Table Of ContentGerman Physical Society, Spring Conference Kassel 2006
Deutsche Physikalisch e Gesellschaft, Frühjahrstagung Kassel 2006
Quaternions and Geometric Algebra
Quaternionen und Geometrische Algebra1
Martin Erik Horn2
Email: [email protected]
[email protected]
Abstract
In the last one and a half centuries, the analysis of quaternions has not only led to further de-
velopments in mathematics but has also been and remains an important catalyst for the further
development of theories in physics.
At the same time, Hestenes’ geometric algebra provides a didactically promising instrument to
model phenomena in physics mathematically and in a tangible manner. Quaternions particular-
ly have a catchy interpretation in the context of geometric algebra which can be used didacti-
cally. The relation between quaternions and geometric algebra is presented with a view to ana-
lysing its didactical possibilities.
Kurzfassung
Die Untersuchung der Quaternionen führte in den vergangenen eineinhalb Jahrhunderten nicht
nur zu einer Weiterentwicklung der Mathematik, sondern war und ist immer noch auch ein be-
deutender Katalysator für die Weiterentwicklung physikalischer Theorien.
Gleichzeitig liefert die Geometrische Algebra von Hestenes ein didaktisch erfolgversprechen-
des Werkzeug, um physikalische Aussagen mathematisch anschaulich zu modellieren. Insbe-
sondere erfahren die Quaternionen im Kontext der Geometrischen Algebra eine eingängliche
Interpretation, die didaktisch genutzt werden kann. Die Beziehung zwischen dem Zahlenkörper
der Quaternionen und der Geometrischen Algebra werden vorgestellt und hinsichtlich ihrer di-
daktischen Möglichkeiten analysiert.
Contents Inhaltsübersicht
1. Introductory remarks 1. Vorbemerkungen
2. Quaternions 2. Quaternionen
3. Pauli matrices 3. Pauli-Matrizen
4. Geometric algebra 4. Geometrische Algebra
5. Duality 5. Dualität
6. Complex quaternions 6. Komplexe Quaternionen
7. Didactical possibilities 7. Didaktische Möglichkeiten
8. Outlook 8. Ausblick
9. Bibliography 9. Literatur
1 German version published in: Volkhard Nordmeier, Arne Oberländer (Eds.): Didaktik der Physik, Beiträge zur
Frühjahrstagung in Kassel, Tagungs-CD des Fachverbandes Didaktik der Physik in der Deutschen Physikali-
schen Gesellschaft, Beitrag 28.2, ISBN 978-3-86541-190-7 , LOB – Lehmanns Media, Berlin 2006.
2 Address: FHW Berlin, Badensche Str. 50/51, Fach # 112, D – 10825 Berlin, Email: [email protected],
University of Potsdam, Am Neuen Palais 10, D – 14469 Potsdam, Germany, Email: [email protected].
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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1. Introductory remarks 1. Vorbemerkungen
The theoretical description and consequent mathe- Im Rahmen jeder Didaktik der (Hochschul-)Physik
matisation of physical phenomenon plays a funda- spielt die theoretische Beschreibung und infolge-
mental role within every didactic framework of dessen die Mathematisierung physikalischer Phäno-
physics (higher) education. This description how- mene eine wesentliche Rolle. Doch diese Beschrei-
ever and mathematisation is not always definitive. bung und Mathematisierung ist niemals eindeutig.
„The world of the physical sciences is,“ according to „Die Welt der physikalischen Wissenschaft ist“, so
Planck „a creation of the human mind that serves a Planck, „eine einem bestimmten Zweck dienende
certain purpose“ [Planck 1952]. This means that an Schöpfung des menschlichen Geistes“ [Planck
increasing number of competing mathematical con- 1952]. Es werden also immer mehrere konkurrieren-
structs for describing physical phenomenon are de, frei von Menschen erschaffene mathematische
possible which have been created freely by human Konstrukte zur Beschreibung physikalischer Phäno-
beings. mene möglich sein.
Drei dieser Konstrukte stehen im ersten Teil dieses
Three of these constructs will be taken into con-
Beitrags zur Diskussion: Zum ersten die von Hamil-
sideration in the first part of this article: first, the
ton entdeckten Quaternionen, dann die auf Pauli
quaternions discovered by Hamilton; second, the
zurückgehenden Spin-Matrizen und drittens die vom
spin-matrices associated with Pauli; and third, the
amerikanischen Physikdidaktiker David Hestenes
geometric algebra that was developed by the Ameri-
entwickelte Geometrische Algebra.
can physics education researcher David Hestenes.
Diese drei mathematischen Ansätze weisen Schnitt-
All three mathematical approaches intersect and
mengen und Überschneidungen auf. Ausgehend vom
overlap with each other. In the second part of the
Konzept der Dualität wird im zweiten Teil dieses
article it will be attempted to reach a synthesis of
Beitrags versucht, zu einer Synthese dieser Ansätze
these approaches using the concept of duality which
zu gelangen, die dann didaktisch hinterfragt wird.
will then be scrutinized within a pedagogical frame-
work.
Wie jede Kulturtätigkeit ist auch das physikalische
und mathematische Modellieren in einem zeitlichen
Physical and mathematical modelling is embedded
Kontext eingebettet, der sich ändern kann. Deshalb
in a temporal context just as much as cultural activi-
gilt hier erst recht der Hinweis Plancks [Planck
ties are, which can change over time. For this rea-
1952, S. 11], dass es im Laufe der Entwicklung der
son, Planck's remark [Planck 1952, p. 11] is espe-
Physik mehr als einmal vorgekommen ist, dass von
cially relevant when he maintains that it is not un-
zwei Beschreibungen diejenige, die eine Zeitlang als
common that in the development of physics over
die kompliziertere galt, später als die einfachere be-
time a description which had for some time been
funden wurde. Und auch der Prozess einer doppelten
considered to be the more complicated one of two
Umkehrung soll schon vorgekommen sein: Die
descriptions, ended up to be the more easy one as
zuerst einfache Beschreibung wurde später als zu
time elapsed. Even a double inversion seems to have
kompliziert verworfen, um dann noch später wieder
occurred in the past: a description initially consi-
als einfach zu gelten.
dered as easy was then discarded as too complicated
only to again be regarded as easy at a later point.
Doch während die Kategorien „einfach“ und „kom-
pliziert“ für das Lernen entscheidend sind, kommt
While the categories "easy" and "difficult" are cru-
dem kontextuellen Rahmen, in dem diese Lernpro-
cial for processes of learning, the contextual frame-
zesse stattfinden, eine viel weitreichendere Be-
work within which learning takes place has a much
deutung zu. Denn wie Werner Heisenberg und Carl
more far-reaching relevance. To use a formulation
Friedrich von Weizsäcker es formulieren: „Erst die
by Werner Heisenberg and Carl Friedrich von
Theorie entscheidet, was beobachtet werden kann“
Weizsäcker: „Only theory decides what can be ob-
und daraus ableitend: „Anders ausgedrückt: Man
served“ and deducing from this: „In other words:
sieht nur, was man weiß“ [Weizsäcker 1994, S.
one can only see what one (already) knows“ [Weiz-
501]. So führt ein Wechsel eines mathematischen
säcker 1994, p. 501]. Therefore, the change over
Beschreibungsrahmens zu einem anderen auch dazu,
from one mathematical description to another leads
dass man etwas anderes sehen und erkennen kann.
to the opportunity to perceive and discern something
Etwas vorher Unsichtbares wird dann unter Um-
in another way. Something previously invisible can
ständen sichtbar. Und umgekehrt kann etwas vorher
thus possibly become visible. And on the contrary,
Sichtbares ins Dämmerlicht des mit dem neuen
something that had previously been visible can fall
gewählten mathematischen Bezugsrahmen Unzu-
into oblivion with something that is not accessible
gänglichen geschoben werden.
using a newly selected framework of reference.
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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2. Quaternions 2. Quaternionen
After searching for more than fifteen years with the Nach mehr als fünfzehnjähriger Suche mit dem Ziel,
goal in mind to theoretically adequately describe Drehungen im dreidimensionalen Raum theoretisch
rotations in a three-dimensional space, on October angemessen zu beschreiben, entdeckte William
16th, 1843 William Rowan Hamilton discovered Rowan Hamilton am 16. Oktober 1843 die Quaterni-
quaternions [Van der Waerden 1973]. According to onen [Van der Waerden 1973]. Der Legende zufolge
legend, he received the inspiration for this three- kam ihm die Eingebung für diese dreidimensionale
dimensional generalisation of complex numbers Verallgemeinerung der komplexen Zahlen auf einem
during a walk with his wife along the Royal Canal in Spaziergang mit seiner Frau entlang des Royal Ca-
Dublin, whereupon he inscribed the fundamental re- nals in Dublin, worauf er die grundlegenden Be-
lations ziehungen
i2 = j2 = k2 = ijk = –1 i2 = j2 = k2 = ijk = –1
ij = –ji ij = –ji
jk = –kj jk = –kj
ki = –ik ki = –ik
into the Brougham bridge right then and there (Baez sogleich in die Brougham-Brücke ritzte [Baez 2002,
2002, Conway 2003]. Conway 2003].
With this discovery Hamilton laid the foundation Hamilton legte mit dieser Entdeckung den Grund-
for a radical development not only in mathematics, stein für eine tiefgreifende Entwicklung nicht nur in
but also in physics. He himself attributed great sig- der Mathematik, sondern auch der Physik. Er selbst
nificance to his discovery and spent the rest of his maß seiner Entdeckung eine erhebliche Bedeutung
life „obsessed with the quaternions” [Baez 2002]. zu und war den Rest seines Lebens „von Quaterni-
onen wie besessen” [Baez 2002].
Quaternions as a Calalyst of Scientific Develop-
ment Quaternionen als Katalysator wissenschaftlicher
Relations that we in the present-day generally ex- Entwicklungen
press by way of scalars and vectors were at that time Beziehungen, die wir heute üblicherweise durch
formulated with the help of quaternions [Baez Skalare und Vektoren ausdrücken, wurden seinerzeit
2002]. Analysing the heuristic role of quaternions in mit Hilfe von Quaternionen formuliert [Baez 2002].
physics Anderson and Joshi conclude that „the im- In einer Analyse der heuristischen Rolle der Quater-
portance of the notational role of quaternions should nionen in der Physik betonen Anderson und Joshi,
not be underestimated“ [Anderson et al. 1992]. dass „die Bedeutung der Quaternionen auch gerade
Thus, Maxwell initially wrote his basic equations of hinsichtlich ihrer Darstellungsform nicht unter-
electrodynamics by way of components represented schätzt werden sollte“ [Anderson et al. 1992]. So
in the form of quaternions. Only later did Oliver gab Maxwell ursprünglich seine grundlegenden
Heaviside and Heinrich Hertz formulate these in the Gleichungen der Elektrodynamik komponentenwei-
notation of vectors common today [Baylis 2002]. se in quaternionischer Form an. Erst später formu-
lierten Oliver Heaviside und Heinrich Hertz diese in
According to Howard Eves the discovery of Hamil-
der heute üblichen Vektorschreibweise [Baylis 2002].
ton „opened the floodgates of modern abstract al-
gebra” [Kuipers 1999, p. 4]. Modern abstract algebra Hamilton öffnete mit seiner Entdeckung, so die Ein-
continued to develop rapidly in the 20th century, and schätzung von Howard Eves, „die Schleusentore der
„it has been in this century that unique features of modernen abstrakten Algebra“ [Kuipers 1999, S. 4].
quaternionic structures have been woven closely into Im 20. Jahrhundert entwickelte sich diese rasant
the development of new physical theories“ [Ander- weiter, und es war in diesem Jahrhundert, „dass
son et al. 1992]. wesentliche und einzigartige Eigenschaften quater-
nionischer Strukturen eng mit der Entwicklung mo-
Moreover, quaternions play a significant role in the derner physikalischer Theorien verwoben wurden“
theoretical description of real or virtual processes of [Anderson et al. 1992].
all kinds of rotation. They are implemented as an
Darüber hinaus spielen Quaternionen bei der theore-
important element for reducing the processing time
tischen Beschreibung realer oder virtueller Rota-
in the field of computer graphics and are applied by
tionsprozesse aller Art eine bedeutende Rolle. In der
default for the computation of flight navigation or in
Computergraphik werden sie als wichtiges Element
following the orbits of satellites.
zur Reduzierung der Rechenzeit eingesetzt und stan-
dardmäßig bei Berechnungen zur Flugnavigation
oder der Bahnverfolgung von Satelliten verwendet.
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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The mathematics involved in quaternions is appar- Die Mathematik der Quaternionen ist offensichtlich
ently extremely application-oriented so that the US so anwendungsorientiert, dass die US Air Force ent-
Air Force has financed the publication of textbooks sprechende Lehrbücher [Kuipers 1999] finanziert.
on this subject [Kuipers 1999]. And the mathematics Und die Mathematik der Quaternionen ist offen-
of the quaternions is apparently so easy to under- sichtlich so leicht zu verstehen, dass diese auch dem
stand, as is mentioned in the preface of the men- Personal der US Air Force mit einem, wie es im
tioned textbook, „that much of the subject matter Vorwort des besagten Werkes höflich heißt, „mode-
would be accessible to those with a modest back- raten Hintergrund“ an mathematischem Wissen
ground in mathematics“ [Kuipers 1999, p. XIX]. This zugänglich ist [Kuipers 1999, S. XIX]. Diese leichte
accessibility militates in favour of the didactic Zugänglichkeit spricht für die didaktische Stärke
strength of theories formulated with quaternions. quaternionisch formulierter Theorien.
„Quaternion Ambiguity“ „Quaternionen-Ambiguität“
Hamilton's approach was however not received Hamiltons Ansatz war jedoch nicht unumstritten. In
without causing controversy. Following a partially einer teilweise erbittert geführten Auseinander-
rancorous debate amongst adherents of quaternions setzung zwischen Anhängern der Quaternionen und
and adherents of vector algebra, the mathematical Anhängern der heute üblichen Vektoralgebra setzte
system which is more common today, the – accor- sich das nach Einschätzung von Doran und Lasenby
ding to Doran and Lasenby – „hybrid system of „hybride System der Vektoralgebra“ („...by the
vector algebra“ [Doran et al. 2003, p. 10] finally hybrid system of vector algebra.“) [Doran et al.
succeeded. 2003, S. 10] schließlich durch.
The reverberations of this inner-physical and inner- Der Nachhall dieser inner-physikalischen und inner-
mathematical trench warfare are still felt today. A mathematischen Grabenkämpfe ist auch heute noch
conflicting and ambivalent treatment of quaternions zu spüren. In zahlreichen Darstellungen der mathe-
can be observed in the numerous representations of matischen Grundlagen der Physik zeigt sich ein
basic mathematical principles in physics. For in- überaus zwiespältiger und ambivalenter Umgang mit
stance, the illustration of the basic mathematical den Quaternionen. Ein typisches Beispiel für diese
principles of the Dirac equation is a typical example „Quaternionen-Ambiguität“ findet sich beispiels-
of this "quaternion ambiguity". weise bei der Darstellung der mathematischen
Grundlagen der Dirac-Gleichung.
In this way Penrose explicitly characterises the for-
mulation of the relativistic equation of the descrip- So bezeichnet Penrose die Formulierung der relati-
tion of electrons by Dirac as a "rediscovery"3. He vistischen Gleichung zur Beschreibung des Elek-
emphasises the brilliance of the Dirac formulation trons durch Dirac ausdrücklich als „Wieder-
while however simultaneously noting that already entdeckung“3. Er hebt die Brillanz der Dirac’schen
William Rowan Hamilton had specified the "square Formulierung hervor, weist jedoch gleichzeitig dar-
root" of the three-dimensional Laplacian by means auf hin, dass schon William Rowan Hamilton die
of quaternions as „Quadratwurzel“ des dreidimensionalen Laplace-
Operators mit Hilfe der Quaternionen als
2 2 2 2
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞
⎜⎝i∂x+j∂y+k∂z⎟⎠ =−⎜⎝∂x⎟⎠ −⎜⎝∂y⎟⎠ −⎜⎝∂z⎟⎠ =−∇2. ⎜⎛i ∂ +j ∂ +k ∂ ⎟⎞2 =−⎜⎛ ∂ ⎟⎞2−⎜⎛ ∂ ⎟⎞2−⎜⎛ ∂ ⎟⎞2 =−∇2
⎝ ∂x ∂y ∂z⎠ ⎝∂x⎠ ⎝∂y⎠ ⎝∂z⎠
This quaternionic relationship constitutes the foun- angegeben habe. Diese quaternionische Beziehung
dation for the Dirac equation [Penrose 2005, bildet die Grundlage der Dirac-Gleichung [Penrose
p. 619]. A more emphatic substantiation for the re- 2005, S. 619]. Eine nachdrücklichere Begründung
levance and significance of quaternions can hardly für die Bedeutung der Quaternionen kann kaum
be given. gegeben werden.
Even historically the significance of quaternions Auch historisch wurde die Bedeutung der Quaterni-
within the context of the Dirac equation was onen im Kontext der Dirac-Gleichungen schon kurz
analysed shortly after its release. Already Arnold nach deren Veröffentlichung untersucht. So ist in
Sommerfeld submitted a scientific contribution of einer durch Arnold Sommerfeld bei der Bayerischen
Walter Franz [Franz 1935] about the methodology of Akademie der Wissenschaften eingereichten Ab-
the quaternionic Dirac equations to the Bavarian Aca- handlung von Walter Franz zur Methodik der Dirac-
3 As Penrose wrote, „Dirac rediscovered (an instance 3 Penrose schreibt wörtlich: „Dirac entdeckte (ein
of) the Clifford algebras“ [Penrose 2005, p. 619]. Beispiel der) Clifford-Algebras wieder“ [Penrose
2005, S. 619].
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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demy of Sciences. There Franz analysed a formula- Gleichung [Franz 1935] diese mit Hilfe von kom-
tion of the Dirac equation with the help of complex plexen Quaternionen formuliert. „Der offensicht-
quaternions. „The most obvious advantage”, ex- lichste Vorteil“, erläutert Franz diesen quaternioni-
plains Franz this quaternionic approach, „lies in the schen Ansatz, „liegt in der begrifflichen Einfachheit
conceptual simplicity and clarity of the method that und Übersichtlichkeit der Methode, die z.B. einen
for instance allows an especially simple proof of the besonders einfachen Beweis für die Lorentz-Invari-
Lorentz invariance of equations” [Franz 1935, p. anz der Gleichungen gestattet.“ [Franz 1935, S.
381]. 381].
Despite numerous advantages and a diversity of Trotz zahlreicher weiterer Vorzüge und einer Viel-
possibilities for application [Gsponer et al. 2005], zahl von Anwendungsmöglichkeiten [Gsponer et al.
quaternions are for the large part ignored in current 2005] werden Quaternionen in den heute verbreite-
physics textbooks at the university level today. ten universitären Physik-Lehrbüchern zumeist über-
These discrepancies between the significance and gangen. Diese Diskrepanz zwischen Bedeutung und
representation or illustration of quaternions is evi- Darstellung der Quaternionen zeugt von einem am-
dence of an ambivalent and highly conflictual treat- bivalenten und höchst zwiespältigen Umgang, der
ment that might unconsciously reflect previous de- unbewusst die vergangenen Auseinandersetzungen
bates and disputes. widerspiegeln mag.
And also Penrose, who emphasises the significance Und auch Penrose, der die Bedeutung der Quater-
of quaternions for understanding the Dirac equation, nionen für ein Verständnis der Dirac-Gleichung
smiles at Hamilton in another part of his book: hervorhebt, mokiert sich an anderer Stelle seines
„However, from our present perspective, as we look Buches [Penrose 2005, S. 200] über „diese helden-
back over the 19th and 20th centuries, we must still haften Versuche“ Hamiltons, reine Quaternionen zur
regard these heroic efforts as having resulted in rela- Modellierung physikalischer Theorien heranzu-
tive failure“ [Penrose 2005, p. 200]. ziehen, die „alle relativ gescheitert seien.“
The Significance of Quaternions in Education Didaktische Bedeutung der Quaternionen
In addition to the clarification of conceptual foun- Neben der Klärung konzeptioneller Grundlagen der
dations of physics and the already mentioned ease in Physik und der schon erwähnten leichten Zugäng-
comprehension, quaternions exhibit further dimen- lichkeit kommen den Quaternionen noch weitere
sions of significance that should not be underesti- Bedeutungsdimensionen zu, die ebenfalls eine nicht
mated in their relevance for education. zu unterschätzende didaktische Relevanz aufweisen.
One of the most important ones lies in the capability Eine der wichtigsten ist dabei die Ermöglichung
of quaternions to provide new metaconceptual views metakonzeptueller Sichtweisen, die sich bei Verall-
that present themselves with the generalisation of gemeinerung quaternionischer Ansätze bieten. An-
quaternionic approaches. Anderson and Joshi des- derson und Joshi beschreiben, dass „die zusätzlichen
cribe, that „the extra structure of quaternions over Strukturen reeller und komplexer Quaternionen neue
complex and real numbers has enabled new perspec- Perspektiven ermöglicht haben, da verschiedenartige
tives through permitting different formalisms.” Formalismen zugelassen werden.“
And what is more important: These new perspec- Und weit wichtiger noch: „Sie lieferten darüber hi-
tives „provided structures within which new physi- naus Strukturen, mit deren Hilfe neue physikalische
cal theories can be considered“ [Anderson et al. Theorien betrachtet werden können“ [Anderson et
1992, p. 20]. al. 1992, S. 20].
The development of new perspectives can thus Die Herausbildung neuer Perspektiven kann somit
support processes of conceptual change in two re- Conceptual-Change-Prozesse in zweierlei Hinsicht
spects. On the one hand, historic changes in con- unterstützen. Einerseits lassen sich historische Kon-
cepts can be traced and analysed. On the other, zeptwechsel nachverfolgen und analysieren. Ander-
changes in concepts can be attained in the learning erseits werden im Lernprozess Konzeptwechsel er-
process which enable students to gain a superior möglicht, die bei den Studenten zu einer übergeord-
perspective. An understanding of physical pheno- neten Sichtweise führen. Denn ein Verständnis phy-
menon requires that the learners not only take on sikalischer Phänomene setzt voraus, dass die Ler-
different perspectives and standpoints, but that they nenden nicht nur unterschiedliche Blickrichtungen
are also able to question them in a metaconceptual und Standpunkte einnehmen, sondern diese auch
manner [Horn 2003]. metakonzeptuell hinterfragen können [Horn 2003].
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3. Pauli matrices 3. Pauli-Matrizen
Wolfgang Pauli during his lifetime, according to Wolfgang Pauli bewegte sich, so der Konstanzer
the Constance physics historian Ernst-Peter Fischer, Physikhistoriker Ernst-Peter Fischer, Zeit seines
was „at the border of thought“. In his biography of Lebens „an den Grenzen des Denkens“. Fischer
Pauli [Fischer 2000], Fischer especially illustrates stellt in seiner Biographie Paulis [Fischer 2000]
the psychological background of Pauli’s struggle gerade auch die psychologischen Hintergründe von
with an integrated and holistic description of the Paulis Ringen mit einer ganzheitlichen Weltbe-
world. schreibung dar.
One central aspect according to Fischer is the com- Ein zentraler Punkt ist dabei nach Fischer der psy-
plex psychological transition from the medieval chologisch nicht einfache Übergang von der mittel-
trinity (back) to the Pythagorean quantum me- alterlichen Trinität (zurück) zur pythagoräisch-
chanical quaternity, which according to Pauli en- quantenmechanischen Quaternität, die nach Pauli
ables „a greater completeness of experience” [Pauli eine „größere Vollständigkeit des Erlebens“ [Pauli
1994, p. 258]. 1994, S. 258] verspricht.
All the more surprising is thus that Pauli draws upon Umso erstaunlicher ist deshalb, dass Pauli zur Be-
the trivalent matrices schreibung des nichtrelativistischen Elektrons die
dreiwertigen Matrizen
σ 2 = σ 2 = σ 2 = 1
x y z
σxσy = – σyσx σx2 = σy2 = σz2 = 1
σyσz = – σzσy σxσy = – σyσx
σzσx = – σxσz σyσz = – σzσy
σ σ = –σ σ
z x x z
for describing the nonrelativistic electron. The de-
rivation of these matrices, a similar version of heranzieht. Die Herleitung dieser Matrizen, die sich
which can be found in all newer physics textbooks, in ähnlicher Form auch in allen neueren Physik-
is represented in a very appealing manner in the Lehrbüchern findet, ist sehr ansprechend in der
quantum mechanics lecture given by Enrico Fermi Quantenmechanik-Vorlesung von Enrico Fermi
[Fermi 1995] and in the concise depiction by Sin- [Fermi 1995] und der übersichtlichen Darstellung
itiro Tomonaga [Tomonaga 1997]. von Sin-itiro Tomonaga [Tomonaga 1997] darge-
legt.
The Algebraic Relationship between Quaternions
and Pauli Matrices Die algebraische Beziehung zwischen Quaterni-
onen und Pauli-Matrizen
In accordance with a portrayal by Abraham Pais
[Pais 2002, p.209], already shortly after the formula- Schon kurz nach Formulierung der Spin-Matrizen
tion of the spin matrices by Pauli, Ernst Pascual durch Pauli, wird er – einer Schilderung von Abra-
Jordan calls Pauli’s attention to the close relation- ham Pais zufolge [Pais 2002, S. 290] – von Ernst
ship between quaternions and the newly discovered Pascual Jordan auf die enge Beziehung zwischen
spin matrices. This relationship is written by Élie den Quaternionen und den neu entdeckten Spin-
Cartan4 [Cartan 1981, p. 45] as: Matrizen aufmerksam gemacht. Diese Beziehung
lautet in der Schreibweise4 von Élie Cartan [Cartan
⎛0 1⎞ 1981, S. 45]:
i = – i σx = – i ⎜ ⎟
⎝1 0⎠ ⎛0 1⎞
i = – i σx = – i ⎜ ⎟
j = – i σy = – i ⎛⎜0 −i⎞⎟ ⎝1 0⎠
⎝i 0⎠ ⎛0 −i⎞
j = – i σy = – i ⎜ ⎟
⎛1 o ⎞ ⎝i 0⎠
k = – i σz = – i ⎜ ⎟
⎝0 −1⎠ k = – i σz = – i ⎛⎜1 o ⎞⎟
⎝0 −1⎠
4 In some books (see for instance [Doran et al. 2003, 4 In manchen Büchern [z.B. Doran et al. 2003, S. 34]
p. 34]) one can find another use of signs, so that findet sich eine andere Vorzeichenwahl (i = iσ ,
x
one has to differentiate between an illustration of a etc...), so dass zwischen der Darstellung in einem
right-handed system of coordinates on a left-handed rechts- und einem linkshändigen Koordinatensys-
one. By means of one or three changes of signs tem unterschieden werden muss. Durch ein oder
these different illustrations can be transferred into drei Vorzeichenwechsel können diese unterschiedli-
each other. chen Darstellungen ineinander überführt werden.
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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Special attention should be paid to the difference Zu achten ist dabei insbesondere auf den Unter-
between the complex base unit i and the quaternion schied zwischen der komplexen Basiseinheit i und
base unit i which both have different meanings and der quaternionischen Basiseinheit i, die eine unter-
different functions. schiedliche Bedeutung und eine unterschiedliche
Funktion haben.
How these different meanings and functions should
be understood depends on the interpretation. As long Wie diese unterschiedliche Bedeutung und Funktion
as no interpretation is undertaken, the relationship is zu verstehen ist, ist jedoch eine Frage der Inter-
of a purely algebraic nature. In the manner of speak- pretation. So lange, wie diese Interpretation nicht
ing common to Weizsäcker, one would say that vorgenommen wird, handelt es sich um eine Bezie-
„physical semantics are missing” [Weizsäcker 1994, hung rein algebraischer Natur. In der Sprechweise
p. 501]. von Weizsäckers müsste man sagen: „Es fehlt die
physikalische Semantik.“ [Weizsäcker 1994, S.
The Meaning of the Pauli Matrices 501].
The mathematical takeover or „assumption of power
of mathematics in quantum theory”, which accord- Die Bedeutung der Pauli-Matrizen
ing to Carl Friedrich von Weizsäcker dates back to Die „Machtübernahme der Mathematik in der Quan-
the year 1932 [Weizsäcker 1994, p. 511], has long- tentheorie“, die nach Carl Friedrich von Weizsäcker
term consequences for the interpretation of all in das Jahr 1932 fällt [Weizsäcker 1994, S. 511], hat
mathematical structures connected with quantum für die Deutung der mit ihr verbundenen mathemati-
mechanics. Since this time there exists a strictly schen Strukturen langfristige Konsequenzen. Es ist
axiomatic structure of quantum mechanics. And nun ein streng axiomatischer Aufbau vorhanden, und
therefore it appears at times as if the meaning of so hat es teilweise den Anschein, dass die Bedeutung
fundamental parts of this theory has been like frozen grundlegender Teile dieser Theorie seit dieser
into the ice of mathematics since this unfriendly „Machtübernahme“ wie eingefroren festliegen.
takeover.
In der Tat gilt dies für die Interpretation der Pauli-
This in effect is true for the interpretation of the Matrizen. Sie werden seit Einführung durch Pauli in
Pauli matrices. Since their introduction by Pauli, nahezu allen Lehrbüchern ausschließlich als quan-
they have been derived from, been described and tenmechanische Operatoren hergeleitet, beschrieben
interpreted exclusively as quantum mechanic opera- und interpretiert. Alternative Erklärungsansätze
tors in nearly all textbooks. No alternative ap- werden nicht versucht und nicht gegeben. Bei den
proaches of explanation are neither attempted nor Lernenden muss dadurch der Eindruck entstehen,
given. Thus, the impression that Pauli matrices are Pauli-Matrizen seien etwas originär Quantenme-
something absolutely quantum mechanically is chanisches.
automatically generated in the teaching and learning
Dabei ähnelt die Beschreibung der Spinmatrizen als
process of students.
Operatoren sehr der Beschreibung von komplexen
Thereby, the description of spin matrices as opera- Zahlen – und diese lassen sich in zwei gänzlich un-
tors is very similar to the description of complex terschiedlichen Bedeutungszusammenhängen inter-
numbers – and these can be interpreted in two com- pretieren.
pletely different contexts.
Die komplementäre Deutung der komplexen Zahlen
The Complementary Interpretation of Complex
Die komplementäre Deutung der komplexen Zahlen
Numbers
wird in der Gauß’schen Zahlenebene anschaulich
The complementary interpretation of complex num- sichtbar. Einerseits werden komplexe Zahlen im
bers is clearly evident in the Gaussian plane. On the Sinne von Koordinaten gedeutet. So entspricht die
one hand, complex numbers are interpreted as co- komplexe Zahl z = 5 + 3i einem Vektor, der fünf
ordinates. Thus, the complex number z = 5 + 3i is Basiseinheiten in reeller Richtung und drei Basisein-
represented by a vector with five basic units in real heiten in imaginärer Richtung zeigt (siehe Abbil-
direction and three basic units in imaginary direction dung 1).
(see figure 1).
Die in der Gauß’schen Zahlenebene dargestellten
The vectors represented in the Gaussian plane can be Vektoren lassen sich durch einfache Multiplikati-
manipulated with simple multiplications: a multipli- onen manipulieren: Eine Multiplikation mit einer
cation with a real number causes a compression or a reellen Zahl bewirkt eine Stauchung oder Streckung.
dilation. A multiplication with a complex number of Eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl der
norm 1 causes a rotation, and a multiplication with Norm 1 bewirkt eine Drehung, und eine Multipli-
an arbitrary complex number causes a rotation that is kation mit einer beliebigen komplexen Zahl bewirkt
connected with a compression or a dilation.
M. Horn: QUATERNIONEN UND GEOMETRISCHE ALGEBRA, Kassel 2006
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Im
3 i Fig. 1: Representation of the complex
number z = 5 + 3 i in the com-
plex plane.
Re Abb. 1: Darstellung der komplexen Zahl
5 z = 5 + 3 i in der Gauß’schen
Zahlenebene.
eine Drehung, die mit einer Stauchung oder Stre-
Complex numbers thus have an operational charac- ckung verbunden ist.
ter. The number i for example imparts a rotation of
Komplexe Zahlen haben somit einen operationalen
90° (see figure 2). Complex numbers can conse-
Charakter. Die Zahl i vermittelt beispielsweise eine
quently be interpreted as coordinates as well as
Rotation um 90° (siehe Abbildung 2). Somit können
operators. This complementary perspective is like-
komplexe Zahlen sowohl als Koordinaten wie auch
wise possible with the Pauli matrices. Pauli matrices
als Operatoren gedeutet werden. Diese komple-
are not mere operators, but also – coordinates!
mentäre Sichtweise ist auch bei den Pauli-Matrizen
This finding is at the centre of geometric algebra: möglich. Pauli-Matrizen sind eben nicht nur Opera-
Pauli matrices can also be interpreted as coordi- toren, sondern auch – Koordinaten!
nates of our three-dimensional, Euclidean space
Im Mittelpunkt der Geometrischen Algebra steht
(within which we lived before Einstein’s discovery
genau diese Erkenntnis: Pauli-Matrizen können
of the relativity theory).
auch als Koordinaten unseres dreidimensionalen,
euklidischen Raumes (in dem wir vor Einsteins Ent-
deckung der Relativitätstheorie lebten) interpretiert
werden.
Im
z ' == –i ( 3 5 ++ 53 i i )
5 i
3 i
Fig. 2: Representation of the complex
number i as rotation operator in
the complex plane.
Re
Abb. 2: Darstellung der komplexen Zahl i –3 5
als Drehoperator in der Gauß-
schen Zahlenebene.
4. Geometric algebra 4. Geometrische Algebra
Geometric algebra which for the first time was for- Die erstmalig durch den amerikanischen Physik-
mulated by the American physics education research- didaktiker David Hestenes formulierte Geometrische
er David Hestenes (see [Hestenes 1990], [Hestenes Algebra (siehe [Hestenes 1990], [Hestenes 2002],
2002], [Doran 2003] and the references listed therein) [Doran 2003] und die darin aufgeführten Literatur-
provides a mathematical language that is adequate in hinweise) liefert eine mathematische Sprache, die
comprehensively formulating physical phenomenon geeignet ist, physikalische Phänomene übergreifend
in a mathematical consistent manner [Hestenes 1986]. mathematisch zu formulieren [Hestenes 1986].
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At the university, students of physics are currently Während des Studiums werden Physikstudentinnen
confronted with a diversity of competing mathe- und -studenten derzeit mit einer Vielzahl konkurrie-
matical approaches. These approaches however are render mathematischer Ansätze konfrontiert. Diese
not constructively interrelated in terms of a meta- Ansätze werden dabei nicht konstruktiv im Sinne
conceptual perspective, but rather make up a truly einer metakonzeptuellen Sichtweise verknüpft, son-
Babylonian chaos of different mathematical speech dern bilden nach David Hestenes ein wahrlich „ba-
that, according to David Hestenes, leads to massive bylonisches Chaos an mathematischen Sprech-
redundancies in the language or languages we are weisen“, das dazu führt, dass die derzeit von uns
using in mathematics: „Suffering from a Babylon of benutze Sprache bzw. benutzten Sprachen in der
tongues, mathematics has become massively redun- Mathematik massive Redundanzen aufweisen.
dant“ [Hestenes 1986, p. 3]. [Hestenes 1986, S. 3].
Geometric algebra is trying to recognise these redun- Die Geometrische Algebra versucht, diese Redun-
dancies by way of a metaconceptual integration of a danzen durch die metakonzeptuelle Vernetzung der
diversity of mathematical dialects and diffuse the unterschiedlichen mathematischen Dialekte zu er-
problem by the means of education and methods of kennen und didaktisch zu entschärfen.
teaching.
Dies gelingt durch die Einbindung des bereits von
This can be achieved by integrating the so-called Hermann Günther Graßmann formulierten und von
„geometric product“ already formulated by Hermann William Kingdon Clifford näher untersuchtem soge-
Günther Graßmann and more closely analysed by nannten „geometrischen Produkts“, das eine geo-
William Kingdon Clifford which demonstrates a metrisch begründete Vereinheitlichung von innerem
geometrically founded unification of the inner and und äußerem Produkt darstellt. Dieser Hestenes’sche
outer product. The approach by Hestenes distin- Ansatz zeichnet sich insbesondere dadurch aus, dass
guishes itself in that algebraic and geometric inter- algebraische und geometrische Deutungen in einen
pretations are associated with each other stringently stringenten und sich komplementär ergänzenden Zu-
and complementarily. sammenhang stehen.
⎛−5⎞
⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟ – 5 σx + 4 σy + 7 σz
⎜⎝ 7 ⎟⎠ z-axis
7 σz
– 5 σx
y-axis Fig. 3: Representation of a vector in geo-
metric algebra.
4σ
y
Abb. 3: Darstellung eines Vektors in der
x-axis
Geometrischen Algebra.
At the centre of this interrelation of algebra and Im Zentrum dieser Verknüpfung von Algebra und
geometry is the interpretation of the Pauli matrices Geometrie steht die Deutung der Pauli-Matrizen als
as basic vectors of the three-dimensional, Euclidean Basisvektoren des dreidimensionalen, euklidischen
space. Vectors are consequently depicted in geo- Raumes (siehe Abbildung 3). Vektoren werden in
metric algebra as a linear combination of the three der Geometrischen Algebra deshalb als Linearkom-
Pauli matrices. bination der drei Pauli-Matrizen dargestellt.
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The Basis of Geometric Algebra Die Basisgrößen der Geometrischen Algebra
The geometric interpretation of Pauli matrices be- Die geometrische Interpretation der Pauli-Matrizen
comes more clear when considering the pro- wird noch deutlicher, wenn die Produkte der Pauli-
ducts of Pauli matrices. The product of two differ- Matrizen betrachtet werden. Das Produkt aus zwei
ent Pauli matrices can be interpreted as an area ele- unterschiedlichen Pauli-Matrizen kann als flächen-
ment. Any plane can therefore be represented hafte Basiseinheit gedeutet werden. Jede beliebige
as a linear combination of the three possible di- Fläche lässt sich deshalb als Linearkombination der
rected area elements σ σ , σ σ and σσ . With- drei möglichen Basisgrößen σ σ , σ σ und σσ
x y y z z x x y y z z x
in this context bivectors experience a natural inter- darstellen. Bivektoren erfahren in diesem Kontext
pretation as directed planes, while trivectors eine natürliche Deutung als orientierte Flächen,
as a multiple of the volume element σ σ σ während Trivektoren als Vielfaches der Basiseinheit
x y z
can be interpreted as directed volumes (see fig- σ σ σ als Volumina interpretiert werden können
x y z
ure 4). (siehe Abbildung 4).
mathematical geometric Mathematisches Geometrische
object interpretation Objekt Interpretation
scalar 1 dimensionless Skalar 1 dimensions-
number lose Größe
σx σx
vectors σ directed Vektoren σ gerichtete
σz lines σz Strecken
y y
bivectors σxσy Bivektoren σxσy
(pseudo- σ σ directed (Pseudo- σ σ orientierte
vectors) σyσz areas vektoren) σyσz Flächen
z x z x
trivector σ σ σ directed Trivektor σ σ σ orientiertes
(pseudoscalar) x y z volume (Pseudoskalar) x y z Volumen
Fig. 4: Basic elements of geometric algebra. Abb. 4: Basisgrößen der Geometrischen Algebra.
In order to mathematically model processes in a Um Vorgänge in einem dreidimensionalen euklidi-
three-dimensional Euclidean space, a total of eight schen Raum mathematisch zu modellieren, werden
basic units are required. The meaning and interpre- insgesamt acht Basisgrößen benötigt. Dabei steht die
tation of these mathematical parameters are at the Bedeutung und Interpretation dieser mathematischen
centre of attention here. Größen im Zentrum.
Forms of Representation of Geometric Algebra Repräsentationsformen der Geometrischen Algebra
The meaning of mathematical constructs however is Die Bedeutung mathematischer Konstrukte wird je-
always imparted by the relationships of these con- doch immer durch die Beziehung dieser Konstrukte
structs to other mathematical constructs and never zu anderen mathematischen Konstrukten vermittelt
by the representation of mathematical constructs as und nie durch die Darstellung mathematischer Kon-
such (see for instance [Jeans 1981]). Baylis there- strukte an sich (siehe zum Beispiel [Jeans 1981]).
fore concludes that „we can concentrate on the alge- Baylis schlussfolgert deshalb, dass „wir uns auf die
bra and forget explicit representations” when work- Algebra der Pauli-Matrizen an sich konzentrieren
ing with Pauli matrices [Baylis 2002, p. 12]. sollten, und explizite Repräsentationen als Matrizen
vergessen können“ [Baylis 2002, S. 12].
Even from a didactic point of view, the represen-
tation of matrices is problematic: „Working directly Auch aus didaktischer Sicht ist die Matrizen-
with matrices does obscure geometric meaning, and darstellung problematisch: „Direkt mit 2x2-Matrizen
is usually best avoided“ [Doran et al. 2003, p. 38]. zu arbeiten, verschleiert die geometrische Bedeutung
With the above-mentioned formulae und wird am besten gleich vermieden“ [Doran et al.
2003, S. 38]. An den oben angegebenen Formeln
⎛0 1⎞
i = – i σx = – i ⎜ ⎟, etc... ⎛0 1⎞
⎝1 0⎠ i = – i σx = – i ⎜ ⎟, etc...
⎝1 0⎠
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