Quelques modèles mathématiques homogénéisés appliqués à la modélisation du parenchyme ...

186 Pages·2013·8.98 MB·French

Université Pierre et Marie Curie
Paris 6 Brown University
Quelques modèles mathématiques homogénéisés
appliqués à la modélisation du parenchyme pulmonaire
THÈSE DE DOCTORAT
présentée par
Paul Cazeaux
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université Pierre et Marie Curie
Spécialité
Mathématiques Appliquées
sous la direction de Céline Grandmont et Yvon Maday
Soutenue publiquement le 12/12/2012 devant le jury composé de
M. Eric Bonnetier Université Joseph Fourier Rapporteur
Mme Catherine Choquet Université de La Rochelle Examinatrice
Mme Céline Grandmont Inria Directrice de thèse
M. Frédéric Hecht Université Pierre et Marie Curie Examinateur
M. Jan Hesthaven Brown University Co-directeur, invité
M. Yvon Maday Université Pierre et Marie Curie Directeur de thèse
M. Bertrand Maury Université Paris–Sud Examinateur
Et s’appuyant sur le rapport de M. Yves Capdeboscq (University of Oxford), Rapporteur
Laboratoire Jacques-Louis Lions
UMR 7598
Thèse effectuée aux :
Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 Division of Applied Mathematics
at Brown University
Adresse géographique : Adresse :
Laboratoire Jacques Louis Lions Divison of Applied Mathematics
Bâtiments : 3ème étage – 15-16, 15-25, 16-26, Brown University
4 place Jussieu 182 George Street
75005 Paris, France Providence, RI 02912, USA
[phone] (Tél.) [phone] (Tél.)
[phone] (Fax) [phone] (Fax)
Adresse postale :
Laboratoire Jacques-Louis Lions
Université Pierre et Marie Curie
Boîte courrier 187
75252 Paris Cedex 05 France

Résumé
Nous présentons des modèles macroscopiques du comportement mécanique du parenchyme pul-
monaire humain obtenus par la méthode de l’homogénéisation double–échelle. Le parenchyme est
un matériau poreux formé d’une multitude d’alvéoles remplies d’air, et connectées à l’air extérieur
par l’arbre bronchique. Cette structure microscopique complexe est responsable du comportement
macroscopique. Nous nous intéressons en particulier à deux problèmes : la modélisation de la défor-
mationduparenchymeenprenantencomptesaventilationparl’arbrebronchique,etlapropagation
du son ou de l’ultrason à travers le parenchyme.
Dans une première partie consacrée au couplage entre parenchyme et arbre bronchique, nous
commençons par proposer un modèle de la déformation du parenchyme. Nous modélisons (i) le
parenchyme par un matériau élastique linéaire, (ii) les alvéoles comme des cavités réparties pério-
diquement dans le domaine macroscopique occupé par le parenchyme et (iii) l’arbre bronchique par
un arbre dyadique résistif. La loi de Poiseuille est supposée valide pour chaque voie aérienne du
poumon. Cette modélisation nous permet d’écrire un système fluide–structure modélisant le dépla-
cement du parenchyme et dépendant d’un paramètre ε qui correspond à la taille de la cellule de
périodicité. Nous étudions la convergence double–échelle des solutions de ce système sous une hy-
pothèse abstraite qui décrit la convergence de l’action de l’arbre sur le parenchyme. Nous obtenons
une description macroscopique du parenchyme comme un matériau viscoélastique où l’arbre induit
une dissipation non–locale en espace. Dans cette partie, nous étudions aussi la condition abstraite
que nous avons introduite. Nous proposons deux modèles de l’irrigation du domaine par l’arbre
inspirées par la structure du poumon et pour lesquelles cette condition abstraite est vérifiée. Fina-
lement, nous décrivons une méthode numérique pour le problème macroscopique et nous illustrons
le travail précédent par des résultats numériques en deux dimensions.
Dans une deuxième partie consacrée à la propagation d’ondes sonores dans le parenchyme,
nous ne prenons pas en compte l’effet de l’arbre bronchique. Nous homogénéisons dans le domaine
fréquentiel un premier modèle couplant l’élasticité linéarisée dans le parenchyme avec l’équation
acoustique dans l’air. Nous retrouvons ainsi rigoureusement le modèle de Rice qui décrit la propa-
gation du son à basses fréquences. Cette étude est compliquée par le fait que le problème considéré,
de type Helmholtz, n’est pas bien posé pour toutes les valeurs de la fréquence. Pour montrer le
résultat, nous utilisons un argument par contradiction basé sur l’alternative de Fredholm. Ensuite,
nous homogénéisons un deuxième modèle qui prend en compte le caractère viscoélastique et inho-
mogène du parenchyme au niveau microscopique. Les coefficients viscoélastiques macroscopiques
obtenus dépendent de la fréquence. Le matériau présente de nouveaux effets de mémoire par rap-
port à ses composants individuels. Nous proposons une méthode numérique basée sur des éléments
finis Galerkin discontinus pour résoudre le problème homogénéisé que nous obtenons. Les résultats
numériques obtenus dans un cas test 2D montrent que ce modèle permet de retrouver certaines
observations physiologiques sur la propagation d’ultrasons de basse fréquence.
i

Abstract
We present macroscopic models of the mechanical behavior of the human lung’s parenchyma
obtained by the two–scale homogenization method. The parenchyma is a porous material, with a
huge number of air–filled alveoli connected to the exterior air by the bronchial tree. This complex
microscopic structure defines the macroscopic behavior. We propose to study two problems in par-
ticular : modeling the deformation of the parenchyma while taking into account the ventilation by
the bronchial tree, and the sound or ultrasound propagation through the parenchyma.
The first part focuses on the coupling between parenchyma and bronchial tree. We begin by
describing a model for the parenchyma deformation. We model (i) the parenchyma as a linear
elastic material, (ii) the alveoli as periodically distributed cavities in the macroscopic parenchyma
domain and (iii) the bronchial tree as a dyadic resistive tree. We write the equations of the model as
a coupled fluid–structure system modeling the three–dimensional parenchyma’s displacement and
depending on a parameter ε which corresponds to the size of the periodicity cell. We study the
two–scale convergence of the solutions of this system under an abstract hypothesis that describes
theconvergenceoftheactionofthetreeontheparenchyma.Weobtainamacroscopicdescriptionof
the parenchyma as a viscoelastic material where the tree induces a spatially non–local dissipation.
In this part, we also study the abstract condition we have introduced. We propose two models for
the irrigation of the domain by the tree inspired by the lung’s structure and for which the abstract
condition can be verified. Finally, we describe a numerical method for the macroscopic problem and
we illustrate the previous work by numerical simulations in two dimensions.
The second part focuses on the sound wave propagation in the parenchyma. We do not take into
account the effect of the bronchial tree in this case. We homogenize in the frequency domain a first
model coupling the linearized elasticity equations in the parenchyma and the acoustic equation in
the air. We rigorously obtain the Rice model which describes sound propagation at low frequencies.
We encounter a difficulty because the problem we investigate, of Helmholtz type, is not well–posed
forallvaluesofthefrequency.Toshowtheresult,weuseanargumentbycontradictionbasedonthe
Fredholmalternative.Then,wehomogenizeasecondmodelwhichtakesintoaccounttheviscoelastic
and heterogeneous nature of the parenchyma at the microscopic level. The macroscopic viscoelastic
coefficients depend on frequency. The material exhibits some new memory effects compared to its
individual components. We propose a numerical method based on discontinuous Galerkin finite
elements to solve the homogenized problem we have obtained. The numerical results obtained in a
two–dimensionaltestcaseshowthatthismodelenablesustorecoversomephysiologicalobservations
on the propagation of low–frequency ultrasound.
iii

Remerciements
Nombreuxsontceuxquejeveuxremercierpourm’avoiraidéàl’accomplissementdecemémoire.
Mes remerciements vont tout d’abord à mes directeurs de thèse, Céline Grandmont et Yvon Maday,
qui m’ont soutenu et aidé durant cette thèse. J’ai beaucoup appris de vous en ce qui concerne
le travail scientifique. Merci pour votre patience, votre sérieux, vos encouragements mais aussi
vos critiques, et pour la grande liberté que vous m’avez laissé pour mener ces travaux. Ce fut un
honneurd’être votre élève pendantces années.Je remercieici aussi JanHesthaven,qui m’a accueilli
etencadréàBrownUniversity.Ungrandmercipourtonécoute,tonenthousiasme,pourlaconfiance
et les précieux conseils que tu m’as prodigués.
Je suis également extrêmement reconnaissant à Yves Capdeboscq et Eric Bonnetier qui ont
accepté de rapporter ma thèse durant un automne chargé. Je remercie chaleureusement Catherine
Choquet, Bertrand Maury et Evariste Sanchez-Palencia qui me font l’honneur d’être dans le jury
de ma soutenance.
J’aieulagrandechancederéalisercetravaildansdeuxenvironnementsstimulantsetconviviaux,
chacun à leur façon. J’en remercie collectivement tous les membres du Laboratoire Jacques Louis
Lions et de la Division of Applied Mathematics de Brown. Je remercie également toute l’équipe
du projet REO pour leur accueil. J’adresse en particulier mes remerciements à toutes les équipes
administratives : Maryse pour avoir organisé mes missions à Brown depuis l’Inria; Liliane, Danielle,
Florence, Salima, Nadine et Isabelle qui contribuent tant à la vie et à la bonne humeur au LJLL;
Jean,Laura,StephanieettoutlestaffduDAMquim’ontaccueillisisimplementetchaleureusement
dans cette grande maison. Je remercie également Christian, qui a imprimé ces manuscrits, Antoine
et Kashayar pour leur indispensables coups de main informatiques.
Je tiens également à remercier tous mes compagnons de route doctorants, grad students, jeunes
docteurs, qu’il ne m’est hélas pas possible de citer tous ici. Merci d’abord aux membres du bureau
315 : merci à Anne–Claire, Luna, Ange et Justine pour l’ambiance détendue et sérieuse qui m’a
réconcilié avec Jussieu à mes retours. Merci à Marie pour tous nos échanges, merci à Jean–Paul,
Magali, Benjamin, Olga, Pierre, Anne–Céline, Yannick, Juliette et Nicole pour l’organisation du
GTT, Mamadou, Evelyne, Rachida, Alexis, Alexandra, et les habitants du sous–sol au DAM :
Andréas et nos aventures, Scott et ses trous noirs, Zhu, Dan, Chia et son piano, Kenny, Dahlia,
Nat, Kelly, Laura... Merci aux amis probabilistes chez qui j’ai parfois fugué : merci à Sophie L. pour
nos moments, Sophie D., Reda, Pascal.
Je remercie également tous les mordus de mathématiques qui m’ont accompagné durant ma
scolarité et m’ont transmis leur passion. Je remercie en particulier Antoine Marchal, mon professeur
de terminale, M. Guezou et Mme Feuillet, mes chers professeurs des Lazos. Je remercie également
mes professeurs de l’ENS et de l’UPMC qui m’ont guidé vers ce qui allait devenir mon sujet.
Tout ne se résumant pas aux mathématiques, je remercie également tous les amis que j’ai eu la
chance de rencontrer ou de retrouver durant ces trois années. Sans pouvoir être exhaustif, j’adresse
en particulier de grands remerciements à l’ex-quatuor cachanais, Olivier, Cyrille, Gilles et Ivan pour
les années de souvenirs depuis le B2, les bons moments et le couch-surfing lors de mes retours à
v
Paris. Merci à Benjamin pour les soirs au Café Noir, Andréas pour les glaces chez Grom, Gersende
pourlespancakeschezJulian’s,DanpourlebarbecuedansleFarWest,etNathaliepourtesoursins
et tes étoiles de mer. Merci aux anciens des Lazos pour leur soutien et leur chocolat, à Paris ou
ailleurs.
At the start of each of my stays at Brown, I landed twice in the cold winter of Providence.
I have to thank Rebecca McLaughlin for her support, her kindness, and the warm rooms in her
home. Good luck to you and Oliver. Thanks also to Marco and all my roommates for many exotic
conversations.
Merci enfin de tout coeur à ma famille qui m’a toujours supporté, soutenu et encouragé, et qui
est là aujourd’hui. Merci Soeurette de me montrer la voie, parfois. Merci à Papa Moumine et à la
Petite Mu d’être mon phare dans la tempête.
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