignandoentrop´ıapropiaalosagujerosnegros. trop´ıa de forma que el sistema total que forman la taza con
Penso´ quelaentrop´ıadeunagujeronegrodeb´ıaser,enprin- su contenido y el agujero negro tendr´ıa (siendo un proceso
cipio,unafuncio´ndelosobservablesM,QyJconlaspropie- irreversible) un aumento de entrop´ıa. Pero hab´ıa algo ma´s:
dadesadecuadasentrelasquedeber´ıafigurar,naturalmente, hallando la variacio´n de la energ´ıa (= masa en unidades na-
que fuese una funcio´n no decreciente como sucede para la turales, G = 1, (cid:126) = 1, c = 1, kB = 1 que utilizaremos en
entrop´ıadecualquiersistemaf´ısicoaislado.En1970,Chris- esteart´ıculo,salvoindicacio´nencontra)deunagujeronegro
todoulou,FloydyPenrosehab´ıanproporcionadofuertesindi- ycompara´ndolaconlavariacio´ndeenerg´ıadeunsistemater-
cacionesdeque,almenoscla´sicamente,ela´readelhorizonte modina´micollego´ alaconclusio´ndequelosagujerosnegros
deunagujeronegro(lasuperficiequedelinealospuntosde deber´ıantenertemperatura.Enefecto,ensutesisdoctoral[6]
noretorno,traspasadalacualnadapuedesalir)nopod´ıade- utilizandola,posteriormentedenominada,fo´rmuladeSmarr:
crecer,perofuefinalmenteHawking[4]elqueestablecio´ de κ
δM = δA+Ω δJ +Φ δQ, (2)
forma rigurosa el denominado Teorema del a´rea que puede 8π H H
establecerseenlossiguienteste´rminos: donde κ es la denominada gravedad superficial del agujero
Si el tensor energ´ıa-impulso T satisface la condicio´n negro,Φ supotencialele´ctricosuperficialyΩ suveloci-
µν H H
214 J.MAFERNA´NDEZCRISTO´BAL
dad angular y compara´ndola con la variacio´n de energ´ıa de entonceslaradiacio´ndeunagujeronegroseconocecomora-
un sistema termodina´mico dotado de una energ´ıa E, con un diacio´ndeHawkingyhasidoobtenidadediversasmanerasy
potencialΦyrotandoaunavelocidadangularΩ, pordistintosme´todos,algunosdeloscualeshansidoexten-
didos a otras me´tricas distintas de la de los agujeros negros
δE =TδS+ΩδJ +ΦδQ, (3) comoeluniversodeFriedman-Robertson-Walker(FRW).En
esteart´ıculosepretendeabordardesdeunpuntodevistafun-
sellegaalaobviaconclusio´ndequelosagujerosnegrostie- damentalmentedida´ctico,ycontodoelrigordelqueelautor
nenunatemperatura: sea capaz, los dos ma´s aceptados me´todos de obtencio´n de
laradiacio´ndeHawking,subrayandolascaracter´ısticasma´s
κ
TBH =C−18π. (4) esencialesdecadaunodeellos.Tambie´nsehara´ mencio´nde
co´mo se aplico´ alguno de los me´todospara derivar la radia-
Esta conclusio´n (y en general lo que posteriormente se co- cio´nenhorizontescosmolo´gicos.Finalizaelart´ıculohacien-
nocio´ como Termodina´mica de los Agujeros Negros) no fue doreferenciaaunostrabajosrecientesquecuestionanlade-
aceptada por, si no la mayor´ıa, s´ı los ma´s reputados f´ısicos rivacio´nconocidacomodeefectotu´nelyhaciendounesbozo
relativistas puesto que el hecho de que un agujero negro tu- delme´todoGibbons-Hawking.
viese su propia temperatura y se comportase como un siste-
matermodina´micoimplicabanecesariamentequedeber´ıara-
2. Cuantizacio´nenespacioscurvos
diarparaalcanzarelequilibriotermodina´micoysesab´ıaque,
sibienunagujeronegroengull´ıacualquiercosa,nadapod´ıa ElpuntodepartidadeHawkingparaderivarlaradiacio´nde
escapar del mismo. A lo sumo, lo que estos f´ısicos estaban losagujerosnegrosessemicla´sico.Sabemosquelosagujeros
dispuestos a aceptar era la mera analog´ıa matema´tica de la negrossonunadelassolucionesdelasecuacionesdeEins-
entrop´ıa y la temperatura de un sistema termodina´mico con tein(sinconstantecosmolo´gica):
ela´reaylagravedadsuperficial,respectivamente,deunagu-
1
jeronegro.Comosen˜alaBekensteinenlaRef.1,escurioso R − g R=8πGT . (5)
µν 2 µν µν
queelart´ıculo“TheFourLawsofBlackHoleMechanics”[7]
Hue´rfanos de una teor´ıa cua´ntica de la gravedad (esta situa-
escritoporBardeen,CarteryHawkingcontraestainterpreta-
cio´nau´npersiste),Hawkingincorporo´ elaspectocua´nticoal
cio´ntermodina´mica,seacitadofrecuentementecomounade
miembrodeladerechadelaecuacio´nsuponiendoqueelten-
laspiedrasangularesdelatermodina´micadelosagujerosne-
sor energ´ıa-impulso T es el valor esperado de vac´ıo de
gros.Conrespectoaestepuntoquiza´sseaconvenientecitar µν
algu´n operador Tˆ para los campos de radiacio´n-materia.
eltextoqueapareceenlaintroduccio´ndelcitadoart´ıculo[7]: µν
Loscamposϕ(escalaresporsimplicidad)verificanlaecua-
“OfparticularinterestaretheareaAoftheeventhorizon
cio´ndeKlein-Gordon:
andthe“surfacegravity”κ,whichappeartogheter.Theseha-
vestronganalogiestoentropyandtemperaturerespectively. (gµν∇ ∇ −m2)ϕ=0 (6)
µ ν
PursuingthisanalogyweareledinSec.4toformulatefour
quesederivadelaaccio´n
laws of black hole mechanics which are similar to, but dis-
(cid:90)
tinctfrom,thefourlawsofthermodynamics.” 1 √
S =− d4x −g(gµν (cid:53) ϕ(cid:53) ϕ+m2ϕ2),
Y,porsiquedasealgunaduda,ma´sadelantesedice: 2 µ ν
“Itshouldhowewerbeemphasizedthat(κ/8π)andAare
dondeg (x)eslame´tricadelespacio-tiempo,g =det(g )
µν µν
distinctfromthetemperatureandentropyoftheblackhole.”
y∇ esladerivadacovariantecon
µ
Entre los que se opusieron de forma ma´s decidida a
1 √
las conclusiones de Bekenstein estaba, como ya se su- gµν∇ ∇ ϕ= √ ∂ ( −ggµν∂ )ϕ. (7)
µ ν −g µ ν
girio´, Hawking. En septiembre de 1973, Hawking visita
Moscu´ y all´ı coincide con Yakov B. Zel´dovich y su estu- Se trata, pues, de trabajar con campos cua´nticos en un
dianteA.Starobinskyquienesesta´nconvencidosdeque,sise espacio-tiempo curvo. Y a la hora de cuantizar los mismos
tienen en cuenta aspectos cua´nticos, los agujeros negros en porelprocedimientoesta´ndaresdondesurgeelprimerpro-
rotacio´ndebenradiarhastaquesedetienesumovimientode blema:
rotacio´n.Dadalareputacio´ndeZel´dovichpareceserquelos Enunespacio-tiempoplanoconuname´tricadeMinkows-
argumentos de e´ste convencieron a Hawking, si bien no le ki:η = diag(−1,1,1,1)loscamposcua´nticostienenuna
µν
gusto´ demasiadoeltratamientomatema´ticoqueZel´dovichy descomposicio´n, en funcio´n de los operadores de aniquila-
Starobinskyhac´ıandeltema[5,8].AsuvueltaaCambridge, cio´nydecreacio´n(a,a†),delaforma
Hawkingsepropusoseguirsupropiocaminomatema´ticoy,
ϕ(x)≈Σ [f (x)a +f∗(x)a†]¯ (8)
¡¡sorpresa!!, en un trabajo seminal [9] llego´ a la conclusio´n k k k k k
dequelosagujerosnegrosefectivamenteradianaundespue´s siendolosdenominadosmodosdefrecuenciapositiva,f (x),
k
dehabersedesprendidodesumomentoangularylohacena ynegativa,f∗(x),solucionesdelaEc.(6).Paraunespacio-
k
unritmoestacionarioyconunespectrote´rmico;esdecir,co- tiempocurvoconuname´tricadependientedeltiempoenge-
molohar´ıauncuerpocalienteaunatemperaturadada.Desde neral,g (x),seseguir´ıaverificandolaEc.(6)peronoser´ıa
µν
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RADIACIO´NDEHAWKING 215
posibleunau´nicadescomposicio´ndelaforma(8)porcuanto enprimerlugardefinimoselmomentocano´nicoenuntiem-
lasfrecuenciaspositivasynegativasnotienenunsignificado pofijox0asociadoalcampoϕ(x)como
invariante.Dadoquelaspart´ıculassondefinidascomoosci-
∂L
lacionesdefrecuenciapositivadeloscamposconrespectoal π(x0,(cid:126)x)=
∂(∂ ϕ(x0,(cid:126)x))
tiempo propio del observador, quiere esto decir que dos ob- 0
√ √
servadores distintos medira´n un nu´mero distinto de part´ıcu- = −ggµ0∂ ϕ(x0,(cid:126)x)= hnµ∂ ϕ(x0,(cid:126)x),
µ µ
las. Tendr´ıamos, por tanto, diferentes construcciones del es-
pacio de Fock basadas en diferentes nociones de frecuencia siendo L la densidad lagrangiana, nµ = gµν∂ , un vector
ν
positivaquenosonunitariamenteequivalentes,puestoqueen unidadnormalalasuperficiex0=Cteyheldeterminantede
elcasodeme´tricacurvanotenemoslainvarianciabajotrans- lame´tricaespacialinducida.Acontinuacio´nexigimosquese
formacionesdePoincare´que,juntoalacovarianzageneralde verifiquen las relaciones de conmutacio´n cano´nicas a igual
lateor´ıabajolasmismas,queseverificaenelespacio-tiempo tiempoiv:
deMinkowski,implicanquetodoslosobservadoresinercia-
[ϕˆ(x0,(cid:126)x),πˆ(x0,x(cid:126)(cid:48))]=iδ((cid:126)x−x(cid:126)(cid:48)). (9)
leseste´ndeacuerdoenelnu´merodepart´ıculascontenidasen
uncampocua´nticoqueseencuentraenunestadodadoy,en
Tambie´n podemos exigir que las soluciones complejas de
particular, estara´n de acuerdo en lo que es el vac´ıo de Fock
la Ec. (6) {f (x)} formen una base ortonormalizada con la
i
entendido como el estado en el que el nu´mero de part´ıcu-
norma dada por el denominado producto interno de Klein-
las es cero. Y esto es as´ı debido a que las transformaciones
Gordondefinidopor
de Poincare´ dejan invariante el tiempo propio y por tanto el
(cid:90)
vac´ıo. Siempre que se produzca la ruptura de tal invarian- (cid:104)f (x)|f (x)(cid:105)= dS µ
i j µ
za,comosucedeaunenespaciosnocurvoscomo,porejem-
plo, en el denominado efecto Schwinger, donde un te´rmino ς
(cid:90)
deacoploauncampodependientedeltiempoeselcausante √ ↔
=i d3(cid:126)x −gnµf∗ (cid:53) f (x), (10)
detalrupturaporviolarselainvarianzabajotraslacionesdel i µ j
espacio-tiempo [10], tendremos una situacio´n en la que dos ς
observadoresdiferentesmedira´ndistintonu´merodepart´ıcu- siendo ζ una determinada (en la que t toma un valor dado)
lascontenidasencualquierestadoyenparticularenelvac´ıo superficie de Cauchyv y siendo la corriente, µ, localmente
que, por otra parte, en este caso no tiene porque´ ser auto- conservada(∂ µ =0),suintegral
µ
estadodelhamiltonianoii.Alnohaberenelespacio-tiempo (cid:90)
√
curvoengeneralunpara´metrosimilaraltiempopropio(inva- d(cid:126)x hnµ
µ
riante)tenemosotrasdificultadesan˜adidascomolasiguiente:
ζ
cualquier coordenada de tipo tiempo definida, quiza´s, so´lo
localmente es tan va´lida como cualquier otra para definir o (h es el determinante de la me´trica inducida sobre ζ)
medirlasexcitaciones(part´ıculas)delcampoodecidirsiuna sera´ constante.Severificara´nentonceslassiguientesrelacio-
ciertamagnitudseconservalocalmenteonoperotendremos nes:
seriasdificultadesalahoradedecidirsiesamagnitudsecon-
(cid:104)f |f (cid:105)=−(cid:104)f∗ |f∗(cid:105)=δ , (cid:104)f∗ |f (cid:105)=0 (11)
servaglobalmenteonoporque,abusandodellenguaje,pode- i j i j ij i j
mos decir que en los espacios-tiempo curvos no hay, en ge-
Elcampopuedeentoncesexpresarsecomo
neral, un para´metro que sea una funcio´n global del tiempo.
Enestascondiciones,magnitudescomo,porejemplo,elvec- ϕ(x)(cid:39)Σ [f (x)a +f∗(x)a†], (12)
i i i i i
torenerg´ıa-momento,Pµ,pierdentodosusignificadof´ısico.
Sinembargohayexcepcionesaestecomportamientoencier- siendo los operadores de creacio´n y aniquilacio´n definidos
ta clase de variadades espacio-temporales. Estas son las lla- por
madas variedades globalmente hiperbo´licas [16] que se ca- a =(cid:104)f (x)|ϕ(cid:105), a† =−(cid:104)f∗(x)|ϕ(cid:105) (13)
racterizan, a efectos de lo que nos interesa aqu´ı, por poseer i i i i
una familia de superficies de Cauchy ζtiii que nos permite Es evidente por otra parte que las relaciones (11) junto a la
considerarlavariedadcomoelproducto exigencia de que se verifique (9) conducen a las siguientes
relacionesdeconmutacio´nparalosoparadoresdecreacio´ny
M =R×ζ
t
aniquilacio´n:
y,adema´s,predecirloquesucedera´enM apartirdedatosen
[a ,a ]=[a†,a†]=0 [a ,a†]=iδ . (14)
ζt. Podemos, en consecuencia, formular una teor´ıa cua´ntica i j i j k j jk
conbuencomportamientosobretodalavariedadglobalmente
Elvac´ıoesdefinidocomoelestado|0(cid:105)talque
hiperbo´lica,M,sipodemosseguirelprocesousualdecuanti-
zacio´ncano´nicasobreζt.Supongamosqueesteesrealmente ai |0(cid:105)=0 ∀ i, (15)
nuestrocaso.
(cid:104)0|0(cid:105)=1, (16)
Para cuantizar el campo por el procedimiento cano´nico,
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yapartirdee´lpodemosdefinirelespaciodeFock conservan la geometr´ıa del espacio-tiempo y generadas por
eldenominadovectordeKilling,k,definidoporlacondicio´n
{|0(cid:105),a†i |0(cid:105),a†ia†i |0(cid:105),a†ia†j |0(cid:105).....} de que la derivada de Lie (a lo largo de dicho vector) de la
me´trica es nula: L g = 0vi podemos elegir la base, (una
k µν
queconstituira´ elespaciodeHilbertdelsistema.
base), por ejemplo la denominada {u (x)}, de acuerdo con
i
Enunespacio-tiempogeneralnohayunaeleccio´nprefe-
elcriteriodequelosmodosquelaformantenganfrecuencia
ridadelasbases{f (x)}.Cualquierotrabase{u (x)}puede
i i (energ´ıa)positivaconrepectoaltiempodefinidoporelvector
ponersecomocombinacio´nlinealdelaanteriordelaforma
deKillingtemporal,kµ.Esdecir,queseanautofuncionesdel
operadordeKillingtemporal:
u (x)=Σ {A f (x)+B f∗(x)}, (17)
i j ij j ij j
kµ∂ u =−iω u con ω ≥0 (25)
µ i i i i
dondelosAyBsonlosdenominadoscoeficientesdeBogo-
liubov y, debido a las condiciones de ortonormalidad y a la Dada la conmutatividad de k = kµ∂µ con (cid:53)2 y dado que
invertibilidaddeambasbases,estosdebenverificarlasrela- {ui(x)}essolucio´ndelaecuacio´ndeKlein-Gordon,kui(x)
ciones[15,16] tambie´n lo sera´. En este caso el estado de vac´ıo, | vac(cid:105) (de-
finido por b | vac(cid:105) = 0 ∀ j), s´ı es autoestado del ha-
j
AA†−BB† =1, (18) miltonianoyadema´seselestadodema´sbajaenerg´ıa(verla
notaii).
ABT −BAT =0, (19)
A†A−BTB∗ =1, (20) 3. Radiacio´ndeHawking
A†B−BTA∗ =0. (21) Despue´sdeestepreludiomatema´ticoestamosencondiciones
dederivarlaradiacio´ndeHawking.Evidentementehaymu-
Portanto,elcampoϕ(x)puedeexpresarseenlanuevabase
chostextos,adema´sdeloriginal[9],lo´gicamente,quepueden
como
consultarseparaestudiarlamisma.Remitoallectoralasci-
ϕ(x)≈Σ {u (x)b +u∗(x)b†}, (22) tas Refs. 15 a la 18. Otras derivaciones,a partir de matrices
i i i i i densidad,puedenencontrarseenlasRefs.19y20.
y donde los nuevos operadores de aniquilacio´n y creacio´n El efecto Hawking consiste en la emisio´n de part´ıculas
esta´nrelacionadosconlosanterioresmedianteladenomina- por un agujero negro formado por colapso gravitacional. El
datransformacio´ndeBogoliubov(ennotacio´nmatricial): proceso que da lugar a la misma puede considerarse que se
producedelasiguienteforma:
b=A∗a−Ba†. (23) En la inmediatez externa del horizonte de sucesos del
agujeronegro,debidoalasfluctuacionescua´nticasdelvac´ıo,
Dadas estas relaciones, los nuevos opreadores de aniquila- se crean pares de part´ıculas virtuales (part´ıcula-antipart´ıcu-
cio´nycreacio´nverific(cid:161)anlasmismasrelacionesdeconm(cid:162)uta- la). La antipart´ıcula con energ´ıa negativa, que se encuentra
cio´nquelosantiguos [bi,bj]=[a†i,a†j]=0 [bi,b†j]=iδij . en una regio´n cla´sicamente prohibida, puede, sin embargo,
Sin embargo obviamente su vac´ıo ya no es el de aque- por efecto tu´nel, atravesar la barrera de potencial del hori-
llos.Esdecir,bk |0(cid:105)=(cid:54) 0.Endefinitivaloquesucedeesque, zontedesucesosycaeralinteriordelagujeronegroconuna
dado que los operadores de creacio´n y aniquilacio´n depen- probabilidadquedependedelagravedadsuperficialκdefini-
den, por definicio´n, de la base elegida, como puede verse a daporκ2 =−(1/2)(cid:53)µkν(cid:53) k | .E´staesconstanteyes
µ ν hor
partir de la Ec. (13), tenemos distintos vac´ıos y, adema´s en lamagnitudquemidecua´nra´pidamenteelvectordeKilling,
este caso, no podemos hacer uso de las trasformaciones de kµ(elgeneradordelastraslacionestemporales),sevuelvede
Poincare´ (bajolacualelvac´ıoesinvariante)comosucedeen ge´neroespacio.
unespacio-tiempodeMinkowki.Elobservadorcuyotiempo En el interior del agujero negro, el vector de Killing es
propioeselasociadoalanuevabase{ui}contara´ para| 0(cid:105) de ge´nero espacio y la part´ıcula virtual se convierte en una
un nu´mero de part´ıculas para cada modo k que viene dado part´ıcula real con un cuadrimomento de ge´nero tiempo. La
por(haciendousode(23)) otra componente del par no puede aniquilarse con su com-
pan˜erayescapaalinfinitoconstituyendoas´ıelflujoderadia-
(cid:104)N (cid:105)=(B†B) (24)
k kk cio´nobservadoenelinfinito.
Podemosconsiderarelespacio-tiempoasociadoalproce-
yelnu´merototaldepart´ıculasesta´ dadopor
so como la unio´n de tres subespacios de la siguiente forma
(cid:104)0|Σkb†kbk |0(cid:105)=Tr(B†B). E = Ein ∪ Ebh ∪ Eout (ver Fig. 1), donde Ein y Eout son
espacios-tiempo estacionarios (de hecho podemos conside-
Lapreguntaqueprocedeinmediatamentees:¿que´criterio rarlos espacios de Minkowski en el infinito asinto´tico) aso-
seguir para elegir la base ma´s adecuada a nuestros propo´si- ciados al exterior del agujero negro con vac´ıos respectivos
tos? En un espacio-tiempo estacionario, que se define por | 0 (cid:105) y | 0 (cid:105) y E es un espacio-tiempo no estacionario
in out bh
poseer una familia continua de traslaciones temporales que correspondiente alinterior delagujero negro.Cabr´ıapensar
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siendo
dΩ2 =dθ2+sen2θdφ2 y
∂2 =∂ (senθ∂ )+∂2.
Ω θ θ φ
Sinembargoenlaproximidaddelhorizontedesucesos,r ,
H
(definido por la condicio´n f(r ) = 0) podemos despreciar
H
algunoste´rminosyobtenerunaecuacio´ndeondasbidimen-
sionalquegeneraondasplanasenelplano(t,r∗)siendor∗
ladenominadacoordenadaradialdeReege-Wheelerdefinida
pordr∗ = dr/f(r).Enefecto,laEc.(27)puedeexpresarse
enlaforma
−∂2ϕ+∂2 ϕ
t r∗
(cid:34) (cid:35)
2 ∂2
+f(r) ∂ ϕ+ Ω ϕ−m2ϕ =0, (28)
r r∗ r2senθ
yesclaroentoncesque,teniendoencuentaquef(r ) = 0,
H
podemosdespreciarlos3u´ltimoste´rminosenlaproximidad
delhorizontedesucesos(r →r )yquedarnosconlaecua-
H
cio´n
∂2ϕ
−∂2ϕ+∂2 ϕ=0 obien =0, (29)
t r∗ ∂u∂v
cuyasolucio´ngenerales
FIGURA1.
ϕ=Ξ(u)+Υ(v), (30)
que,puestoqueenelinfinitoasinto´ticotemporalantesydes-
dondeu = t−r∗yv = t+r∗sonlasllamadascoordena-
pue´sdelaformacio´ndelagujeronegro(t→±∞)elespacio-
dasradialesnulassalienteyentrante,respectivamente,ycon
tiempoesestacionario,elfeno´menodecreacio´ndepart´ıculas
respectoalascualeslame´trica(26)pasaaserdelaforma
fueseunfeno´menotransitorioqueduraloquetardalaestrella
enconvertirseenagujeronegroyqueadema´selmismofuese
ds2 =−f(r)dudv+r2dΩ2.
un proceso dependiente de los detalles del colapso. Sin em-
bargo,debidoalapresenciadelhorizontedesucesosyloque Esclaroqueparageode´sicasradialesnulas(ds2=0,dΩ2=0)
estoimplicaenrelacio´naladilatacio´ntemporal,elfeno´me- lascoordenadasradialesnulas(u,v)sonconstantes.
no es de hecho permanente (al menos hasta que el agujero Siescogemosqueϕseaautofuncio´ndelvectordeKilling
negroseevapora)yadema´sesindependientedelosdetalles ∂ (esevidentequeparaestetipodeme´tricas(∂g /∂t)=0)
t µν
delcolapso. con frecuencia ω positiva, como se comento´ anteriormente,
Supongamos que el agujero negro es de tipo Schwarzs- (Ec.(25)),podemostomar
childyqueportantolame´tricaenelexteriordelmismoesla
correspondienteaunespacio-tiempoesta´tico,esfe´ricamente ϕ(t,r∗)=e−iωtR(r∗), (31)
sime´tricoyasinto´ticamenteplanodelaforma
yevidentementede(29)sededuce
ds2 =−f(r)dt2+ dr2 +r2dΩ2. (26) −ω2R(r∗)= d2R(r∗)
f(r) dr∗2
cuyasolucio´nes
Consideremos por simplicidad un campo escalar ϕ en esta
me´trica.E´steverificara´ laecuacio´ndeKlein-Gordon(6):
R(r∗)=e±iωr∗, (32)
(cid:34)
1 1 con lo que obviamente las soluciones ma´s generales de la
− ∂2+ ∂ (r2f(r)∂ )
f(r) t r2 r r Ec.(29)son
(cid:35)
ϕ (u)=e−iωu,
1 ω
+ ∂2 −m2 ϕ=0, (27)
r2senθ Ω ϕ (v)=e−iωv. (33)
ω
Rev.Mex.F´ıs.E56(2)(2010)213–226
218 J.MAFERNA´NDEZCRISTO´BAL
Es claro que las Ec. (29) pueden expresarse, respectiva-
(cid:90)
mente,delaforma dω
ϕ= √ [a e−iωv+a†eiωv] (35)
ω ω
2π
∂ ϕ (v)=0,
u ω o
(cid:90)
∂vϕω(u)=0, (34) ϕ= √dω(cid:48) [b e−iω(cid:48)u+b† eiω(cid:48)u]. (36)
2π ω(cid:48) ω(cid:48)
las cuales expresan condiciones de chiralidad (holomorf´ıa),
El mecanismo de la radiacio´n podemos visualizarlo de
porloquesuelendenotarselassolucionesconlossuper´ındi- la siguiente forma: en el pasado infinito nulo (cid:61)−(r → ∞,
cesLyRparalassolucionesϕ (v)yϕ (u),respectivamen-
ω ω t → −∞, v finito), antes de que la estrella comience a co-
te[21](Fig2).Lasolucio´nma´sgeneraldelaecuacio´nparael
camposera´ delaforma(8)o(22)conf =. ϕ (v) = e−iωv lapsar,escogemosunvac´ıo|0in(cid:105)(quepuedesereldeMin-
. i ω kowski,puesestamostrabajandoconme´tricasasinto´ticamen-
yu =ϕ (u)=e−iωu.Esdecir,
i ω teplanas).Fijamoslacondicio´ndecontornodequelosmo-
dos que se propagan a partir de (cid:61)− sean de la forma e−iωv
(ma´sbienpaquetesdeondaqueseancombinacio´nlinealde
los mismos). E´stos se propagan y se dirigen hacia la estre-
lla colapsante que supondremos ya ha devenido en agujero
negro.Una parte delpaquete deondas sera´ difundida porel
campo gravitatorio del agujero negro y finalizara´ en (cid:61)− sin
experimentarningu´ncambiodefrecuencia.Laparterestante
se propagara´ paralelamente al horizonte de sucesos pasado
(H−)(elcontornodelfuturocausaldeI−)definidoporv
H
(= 0 por comodidad ) y sera´ absorbida por el horizonte del
agujero negro. La radiacio´n de Hawking provendra´ de estos
FIGURA2. modosquepenetranenlaestrellacolapsante(agujeronegro),
peronodetodosellos.Algunosmodossera´nadsorbidospor
lasingularidadyotros(losquesereflejanenr=0enuntiem-
pofinitodeSchwarzschildv <0adquiriendounadependen-
ciadeu,Φ (u))sera´ndifundidosyalcanzara´n(cid:61)+(r → ∞,
ω
t→∞,ufinito)(verFig.3).Esestapartelaqueproducelos
efectosdema´sintere´s.Supondremosquelosmodosdeonda
salienteΦ (u)cumplenlacondicio´ndecontorno
ω
Φ (cid:61)→+ e−iωu
ω
ParacalcularloscoeficientesdeBogoliubovdefinidosporla
Ec. (17) se necesita por tanto, digamos, emparejar los mo-
dosΦ (u)(peronotodos:so´lolosquefinalmentealcanzan
ω
(cid:61)+)conlose−iωv yso´loenlaproximidaddelhorizontede
sucesos.Puestoquesobre(cid:61)− lasondasdefaseconstantese
acumulara´nra´pidamente,pro´ximasalhorizontedesucesosy
para un observadorsobre la estrella colapsante, deber´ıan te-
ner un gran desplazamiento al azu´l debido a que el tiempo
queduraelprocesodecolapsogravitatorioesmuchomayor
queeldeSchwarzshild,porloqueesta´ plenamentejustifica-
dalaaproximacio´ndelao´pticageome´trica(pequen˜aslongi-
tudesdeonda).Contodosestosingredientesloscoeficientes
deBogoliubovqueenunanuevanotacio´nson
.
A =ϕ˜ (ω(cid:48))
ωω(cid:48) ω
y
FIGURA3.Trayectoriacla´sicaodefaseestacionariadeunparpro- B =. ϕˆ (ω(cid:48)),
ducidoenlavecindaddelhorizontedesucesosdeunagujeronegro ωω(cid:48) ω
esfe´ricamentesime´tricoproducidoporcolapsogravitatoriodeuna siendo
estrella(diagramadeCarter-Penrose).So´loelmiembroquealcan- (cid:90)
dω(cid:48)
zaI+ seconvierteenpart´ıculareal(l´ıneaonduladadiscontinua). Φ (v)= √ [ϕ˜ (ω(cid:48))e−iω(cid:48)v+ϕˆ (ω(cid:48))eiω(cid:48)v], (37)
ω ω ω
Elcompan˜ero(l´ıneaquebrada)caeenlasingularidad. 2π
Rev.Mex.F´ıs.E56(2)(2010)213–226
RADIACIO´NDEHAWKING 219
puedencalcularsetomandolastrasformadasdeFourierenlas
anterioresexpresiones:
B =A , (42)
ωω(cid:48) ω(−ω(cid:48))
(cid:90)∞
ϕ˜ (ω(cid:48))= √dv eiω(cid:48)vΦ (v), Bωω(cid:48) =−e−πκωAωω(cid:48). (43)
ω ω
2π
La primera propiedad es evidente a partir de las defini-
−∞
ciones.Parademostrarlasegundapodemosintegrarsobreel
(cid:90)∞
dv plano complejo v a lo largo del contorno de la Fig. 4. Para
ϕˆ (ω(cid:48))= √ e−iω(cid:48)vΦ (v). (38)
ω 2π ω ω(cid:48) >0severifica:
−∞ (cid:90)∞
Obtenerlaexpresio´ndeΦω(v)pro´ximaa(cid:61)− quesecorres- Bωω(cid:48) = dveiω(cid:48)v+iκωlog(v)
pondeconΦω(u)conlascondicionesdecontornoimpuestas 0
sobreestau´ltimaesunprocesoalgotediosoquenoaborda-
(cid:90)0
remos[9,11,15,-18]. =− (idx)e−ω(cid:48)x+iκωlog(ix) x−→→iv
Elresultadoes
(cid:189) ∞
Φ (v)= eiκωlog(−v) si v <0, (39) (cid:90)0
ω 0 si v >0. =− −dve−iω(cid:48)v+iκωlog(−v)
As´ıpuesloscoeficientesdeBogoliubovson ∞
(cid:90)∞
(cid:90)∞ (cid:90)0
Aωω(cid:48)(cid:39) dvΦω(v)eiω(cid:48)v= dveiω(cid:48)v+iκωlog(−v) =− dve−iω(cid:48)v+iκωlog(veiπ) =−e−πκωAωω(cid:48)
0
−∞ −∞
Estamos ya en condiciones de calcular, de acuerdo con
(cid:90)∞
la Ec. (24), el espectro de part´ıculas que observar´ıa un ob-
v→=−v dve−iω(cid:48)v+iκωlog(v) (40) servadorenelinfinitoasinto´ticoplano.E´stepuedecalcularse
0 a partir de las relaciones (18)-(21) y de la propiedad (43).
y As´ı haciendo uso de la propiedad (18) (consideramos, por
simplicidad,espectrodiscreto):
(cid:90)∞ (cid:90)∞ (cid:88)
Bωω(cid:48) (cid:39) dvΦω(v)e−iω(cid:48)v = dveiω(cid:48)v+iκωlog(v). (41) Aww(cid:48)(cid:48)A∗ω(cid:48)ω(cid:48)(cid:48) −Bww(cid:48)(cid:48)Bω∗(cid:48)ω(cid:48)(cid:48)
ω(cid:48)(cid:48)
−∞ 0 (cid:88)
Estoscoeficientesverificanlassiguientespropiedades: =δωω(cid:48) ⇒(eπκ(ω+ω(cid:48))−1) Bωω(cid:48)(cid:48)Bω†(cid:48)(cid:48)ω(cid:48) =δωω(cid:48)
ω(cid:48)(cid:48)
Portanto:
1
(cid:104)N (cid:105)=(BB†) =(B†B) = . (44)
ω ωω ωω e2πκω −1
Esta expresio´n nos da el nu´mero de part´ıculas creadas en el
mododefrecuenciaω queveelobservadorenelinfinitole-
jano,supuestoquetodaslaspart´ıculasentrantessoncapaces
de atravesar el horizonte de sucesos y salir de nuevo (pero
yavimosqueestonoesas´ı)yhasidoobtenidaparacampos
escalares (bosones). Pero parece muy claro que si so´lo una
fraccio´n,Γ ,verificaesteproceso,entonces
ω
Γ
(cid:104)N (cid:105)= ω ,
ω e2πκω ±1
siendoelsiendoelsigno+elcorrespondienteparafermiones
(neutrinos, etc). Esta expresio´n afirma que el agujero negro
tieneunespectrodeemisio´nte´rmicaquesecorrespondecon
unatemperaturaT = (κ/2π).ParaelagujeronegrodeSch-
warzschild,conf(r)=1−(2M/r)yκ=(1/4M)(siendo
Mlamasadelagujeronegro)tenemos,obviamente,
1
(cid:104)N (cid:105)= . (45)
FIGURA4. ω e8πωM −1
Rev.Mex.F´ıs.E56(2)(2010)213–226
220 J.MAFERNA´NDEZCRISTO´BAL
Puede demostrarse [9] que el espectro obtenido es indepen- ca(26)pasaatenerlaexpresio´n
diente de la simetr´ıa esfe´rica y puede generalizarse a aguje-
rosnegroscargadosy/oenrotacio´n.Paraagujerosnegrosen ds2 =−f(r)dt2P +2f(r)χ(cid:48)(r)dtPdr+dr2
(cid:181) (cid:182)
rotacio´n, por ejemplo, todo queda igual salvo que hay que
1
reemplazar la frecuencia ω por la carga conservada asocia- × −f(r)χ(cid:48)2(r) +r2dΩ2, (46)
f(r)
daalcorrespondienteKilling:ω −→ ω−mΩ ,siendoΩ
H H
la velocidad angular del horizonte del agujero negro y m la dχ
χ(cid:48)(r)=
componentezdelmomentoangularl. dr
yseimponeadema´slacondicio´n
4. Efectotu´nel 1
−f(r)χ(cid:48)2(r)=1 (47)
f(r)
Preocupadosporlasconsecuenciasquelaradiacio´ndeHaw-
kingplanteaenrelacio´nconelllamadoproblemadelape´rdi- con lo cual la me´trica queda (a partir de aqu´ı tP es simple-
da de informacio´n (que no abordaremos aqu´ı) cuando el mentetporcomodidaddelenguaje)
agujero negro se ha evaporado [22], Parihk y Wilczek [23]
ds2 =−f(r)dt2+2f(r)χ(cid:48)(r)dtdr+dr2+r2dΩ2. (48)
basa´ndose en la representacio´n de la radiacio´n de Hawking
como un feno´meno de efecto tu´nel, ya vislumbrada por el
LascoordenadasdePainleve´ juntoconlacondicio´ndecon-
propio Hawking como vimos en la seccio´n anterior, propu-
torno de χ y la condicio´n (47) tienen las siguientes carac-
sieronunaderivacio´nsemicla´sicadelamismadondelacon-
ter´ısticas:
dicio´n de la conservacio´n de la energ´ıa total- entendida tal
como fue definida por Arnowit, Deser y Misner (ADM) pa- Ningunadelascomponentesdelame´tricaosusinver-
raespaciosasinto´ticamenteplanoscomounaintegralsuper- sassonsingularesenelhorizonte.
ficial en el infinito donde (∂/∂t) es un Killing - juega un
papel esencial: la masa del agujero negro puede variar pe- Las“rodajas”detiempoconstantesonplanaseneles-
ro no la energ´ıa total. Esto implica que el proceso de emi- pacio(ds2 =dr2+r2dΩ2).
sio´n no puede ser exactamente te´rmico, ya que un espectro
ElgeneradordetesunvectordeKillingporserχ(r)
de este tipo contiene un extremo de energ´ıas arbitrariamen-
dependientederu´nicamente.
tealtasyesevidentequeunagujeronegroaisladonopuede
radiarmayorenerg´ıaquesupropiamasa.Porotrapartehay Un observador en el infinito no distingue entre t y t
P
que sen˜alar que en la derivacio´n de Hawking hay impl´ıcita porlacondicio´ndecontornoχ(r)r−→→∞0.
una hipo´tesis y es que se asume que la masa M del agujero
negro se mantiene constante en el proceso y que la me´tri- Parageode´sicasradialesnulas(teniendoencuentalacon-
ca no juega ningu´n papel dina´mico. Pero es evidente que, dicio´n(47))tenemos
aunque no tenemos una teor´ıa cua´ntica de la gravedad que dr (cid:112)
nos indique co´mo evoluciona la me´trica con la emisio´n de =±1− 1−f(r), (49)
dt
part´ıculas, s´ı parece razonable pensar que, al radiar, el agu-
jero negro pierda energ´ıa (masa) y si bien para los estadios correspondiendoelsigno+(-)alasgeode´sicassalientes(en-
iniciales es asumible la hipo´tesis de que la pe´rdida es muy trantes).
baja ((dM/dt)(cid:191) M), esto ya es ma´s cuestionable para las La radiacio´n de Hawking se entiende como un proceso
etapas finales de la evaporacio´n. E´stas consideraciones, en- tu´nel de una part´ıcula (suponemos sin masa y que no tiene
treotras,lesllevaronaconsiderarelagujeronegrocomoun momentoangular)deenerg´ıapositivaωquecruzaelhorizon-
estado cua´ntico excitado metaestable y donde la geometr´ıa tedesdeunaposicio´ninicialr aunaposicio´nfinalr mien-
i f
delespacio-tiempojuegaunpapeldina´micoenelsentidode traslamasadelagujeronegro(enunagujeronegrolamasa
queese´stalaqueimponelacondicio´ndeconservacio´ndela y el radio del mismo esta´n relacionados) desciende de M a
energ´ıa. M−ω.Yesprecisamenteestasimpleasuncio´ndeconserva-
Para describir el proceso necesitaban salvar una primera cio´ndeenerg´ıadelsistemaloquesalvaunadelasdificultades
dificultad te´cnica, cual era tener un sistema de coordenadas conceptualesvislumbradaenelprocesodeHawking:laexis-
quesecomportasebienenelhorizontedesucesos.Talsiste- tenciadelabarreradepotencial.Talbarreranopreexiste.Es
maeselllamadodePainleve´-Gullstrandyposeeotraseriede la propia part´ıcula saliente la que, al provocar la contracio´n
buenaspropiedadesquema´sabajoesbozaremos.Definieron delhorizonte,crealapropiabarrera[24].Laaccio´ncla´sicaI,
eltiempoPainleve´ como paralatrayectoriadelapart´ıculaesta´ dadapor
r→∞ (cid:90)rf (cid:90)rf (cid:90)pr (cid:90)rf M(cid:90)−ω
tP =t+χ(r), con χ(r) −→ 0, I = drp = dr dp(cid:48) = dr dH, (50)
r r r˙
siendotlacoordenadatemporalordinaria.Entonceslame´tri- ri ri 0 ri M
Rev.Mex.F´ıs.E56(2)(2010)213–226
RADIACIO´NDEHAWKING 221
siendop elmomentoradialdelapart´ıcula(p(cid:48) esunavaria- Tambie´nexistengeneralizacionesparame´tricasma´sgenera-
r r
blemuda,noconfundirconunaderivada)ydondesehautili- lesquelasdeltipo(26)comopuedeser
zadolaecuacio´ndeHamilton-Jacobi(r˙ =(∂H/∂p )siendo
r
r˙laderivadatemporal)paraobtenerlau´ltimaigualdad. ds2 =−f(r)dt2+(dr2/g(r))+r2dΩ2
Utilizando el cambio de variable H = M − ω y utili-
conf(r)(cid:54)=g(r)comosehaceenlaRef.26.
zandolaecuacio´ndelageode´sicaradial(49)parapart´ıculas
salientes(+)seobtiene
5. Radiacio´n de Hawking en un universo de
(cid:90)ω(cid:90)rf dr FRW
(cid:112) (−dω(cid:48)). (51)
1− 1−f(r)
Parececlaroquelaexistenciadeunhorizontedesucesosen
0 ri
el agujero negro es esencial para la existencia de la radia-
Teniendoencuentaqueri >rH >rf yquef(rH)=0, cio´n.Adema´s,eneltrabajodeParikhyWilzcek,elhorizon-
esta integral sera´ compleja y asumiendo que la parte ima- te de sucesos juega un papel dina´mico aunque se trate con
ginaria de la accio´n puede ser atribuida completamente al me´tricas esta´ticas. Parece lo´gico, por tanto, intentar ver si
residuo del polo, e´sta puede calcularse fa´cilmente tomando para otras me´tricas no esta´ticas o no estacionarias (es decir
r−rH = εeiθ. Por ejemplo, para el agujero negro de Sch- aquellas que no admiten un vector de Killing generador de
warzschild con f(r) = 1−(2(M −ω)/r) la integral (51) una “energ´ıa” ) donde exista un horizonte de sucesos, exis-
quedar´ıaparalaparteimaginaria((cid:61))queeslau´nicaquenos tetambie´nradiacio´ndetipoHawking(te´rmica)odedistinto
interesa: tipo. Aplicando el me´todo Parikh-Wilczek, diversos autores
[27-30] han demostrado que existe realmente una radiacio´n
(cid:90)ω(cid:90)ri
(cid:113) dr dω(cid:48) r−=→σ2 asociadaalhorizonteaparentelocalmentedefinidoenununi-
versodeFriedmann-Robertson-Walker(FRW),cuyame´trica
1− 2(M−ω(cid:48)) ±i(cid:178)
0 rf r esdina´mica(noestacionaria).
(cid:90)ω (cid:90)σi 2σ2 Lame´tricadeFRW(ladelmodeloesta´ndardelUniverso)
dω(cid:48) dσ (cid:112) ⇒(cid:61) es
(cid:178)→0
σ− 2(M −ω(cid:48))±i(cid:178) (cid:183) (cid:184)
0 σf ds2 =−dt2+a2(t) dr2 +r2dΩ2 , (55)
(cid:90)ω (cid:90)π 1−kr2
dω(cid:48) idθ2(σ +εeiθ)2
H dondea(t)eseldenominadofactordeescalaquedetermina
0 0 el taman˜o f´ısico del universo y k = −1,0,1 segu´n se con-
(cid:90)ω (cid:179) (cid:180) sidereununiversoabierto,planoocerrado,respectivamente.
ω
= dω(cid:48)4π(M −ω(cid:48))=4πω M − , (52) E´staeslame´tricama´sgeneralquesatisfacelosprincipiosde
2
homogeneidad (invarianza bajo traslaciones) e isotrop´ıa (in-
0
varianzabajorotaciones)delespacio(PrincipioCosmolo´gi-
(cid:112)
siendoσ = 2(M −ω).E´staeslapartequenosinteresa co).Debidoaesto,existenunaseriedeisometr´ıasquehacen
H
porque esta´ relacionada (el factor no es significativo f´ısica- quelapartepuramenteespacialseaunsubespaciomaximal-
mente)conlatasadeemisio´nsemicla´sica[25]:Γ ∼ e−2(cid:61)I. mentesime´trico(admiteelmayornu´merodevectoresdeKi-
Enelcasoquenosocupae´staes,obviamente, lling).
Si se define ρ = a(t)r, entonces la me´trica puede escri-
Γ∼e−8π(Mω−ω22). (53) birsecomo
ds2 =h dxadxb+ρ2dΩ2 (56)
Comparandoestaexpresio´nconlacorrespondienteobtenida ab
porHawkingparaelagujeronegrodeSchwarzchild,Ec.(45),
siendoelnuevotensorme´trico
vemosquef´ısicamentedifierenenelfactor≈e4πω2queapar-
taalespectroderivadoporParihkyWilczekdelatermalidad. a2
h =dig(−1, )
Laaparicio´ndeestete´rminoesconsecuenciadelahipo´tesis ab 1−kr2
deconservacio´ndelaenerg´ıatotalyesta´ asociadaportanto
y xa = (t,r). Es decir, dadas las condiciones de homoge-
alaautointeraccio´ndelcampogravitatorioquenoseten´ıaen
neidad e isotrop´ıa del espacio, podemos describir la varie-
cuentaenladerivacio´ndeHawking.
dad 4-dimensional (M,g) como el producto de dos espa-
La te´cnica usada puede generalizarse a agujeros negros
cios 2-dimensionales: uno con la me´trica h y otro con la
rotantes y cargados. La tasa de emisio´n para un agujero de ab
me´tricaesta´ndardelaesfera2-dimensionaldea´rea4πρ2que
cargaQemitiendoradiacio´nsincargaes[23]
esta´ asociadoalassimetr´ıasdelsistema.As´ıpodemosponer
√ √ (M4,g)=(Q2,h)⊗(S2,η).Sedefineelhorizonteaparen-
Γ∼e−4π[2ω(M−ω2)−(M−ω) (M−ω)2−Q2+M M2−Q2]. (54) tecomolasuperficiemarginalmenteatrapadaconexpansio´n
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222 J.MAFERNA´NDEZCRISTO´BAL
nulavii.Elvalordelradiodelmismo,(ρ ),cumplelacondi- define un flujo preferido de tiempo y en este sentido es una
A
cio´n generalizacio´n del vector de Killing que define un flujo de
tiempoparame´tricasesta´ticas.Laspropiedadesdelvectorde
hab∂aρ∂bρ=0. (57) Kodamama´simportantessonlassiguientes:
Portanto, Segu´n(62),elvectordeKodamaesdege´nerotiempo,
1−kr2 nulooespaciosegu´nseaρ < ρA,ρ = ρA yρ > ρA,
−(∂tρ)2+ a2 (∂rρ)2 =0=⇒ρA respectivamente.Enelprimercaso,elsigno-enlade-
finicio´n (60 ) asegura que Kµ esta´ dirigido hacia el
a
= (cid:112) , (58) futuro.
k+(Ha)2
K es tangente a las superficies ρ (ρ =Cte). Es decir,
dondeH = (1/a)(da/dt)eselllamadopara´metrodeHub- Kµ(cid:53) ρ=0.
µ
ble. Vemos que para un Universo plano (k=0) el horizonte
aparentecoincideconelhorizontedeHubble,H−1,esdecir, Kµ es una corriente localmente conservada. Es de-
conelhorizontecosmolo´gico. cir,(cid:53) Kµ = 0.Lacorrespondientecargaconservada
µ
Enfuncio´ndelascoordenadas(t,ρ)lame´trica(56)resul- (teor.deNoether)es
taseruname´tricadetipoPainleve´-Gullstrandma´sadecuada, (cid:90)
4
comosabemos,paraelestudiodelproblemaquenosocupa: Kµdσ = πρ3
µ 3
1−( ρ )2 2Hρ σ
ds2 =− ρA dt2− dtd(cid:37)
1−k(ρ)2 1−k(ρ)2
a a Ladensidadenerg´ıa-momentoalolargodelvectorde
+ 1−dkρ(2ρ)2 +ρ2dΩ2 (59) Kteondsoarmeanedregfi´ıan-imdaocmoemnoto,µtam=bTie´νµnKesνu,nsiaecnodroriTenµtνeecsone-l
a servada.Esdecir,(cid:53) µ =0.Lacorrespondientecarga
µ
SedefineelvectordeKodamasobreQcomoeldualde conservadaes
Hodgerelativoalame´tricahdelgradientedelradioarealρ (cid:90)
(que es considerado un campo escalar sobre el espacio nor- µdσ
µ
malbidimensional):
σ
1
Ka =−(cid:112) (cid:178)ab(cid:53) ρ, (60) queeslaenerg´ıatotaldelamateriama´selcampogra-
b
−det(hab) vitacional.
donde a,b = 1,2 se refieren a las componentes del tensor Como puede verse a partir de (62), en el espacio
me´tricoasociadoalame´trica(59): asinto´ticamente plano (a → ∞,ρ = constante) el
 
vectordeKodamacoincideconelvectordeKilling.
hab = −11−−(kρ(ρAaρ))22 −1−Hk(ρaρ)2 . (61) (cid:114) (cid:179)ρ(cid:180)2 ∂
−1−Hk(ρρ)2 1−k1(ρ)2 K =Kµ∂µ = 1−k a ∂t −→∂t
a a
Portanto,lascomponentesdelvectordeKodamaenfun- (vectordeKilling).
cio´ndelasbasesdelespaciobidimensionalnormalalases-
ferasdesimetr´ıaρson[31]
(cid:181) (cid:182)
(cid:181)(cid:114) (cid:182) ρ2
ρ K2 =h KaKb =− 1− ρA−→→∞−1
Ka = 1−k( )2,0 =⇒K2 ab ρ2
a A
(cid:195) (cid:181) (cid:182) (cid:33)
ρ 2 Cuando el vector de Kodama es nulo aparece un ho-
=h KaKb =− 1− . (62)
ab ρ rizonte atrapado (una hipersuperficie plegada por su-
A
perficiesmarginales)exactamenteigualqueapareceun
Puede generalizarse el vector de Kodama a toda la variedad horizontedeKillingcuandoelvectordekillingseanu-
(M,g) definiendo ε = ε (dx)a(dx)b. As´ı utilizaremos la.
µν ab µ ν
comovectordeKodama
(cid:195)(cid:114) (cid:33) Al considerar part´ıculas escalares, e´stas han de verificar
(cid:179) (cid:180)
Kµ = 1−k ρ 2,(cid:126)0 . la ecuacio´n de Klein -Gordon (6), siendo g = det(gµν) y
a gµν lame´trica(59)deFRW.Enlaaproximacio´nWKB(dela
o´pticageome´trica)elcampocua´nticoasociadoalapart´ıcula
Estevectortieneinteresantespropiedadesquelehacenmuy puede considerarse de la forma φ(t,ρ) = e−(cid:126)iI(t,ρ), donde
similar al vector de Killing. De hecho el vector de Kodama Ieslaaccio´nparalatrayectoriacla´sicadelapart´ıcula.Con
Rev.Mex.F´ıs.E56(2)(2010)213–226