Рачунска Хидраулика - Отворени токови Računska hidraulika - Otvoreni tokovi

100 Pages·2000·1.172 MB·Serbian

by  Марко В. Иветић Marko V. Ivetić

Marko V. Iveti(cid:15)
Raqunska hidraulika
Otvoreni tokovi
Beograd, 2000.
2
Sadr(cid:25)aj
1 Opxte o neustaljenom teqenju u kanalima 7
1.1 Osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u fluidnoj struji 10
1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Pokretan hidrauliqki skok . . . . . . . . . . . 12
1.3 Matematiqki model neustaljenog teqenja . . . . . . . . 15
1.3.1 Brzina prostiranja poreme(cid:15)aja . . . . . . . . . 15
1.3.2 Karakteristike i invarijante . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Gubitak energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Osnovne jednaqine 27
2.1 Jednaqina odr(cid:25)anja mase . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Zakon odr(cid:25)anja koliqine kretanja u pravcu toka . . . 30
2.3 Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina . . . . . . 35
2.4 Jednaqine za ustaljeno teqenje . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Diferencijalni oblik . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Integralni oblik . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Kinematiqki talas 41
3.1 Pojednostavljeni oblici jednaqina . . . . . . . . . . . 41
3.2 Transformacija talasa u akumulaciji . . . . . . . . . 42
3.3 Osnovne jednaqine modela kinematiqkog talasa . . . . 43
3.3.1 Analitiqko rexenje . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa . . . . 49
3.4 Maskingam-Kan(cid:25) metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3
3.5 Difuziona jednaqina kao model neustaljenog teqenja
u otvorenim tokovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Metoda karakteristika 65
4.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Metoda karakteristika tri taqke . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Poqetni i graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Primer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Primer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Matematiqki modeli dinamiqkog talasa 81
5.1 Praismanova metoda qetiri taqke . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Eksplicitne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1 Laksova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Metoda razdvajanja operatora . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Primer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A Proraqun linije nivoa u otvorenim tokovima 93
A.1 Belexka o autoru (i slika mu) . . . . . . . . . . . . . 100
4
Predgovor
Ova monografija je jox jednom ponovljeno izdanje Bele(cid:25)aka,
ovog puta dostupno preko Interneta u PDF formatu. U odnosu na
prethodno, koje je izaxlo 1997. godine, a obnovljeno 2000. godine,
nema bitnijih izmena. Neke grexke su ispravljene a korix(cid:15)en je
i (cid:15)iriliqni slog. Po tehniqkoj obradi odgovara pravoj knjizi,
ali po sadr(cid:25)aju i kompletnosti obra(cid:14)enog materijala jox uvek je
daleko od toga. Osnovna namera, koja je dovela do xtampanja prvog
izdanja, a to je da se studentima obezbedi materijal koji u pot-
punosti pokriva gradivo koje se predaje, nije ni ovoga puta iznev-
erena. Obra(cid:14)eno je sve xto se predaje, pa i malo vixe od toga, i to
upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Da
bi materijal obra(cid:14)en u ovoj monografiji bio jox interesantniji
in(cid:25)enjerima, koji nisu imali prilike da sluxaju ovaj predmet,
nedostaje jox toga. U prvom redu to je deo o ustaljenom teqenju
u otvorenim tokovima (xto predajem studentima Arhitektonsko-
gra(cid:14)evinskogfakultetauBanjojLuci)ioregulacionimkarakter-
istikama ustava i preliva. O tome razmixljam i namera mi je da
se ve(cid:15) za slede(cid:15)u generaciju studenata pojavi kompletnije izdanje
ove monografije, koje (cid:15)e doprineti da se cela linija od Mehanike
fluida do Hidraulike 2, mo(cid:25)e prouqavati na jedinstven naqin, i
zaslu(cid:25)iti naziv knjige. I ovo xto definitivno nije knjiga izgleda
korektno najvixe zahvaljuju(cid:15)i Donaldu Knutu i njegovom TEX-u.
Marko V. Iveti(cid:15)
Beograd, jun 1997. (mart 2000.)
5
6
1
Opxte o neustaljenom
teqenju u kanalima
1.1 Osnovne pretpostavke
Teqenje u otvorenim tokovima karakterixe neodre(cid:14)enost konture
fluidne struje. Jedan deo konture je slobodna povrxina na kojoj
je pritisak jednak okolnom (slika 1.1).
Ustaljeno teqenje razmatrano je u okviru predmeta Mehanika
fluida a delom u okviru Hidraulike 1. Neustaljeno teqenje u
otvorenim tokovima prouqava se u okviru ovog kursa uz slede(cid:15)e
pretpostavke:
• Teqenje je linijsko (jednodimenzionalno). Koriste se veli-
qine reprezentativne za popreqni presek. Umesto komponenti
brzineu usvakojtaqkipreseka, koristeseproticaj, odnosno,
i
srednja brzina, kao reprezentativne veliqine za ceo popreqni
Slika 1.1: Osnovni pojmovi
7
presek:
Q 1 Z
v = = u n dA,
k i i
A A
k k Ak
gde je A povrxina popreqnog preseka kanala, Q, proticaj
k
zapremine kroz povrxinu A . Na sliqan naqin definixu se i
k
ostaleveliqinekao, pijezometarskakota, kinetiqkaenergija,
ukupna energija, sila pritiska itd. Tako(cid:14)e, pretpostavlja se
da je nivo u popreqnom preseku kanala horizontalan.
• Sve veliqine vezane za popreqni presek blago se menjaju du(cid:25)
toka. Vertikalno ubrzanje u popreqnom preseku kanala je
zanemarljivo. Strujnice su me(cid:14)usobno pribli(cid:25)no paralelne.
Odavde sledi hidrostatiqka raspodela pritisaka u popreq-
nom preseku kanala, kao i to da se pijezometarska kota za
presek poklapa sa kotom nivoa.
• Fluid je homogen i nestixljiv.
• Trenje se uzima kao kod ustaljenog teqenja.
• Podu(cid:25)ni nagib dna vodotoka je mali, cos2α ≈ 1, tako da je sve-
jedno da li se dubina meri vertikalno na dole, ili upravno
na popreqni presek fluidne struje.
Osnovni zadatak u prouqavanju linijskog teqenja u otvorenim
tokovimajeodre(cid:14)ivanjepromenaveliqinareprezentativnihzapop-
reqnipresekfluidnestrujedu(cid:25)tokausvakomvremenskomtrenutku.
Postoje dve (me(cid:14)usobno nezavisne) promenljive veliqine koje
definixu stanje u svakom popreqnom preseku otvorenog toka. Za
njihovo odre(cid:14)ivanje potrebne su dve jednaqine, koje predstavljaju
dva fiziqka zakona. Na raspolaganju su tri zakona odr(cid:25)anja od
kojih treba definisati dva uslova. U upotrebi su dva pristupa,
koji su na prvi pogled ekvivalentni:
1. zakon odr(cid:25)anja mase i zakon odr(cid:25)anja koliqine kretanja, i
2. zakon odr(cid:25)anja mase i zakon odr(cid:25)anja energije.
Kod ustaljenog teqenja dobijaju se identiqni rezultati sve dok su
sve promenljive kontinualne du(cid:25) kanala. Me(cid:14)utim, u otvorenim
tokovima postoje diskontinuiteti (hidrauliqki skok, naprimer)
koji se ne mogu ignorisati. Kao xto je poznato, na konaqnu masu
8
fluida koji se u posmatranom trenutku nalazi izme(cid:14)u dva preseka,
ispred i iza stabilnog hidrauliqkog skoka, inercijalne sile i
sile pritiska su u ravnote(cid:25)i, odakle se mo(cid:25)e odrediti gubitak
energije. Energetska jednaqina se ne mo(cid:25)e direktno primeniti
upravo zbog nepoznatog gubitka energije.
Dalje, kod primene osnovnih zakona Mehanike fluida na kon-
trolnuzapreminukarakteristiqnuzateqenjeuotvorenimtokovima,
postoje dva pristupa:
• integralni, kod koga se osnovni zakoni odr(cid:25)anja primenjuju
na konaqnu zapreminu fluida izme(cid:14)u dva popreqna preseka na
konaqnom rastojanju (unutar kontrolne zapremine mogu(cid:15)i su
diskontinuiteti),
• diferencijalni, kodkogase, uzpretpostavkulinearnepromene
svih veliqina izme(cid:14)u dva bliska preseka, i primenom opera-
tora limes, dolazi do jednaqina koje va(cid:25)e u okolini taqke.
Diferencijalni pristup dovodi do matematiqkih modela slede(cid:15)eg
oblika (Streeter & Wylie, 1975):
dh I −I
d e
=
dx 1−Fr
odnosno:
!
d v2 1 v2
Z +h+ = −I I = C
d e e τ
dx 2g R2g
koji va(cid:25)e za ustaljeno i blago promenljivo teqenje u prizmatiqnim
kanalima. Diskontinuiteti u fluidnoj struji moraju se posebno
identifikovati i razmatrati na drugi naqin.
Ukoliko su matematiqki (i numeriqki) modeli spremni da bez
velikih problema uzmu u obzir i diskontinuitet, to im je znaqa-
jan kvalitet. U nastavku (cid:15)e se relacije izvedene za hidrauliqki
skok iskoristiti za definisanje generalnog modela neustaljenog
teqenja, zapribli(cid:25)nohorizontalnodnoizanemarljivuticajtrenja.
Tako definisan model neustaljenog teqenja mo(cid:25)e se primeniti za
rexavanjeproblemaneustaljenogteqenjanakra(cid:15)imdeonicamaplov-
nih i melioracionih kanala kod kojih se nivo regulixe ustavama,
i upoxte kanala kod kojih su mogu(cid:15)e nagle promene nivoa ili pro-
ticaja.
9
1.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u flu-
idnoj struji
1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok
Posmatra se kontrolna zapremina izme(cid:14)u preseka 1-1 i 2-2 (slika
1.2), kojaobuhvatadeonicuzakoju, zbogvelikogvertikalnogubrza-
nja, nisu zadovoljene pretpostavke o prouqavanju fluidnih struja.
Dno kanala je pribli(cid:25)no horizontalno i zanemaruje se trenje.
Slika 1.2: Hidrauliqki skok
Uzvodno i nizvodno od hidrauliqkog skoka teqenje je pribli(cid:25)no
horizontalno.
Zakon odr(cid:25)anja mase primenjen na kontrolnu zapreminu izme(cid:14)u
preseka 1-1 i 2-2, pravougaonog kanala, xirine b, daje
ρv h b = ρv h b (1.1)
1 1 2 2
Sile koje deluju na stabilan hidrauliqki skok u presecima 1-1 i
2-2 su u ravnote(cid:25)i, pa zakon odr(cid:25)anja koliqine kretanja glasi:
1 1
ρgh2b+ρh bv2 = ρgh2b+ρh bv2 (1.2)
2 1 1 1 2 2 2 2
Zamenom jednaqine kontinuiteta (1.1) u dinamiqku jednaqinu
(1.2), dobijaju se dve ekvivalentne jednaqine:
(h +h )
v2 = gh 1 2 (1.3)
1 2 2h
1
10