Qui a inventé le calcul intégral

100 Pages·1997·113.363 MB·French

by  Collectif

ISSN 1157-4887
RÉVOLUTIONS SCIENTIFIOUES
Qui a inventé le
c a l c u l i n t é g r a l
o
m
iOnFRIEDW. LEIBNIZ
1646-1716
ISAAC NEWTON
1642-1727
M Vous allez
enfin comprendré
et résoudre des
problèmes de
maths classiques
HORS SÉRIE -N°38-AVRIL1997.32F-230FB-10,30PS-
PORTUGALCONT850Esc-50Dh-3,800DT- $CAN5.95.
Réunion,Antilles,Guyane-38F
Les grandes énigmes
de la science
CIENCi
—-,
r: ''i
Cosmologie, biologie,
physique, géophysique...
Ce numéro de
SCIENCE & VIE HORS SERIE
fait le point sur
ces grands mystères scientifiques.
EN VENTE IVLRTOUT
Un nouvel, art
DE RAISONNER
Calcul intégral :le terme àlui seul peutfaire
rieur de cet intervalle. Appliquée par Pierre Vari-
peur. Il évoque un niveau de complexité et gnon à lascience du mouvement, laméthode, initia
d'abstraction mathématique donttout unchacun se lement conçue pour calculer des quadratures de
sent habituellement exclu. On yvoit un domaine courbes, change tout. Comme l'explique Michel
réservé aux élites, celles quiforment lasociété de Blay (p.78), elle instaure une relation organique et
nosgrandes écoles ou bienencorecellesqu'on pho générale entre lesespaces parcourus par un mobile
tographie devant des tableaux noirs couverts quelconque, sa vitesse etson accélération, de telle
d'équations cabalistiques. sorte qu'un calculalgébrique simple permet de pas
Que ce sentiment d'exclusion soit courant n'est ser d'une grandeur aux autres. Ce faisant, c'est la
pas pour étonner. Il résulte logiquementde lafonc nature même de ces grandeurs qui s'en trouve
tion prêtée aux maths dans lasélection scolaire. modifiée : elles accèdent à un statut purement
Des professeurs de mathématiques - le courrier mathématique, lavitesse par exemple se déduisant
qu'ils nous adressent en témoigne - sont les pre par l'opération de dérivation de lafonction d'espace
miers à ladéplorer. Ilsestimentque lesenjeuxaux et réciproquement, cette dernière s'obtenant par
quels leur discipline est associée sont sources de l'opération d'intégration de lafonction devitesse.
malentendus durables, d'attitudes irrationnelles de Le choix de cet exemple dans la physique ne
rejet ou de fascination. Ensomme, tout en étant
fâchés avec les maths, les Français garderaient la correspond pas seulement au souci de faire
secrète nostalgie de ne pasavoirété matheux. comprendre. Il résume aussi la façon dont les
Aborder le calcul intégral par son histoire - du mathématiciens du XVIII® siècle feront « tra
moinslesdébuts de son histoire, puisquenous nous vailler » le calcul intégral. De lamécanique céleste
limitonsauSiècledes lumières- répondra-t-il àce à celle des fluides, ilsvont en effet, toutau long du
désir ?Nous le pensons. L'intérêt didactique de siècle, le mettre à l'épreuve sur des systèmes phy
cette approche estévident. Après tout, quand, à la siques, en tester leslimites etpar làmême letrans
fin du XVII®siècle. Newton et Leibniz, chacun de former. Au terme de ce processus, viendront les
leur côté, jettent les bases d'un nouvel art de rai grands traités analytiques de Lagrange ou de
sonner, ne soumettent-ils pas leurs successeurs à la Laplace, qui installeront le calcul intégral au cœur
nécessité de se l'approprier?Lasituation d'un élève même de lacompréhension des lois du monde et
n'est-elle pasanalogue? consacreront lanaissance de laphysique mathéma
Sansdoute, maispasentièrement. Certes, lui aussi tiquefrançaise.
vadevoir explorer les possibilités d'un formalisme Toutcela,nous leverrons, nes'est pasfaità l'abri
qu'il neconnaîtpas,s'initierauxtechniquesducalcul de lasociété. D'une part, comme nous l'explique
de dérivées etde primitives, étudier des domaines Irène Passeron (p.58), le nombre de mathémati
de validitédefonctions. Mais cetteassimilationpor ciens alors capables de maîtriser le nouveau calcul
tera sur des objets mathématiques déjà construits ne dépassa pas une grosse dizaine. Il leur fallutdonc
et stables. A l'inverse, les mathématiciens du l'imposer à l'Académie royale des sciences,
XVIII® siècle se sonttrouvés, eux, dans laposition l'institution où siégeaient leurs pairs. Maisilssurent
d'avoir à lesconstruire età les imposer. Ils vont y d'autre part le présenter comme l'outil privilégié
réussir à merveille. d'une science utile,capabled'apporterdes réponses
Il leurfallut d'abord faireladécouverte de lapuis àcertainsproblèmes de l'État. Le calcul intégral
sance de l'outil. Àquoi tient-elle ?En termes devint ainsi logiquement l'instrument de pensée
modernes :àlapossibilitéde considérertoutevaria d'une élite éclairée, les précurseurs de tous ceux
tion d'unefonction sur un intervalle continu comme qui,à partir de 1794,« intégreront» Polytechnique.
la somme de ses variations « instantanées » à l'inté J.P I
I
ÉDITO
TAB.Xn.
RÉVOLUTIOM
1700-1800 : LE TEMPS
LONG D'UNE RÉVOLUTION
MATHÉMATIQUE
Par Éric Brian
Maître de conférences à l'École
DES hautes études
ENsciences sociales, PARIS
L'AIR DU TEMPS 19
Par Françoise Godoc
LES ACTEURS
z Les hommes
i DE L'INTÉGRATION 28
I Par Alice Rolland
POUR COMPREMDRE
Parlaméthodedesdifférences, Leibniz Un problème classique
pose,danssonmémoirede 1684, lesprin
cipesducalculinfinitésimalmoderne. LE CALCUL D'UNE
TRAJECTOIRE 38
PAR Claude Reyraud
Àpropos de notre numérode
décembre 1996
Suiteàlaparution de nosCahiersn°36qui L'HISTOIRE
consacraientune biographieàJohnvon
Neumann,sonfrère, NicholasVonneuman, Fluxions et différences 46
nousaécritpour nouspréciserque deux
descitationsmentionnéesétaientextraites Par Jeanne Peiffer
deses publications. Ellesconcernent Chargée de recherche au CNRS,
l'associéde Freud,SandorFerencsi, (p.53) Laboratoire d'Histoire des sciences
etlesraisons quiamenèrent Neumann à
ETDESTECHNIQUES, PARIS
quitter laFlongrie(p55).Lesouvragesde
NicholasVonneumansont:Johnvon
Neumannasseenbyhisbrother, Libraryof
Congress,1992,et Thephilosophical
legacyofJohnvonNeumann,N.A.V,
1987/1991. Photosdecouverture:spl/cosmos-bassind'essaisdescarénés
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AUXCAHIERSDESCIENCE&VIE
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Par Jeanne Peiffer TARIFSETAUTRESPAYSNOUSCONSULTER.
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De la terre au ciel, 1,RUEDUCOLONELPIERREAVIA75503PARIS.
CEDEX15-TEL:[phone]
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Par Irène Passeron SOCIAL:11100000F-DUREE99ANS
PRINCIPAUXASSOCIES:YVELINEDUPUY,
Chargée de recherche au CNRS, Centre A. Koyré,
PAULDUPUY.
Histoire des sciences et des techniques, Paris
DIRECTIONETADMINISTRATION:
Fluides en équations 66 PRESIDENT-DIRECTEURGENERAL:PAULDUPUY,
DIRECTEURGENERAL:JEAN-PIERREBEAUVALET,
Par Pierre Crépel
DIRECTEURGENERALADJOINT:FRANÇOISFAHYS,
Chargé de recherche au CNRS, DIRECTEURFINANCIER:JACQUESBEHAR,DIRECTEUR
ÉQUIPE D'ANALYSE NUMÉRIQUE, UNIVERSITÉ LYQN I COMMERCIALPUBLICITE:GILLESBECDELIEVRE,
DIRECTEURMARKETINGETCOMMERCIAL:
Aujourd'hui, des carènes calculées 74 MARIE-HELENEARBUS,DIRECTEURSMARKETINGET
COMMERCIALADJOINTS:JEAN-CHARLESGUERAULTET
Par Claude Reyraud PATRICK-ALEXANDRESARRADEIL,DIRECTEURDESETUDES:
ROGERGOLDBERGER,DIRECTEURDELA
FABRICATION:PASCALREMY.
Un monde construit par
LES MATHÉMATIQUES 78 COMITEDEREDACTION:ÉRICBRIAN,PHILIPPE
COUSIN,BRUNOLATOUR,CHRISTIANLICOPPE,
Par Michel Blay MICHELSERRES,ISABELLESTENGERS.
Directeur de recherche au CNRS, Labqratoire
D'HISTQIRE DESSCIENCES ETDESTECHNIQUES, PARIS REDACTION:JEAN-PIERREICIKOVICS(REDACTEUR
ENCHEF),ANNELEFEVRE(REDACTRICEENCHEF
ADJOINTE),PATRICIACHAIROPOULOS,ALICEROLLAND,
CLAUDEREYRAUD(RÉDACTEURS),
DÉRIVES NAIATNEHME(SECRETAIREDEREDACTION),
ALINEHOUILLON(SECRETAIRE),
STEPHANIEDEMAREUIL(ICONOGRAPHE),
La bataille napoléonienne : DENISMALARTRE,JEAN-LOUISBOUSSANGE(MAQUET
TISTES),MONIQUEVQGT(SERVICEDESLECTEURS).
UNE INTÉGRALE D'ACTIONS 82
Par Wqlfcanc Pircher SERVICESCOMMERCIAUX:RELATIONSEXTERIEURES:
MICHELEHILLINGASSISTEEDEBLANDINEDEVRIENDT,
Prqfesseur assistant en philqsophie.
ABONNEMENTS:PATRICKSARRADEIL,COMMANDES
Université de Vienne
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ET Jean-Pierre Icikqvics TEL:[phone],RELATIONSCLIENTELESABONNES:
PARTELEPHONE(1146.48.47.08OU47.11,
Un instrument à tout faire 88 PARCOURRIER:SERVICEDESABONNEMENTS:
1RUEDUCOLONELPIERREAVIA75503PARISCEDEX15,
Par Georges Ribeill CHEFDEPRODUITMARKETING:CAPUCINEJAHAN
Directeur de Recherche, École nationale TEL.:[phone];VENTEAUNUMERO:JEAN-
CHARLESGUERAULT,ASSISTÉDECATHERINELOUISTÉL:
DESponts et chaussées, PARIS
01.46.48.47.40;REASSORTSETMODIFICATIONS:TER
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Par Claude Reyraud IMAGE -IMPRESSION:IMPRIMERIE SEREGNI,MILAN -
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997 sera l'année des révolutions FORMULE N° 2 I
FORMULE N
scientifiques.
Février : Linvention des médicaments ABONNEMENT D' 1 AN ABONNEMENT D' 1 AN
du cerveau AU PANORAMA AU MAXI PANORAMA
Avril : Larévolution mathématique du NC>EéJ DE LA SCIENCE DE LA SCIENCE
XYlllème siècle 12r deSCIENCE&VIE
12 de SCIENCE &VIE
Juin : Larévolution copernicienne iN°'desCAHIERSDESCIENCE&VIE
6 des CAHIERS
4N°^HORSSERIE DE
Août : Ladécouverte de Champolllon DESCIENCE & VIE
SCIENCE&VIE
Octobre :japon 1860, comment les
Samouraïs sont devenus des savants 349 F 405 F
Décembre : Larévolution probabiliste DE viiiri
seulementau lieude 468F* seulementau lieude 568F^
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RÉVOLUTION
V N ITt
INDlVlSIBIUn
DE L A
RUPUBLIQliU
LIBEIUE
1U;A]JTÉ
ElfATERNiri
MORl
C'est dans un contexte politique particuliè-
/
renient agite que les Ecoles normale et poly
technique ont vn le jour : celui de la Révolu
tion. Mais les enseignements mathématiques
qu'elles dispensent s'inscrivent dans un pro
cessus de longue durée, engagé bien avant
1789. Ils récapitulent un siècle de développe
ment dans l'art de raisonner par l'analyse.
J.L.CHARMET•MUSEECARNAVALET
1 7 0 0 - 1 8 0 0 :
d ' u n e r é v o l u t
1
Comment l'inscription du calcul différentiel et
intégral comme pièce maîtresse des programmes
des Ecoles normale et polytechnique, deux créa
tions de la République chargées de former l'élite
de la société française, vint au terme d'une
longue période d'exploration de ses possibilités
d'application, tant à des problèmes de physique
qu'à la réforme de l'Etat.
Par Éric Briam
0m
i^n
F*
II
m
Departetd'autredela
Seine;l'Hôteldela .
Monnaie(àgauche)etle
Louvre,siègede l'Académie
royaiedessciences.Allantde
l'uneà l'autreinstitution,
Condorcetpouvaitméditer,
devantl'animationdesberges,
surla contributiondesmathé
matiquesau bien public.
; (cid:127) (cid:127)
..
(cid:127)(cid:127)(cid:127)
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(cid:127)81-
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•-N-,(cid:127) •
s.....
^8
Le temps Lom p^mE révoluteoiv mathématique
A maints égards, on peut
tionssuivantes.Denouveauxcompor l'Académie des sciences, l'une des
qualifier de révolution tements dans l'activité des scienti trois classes desciences mathéma
naires aussi bienlesleçons fiques témoignentd'une modernisa tiques àcôtédes astronomes et des
de mathématiquesdispen tion de leurs rôles politiques,sociaux mécaniciens.
séesparLaplace, Lagrange et Mongeà et éducatifs. Larupture des généra Eneffet, dans le Discours prélimi
lanouvelleÉcolenormale dès 1795, tionssembleconsommée. naire deL'EncyclopédiedeD'Alembert,
que la variété des enseignements Ainsi,leportraitdeCondorcet, gravé les mathématiques sont réparties
conçus par Monge un an auparavant par David, cristallise l'image qu'un selontrois catégories:celles «pures »
pourl'École centraledestravaux Monge pouvait conserver de son (géométrie et arithmétique étant
publics,bientôtÉcolepolytechnique. ancien mentor :un beau profil épuré, entendues en un sens assezgénéral
Toujoursactivesaujourd'hui, lesdeux commehors du temps, composé de pour embrasserlecalculdifférentielet
institutionsont eneffetvulejour dans lignes géométriques àla manière de Intégral);celles«mixtes»(mécanique,
des contextes politiquesparticulière courbesdeniveau.Onenoublieraitle astronomie, optique, calculsur les
ment agités. tableauconservéaujourd'hui àVer fluidesetsur lesprobabilités);etenfin
Maisilnes'agit pasquedecela.D'un sailles(voirl'article p.26),sur lequelle les «physico-mathématiques ».Pour
pointde vuestrictementscientifique, même Condorcetapparaîten habitde un mathématiciend'aujourd'hui, les
leurs enseignements ontfaçonné, au réformateur raisonnable, à la deux dernières rubriques sem
tournantduXVIIFsiècle, des généra manièred'uncitoyendela blentassezobscures. Leur
tions de savants et d'ingénieurs par NouvelleAngleterre. signification apparaît
lesquels la «science française »va Delamêmefaçon, dès lors que l'on
atteindresonapogée. C'est-à-direcette les mathéma reconnaît, dans
manièredepenseretdefairelascience tiques ensei cettesubdivision
- tenant à des réalisations età unétat gnées dans les des mathéma
d'esprit bien particulier - qui ne écoles révolu- tiques, unehiérar
s'essouffleraqu'auxdernièresdécen ti0nna1res, chie allant du
niesduXIX®siècle. vues non pas plus aumoinsabs
1793. Dissolution de l'Académie depuis ledébut trait, et du plus
royale dessciences.AveclaTerreur du XIX® siècle général auplus par
dans les mois qui suivront, disparaî mais depuis ticulier.
tront deuxdessavantsles plus actifs l'expérience du Oùseclassealors la
de leurtemps,Condorcetet Lavoisier. XVIll® siècle, sont résolutiondes équations
Desjours meilleurs s'annoncenttoute commeunesurfacelissée différentiellesetlecalculdes
fois pour les mathématiciens et les parletravail du temps. Les innova séries?Incontestablement, dans les
scientifiques, auxquels laRépublique, tions institutionnelles furent eneffet ^ mathématiques pures. Parailleurs,
leConsulatpuis l'Empireoffrirontdes précédéesparunlongsièclederenou-[ D'Alembertassimile lacausegénérale
conditionsinstitutionnellesparticuliè vellements dusavoir-fairemathéma-1 des vents aux phénomènes d'ordre
rementfavorables. Dès1795,datede la tiqueetdeses applications. î mixte, les mouvements effectifs des
créationde l'Institutet desa première l fluides aux physico-mathématiqueset
Classe (renouvelantainsi l'ancienne UN ART DE lesrelevésmétéorologiquesàune phy
Académie royale des sciences), ces RAISONNER sique particulière.
hommesfigurent parmi les principaux Premièreconditionpourappréhen- = Quelestl'objetmême de l'attention
acteurs d'une France nouvelle, der le travail d'un mathématicien du dugéomètred'alors?Difficileàcerner
constructive et conquérante. Leur siècledesLumières:abandonnerl'idée pourlemathématiciend'aujourd'hui,
importancen'échappepas àlaRestau de mathématiques «appliquées » qui dispose de bien d'autres déve
ration:en1816,elleréorganisel'École (c'est-à-dire lorsque le terme est loppements 0). Resitué dans le
polytechniqueet rétablitl'Académie employé auparticipepassé). L'expres contexteduXVIII®siècle, l'emploi des
royale des sciences. sion date de la période révolution mathématiques présupposelerecours
C'estdonc àcetteépoquefortement naire,alors mêmequecellede«mathé àdesquantitésconcrètementdéfinies.
marquéequesesitue unecharnièrede matiques pures »est fort ancienne
l'histoiredes mathématiques. Denou dans levocabulaire des géomètres. 1- Pourprolongerlemêmeexemple,l'équationde
l'écoulementd'unfluideouvoisinaged'unsolide,et
veauxouvrages,cours ettraitésconsti Précisons que ces mathématiciens
depuispeu, l'obtentiond'unesolutionparlecalcul
tuentles points de départ des généra spécialistesdelagéométrie forment, à numérique.
8