Table Of Content1
Quantum Field Theory
A Diagrammatic Approach
Ronald Kleiss
2
Simon Partlic (T`´re´`s´t,1590- ?, 1649)
astronomer, mathematician and physician
”...The Ancients were wont to draw Diagrams &
thus divine Predictions for future Happenings, by
Arts magickal or conjectural... likewise the Sa-
vants of the Future will learn to employ Diagrams ;
yet not by Arts magickal, rather by Arts arith-
metickal, algebraickal & by Geometrie and the
Quadrature will they study to foretell the Events
of Nature...”
(attributed to Simon Partli´c)
Contents
0 Introductory remarks 19
0.1 Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2 Basic tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.2.1 Units and fundamental units . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.2.2 Planck units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.2.3 Charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.2.4 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.3 The P4 Hall of Fame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.4 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1 QFT in zero dimensions 29
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Probabilistic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Quantum field and action . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Green’s functions, sources and the path integral . . . . 30
1.2.3 Connected Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.4 The free theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5 The ϕ4 model and perturbation theory . . . . . . . . . 33
1.2.6 The Schwinger-Dyson equation . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.7 The Schwinger-Dyson equation for the field function . . 36
1.3 Diagrammatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1 Feynman diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2 Feynman rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.3 Symmetries and multiplicities . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.4 Vacuum bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.5 An equation for connected graphs . . . . . . . . . . . . 42
1.3.6 Semi-connected graphs and the SDe . . . . . . . . . . . 44
1.3.7 The path integral as a set of diagrams . . . . . . . . . 45
3
4 CONTENTS
1.3.8 Dyson summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Planck’s constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4.1 The loop expansion, and reverse engineering . . . . . . 48
1.4.2 The classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.3 On second quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4.4 Instanton contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5 The effective action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.5.1 The effective action as a Legendre transform . . . . . . 53
1.5.2 Diagrams for the effective action . . . . . . . . . . . . . 55
1.5.3 Computing the effective action . . . . . . . . . . . . . . 56
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 On renormalization 65
2.1 Doing physics : mentality against reality . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1 Physics vs. Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.2 The renormalisation program : an example . . . . . . . 66
2.2 A handle on loop divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1 A toy : the dot model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.2 Nonrenormalizable theories. . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3 Scale dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 Scale-inpendent scale dependence . . . . . . . . . . . . 72
2.3.2 Low-order approximation to the renormalised coupling 75
2.3.3 Scheme dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.4 Theories with more parameters . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.5 Failure of the dot model . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4 Asymptotics of renormalisation in ϕ4 theory . . . . . . . . . . 79
2.5 The method of counterterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.1 Counterterms in the action . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.2 Return to the dot model, and a preview . . . . . . . . 82
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 More fields in zero dimensions 85
3.1 The action and the path integral . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Connected Green’s functions and field functions . . . . . . . . 86
3.3 The Schwinger-Dyson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 The sum rules revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 A zero-dimensional toy for QED . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.1 Fields and sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
CONTENTS 5
3.5.2 Bald, furry and quenched toys . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 QFT in Euclidean spaces 95
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 One-dimensional discrete theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1 An infinite number of fields . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2 Introducing the propagator . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.3 Computing the propagator . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.4 Figments of the imagination : a sermon . . . . . . . . . 100
4.3 One-dimensional continuum theory . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.1 The continuum limit for the propagator . . . . . . . . . 102
4.3.2 The continuum limit for the action . . . . . . . . . . . 103
4.3.3 The continuum limit of the classical equation . . . . . 105
4.3.4 The continuum Feynman rules and SDe . . . . . . . . . 105
4.3.5 Field configurations in one dimension . . . . . . . . . . 106
4.4 The momentum representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.1 Fourier transforming the SDe . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Doing it in momentum space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.1 The Feynman rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.2 Some example diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6 More-dimensional theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.1 The more-dimensional continuum . . . . . . . . . . . . 113
4.6.2 The propagator, explicitly . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 QFT in Minkowski space 121
5.1 Moving to Minkowski space : making time . . . . . . . . . . . 121
5.1.1 Distance in Minkowski space . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.2 Farewell probability, hello SDe . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.3 A close look at almost nothing: i(cid:15) and − . . . . . . . . 124
5.1.4 The need for quantum transition amplitudes . . . . . . 125
5.1.5 Feynman rules for Minkowskian theories . . . . . . . . 126
5.1.6 The propagator, explicitly . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Moving in Minkowski space : particles . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.1 The Klein-Gordon equation . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.2 Enter the particle ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3 Unstable particles, i(cid:15) and the flow of time . . . . . . . 133
6 CONTENTS
5.2.4 The Yukawa potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.5 Kinematics and Newton’s First Law . . . . . . . . . . . 136
5.2.6 Antimatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.7 Counting states : the phase-space integration element . 143
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Scattering processes 147
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Incursion into the scattering process . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.1 Diagrammatic picture of scattering . . . . . . . . . . . 147
6.2.2 The argument for connectedness . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 Building predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.1 General formulæ for decay widhts and cross sections . . 151
6.3.2 The truncation bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.3 A check on dimensionalities . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.4 Crossing symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4 Unitarity issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1 Unitarity of the S matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.2 The cutting rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.3 Infrared cancellations in QED . . . . . . . . . . . . . . 165
6.5 Some example calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.1 The FEE model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.2 Two-body phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5.3 A decay process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5.4 A scattering process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6 The one-loop cookbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.6.1 The one-loop calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.6.2 Dispersion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7 Dirac particles 185
7.1 Pimp my propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.1 Down with dyads ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1.2 The spin interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2 The Dirac algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.1 The Dirac matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.2 The Clifford algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.3 Trace identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
CONTENTS 7
7.2.4 Pauli and Chisholm, their identities . . . . . . . . . . . 194
7.2.5 Hermite no, Dirac yes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.6 Flipping in and flipping out . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.7 A Fierz identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3 Dirac spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.1 Chirality spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.2 Chirality spinors are massless . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.3 Phase conventions, spinor products and Weyl . . . . . 201
7.3.4 General spinors and their dyads . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.5 General spinors and Dirac spinors . . . . . . . . . . . . 204
7.3.6 Particular general spinors . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.4 Dirac particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.1 Casimir does tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.2 The Dirac propagator, and a convention . . . . . . . . 209
7.4.3 Truncating Dirac particles : external Dirac lines . . . . 211
7.4.4 Lorentz transformations in Dirac space . . . . . . . . . 213
7.4.5 The spin of Dirac particles . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.4.6 Massless Dirac particles ; helicity states . . . . . . . . 215
7.4.7 The parity transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5 The Feynman rules for Dirac particles . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.1 Dirac loops... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.2 ... and Dirac loops only . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.5.3 Interchange signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.5.4 The Pauli principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.6 The Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.6.1 The classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.6.2 The free Dirac action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8 Helicity techniques for Dirac particles 229
8.1 The standard form for spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.1 Opting for helicities, opting for antisymmetry . . . . . 229
8.1.2 The standard form for helicity spinors . . . . . . . . . 230
8.1.3 Some useful identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1.4 How to compute spinor products . . . . . . . . . . . . 232
8.1.5 The standard form for massive particles . . . . . . . . 233
8.1.6 The standard form for complex momenta . . . . . . . . 234
8.2 Summary of tools for spinor techniques . . . . . . . . . . . . 235
8 CONTENTS
8.3 Fermionic decays : the Fermi model . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.3.1 The amplitude for muon decay . . . . . . . . . . . . . 236
8.3.2 Three-body phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3.3 The muon decay width . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.3.4 Observable distributions in muon decay . . . . . . . . . 240
8.3.5 Charged pion decay: helicity suppression . . . . . . . . 242
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9 Vector particles 247
9.1 Massive vector particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.1.1 The propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.1.2 The Feynman rules for external vector particles . . . . 248
9.1.3 The spin of vector particles . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.1.4 Polarisation vectors for helicity states . . . . . . . . . . 251
9.1.5 The Proca equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.2 The spin-statistics theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2.1 Spinorial form of vector polarisations . . . . . . . . . . 253
9.2.2 Proof of the spin-statistics theorem . . . . . . . . . . . 255
9.3 Massless vector particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.3.1 Polarisations of massless vector particles . . . . . . . . 256
9.3.2 Current conservation from the polarisation . . . . . . . 257
9.3.3 Handlebar condition for massive vector particles . . . . 259
9.3.4 Helicity states for massless vectors . . . . . . . . . . . 259
9.3.5 The massless propagator : the axial gauge . . . . . . . 261
9.3.6 Gauge vector shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10 Quantum Electrodynamics 267
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.2 Constructing QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.2.1 The QED vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.2.2 Handlebars : a first look . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.2.3 Handlebar diagrammatics . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.2.4 The Ward-Takahashi identity . . . . . . . . . . . . . . 272
10.2.5 The charged Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.2.6 The Gordon decomposition . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.2.7 Furry’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.3 Some QED processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
CONTENTS 9
10.3.1 A classic calculation : muon pair production . . . . . . 279
10.3.2 Compton and Thomson scattering . . . . . . . . . . . 283
10.3.3 Electron-positron annihilation . . . . . . . . . . . . . . 286
10.3.4 Bhabha scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.3.5 Bremsstrahlung in Mœller scattering . . . . . . . . . . 290
10.4 Scalar electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4.1 The vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4.2 Proof of current conservation in sQED . . . . . . . . . 300
10.5 The Coulomb potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.6 Electrons in external fields : g = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.6.1 The charged Klein-Gordon equation . . . . . . . . . . . 304
10.6.2 The relativistic Pauli equation . . . . . . . . . . . . . . 305
10.6.3 A constant magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.7 Selected topics in QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.7.1 Three-photon production . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.7.2 The Thomson limit : scalar vs spinor . . . . . . . . . . 310
10.7.3 The Landau-Yang theorem . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11 Loop effects in QED 321
11.1 One-loop effects in QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.2 The photon self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.2.1 Current conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.2.2 Using the optical theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.2.3 Getting the divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.2.4 The vacuum polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.2.5 Hadronic vacuum polarization . . . . . . . . . . . . . . 325
11.3 The fermion self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.3.1 A look at gauge invariance . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.3.2 Summing the self-energies . . . . . . . . . . . . . . . . 328
11.3.3 The loop calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.3.4 The curious incident of the divergences in the nighttime331
11.4 Infrared singularities in Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . 332
11.5 The vertex correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10 CONTENTS
12 Quantum Chromodynamics 341
12.1 Introduction: coloured quarks and gluons . . . . . . . . . . . . 341
12.2 Quarks and gluons : first Feynman rules . . . . . . . . . . . . 342
12.2.1 The propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
12.2.2 The quark-gluon vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.2.3 A closer look at the T matrices . . . . . . . . . . . . . 343
12.2.4 The Fierz identity for T matrices . . . . . . . . . . . . 346
12.3 The three-gluon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.3.1 The need for three-gluon vertices . . . . . . . . . . . . 348
12.3.2 Furry’s failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.3.3 The ggg vertex and its handlebar . . . . . . . . . . . . 351
12.3.4 On coupling quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
12.4 The four-gluon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
12.4.1 Colourful manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
12.4.2 A purely gluonic process . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
12.5 Current conservation in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.5.1 More vertices ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.5.2 The Antkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.5.3 Proof of current conservation . . . . . . . . . . . . . . 360
12.6 Selected topics in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.6.1 White and coloured states . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.6.2 The QCD Coulomb interaction . . . . . . . . . . . . . 362
12.6.3 The process qq¯→ gg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.6.4 The Landau-Yang theorem revisited . . . . . . . . . . . 366
12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
13 Electroweak theory 373
13.1 Muon decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.1.1 The Fermi coupling constant . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.1.2 Failure of the Fermi model in µ− ν → e− ν . . . . . 374
µ e
13.2 The W particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.2.1 The IVB strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.2.2 The cross section for µ−ν → e−ν revisited . . . . . . 378
µ e
13.2.3 The WWγ vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
13.3 The Z particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.3.1 W pair production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.3.2 The weak mixing angle for couplings . . . . . . . . . . 388
13.3.3 W,Z and γ four-point interactions . . . . . . . . . . . 389
