Quod erat knobelandum: Themen, Aufgaben und Lösungen des Schülerzirkels Mathematik der Universität Regensburg

273 Pages·2016·2.891 MB·German

by  Clara Löh, Stefan Krauss, Niki Kilbertus (eds.)

Clara Löh
Stefan Krauss
Niki Kilbertus Hrsg.
Quod erat
knobelandum
Themen, Aufgaben und Lösungen
des Schülerzirkels Mathematik
der Universität Regensburg
Quod erat knobelandum
Clara Löh • Stefan Krauss • Niki Kilbertus (Hrsg.)
Quod erat knobelandum
Themen, Aufgaben und Lösungen
des Schülerzirkels Mathematik der
Universität Regensburg
Herausgeber
Clara Löh Niki Kilbertus
Fakultät für Math;Offi ce M 232 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Universität Regensburg Universität Regensburg
Regensburg, Deutschland Regensburg, Deutschland
Stefan Krauss
Universität Regensburg
Regensburg, Deutschland
ISBN 978-3-662-48955-0 ISBN 978-3-662-48956-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-48956-7
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Planung: Dr. Andreas Rüdinger
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Inhaltsverzeichnis
0 Prolog ............................................ ix
Quod erat knobelandum?
Clara L¨oh, Stefan Krauss, Niki Kilbertus
Teil I Erste Schritte .................................... 1
1 Musterthema....................................... 3
Schachbrettmuster und andere F¨arbungen
Timo Keller, Alexander Voitovitch
2 Von der Idee zum Beweis............................. 11
Eine kleine Anleitung
Clara L¨oh, Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude
3 L¨osungsvorschl¨age zum Musterthema................... 21
Timo Keller, Alexander Voitovitch
Teil II Themenbl¨atter .................................. 27
1 Invarianten ........................................ 29
Was ¨andert sich und was bleibt gleich?
Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude
2 Zahlentheorie ...................................... 37
Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden?
Timo Keller, Alexander Voitovitch
3 Graphentheorie ..................................... 45
...oder das Haus vom Nikolaus
Andreas Eberl, Theresa Stoiber
4 Induktion.......................................... 57
0+1+1+1+1+1+1+1+1+...
Clara L¨oh
5 Spiele............................................. 69
Mit Strategie gewinnen
Christian Nerf, Niki Kilbertus
vi Inhaltsverzeichnis
6 Die verflixte 7 ...................................... 79
Welche Zahlen sind durch 7 teilbar?
Stefan Krauss
7 Zahlenschleifen ..................................... 85
Das Slitherlink-Puzzle von nikoli
Clara L¨oh
8 Unendliche Mengen ................................. 95
...und unendlichere Mengen
Alexander Voitovitch, Clara Lo¨h
9 Ist doch logisch! .................................... 107
Eine Einfu¨hrung in die Aussagenlogik
Theresa Stoiber, Niki Kilbertus
10 Numerakles ........................................ 119
...und seine sechs Aufgaben
Clara L¨oh, Niki Kilbertus
11 RSA-Verschlu¨sselung ................................ 123
Der Satz von Euler-Fermat und die RSA-Verschlu¨sselung
Timo Keller
12 Der Eulersche Polyedersatz ........................... 135
Planare Graphen und platonische K¨orper
Alexander Engel
13 Folgen und Reihen .................................. 147
1,3,6,10,15,... und was kommt dann?
Theresa Stoiber, Stefan Krauss
14 Abrakadalgebra ..................................... 157
Vom Hut zum Hasen und zuru¨ck
Clara L¨oh
15 Mehr Folgen und Reihen ............................. 169
...oder Achilles und die Schildkro¨te
Andreas Eberl
Inhaltsverzeichnis vii
Teil III L¨osungsvorschl¨age............................... 179
1 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 1........................ 181
Theresa Stoiber, Jan-Hendrik Treude
2 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 2........................ 185
Timo Keller, Alexander Voitovitch
3 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 3........................ 191
Andreas Eberl, Theresa Stoiber
4 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 4........................ 197
Clara L¨oh
5 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 5........................ 205
Christian Nerf, Niki Kilbertus
6 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 6........................ 213
Stefan Krauss
7 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 7........................ 217
Clara L¨oh
8 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 8........................ 225
Alexander Voitovitch, Clara L¨oh
9 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 9........................ 229
Theresa Stoiber, Niki Kilbertus
10 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 10....................... 235
Clara L¨oh, Niki Kilbertus
11 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 11....................... 239
Timo Keller
12 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 12....................... 245
Alexander Engel
13 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 13....................... 251
Theresa Stoiber, Stefan Krauss
14 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 14....................... 257
Clara L¨oh
15 L¨osungsvorschl¨age zu Thema 15....................... 263
Andreas Eberl
viii Inhaltsverzeichnis
∞
Epilog ............................................ 269
Quod erat docendum?
Stefan Krauss
Index ................................................. 275
0
Prolog
Quod erat knobelandum?
Clara L¨oh, Stefan Krauss, Niki Kilbertus
0.1 Wie funktioniert Mathematik?.................................. x
0.2 Wie funktioniert der Schu¨lerzirkel? .............................. xii
0.3 Wie funktioniert dieses Buch? .................................. xii
Literaturverzeichnis ................................................ xiv
Danksagungen .................................................... xiv
Das vorliegende Buch entha¨lt das u¨berarbeitete und erga¨nzte Material des
Schu¨lerzirkelsMathematikderFakult¨atfu¨rMathematikanderUniversita¨tRe-
gensburg aus den Schuljahren 2012/13–2014/15. DieOriginalmaterialien finden
sich auf der Homepage des Schu¨lerzirkels:
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/schuelerzirkel
Mathematik ist eine der zentralen Kulturtechniken, die auf einmalige Weise
dieStrengedeslogischenDenkens,dieNu¨tzlichkeitderNaturwissenschaftenund
die Eleganz der Kunst vereint und verbindet. Dennoch erhalten viele Schu¨ler
in der Schulausbildung leider nicht ausreichend Gelegenheit, Mathematik als
attraktive und aktive Wissenschaft kennenzulernen und zu entdecken.
x 0 Prolog
Ziel des im Schuljahr 2012/13 gestarteten Schu¨lerzirkels Mathematik an der
Fakulta¨t fu¨r Mathematik der Universita¨t Regensburg ist es, Schu¨lerinnen und
Schu¨lerandieMathematikheranzufu¨hrenundihreNeugierdefu¨rdieseWissen-
schaft zu wecken und die Begeisterung zu f¨ordern. Dieses Angebot ist an alle
mathematikbegeisterten Schu¨ler ab Klasse 7 gerichtet, die Spaß am Knobeln
und am logischen Denken haben.
Bei der Auswahl der Themen haben wir darauf geachtet, dass die Aufgaben
mo¨glichst unabha¨ngig vom Schulstoff bearbeitet werden ko¨nnen und dass vie-
le verschiedene Gebiete der Mathematik beleuchtet werden. Die Themen sind
dabei so aufbereitet, dass sie von Schu¨lern leicht erlernt werden k¨onnen.
Fu¨rdiemeistenAufgabenbeanspruchenwirjedochkeinemathematischeOri-
ginalit¨at.VielederAufgabengeh¨orenzumweitverbreitetenFundusmathemati-
scherProblemewiesiezumBeispielauchinderLiteraturzummathematischen
Problemlo¨sen gesammelt sind [2, 1, 3]. Bei spezielleren Aufgaben haben wir
versucht,Referenzenanzugeben,auchwennesmanchmalschwierigist,dieOri-
ginalquelle ausfindig zu machen. Andererseits gibt es auch Themenbl¨atter, die
sowohl das Thema betreffend als auch in den Aufgaben vollst¨andig neu fu¨r den
Schu¨lerzirkel konzipiert wurden (wie zum Beispiel Thema II.7 zu Zahlenschlei-
fen).
0.1 Wie funktioniert Mathematik?
Die Einzigartigkeit der Mathematik beruht auf ihrer Exaktheit. Die formale
Sprache der Mathematik mag zuna¨chst abstrakt und abschreckend erscheinen;
nach eingehenderer Bescha¨ftigung damit stellt sich aber schnell heraus, dass es
ebendieseformaleSpracheermo¨glicht,SachverhalteundArgumentepr¨aziseund
nachvollziehbar darzustellen.
Der rigorose Aufbau der Mathematik besteht aus den folgenden, immer wie-
derkehrenden Schritten:
• In Definitionen werden neue Begriffe pra¨zise eingefu¨hrt.
• Theoreme (bzw. S¨atze, Lemmata, Korollare, ...) enthalten Behauptun-
gen u¨ber mathematische Objekte und deren Zusammenhang.
• In der Mathematik muss jede Behauptung durch logische Argumente aus
den bereits etablierten Tatsachen abgeleitet werden. Eine solche Kette
vonArgumentenbezeichnetmanalsBeweis;traditionellendeteinBeweis
mit quod erat demonstrandum (was zu beweisen war). Bemerkenswert
dabeiist,dassauchderBegriffdesBeweiseseinestringentemathematische
Definition besitzt.
Dieser Prozess beno¨tigt natu¨rlich einen Ursprung, an dem diese Schritte be-
ginnen. Klassisch sind diese grundlegenden Startpunkte durch die Axiome der