QUALITATIVE BEHAVIOR 0-P GE STOCHASTIC SYSTEMS Donald A. DAWSON* 1. Introduction A ...

31 Pages·2001·3.52 MB·English

citsahcotS sessecorP and rieht Appli~~~t~i 5~ E r) )0891( 13-l
Q dnalloH-htroN gnihsilbuP tr~itpmoC
QUALITATIVE BEHAVIOR 0-P GE STOCHASTIC SYSTEMS
dlanoD .A DAWSON*
Department fo Mathematics, Carleton University, Ottawa, Casladu
devieceR 19 enuJ 1979
desiveR 17 rebotcO 1979
citsahcotS laitrap laitnereffid snoitauqe htiw laimonylop stneiciffeoc evah ynam snoitacilppa ni
eht yduts fo yllaitaps detubirtsid snoitalupop ni ,sciteneg ,ygoloimedipe ,ygoloce and lacimehc
.scitenik ehT esoprup fo this repap is ot ebircsed emos sdohtem rof gnitagitsevni eht evitatilauq
roivaheb fo yllaitaps suoenegomoh snoitulos fo raenilnon citsahcots laitrap laitnereffid .snoitauqe
ehT ytilibats and noitacrufib fo as llew as eht roivaheb raen lacitirc stniop era .dessucsid
ehT sdohtem deyolpme era eht raenilnon vokraM ,nottamixorppa tnemom ytisned seitilauqeni rof
gniyfitnedi tnairavni sets fo sroivaheb and gnilaeser and quasi- noitaziraenil dnuora lacitirc .stniop
yllaitapS detubirtsid citsahcots noitalupop sledom
tnemom seitilauqeni lacitirc roivaheb ytilibats
1. Introduction
A citsahcotsoeg metsys si a citsahcots ledom fo a yllaitaps detubirtsid .noitalupop
nI gnilledom a yllaitaps detubirtsid noitalupop ereht era eerht niam stceffe hcihw
tsum eb .detaroprocni esehT :era
)i( eht laitaps noitom dna noisrepsid fo eht ,noitalupop
)ii( eht tnerehni noitautculf ni eht noitalupop eud ot latnemnorivne dna -omed
cihparg ,yticitsahcots dna
)iii( eht tnerehni noitcaretni stceffe hcus sa ,noititepmoc noisavni dna .noitaderp
suounitnoC noitalupop sledom fo smetsys tcejbus ot cipocsorcam snoitautculf
dnopserroc ot deulav-erusaem snoitulos fo citsahcots noitulove snoitauqe fo eht
mrof
,t(Xa ta/) = GX(t, s ) + ,t(X(F )) + ,t(X(W 8 ,)) )1.1(
l l
erehw X(-8):[O,m)XR’ + R” setoned eht laitaps noitubirtsid fo eht 2t seiceps
tneserp revo eht latnemnorivne ,ecaps Rd, on hcihw eht noitalupop si demussa ot
.evil G setoned eht tniojda lamisetinifni rotareneg fo a vokraM ssecorp on Rd hcihw
sebircsed eht laitaps noitom fo slaudividni ni eht .noitalupop F( . ) sebircsed eht
* detroppuS yb eht Natural secneicS and gnireenignE Kr hcraes licnuoC fo Canada and eht malliK
margorP fo eht Canada .licnuoC
1
D.A. Da wson / Geostochastic systems
2
raenilnon noitcaretni stceffe dna setoned eht noitalupop tnedneped citsahcots
W( )
l
noitautculf .mret oT ebircserp 1( )1 ni a yllacitamehtam esicerp ,yaw ti si yrassecen ot
l
etalumrofer ti sa a deulav-erusaem elagnitram .melborp The noitulos of hcus a
elagnitram melborp si known sa a citsahcots measure .noisuffid The cisab ecnetsixe
dna sseneuqinu stluser rof eht ssalc fo elagnitram smelborp ot be dessucsid ni siht
repap era dnuof ni .]8[ emoS rehtruf stluser na deulav-erusaem eIagnitram smelborp
era nevig ni .]51,6[
citsahcotS noitulove snoitauqe fo eht mrof )1.1( esira yllarutan sa eht snoitauqe
cibircsed g eht noisuffid snoitamixorppa ot ynam yllaitaps detubirtsid smetsys hcus sa
etinifni elcitrap htrib dna htaed .smetsys selpmaxE esira ni ynam sdleif gnidulcni
non-equ’ muirbil lacitsitats ,scisyhp lacimehc ,scitenik noitalupop ,sciteneg ,ygoloce
cimedipe ,ygol namuh dna cimonoce ,yhpargoeg dna noitamrofni .smetsys
oT muili ,etart we now ebircsed eerht elpmis tub tnatropmi .selpmaxe
elpmaxE 1.1 ehT( citsahcitsoeg citsigol .)ledom ehT citsahcotsoeg citsigol ledom si a
ledom fo a elgnis seiceps ni hcihw eht slaudividni era tcejbus ot ,noitcudorper
,noitargim dna noititepmoc rof detimil .secruoser ehT lausu citsinimreted ledom si
nevig yb eht noitcaer noisuffid noitauqe
,t(ua ta/)x ,)x,t(2ub-)x,f(uaf)x,t(uA2P= )2.1(
erehw a > 0, C > 0, A setoned eht lanoisnemid-d ,naicalpaL dna ,t(u )x setoned eht
noitalupop ytisned ta noitacol x ta emit rehtiE yb gniredisnoc )2.1( htiw dedda
.t
citsahcots snoitautculf ro eht noisuffid noitamixorppa ot yllaitaps etercsid citsahcots
,sledom eno si yllarutan del ot eht citsahcots noitulove noitauqe
nI ,)3.1( ,:.~(8 )y 2 0, setoned eht suoireteled tceffe on eht noitalupop ta noitacol x eud
noititepmoc htiw eht noitalupop ta noitacol ,y y si a retemarap taht serusaem eht
to
ytisnetni fo eht citsahcots snoitautculf dna si lanoitroporp ot eht tcudorp of eht
ecnairav fo eht gnirpsffo noitubirtsid dna eht esrevni naem efil .naps An suogolana
ledom sraeppa ni lacimetc scitenik dna si known sa eht lgiilhcS .ledom
etpmaxE 1.2 lacigolocE( .)seitinummoc redisnoC na lacigoloce ytinummi -sisnoc
gnit fo two .seiceps ,t(X )x dna ,t(Y )x etoned eht ssam noitubirtsid fo eht yerp dna
rotaderp seiceps ta noitacol x dna emit .t The noitalupop noitulove si @en yb eht
riap fo citsahcots noitulove snoitauqe
aXk ‘) = +
lh (1 ,t(Xk ,t(X)))x(,S )x _ a ,r(Y ,t(X))x(& )x
+AW, +)x )a4.1(
;)w1w1p"
D.A. Dawsort / Geostochastic systems 3
am
lx
= ,t(y ,@x)x ))x(?;s - ,t(Y ))x(& ,t(Y -i-)x A2d Y(tp x) + y2 w2( Y),
at
)b4.1(
erehw era serehps deretnec ta x gnitoned eht snoiger fo ecneulfni
S*(x), S*(x), So
fo eht noitaderp dna gnidworc ,stceffe .ylevitcepser ehT evitatilauq roivaheb fo
Alee,
eht citsinimreted noisrev ( 1y = 2y = )0 fo siht metsys sah neeb ylevisnetxe deiduts .fc(
.)]42[ erehT stsixe a lacitirc eulav fo 8, ,& hcus taht when 8 > 8,, eht yllaitaps
suoenegomoh ydaets etats noitulos semoceb elbatsnu dna a yllaitaps cidoirep
Y
noitulos .segreme sihT anemonehp fo eht noitacrufib fo snoitulos ta a lacitirc tniop si
na tnatropmi tcepsa fo eht yduts fo raenilnon smetsys .fc( .)]63[ A noitacrufib tniop fo
a metsys si a eulav fo a retemarap ta hcihw eht noitulos sehcnarb otni erom naht eno
.noitulos noitacrufiB stniop era yllausu deifitnedi ni smret fo eht lartceps seitreporp
fo eht noitaziraenil fo eht raenilnon noitulove rotarepo ta eht lacitirc tniop ni
.noitseuq
kpmaxE 1.3 A( yllaitaps detubirtsid cimedipe .)ledom nI siht ,elpmaxe dna
X(t, A)
Y( etoned eht srebmun fo elbitpecsus dna detcefni slaudividni ni eht noiger ta
t, A) A
emit .ylevitcepser ehT noitulove fo eht noitalupop si debircsed yb eht riap fo
,t
citsahcots noitulove snoitauqe
,t(Xa x)/at = ,t(XAle C+)X ,t(Ya- S(x))X(t, +)x yW(X), )a5.1(
,t(Ya ta/)x = e2AY(t, +)x ,t(Ya ,t(X))x(S --)x bY(t, x),
erehw )x(S setoned eht erehps fo suoitcefni tcatnoc tuoba eht noitacol X, a setoned
eht eerged fo ,ssensuoitcefni c setoned eht etar fo noitcudorp fo new elbitpecsus
,slaudividni dna ,le ,2e etoned eht seitilibom fo eht elbitpecsus dna detcefni -ividni
,slaud .ylevitcepser sledoM fo siht epyt erew tsrif deredisnoc yb tteltraB .]2[ One
tcepsa fo laiceps ecnatropmi si eht ecnetsixe fo gnilevart cimedipe‘ .’sevaw tneceR
seiduts fo cimedipe sevaw ni a rebmun fo etercsid sledom era deweiver ni .]03[
smetsyS fo eht epyt )1.1( nac yalpsid na gnizama yteirav fo xelpmoc .roivaheb nI
eht citsinimreted ,timil yeht ecuder ot raenilnon noitcaer noisuffid snoitauqe
W = 0,
hcihw sevlesmeht tibihxe xelpmoc roivaheb hcus sa gnilevart evaw ,snoitulos -ats
yranoit laitaps ,serutcurts dna citoahc roivaheb tnecer( ssergorp ni siht dleif si
deyevrus ni eht elcitra fo efiF [ .)141 On eht rehto ,dnah citsahcots erusaem snoisuffid
esira sa eht noisuffid snoitamixorppa ot etinifni elcitrap ,smetsys dna ti si llew known
taht eht rettal nac tibihxe esahp snoitisnart dna xelpmoc noitautculf roivaheb ta
lacitirc .stniop ehT evitatilauq yduts fo snoitulos fo citsahcots noitrhove snoitauqe
sevlovni snoitseuq fo ,ytilibats ,ytiralugnis ,noitacrufib dna lacitirc .roivaheb ehT
tcejbo fo siht repap si ot ezylana eht evitatilauq roivaheb dna citsilibaborp erutcurts
fo a ylevitaler elpmis ssalc fo citsahcots erusaem .snoisuffid hguohtlA eht ssalc fo
smetsys deredisnoc si rehtar ,detimil ti si depoh taht emos fo eht seuqinhcet nac eri‘
deyolpme ,erehwesle dna taht yna gnidnatsrednu deniag on relpmis sledom yam ?vig
emos thgisni otni laudividni sroivaheb fo erom xelpmoc .smetsys
4 D.A. mswaD f Geusruchastic systems
2. The infinite geostochastk logistic model
ehT etinifni citsahcotsoeg citsigol ledom si a deulav-erusaem citsahcots ssecorp
taht sebircsed a yllaitaps suoenegomoh noitalupop tcejbus ot ,noitcudorper laitaps
,noisrepsid dna a epyt-tsluhreV noititepmoc .tceffe ehT cisab lacitamehtam -noc
noitcurts dna tnaveler ygolonimret era nevig ni .]9,8[ We ylfeirb weiver eht laitnesse
stcaf .woleb
teL )dR(*C = CK(Rd) w ,)p-)*1xI erehw C,(Rd) setoned eht ecaps of
((1 +
suounitnoc snoitcnuf on Rd htiw tcapmoc ,troppus dna p si eht tsellams regetni regral
naht di + 1, teL )dR(*M etoned eht ecaps fo 1eroB Iser&aem p, on Rd taht yfsitas
I
(1 + )xd(Lc“-)”lxI < 00. )1.2(
ehT ,ecaps ,)dR;*M si dehsinruf htiw eht tsekaew ygolopot taht sekam eht -pam
,sgnip p + ,)xd(p)x(&j suounitnoc rof lia Q E .)dR(*C With siht ,ygolopot si
M*(Rd)
a hsiloP .ecaps teL -RI etoned eht ecaps fo lla suounitnoc snoitcnuf morf 10[ OS) otni
htiw eht ygolopot fo mrofinu ecnegrevnoc on dednuob .slavretni ehT
M*(Rd),
,ecaps 0, si 0~13 a hsiloP .ecaps teL )a(Bs etoned :;uht arbegla-m fo 1eroB stesbus fo 52.
ehT erusaem ecaps ))zf(9,2J( si eht cisab ecaps on hcihw eht citsahcotsoeg ssecorp si
.denifed teL X( 9, l): [0, 00) x l2 + M*(Rd) be defined by
)f(~+ti,f(X .jOo,O[Et,2fforof
ehT ecaps fo ytilibaborp serusaem on L(I si detoned yb .)O(n
teL :Tif, eb denifed yb
M*(Rd)+ M*(Rd)
erehw ,a b > 0, 4 si eht rotacidni noitcnuf fo a erehps fo suidar Ro deretnec ta eht
nigiro dna * s:ttoned .noitulovnoc teL D(L) etoned eht arbegla fo snoitcnuf fo eht
mrof ,)t(X6(/3 41), I . . p WW, 4A where ( 8 9 ) setoned eht lacinonac raenilib ,mrof
l
r(r si a laimonylop fo 2t selbairav dna 4, . . . ,,4, E .)dR(*C teL
pA2P + ,mhh
)ccM = W’(lu A F(ct )) + J/“& h )2*2(
erehw pD setoned eht erusaem on Rd :/) Rd denifed yb
~B(A X B)=
etoned eht tsrif dna dnoces tehcerF ,sevitavired ,ylevitcepser dna
p(A n B), tf, I++” A
setoned eht lanoisnemid-lc .naicalpaL
ehT citsahcotsoeg citsigoL elagnitram problsm si ot tcurtsnoc a gnippam p +
Pp
morf ot )2J(7l hcus taht
M*(R”)
rof rG_ E dna p E
D(L) M*(Rd),
)O(x(/ii - 1’ ))s(W& sd si a .elagnitram-,P )b3.2(
0
5
ehT gniwollof cisab ecnetsixe meroeht si devorp ni .]S[
2.1. ez77 )3.2( sah a
Theorem martingalep roblem prescribed by unique solution.
The noitulos of si a deulav-erusaem vokraM ssecorp dna si derrefer ot sa eht
(2.3)
cit~ahcot$oeg citsigol metsys .)SLSG(
enO of eht niam sloot ni eht yduts fo eht evitatilauq roivaheb fo eht GSLS si eht
tnalumuc ro tnemom .yhcrareih The htn tnemom ,erusaem ,txd ,),,xd si a
m,(t* . . . T
erusaem on njP?.( defined os taht
The gniwollof tluser gninrecnoc eht tnemom serusaem fo eht GSLS si dehsilbatse ni
18c .
~eo~ern 2.2. ~etm~(t; ,lxd . . . , )nxd denote the nth moment measure of the sorption
of theg eostochastic elagnitram problem and assume thatX(0) is a constant multiple, A,
of Lebesgue measure. 7%en moment densities, m, (t ; x ,1 . . . , ),x exist and sa~sfy the
systemo f equations
am?&; )nx
,lX ’ l ’ 9 =($r) C n ;t(l-nZ?? ,lX *l--iX- 91+iX f jX-iXs)*Rx
at =i.i 1 l l l 9 l l l
iZj
+nam,(t; x1,. . . ) +)ttX i )nX,..-,lx;t(nmjxA2@
l==j
of
where Ax,r efers to the action the Laplacian on the oatlable xi, and
+h+dt; ,,x ,,,x y(()y )ix-- .yd
,1x . . . , y) = m,+l(t, x1,. ,
I l l
ehT
initial condition is simply
m,(O;xl,...,x,)=An,
3.
Qualitative behavior of stochastic popuiation models of growth, competition, and
dbM!tiO~
The c~tsahcotsoeg citsigol ledom syawla sah ta tsael eno ydaets etats ,noitulos
rof lla lapicni:rp’ehT evitatilauq noitseuq gninrecnoc eht GSLS si taht fo
X(t) = 0, .t
,ytilibats taht ,si seod eht metsys go ot ,noitcnitxe ni ,ytilibaborp rof yreve
X(t, K) + 0
tcapmoc tes K. ro do er.eht tsixe etareneged-non ydaets etats modnar .serusaem nII
6 D.A. Da wson / Geostochastic systems
siht ,txetnoc we enifnoc ruo noitnetta ot eht yllaitaps suoenegomoh ,esac taht ,si we
emussa taht )0(X si na ,cidogre yllaitaps suoenegomoh modnar ,erusaem rof
,elpmaxe a tnatsnoc elpitlum fo eugsebeL .erusaem nI redro ot tup siht noitseuq ni
eht evitcepsrep fo noitalupop .ygoloib we tsrif weiver emos dnuorgkcab gninrecnoc
citsahcots sledom fo eht ,htworg noititepmoc dna noitcnitxe fo .snoitalupop
ehT cisab citsinimreted ledom rof eht btworg f~; a noitalupop si eht citsigol
noitauqe fo ,tsluhreV
td/)t(xd = l()t(xa
K/)t(x- ), )1.3(
erehw a setoned eht cisnirtni etar fo htworg fo eht noitalupop ni eht ecnesba fo
noititepmoc rof ,secruoser dna K setoned eht gniyrrac yticapac fo eht .tnemnorivne
ehT noitulos fo )1.3( si
‘.
)t(x = x(O)[x(O)/K +( 1 - (pxe)K/)O(x -at)]- )2.3(
ehT dexif stniop fo eht metsys era x = 0 dna x = K, taht era elbatsnu dna -citotpmysa
ylla ,elbats .ylevitcepser
lareveS citsahcots snoisrev fo siht ledom have been dessucsid ni eht .erutaretil nI
ralucitrap eht tnereffid evitatilauq sroivaheb detibihxe yb snoitulos ot eht citsahcots
laitnereffid snoitauqe fo otI dna hcivonotartS evah neeb eht tcejbus fo hcum
.noissucsid ehT redaer si derrefer ot .383,62,12[ rof a noissucsid fo eseht .snoitseuq
desaB on noisuffid snoitamixorppa ot etercsid ,smetsys ti sraeppa taht it elbanosaer
etadidnac si eht otI citsahcots laitnereffid ,noitauqe
)t(Xd = ”“))t(Xy(+)t(’Xb--)t(xa dwl(t)+crX(t) dw,(t),
)O(X = (3.3
,0x
erehw y 2 0, TC 2 0, dna (Iw era two tnednepedni dradnats reneiW -secorp
), (2w )
l l
.ses ehT tsrif esion mret sdnopserroc ot cihpargomed noitautculf dna eht dnoces
esion mret sdnopserroc ot latnemnorivne .yticitsahcots ehT kcnalP-rekkoF noitauqe
gnidnopserroc ot siht citsahcots laitnereffid noitauqe si nevig yb
,t(px2a
,t(@ )x = -a(ax - ,t(p)2xb x) rS+ ,t(p2X2a2,!+)X lx
2xa 2 2xa -’ )4.3(
at ax
p&h 4 = S(x ,d-(x-
erehw ,t(p )x si eht ytilibaborp ytisned fo eht modnar elbairav .)t(X gnidieK Z[ ]l dna
illeruT ]83[ evah dessucsid eht citotpmysa roivaheb fo siht metsys sa The
t +W
metsys sah a etareneged-non ytilibaborp noitubirtsid fi dna ylno fi y = 0, a 3 $c’, dna
b > 0. nI siht esac ti si nevig yb eht ammaG ytilibaborp ytisned ,noitcnuf
)x(p = ma2xc ‘-2 (pxe - 0xb2 -2) x 2 ,0 )5.3(
erehw c si a gnizilamron .tnatsnoc nI eht gniniamer sesac ti si elbissop ot enimreted
eht noitacifissnlc fo eht yradnuob ,tniop 0, ni eht esnes fo .]33,31[ roF y >O, 0 si
syawla na tixe ,yradnuob taht ,si eht metsys sreitus noitcnitxe ta a etinif .emit roF
D.A. Da wson / Geostochastic systems 7
y = 0, a < ,?I& 0 si larutan dna ,gnitcartta dna )t(X + 0 sa t + 00, tub ti seod ton hcaer
orez ta a etinif .emit roF y = 0, b = 0,
X(t)=X(O)exp(ow(C)+(a-$&t). f>O. (3.5)
fL a = 0, )f(X si a ,elagnitram E(X(r)) = X(O), ))r(X(raV 3 00, dna )t(’i‘- + 0 .s.a fI
a ay= si a larutan dna gnilleper yradnuob dna )t(X si llun .tnerrucer suhT rof
’ ‘, 0
llams latnemnorivne esion eht metsys si elbats tub ti semoceb elbatsnu fi eht
latnemnorivne esion ,retemarap ,2c sdeecxe eht lacitirc ,eulav .a2
ecniS tgomed cihpa yticitsahcots si syawla tneserp ni a larutan ,noitalupop -cnitxe
noit si syawla niatrec gnidrocca ot siht .ledom tteltraB ]2[ detseggus taht rof llams ,y
eht emit ot noitcnitxe nac eb os egral taht on a trohs emit elacs eno nac etamixorppa
eht metsys yb sti noitaziraenil dnuora )t(x = K, dna niatbo a yranoitats-isauq
.noitubirtsid ,revewoH ti sah neeb dezisahpme yb sniveL ]52[ dna ruhtrAcaM dna
nosliW ]72[ taht noitcnitxe ni erutan si raf morf ,erar yllaicepse ni eht esac fo detalosi
.snoitalupop hguohtlA cihpargomed yticitsahcots si ton eht elos esuac fo ,noitcnitxe
ti ylniatrec semoc otni yalp when emos rehto stceffe esuac eht noitalupop ot llaf ot a
ylsuoregnad low .level
ruhtrAcaM dna nosliW ]72[ decudortni a ledom ni hcihw lacol noitcnitxe si
decnalab yb noitargim gnidael ot a ydaets .etats yehT deredisnoc a rebmun fo
gnippets‘ ’enots sdnalsi dna na etinifni ecruos eht( )dnalniam fo ,stnargim dna
demussa taht slaudividni etargim neewteb eht sdnalsi dna eht dnalniam yb emos mrof
fo laitaps .noisuffid sihT ledom was dnuof ot eb tnetsisnoc htiw atad gnibircsed eht
rebmun fo dnal dna retawhserf drib ,seiceps on eht sdnalsi dna sogalepihcra fo eht
,sacculoM ,aisenaleM ,aisenorciM dna aisenyloP ni eht cificaP Ocean, sa a noitcnuf
fo rieht secnatsid morf eht dnalniam (New .)aeniuG
ehT citsahcotsoeg citsigol ledom si desab on eht emas snoitpmussa sa esoht fo
ruhtrAcaM dna .nosliW ,revewoH rehtar naht eht etinifni ecruos ,sisehtopyh ti
sevlovni a yllaitaps suoenegomoh metsys ni Rd ni hcihw eht noitargim dna noitcnitxe
era decnalab ni na etinifni lacihpargoeg ecaps dna ni hcihw eht noitalupop si yllacol
etinif dna tcejbus ot lacol .noitcnitxe suhT eht evitatilauq roivaheb fo eht -otsoeg
citsahc citsigol ledom nac edivorp new thgisni otni eht pihsnoitaler neewteb laitaps
,noitargim ,noitautculf dna noitcnitxe on a egral dnal .ssam
noitargiM nac eb deweiv as, ylbissop noitalupop ,tnedneped .noitargimmi oT
evresbo eht tceffe fo tnatsnoc noitargimmi ni eht tselpmis ,esac redisnoc eh* 6tI
citsahcots laitnereffid noitauqe
,)T(wd*”))t(X~(+fd)f(2Xb-fd)r(Xa+fde=)f(Xd )7.3(
erehw e > 0 setoned eht tnatsnoc noitargimmi .etar nI siht ,esac ereht stsixe a ydaets
etats noitubirtsid fi rehtie b > 0, ,ro fi b = 0 dna a < 0. ehT ydaets etats ytilibaborp
ytisned noitcnuf si nevig ni eht esac b > 0 yb
)x(,p = 1-’y‘=2’xc
exp(-b(x-a/b)2/y), x30, )8.3(
erehw c si a gnizilamron .tnatsnoc sihT noitauqe dluoc ledom eht noitalupop no na
dnalsi erehw eht noitargimmi ,mret ,e stneserper eht noitarginkmi morf eht .dnalniam
D.A. Da wson / Geostochr:stics ystems
We now nruter ot eht noitseuq fo eht ecnetsixe fo etarenegednon ydaets etats
snoitulos rof eht GSLS. sihT noitseuq si ylesolc detaler ot a elohw ssalc fo :&linris
smelborp hcihw esira ni lacitsitats scisyhp dna lacimehc ,scitenik ,yleman eht
melborp fo evitarepooc roivaheb dna esahp .snoitisnart One hcaorppa ot eseht
smelborp si eht naem dleif yroeht noitamixorppa taht sevig esir ot a raenilnon
kcnalP-rekkoF noitauqe .f.c( .)1131 oT ylppa siht dohtem ot eht GSLS a llams
dehsiugnitsid emulov )metsysbus( si .deiduts tI segnahcxe ssam htiw eht tser fo eht
metsys dna ti si siht egnahcxe ssecorp hcihw si deifilpmis ni eht raenilnon -rekkoF
kcnalP noitauqe .hcaorppa yllacificepS eht noitargimmi ro wolf otni eht dehsiugnitsid
emulov si demussa ot dneped ylno on sti detcepxe ,eulav suht gnilpuoced eht lanretxe
dna lanretni .snoitautculf roF siht nosaer siht hcaorppa si known sa eht ‘mean dleif
.’yroeht ehT yek noitpmussa si yllaitnesse taht eht snoitautculf ni eht wolf otni eht
dehsiugnitsid emulov era yllacitsitats tnednepedni fo eht ssecorp gnirrucco nihtiw
siht .emulov ehT snoitagitsevni fo noitceS 5 edivorp emos noitacifitsuj fo siht dohtem
dna ni eht txen noitceS we yduts a raenilnon vokraM ssecorp hcihw sesira morf siht
epyt fo ,etamixorppa ro ,deifilpmis ledom fo eht citsahcotsoeg citsigol .ledom ehT
sdohtem decudortni era elbacilppa ot a ediw egnar fo .smelborp
roF yticilpmis we redisnoc eht dehsiugnitsid emulov ot eb a erehps fo suidar 2Ro,
suht fo eht emas redro fo edutingam sa eht egnar fo eht .noitcaretni nI eht naem dleif
yroeht lla rehto laitaps erutcurts si derongi dna we redisnoc eht noitulove fo eht latot
ssam fo eht dehsiugnitsid .emulov hguohtlA srorre era erofereht ,decudortni ti si
elbanosaer ot tcepxe siht ledom ot evah eht emas evitatilauq roivaheb sa eht yllaitaps
detubirtsid .metsys sihT rettal erutcejnoc si deifitsuj ni noitceS 5. teL ,)r(X I > 0,
etoned eht ssam fo eht dehsiugnitsid emulov ta emit .t nehT )r(X seifsitas eht
citsahcots laitnereffid ,noitauqe
)t(Xd = )t(e td + )t(xa dt - )t(2X6 rd + 2“))r(Xy( ,)s(wd
)0(X = 0x 3 ,0 )9.3(
erehw ,)t(w ,0at setoned a eno lanoisnemid reneiW ssecorp dna )r(e setoned eht
ssam gniwolf ni morf eht ,edistuo taht ,si eht noitargimmi .mret Hence gnidrocca ot
eht naem dleif yroeht y-f ,sisehtop
e0) = ,)t(mp p )01.3(
,Oa.
erehw
llaceR taht ni eht esac p = 0 , y 2 0, eht metsys sreffus niatrec .noitcnitxe revewoH eht
niam tluser fo noitceS 4 si taht fi p >O, neht ti si eJbissop ot niatbo htob eht
etareneged ydaets etats dna a etareneged-non ydaets .etats nI siht esac eht metsys
sah two ,’sesahp“ eht tcnitxe esahp dna eht detalupop esahp dna siht tcaf sdael ot eht
erutcejnoc taht eht emas si eurt fo eht lanigiro GSLS, a tcaf taht si dehsilbatse ni
noitceS 5.
D.A. Dawson / Geostochastic systems 9
sihT anemonehp fo eht noitacrufib fo two snoiiulos morf eno noitulos si fo taerg
ecnatropmi ni .snoitacilppa Such a noitacrufib htiw tcepser ot a ekil-:erutarepmet
,retemarap ,y si dellac a ro esahp rehtO sepyt fo
stochastic bifurcation transition.
detaler snoitacrufib yam osla eb fo .ecnatropmi roF elpmaxe ni lacimehc scitenik ti si
lausu ot yduts htrib dna htaed sledom rehtar naht rieht noisuffid snoitamixorppa
.]13[ ehT retemarap hcihw serusaem eht eerged fo ,yticimota ro elcitrap ,ezis si
rehtona htiw tcepser ot hcihw ereht yam eb snoitacrufib .g.e( ,6[ noitceS .)16
,revewoH ti sraeppa taht siht si a dnoces redro ,tceffe saerehw eht citsahcots
snoitacrufib era tsrif redro .stceffe eroferehT ti si elbanosaer ot ssucsid eht -rufib
noitac erutcurts fo eht noisuffid noitamixorppa dna neht ot yduts eht yrailixua
snoitacrufib sa eno sevom yawa morf eht egnar fo ytidilav fo eht noisuffid -ixorppa
.noitam
4. ehT
qualitative behavior of the nonlinear Markov model
nI siht noitces eht evitatilauq roivaheb fo eht noitulos fo )01.3( si .detagitsevni
etoN taht eht gnitluser raenilnon kcnalP-rekkoF noitauqe si nevig yb
,ma )X = a(p(l ypk dy! + xa - ,t(p)2xb )X
)Y
at - xa
t(p~,)Xt(~x2a(y!+
2 ? . ), op - . )1.4(
ax2
raenilnoN kcnalP-rekkoF snoitauqe ni hcihw eht stneiciffeoc dneped on eht -sid
noitubirt (p erew tsrif decudortni yb naeKcM .]22[ ehT ecnetsixe fo snoitulos ot
. )
l l
a ylimaf fo raenilnon kcnalP-rekkoF snoitauqe gnidulcni )1.4( was deniltuo yb 6tI
dna Watanabe .]91[
ehT tnemom snoitauqe rof eht gnitluser raenilnon metsys yfsitas eht laitnereffid
snoitauqe
dm(t)
- = pm,(t) + amI - bm2(t),
td
dm,W
,)t(l+,mnb-)t(,mna+)t(l_,m)y)l-n(&+)t(~mW(= ,2>n
td
(4.2)
m,(O) = x0”.
ehT tsrif noitseuq ot eb deredisnoc si taht fo eht ecnetsixe fo orez-non ydaets
.setats fI ereht si a ydaets ,etats neht e * = pm(e), erehw )e(m = j )x(,px dx, dna
)x(,p = l-)y’e& ,)y/2)b/a-x(b-(pxe x30, .fc( .))8.3(
etoN taht m(0) = 0, ecnis rof e = 0,O si na tixe ,yradnuob dna taht )0(X = 0 si syawla a
ydaets etats .noitulos ehT ecnetsixe fo a orez-non ydaets etats si tnelaviuqe ot eht
01 .A.D Da nosw / Geostochastic systems
ecnetsixe fo a orez-non noitulos fo eht noitauqe
pm(e) = .e )3.4(
Theorem 4.1. For y yltneiciffus small pro( yltneiciffus )egral )3.4( sah a orez-non .toor
For y yltneicifus egral ro( p yltneikjus small) .qe )3.4( sah ylno eno ,toor e = 0.
We evorp eht meroeht ni eht esac p = ;1 eht foorp ni eht lareneg esac si
Proof.
yllaitnesse eht .emas
ehT tsrif tnemom noitauqe si nevig yb
td/)t(Imd = .)r(ub-)t(&b-)t(Ima+e
erehw )t(u setoned eht ecnairav fo .)t(X nehT
m(e) s a( + Za( + ,b2/)2“)eb4 )5.4(
dna ecneh
e<)e(m .)b,a(oe>erof )6.4(
tuB rof yltneiciffus llams y dna e = ,Ly 2 )x(,p si yletamixorppa naissuaG htiw naem
b/a dna ecnairav .v& Hence rof yltneiciffus llams ,y‘ dna e’ = ,yf
m(e’) 3 .’e )7.4(
gnitoN taht eht noitcnuf )e(m si suounitnoc on ,0( ,)OO eht tsrif tluser swollof morf
eht etaidemretni eulav .meroeht
On eht rehto dnah rof yltneiciffus egral ,y )x(,p nac eb yllacitsahcots detanimod yb
,1~lc,b/a2”y~xc0
1 (pxe - x(b - ,)y/2)b/a x 2 ,b/arlly
erehw c si a gnizilamron .tnatsnoc tuB neht ti si ysae ot yfirev taht
9&m = )x(q xd = ,)”I-y(O
I
dna
sup )el)e(Am( + 0, sa Y + 00,
)b.Ul0We
Hence we nac esoohc y‘ hcus taht mA(e) <: e rof 0 CI e 6 ,z&e ,)b and ,ecneh m(e) c e
rof lla e > 0, dna eht foorp fo eht noitressa si .etelpmoc
krameR 4.1. nI eht esac a = 0, eht tcaxe eulav fo )e(m can be ylticilpxe found. tI si
)e(m = l,&( y + ,2“)bly())yle(~l)~ )8.4(
erehw )z(r si eht ammaG noitcnuf
I
0a
)z(r = t“-’ (pxe - )t .td
0