Quantenmechanik zu Fuß 1: Grundlagen

462 Pages·2012·3.79 MB·German

by  Jochen Pade (auth.)

Springer-Lehrbuch
Jochen Pade
Quantenmechanik
zu Fuß 
Grundlagen
123
JochenPade
UniversitätOldenburg
Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-25226-6 ISBN978-3-642-25227-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-25227-3
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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Vorwort
EsgibtsovieleLehrbücherderQuantenmechanik–brauchtesdawirklichnochein
weiteres?
DarüberkannmansicherlichverschiedenerAuffassungsein.Immerhinistaber
dieQuantenmechanik(QM)einderartweitesFeld,dasseineinzigesLehrbuchgar
nicht alle Themen abdecken kann. Eine Stoffauswahl bzw. Schwerpunktsetzung
ist per se notwendig, und überdies muss auch das physikalische und mathemati-
sche Vorwissen der Leserschaft gebührendberücksichtigtwerden. Von daher gibt
eszweifelsohnenichtnureinengewissenSpielraumfür,sondernaucheinenBedarf
anrechtverschiedenartigenDarstellungen.
‚Quantenmechanikzu Fuß‘ besitzt eine thematische Mischung, die es von den
anderen mir bekannten Einführungen in die QM unterscheidet. Es geht nicht nur
um die begrifflichen und formalen Grundlagen der Quantenmechanik,sondern es
werdenauchvonBeginnanausführlichsowohlaktuelleThemenundmoderneAn-
wendungenbesprochenalsauchGrundlagenproblemebzw.erkenntnistheoretische
Fragen diskutiert. Damit wendet sich das Buch vor allem an diejenigen,die nicht
nurinangemessenerWeise denFormalismus,sondernauchdieanderenangespro-
chenen Aspekte der QM kennenlernen wollen. Dies ist besonders interessant für
alle, die QM vermitteln wollen, ob an der Schule oder sonstwo. Denn gerade die
aktuellenunderkenntnistheoretischenThemensindinbesonderemMaßegeeignet,
InteresseundMotivationaufzubauen.
Wie bei vielen Einführungen in die QM handelt es sich auch bei diesem um
eindeutlicherweitertesVorlesungsskript.DieVeranstaltung,dieichmehrereJahre
gehalten habe, wendet sich an Lehramtsstudierendeim Hauptstudium bzw. in der
Masterphase,wirdaberauchvonStudierendenandererStudiengängebesucht.Der
KursumfasstwöchentlichvierStundenVorlesungundzweiStundenÜbungen.Er
läuft über ein Semester mit 14 Wochen, was sich in den 28 Kapiteln des Skripts
widerspiegelt.
WegenderüblichenUnterbrechungendurchFeiertageusw.wirdmannichtim-
mer alle 28 Kapitel durchnehmen können. Andererseits fußen gerade die letzten
Kapitelnichtalleaufeinander,sodassmanjenachGeschmackeineAuswahltreffen
kann,ohnedenZusammenhangzuzerreißen.DaessichumeinerweitertesVorle-
V
VI Vorwort
sungsskripthandelt,bietendieeinzelnenKapiteldesBuchesnatürlichmehrMate-
rialalsineinejeweilszweistündigeVorlesungpasst.Der‚Kernstoff‘lässtsichaber
indieserZeitgutdarstellen;zudemkönneneinzelneThemennochindenÜbungen
bearbeitetwerden.
DieStudierendenhabenvordieserVeranstaltungunteranderemAtomphysikge-
hört;einschlägigePhänomene,ExperimenteundeinfacheRechnungensolltenalso
bekanntsein.DennochverfügterfahrungsgemäßdereineoderdieanderezuBeginn
derVeranstaltungnichtübergenügendumfangreichesundabrufbaresWissen.Dass
dies weniger auf die physikalischen, sondern vor allen Dingen auf die mathema-
tischen Kenntnisse zutrifft, hat sicherlich mehrere Gründe.Einer davon mag sein,
dass für das Lehramtsstudium nicht nur die FachkombinationPhysik/Mathematik
zugelassen ist, sondern auch andere wie Physik/Sport, bei denen es naturgemäß
schwererist,mathematischesWissenzuerwerbenundvorallemaktiveinzuüben.
Um das zu berücksichtigen,habe ich unter anderem einige Kapitel mit mathe-
matischem Basiswissen in den Anhang gestellt, sodass die Studierenden gegebe-
nenfalls individuelle Lücken beseitigen können.Außerdem ist das mathematische
Niveau in den ersten Kapiteln recht niedrig und bleibt auch im weiteren Verlauf
sehrüberschaubar;esgehtebennichtumdieEinübungbesonderselaborierterfor-
maler Methoden, sondern um eine kompakte und gut zugängliche Einführung in
wesentlicheAspektederQM.
EsgibtwiegesagteinegroßeZahlausgezeichneterLehrbücherderQuantenme-
chanik,ganzabgesehenvonderVielzahlnützlicherInternetseiten.Selbstverständ-
lich habe ich beim Verfassen des Skripts einige zu Rate gezogen,mich von ihnen
anregen lassen und gegebenenfalls Ideen, Aufgaben usw. übernommen, ohne das
immerim Einzelnenanzuführen.Diese BücherundInternetadressensindim Lite-
raturverzeichnisaufgeführt,soweitsienichtdirektimTexterwähntwerden.
NocheineBemerkungzumTitel‚QuantenmechanikzuFuß‘.Erbedeutetnicht
‚QMlight‘indemSinneineranstrengungsfreienWissenübertragungàlaNürnber-
gerTrichter.Nein,‚zuFuß‘isthierschonalsselbständigeundaktiveFortbewegung
gemeint–SchrittfürSchritt,nichtunbedingtschnell,abundzu(beisozusagenstei-
leren Strecken)auch anstrengend(je nach Trainingsstand,der nebenbeigesagt im
Weitergehenauchimmerbesserwerdenwird).
Es geht bildlich gesprochen darum, sich die Landschaft der Quantenmechanik
zu erwandern,gegebenenfallsaufUmwegenseineOrtskenntniszuverbessernund
vielleichtsogardeneigenenWegzuerkennen.
Im Übrigenist es nichtnur immer wieder erstaunlich, wie weit man mit etwas
Durchhaltevermögenzu Fuß kommt, sondern auch, wie schnell es doch vorwärts
geht – und wie nachhaltig es ist. ‚Nur wo du zu Fuß warst, bist du auch wirklich
gewesen.‘(JohannWolfgangvonGoethe).
Klaus Schlüpmann, Heinz Helmers, Edith Bakenhus sowie meine Söhne Jan
PhilippundJonashabeneinzelneKapitelkritischdurchgelesen;SabrinaMilkehat
michbeimVerfertigendesRegistersunterstützt.Ihnenundallenanderen,diemich
aufdieeineoderandereWeiseunterstützthaben,dankeichsehrherzlich.
Oldenburg,März2012 JochenPade
Einleitung
DieQuantenmechanik(QM)stelltwohldieamgenauestenüberprüftephysikalische
Theorie dar. Bis dato gibt es keinerleiWiderspruch zum Experiment;die Anwen-
dungenderQM habenunsereWelt bistiefinunserAlltagslebenhineinverändert.
ÜberdasFunktionierenderQMgibtesalsokeinerleiZweifel–sieistüberauser-
folgreich. Auf der formalen Ebene ist sie selbstverständlich widerspruchsfreiund
eindeutig sowie (sicherlich auch nicht unwichtig) als Theorie auch ästhetisch be-
friedigendundüberzeugend.
Strittigist dagegen,wasdieQM ‚wirklich‘bedeutet.FürwasstehtdieWellen-
funktion, was ist die Rolle des Zufalls? Müssen wir tatsächlich klassisch vertrau-
te Realitätsvorstellungenüber Bord werfen? GrundlegendeFragendieser Art sind
trotzderfasthundertjährigenGeschichtederQMimmernochungelöstundwerden
lebhaftundkontroversdiskutiert.EsexistierenzweikonträreEinstellungen(nebst
vielenZwischenstadien):DieeinensehendieQMnurals(allerdingsausgezeichnet
funktionierendes)Vorläuferstadiumeiner‚wahren‘Theorie,dieanderenalsgültige
fundamentaleTheorie.
DiesesBuchwillinbeideSeitenderQMeinführen,dieetablierteunddiedisku-
tierte;wirwerdensowohldiebegrifflichenundformalenGrundlagenerarbeitenals
auch‚Problemstellen‘derQMerörtern.DarüberhinausumfasstdasBuchwesent-
licheanwendungsorientierteThemen,‚moderne‘zumBeispielausdemBereichder
Quanteninformationalsauch‚traditionelle‘wiedasWasserstoff-oderdasHelium-
atom.DabeibeschränkenwirunsaufdenBereichdernichtrelativistischenPhysik,
wenngleichauchvielederIdeenaufdenrelativistischenFallerweitertwerdenkön-
nen.AußerdembetrachtenwirnurzeitunabhängigeWechselwirkungen.
WährendhäufigineinführendenVeranstaltungenüberdieQMdieEinübungfor-
malerFertigkeitensehrimVordergrundsteht(gemäßdembekanntenSlogan‚shut
upandcalculate‘),werdenwirentsprechendunsererZielvorstellungauchderDis-
kussion von Grundlagenfragen angemessenen Raum geben. Diese spezielle Mi-
schungvon Grundlagendiskussionund modernerPraxisist schon an sich sehr ge-
eignet,InteressewachzurufenundMotivationaufzubauen.Dieswirdnochverstärkt
dadurch,dasswesentlicheGrundideenansehreinfachenBeispielssystemendisku-
VII
VIII Einleitung
tiertwerdenkönnen.NichtumsonstwerdeneinigederindiesemBuchbesprochenen
ThemenundPhänomeneauchinverschiedenenFormenanderSchulebehandelt.
BeiderEinführungindieQMlassensichinmathematischerHinsichtzweiZu-
gängeunterscheiden.ZumeinenkannmanüberDifferenzialgleichungengehen(al-
so Analysis), zum anderen über Vektorräume (also Lineare Algebra), wobei die
‚fertige‘ QM natürlich von der Zugangsart unabhängig ist. Beide Zugänge (auch
Schrödinger- und Heisenberg-Zugang genannt) besitzen ihre Vor- und Nachteile;
siewerdenindiesemBuchgleichberechtigteingesetzt.
DerFahrplandesBuchessiehtwiefolgtaus:
DieGrundlagenundStrukturderQMwerdenimerstenTeil(Band1,Kap.1–14)
SchrittfürSchritterarbeitet,undzwarabwechselndineinemanalytischen(ungerade
Kapitel)undalgebraischenStrang(geradeKapitel).DadurchwirddiefrüheFestle-
gungaufeinederbeidenFormulierungenvermieden;außerdemstützensichdiebei-
denZugängegegenseitigbeiderErarbeitungwichtigerKonzepte.DieZusammen-
führungderbeidenWegebeginntinKap.12.InKap.14werdendieÜberlegungen
inFormvonmöglichstallgemeingehaltenenPostulatenderQMzusammengefasst.
GeradeimalgebraischenTeilgreifenwirrechtfrühaktuelleProblemeauf(wech-
selwirkungsfreie Quantenmessung, Neutrinoproblem, Quantenkryptografie), was
möglich ist, da diese Probleme mit ganz schlichten mathematischen Mitteln be-
arbeitet werden können. Von daher ist diese Art des Zugangs auch zum Beispiel
für die Schule von großemInteresse. Im analytischen Zugangverwendenwir den
unendlichhohenPotenzialtopfund die freie Bewegungals einfache physikalische
Modellsysteme.
Im zweiten Teil (Band 2, Kap. 15–28) werden Anwendungenund Erweiterun-
gendesbislangerarbeitetenFormalismusbetrachtet.DieErörterungkonzeptueller
Schwierigkeiten(Messproblem,LokalitätundRealitätusw.)bildetdabeiwieauch
imerstenTeileinenrotenFadendesTextes.Nebeneinigenehertraditionellorien-
tierten Themen (Drehimpulse, einfache Potenziale, Störungstheorie, Symmetrien,
IdentischeTeilchen,Streuung)beginnenwirinKap.20mitderDiskussion,obdie
QMeinelokal-realistischeTheoriedarstellt.InKap.22führenwirdenDichteope-
rator ein, um in Kap. 24 das Phänomen der Dekohärenzund seine Bedeutungfür
den Messprozess diskutieren zu können. In Kap. 27 greifen wir noch einmal die
RealismusdebatteaufundgehenderFragenach,inwieweitdieQMalsvollständi-
ge Theorie aufgefasstwerdenkann. ModerneAnwendungenaus dem Bereich der
QuanteninformationfindensichinKap.26.
Schließlich skizzieren wir in Kap. 28 die gängigsten Interpretationender QM.
Abgesehen von diesem Kapitel gilt: Wenn auch noch sehr kontrovers diskutiert
wird,welche(wenndennüberhaupt)die‚richtige‘Interpretationist,musseineEin-
führungin die QM eine eindeutige Position beziehen und zuerst einmalden Stoff
ineinerkohärentenDarstellungpräsentieren.IndiesemBuchistdasdiehäufigals
‚Standardinterpretation‘bezeichneteInterpretation.
EinigeWortezurRollederMathematik.
Da die QM Objekte beschreibt, die wegen ihrer Kleinheit unserem Alltagsver-
ständnisentzogensind,istsienichtdurchweginAlltagsbegriffenformulierbarund
mussvondahervergleichsweiseabstraktsein.EintieferesVerständnisderQMlässt
Einleitung IX
sich nicht auf einem rein sprachlichen Niveau erreichen; wir brauchen durchaus
auchmathematischeBeschreibungen.1NatürlichkannmansichAnalogienundver-
einfachte Modelle bilden, aber das geht nur bis zu einem bestimmten Grad und
ist auch nur dann sinnvoll, wenn man den mathematischenApparatwenigstensin
Grundzügenkennt.2
EsliegtandiesemGeflechtvonUnanschaulichkeitundunerlässlicherMathema-
tisierung, dass die QM vielfach als ‚schwierig‘ gilt. Das stimmt aber nur bedingt.
Sicher,esgibthochformalisierteanspruchsvolleTeilgebiete.Weiteundinteressan-
te BereichejedochwerdenvonsehreinfachenPrinzipiengeprägt,diemitsimplen
formalenMittelnbeschriebenwerdenkönnen.
DessenungeachtetwirdgeradevonAnfängerndieBedeutungderMathematikin
derQMvielfachalsentmutigendempfunden.DreiMaßnahmensollendazudienen,
diesem Eindruck zu entgegnen und ihn bestenfalls erst gar nicht aufkommen zu
lassen.
Zum einen halten wir das mathematische Niveau so niedrig wie möglich und
schließen uns der bei Physikern üblichen lockeren Herangehensweise an die Ma-
thematik an. Insbesondere die ersten Kapitel bauen Schritt für Schritt auf, sodass
anfänglichunterschiedlicheMathematikkenntnisseallmählichausgeglichenwerden
können.
Außerdem verwenden wir vor allem im ersten Teil des Buches sehr einfache
Modellierungen,sozusagenSpielzeugmodelle,umdiewesentlichenphysikalischen
Ideendiskutierenzukönnen,ohneinschwierigemathematischeFragenverwickelt
zuwerden.NatürlichsinddieseModellenursehrgrobeBeschreibungentatsächli-
cherphysikalischerSachverhalte.Dafürkommensieabermitvergleichsweisesimp-
lerMathematikaus,brauchenkeineNäherungsmethodenoderNumerikundermög-
lichen doch wesentliche Einsichten in die Grundlagen der QM.3 Erst in Band 2
kommen dann realistischere Modelle zum Einsatz, was sich gelegentlichin etwas
höheremformalenAufwandniederschlägt.
Die dritte MaßnahmebeinhaltetAufgabenund Hilfestellungen im Anhang. Zu
fastjedemKapitelfindetsicheineVielzahlvonAufgaben,zumTeilauchmitweiter-
führendenThemen.Siesollendazueinladen,sichdenStoffselbsterarbeiten,besser
1 Jedenfalls gilt das für Physikerinnen und Physiker. Denn, wieAlbert Einstein sagte: ‚Es gibt
jedoch nocheinenanderen Grundfür diehoheWertschätzung derMathematik;siealleinbietet
denNaturwissenschaften eingewissesMaßanSicherheit,dasohneMathematiknichterreichbar
wäre.‘UmLaienohnejedemathematischeVorbildungdieQMnahezubringen,wirdmannatürlich
mathematikfreieAnnäherungenwählen(müssen).
2 Ohne einschlägige formale Betrachtungen ist beispielsweise nicht zu erkennen, wie man die
ErsetzungeinerphysikalischenMessgrößedurcheinenhermiteschenOperatormotivierensoll.
3 WirkönntenstattdessennatürlichauchausdemgroßenVorratanhistorischwichtigenExperi-
mentenschöpfen. SiesindaberimAllgemeinenmathematischaufwendiger zuformulieren und
führenimRahmenunsererÜberlegungenauchnichtzuanderenFolgerungenalsdie‚Spielzeug-
modelle‘,sodasswirderÜbersichtlichkeitundKürzehalberunsaufdiesebeschränken.
X Einleitung
aneignenunddeutlicherfassenzukönnensowienatürlichdieformalenFertigkeiten
zutrainieren.4
DieHilfestellungenimAnhangumfassenzumeinenmehrereKapitelmitmathe-
matischem und physikalischem Basiswissen; sie ermöglichen es, eventuell brach-
liegende Kenntnisse wieder auffrischenzu können,ohne lange nachschlagenoder
sich auf neue Notationen etc. einlassen zu müssen. Zum anderen finden sich hier
detailliertausgearbeiteteLösungenfürvieleAufgaben.
DarüberhinausenthältdersicherlichungewöhnlichumfangreicheAnhangnoch
Kapitel,indenenFragenundThemenerörtertwerden,diezwaransichsehrinter-
essant sind, deren Behandlung oder Vertiefung aber den zeitlichen Rahmen einer
Vorlesungsprengenwürde.
Die Fußnotenmit zum Teil eherassoziativem Charakterkannman beim ersten
Lesenüberschlagen.
NocheineBemerkungzumBegriff‚Teilchen‘.SeineBedeutungistinderPhy-
sikrechtunscharf.Zumeinenbezeichneter‚etwasFestes,nichtWellenhaftes‘,zum
anderen ‚etwas Kleines‘; die Spanne reicht vom Elementarteilchen als strukturlo-
semBausteinderMateriebiszum˛-Teilchen,dasseinerseitswiederaus‚Teilchen‘
zusammengesetztist.InderQM,inderjahäufigersteinmalnichtfeststeht,obein
ObjekteherTeilchen-oderWellencharakteraufweist,kanndieunbedachteVerwen-
dungdesBegriffsfürVerwirrungundVerständnisproblemesorgen.
VondaherwurdenschonvielfacheigeneBezeichnungenjenseitsvonWelleoder
Teilchenvorgeschlagen,wiequantalesTeilchen,wavical,wavicle,Wellchen,Quan-
tenobjekt,Quantonundanderemehr.WirwerdenimFolgendensogutwieimmer
‚Quantenobjekt‘verwenden,esseidenn,eshandeltsichumtraditionellfeststehen-
deBegriffewiez.B.‚IdentischeTeilchen‘oder‚Elementarteilchen‘.Diemöglichst
konsequenteVerwendungvon ‚Quantenobjekt‘statt ‚Teilchen‘mag manchmalet-
was pedantisch anmuten, trägt aber hoffentlich doch dazu bei, dass sich weniger
falsche Bilder in denKöpfenfestsetzen. Wohl aus diesem Grundfindetsich diese
BezeichnungübrigensauchinSchulbüchern.
Die QM ist eine grundlegendeTheorieder Physik,die zu ungezähltenAnwen-
dungengeführthat.AbersiereichtauchweitinBereichewiePhilosophieundEr-
kenntnistheorie und führt zum Nachdenken über ,das, was die Welt im Innersten
zusammenhält‘;kurz,sieistaucheinintellektuellesAbenteuer.DasFaszinierende
dabei:JemehrmansichindieQMeinarbeitet,destoehererkenntman,wieeinfach
vieleLeitideensind.5Eswäreschön,wenn‚QuantenmechanikzuFuß‘dabeihelfen
könnte,dieseWahrheitzuentdecken.
4‚EsisteinegroßeStärkungbeimStudieren,wenigstensfürmich,alleswasmanliestsodeutlich
zufassen,daßmaneigeneAnwendungendavon,odergarZusätzedazumachenkann.Manwird
amEndedanngeneigtzuglaubenmanhabeallesselbsterfindenkönnen,undsowasmachtMut.‘
GeorgChristophLichtenberg:SudelbücherHeftJ(1855);Zweitausendeins,1998.
5 ‚Je weniger wirüber eineSache wissen, desto komplizierter ist sie,und jemehr wirüber sie
wissen,destoeinfacher istsie.DasistdieeinfacheWahrheitüberalleKompliziertheiten.‘Egon
Friedell,KulturgeschichtederNeuzeit;KulturgeschichteÄgyptensunddesaltenOrients,S.1311,
Zweitausendeins,2009.
Einleitung XI
SchließenwirmiteinerBemerkungvonRichardFeynman,dienichtnurfürdie
Physik, sondern erst recht für die QM gilt: ‚Physics is like sex: sure, it may give
somepracticalresults,butthat’snotwhywedoit.‘