Quelques aspects de géostatistique appliquée en géosciences et en environnement

51 Pages·2014·2.04 MB·French

Quelques aspects
de géostatistique appliquée
en géosciences et en environnement
Chantal de FOUQUET
Ecole des Mines de Paris
géosciences - géostatistique
GdR MASCOT-NUM ANR CHORUS
Krigeage par processus gaussiens pour les codes numériques
IHP – 30 avil 2014
Introduction
• La géostatistique
Initiée par Georges Matheron, fin des années 1950
à partir de travaux d’estimation des gisements miniers
en Afrique du Sud
-> notion de support : bloc/échantillon 104 - 106, panneau/échantillon 105 -109
llaa vvaarriiaabbiilliittéé ddééppeenndd dduu ssuuppppoorrtt
-> effet d’information :
contrôle des teneurs, économie d’un projet minier
quantifier l’incertitude d’estimation
• Plusieurs branches
linéaire (stationnaire ou non, multivariable...)
non linéaire (estimer f(Z) ou f(Z ) ), simulations (fonctions ou ensembles)
V
• Présentation de la démarche linéaire classique, aucune exhaustivité
1
Contexte
Données estimation linéaire optimale (krigeage)
0. 5000. 0000. 5000.
0 10 20
.
20
variogramme linéaire
.
voisinage unique
10
.
. 0. 5000. 10000. 15000.
0
varioggramme expponentiel
0 10 20

voisinage glissant

• Optimalité … si le variogramme est connu
• Inférer le variogramme … ou modélisation bayésienne
Données variographie krigeage
3
1. Modélisation pour l’estimation linéaire
variable régionalisée z(x) , Fonction Aléatoire Z(x)
• Stationnarité d’ordre 2 :
-
E [Z(x)] = m
- covariance E [ (Z(x)-m) (Z(x+h)-m)] = C(h)
•• IInnfféérreennccee ddee llaa vvaarriiaannccee àà ppaarrttiirr ddee NN ppooiinnttss eexxppéérriimmeennttaauuxx SS == {{xx , …, xx }}
1 N
N N
Variance empirique de l’échantillon : m* = 1 ∑ Z(x ),C* (0) = 1 ∑(Z(x ) − m*)2
N i N i
i=1 i=1
représente la « variance de dispersion » d’un point parmi N
N
E C* (0) =C(0) − 1 ∑ C(x − x )
 
N2 i j
i,j=1
=C(0) −C(S,S)
E[C*(0)] ≠ C(0) , E[C*(h)] ≠ C(h), E[ρ*(h)] ≠ ρ(h) car échantillonnage et champ finis
4
Si l’hypothèse de stationnarité d’ordre 2 n’est pas vérifiée ?
n
exemple : ∑ où A iid, m = 0, variance σ ²
Z = A
i A
n i
i=1
- dans le modèle : E [Z Z ] = n σ ² , non stationnaire.
n n+k
 N 
- variance de dispersion de Z ,…,Z : E  1 ∑(Z − m *)2 = N2−1
1 N N i Z 3N
 
i=1
►
La variance de toute réalisation est finie et indéfiniment croissante avec N.
- Covariance, sur segment de longueur L :
3
0.
L−h( )( )
C * (h) = 1 ∫ Z( x + h) − Z Z( x) − Z dx 0
L−h 0 0.
3
0.
-
E C * (h) = 1 L − 4 h + 2 h²
 
3 3 3 L 0.0 0.4 0.8
h
►
covariance empirique : dépend de l’implantation des x et du champ
i
artefact si covariance non stationnaire C(x,x+h)
5
Fonction Aléatoire intrinsèque d’ordre 0
• Les accroissements Z(x+h)-Z(x) sont stationnaires d’ordre 2
- E [Z(x+h)-Z(x)] =0
- D² [Z(x+h)-Z(x)] = 2 γ (h) , γ (h) variogramme
∑ ( ) ∑
λ Z x avec λ = 0
Combinaison linéaire autorisée :
i i i
i i
 
2 ∑∑ (( )) ∑∑ (( ))
VVariiance dd’’une CCLLAA DD  λλ ZZ xx  == −− λλ λλ γγ xx −− xx
i i i j i j
 
i i,j
Toute FASt-2 est intrinsèque et son variogramme est borné : γ (h) = C(0) - C(h)
variogramme covariance
1.0
0.8 0.8 2.0 0.8
g_h 0.4 C_h 0.4 g_h 1.0 g_exp 0.40.6
0.2
0.0 0.0 0.0 0.0
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 5 10 15 20 25 30 h
h FASt-2 h FAI-0 non FAI-0
h
6
Inférence du variogramme
L−h 2
( ) 1 ∫ ( ( ) ( ))
γ* h = Z x + h − Z x dx
• E [γ*(h)] = γ (h) cas du segment
2(L−h) 0
( ) 2
lim γ h < A h permet la détection de non-stationnarités
h→∞
• Le variogramme spatial empirique n’est pas un modèle discret
►
Calcul du variogramme expérimental sur les données
et ajustement par un modèle
• Analyse exploratoire et variographique
en pratique : échantillonnage préférentiel ?
Stationnarité, anisotropie, régularité, échelles de variabilité …
Le degré de stationnarité dépend de l’échelle d’observation
7
Le variogramme et ses variantes
2450
2400
Données 2350
2300 U
960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 N3 N340 N350 N10N15N20 30
N3 30 N 40
2 N
00 N310 0 N50
10 1 NN33000 N 66 00
N290 N70
N105 N280 N80

0
50 N60 N270 N90

N150
N260 N100
N15 N250 N110

0 N 2 4 0 N120
N230 0 N130
2 N
2 1
N 0 4
1 N 0
0 10 20 30 40 50 N2 N200N195N190 N180 N170 N160 150
Nuée variographique variogrammes directionnels carte variographique
► ►
singularités anisotropies
Spacagna et al., 2009 8
Modèles multivariables
• Variogramme croisé des FAI-0 Z et Z :
1 2
γ (h) = 1E (Z (x+h) −Z (x))(Z (x+h) −Z (x))
 
12 2 1 1 2 2
Cas stationnaire :
variogramme croisé = partie paire de la covariance croisée
►►
llee vvaarriiooggrraammmmee ccrrooiisséé nnee ddéétteeccttee ppaass lleess ddiissssyymmééttrriieess
• Modèles
Corrélation intrinsèque γ (h)=C γ(h)
ij ij
ρ = C / (C C )1/2 indépendante du support
ij ij ii jj
Cas bivariable Z =a Y +a Y , Z =a Y +a Y
1 11 1 12 2 2 21 1 22 2
Y et Y indépendantes, de même variogramme γ
1 2
modèle linéaire de corégionalisation, dérivation, convolution …
9
Modèle linéaire de corégionalisation
• Varigrammes simples et croisés des Z (x) sont CL de modèles
i
élémentaires
( ) ∑ u ( )
γ h = C γ h
ij ij u
u
• Les Variables se décomposent en composantes d’échelles,
elles-mêmes combinaison linéaires de composantes non corrélées
( ) ∑ u ( ) u ( ) ∑ u u ( )
Z x = Z x avec Z x = a Y x
i i i ij j
u
u ( ) ( )
où le variogramme de Y x est γ h
j u
10