Prüfungstrainer Lineare Algebra: 500+ Fragen und Antworten mit interaktivem Online-Trainer

268 Pages·2019·4.369 MB·German

by  Rolf Busam, Denis Vogel, Thomas Epp

Rolf Busam
Denis Vogel
Thomas Epp
Prüfungstrainer
Lineare Algebra
500+ Fragen und Antworten
mit interaktivem Online-Trainer
2. Auflage
Prüfungstrainer Lineare Algebra
Rolf Busam · Denis Vogel · Thomas Epp
Prüfungstrainer
Lineare Algebra
500+ Fragen und Antworten
mit interaktivem Online-Trainer
2. Auflage
Unter Mitarbeit von Pascal Klaiber
Rolf Busam Denis Vogel
Mathematisches Institut Mathematisches Institut
Universität Heidelberg Universität Heidelberg
Heidelberg, Deutschland Heidelberg, Deutschland
Thomas Epp
Berlin, Deutschland
Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf http://extras.springer.com.
ISBN 978-3-662-59403-2 ISBN 978-3-662-59404-9 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59404-9
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Planung/Lektorat: Annika Denkert
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Vorwort
Vorwort zur 2. Auflage
InderNeuauflagewurdenDruckfehlerundeinigesachlicheFehlerkorrigiert,soweit
siebekanntwurden.BeidenAufgabenhabenwirlediglichdie Raumschiffaufgabe“
”
zus¨atzlich hinzugenommen. Thomas Epp, der die erste Auflage wesentlich mitge-
staltet hat, konnte sich aus beruflichen Gru¨nden an der Neuauflage leider nicht
mehr beteiligen. Um eine druckf¨ahigeVersion zu erhalten, war etlicher technischer
Aufwand erforderlich. Doch Pascal Klaiber hat dies mit großem Engagement ge-
meistert. Er hat auchdie QR-Codes bei denjenigen Aufgaben eingefu¨gt, die online
bearbeitet werden k¨onnen.
EinNovumistdie M¨oglichkeit,fu¨rausgew¨ahlteFragendenBeweisinteraktivu¨ber
dasQuiz-Systemder Online-PlattformMaMpf nachzuvollziehenundsichso inten-
siver mit den L¨osungen zu besch¨aftigen. Hierbei wird der Leser schrittweise durch
dieBeweisegefu¨hrtunderh¨altzujedemSchrittundjederAntworthilfreichesFeed-
back. Die Online-Plattform MaMpf ( Mathematische Medienplattform“) wurde
”
vonDenis VogelentwickeltundwirdinderLehre amMathematischenInstitutder
derUniversit¨atHeidelberg eingesetzt. Fu¨r diesesBuchwurde eine eigene Webseite
eingerichtet,die Rustam Steingartmitviel Kreativit¨atund Engagementmit ange-
leiteten Beweisenbestu¨ckt hat. Der Zugriffauf die Online-Beweisekannwahlweise
u¨ber die QR-Codes erfolgen, die neben den entsprechenden Aufgaben abgedruckt
sind, oder u¨ber die Seite
https://banane.mathi.uni-heidelberg.de
NutzerIn: gast
Kennwort: ptlabv
Fu¨r Unterstu¨tzung beim Layout danken wir Frau Bianca Alton sowie fu¨r die Be-
treuung Frau Dr. Annika Denkert vom Verlag Springer Spektrum.
Heidelberg im April 2019 Rolf Busam
Denis Vogel
v
Vorwort zur 1. Auflage
Bei dem vorliegenden Band haben wir uns von denselben Zielen und Vorstellun-
gen leiten lassen, die wir schon beim ,,Pru¨fungstrainer Analysis” verfolgt haben.
Unsere Idee war es, die zentralen Begriffe der Linearen Algebra in einer knappen
und zielgerichteten Form zu rekapitulieren, und zwar in einer Weise, die Studen-
tinnen und Studenten bei der Pru¨fungsvorbereitung eine echte Hilfestellung bie-
tet. Wir wolltenwedereine Aufgabensammlung vorlegennochmit denzahlreichen
Lehrbu¨chernund den Einfu¨hrungsvorlesungenzur Linearen Algebra konkurrieren.
Stattdessen haben wir versucht, Fragen zu formulieren, die man in einer mu¨ndli-
chen Pru¨fung realistischerweise erwarten kann. In aller Regel wird man dort nicht
damit konfrontiert, komplizierte Rechnungen und aufwendige Beweise in allen De-
tailsvorzufu¨hren,sondernzuzeigen,dassmandiezentralenBegriffeverstandenhat
undsieindenwichtigstenBeweistechnikenauchanwendenkann.UnterdiesemGe-
sichtspunktsinddieFragenausgesuchtunddieAntwortenformuliertworden,wobei
wieder wesentlich die Erfahrungen des erstgenannten Autors aus seiner jahrelan-
genT¨atigkeitalsDozentundPru¨feranderRuprecht-Karls-Universit¨atHeidelberg
eingeflossen sind.
Die Inhalte werden,wie schonbeim,,Pru¨fungstrainerAnalysis“,ineinemknap-
penFrage-undAntwort-Stildargestellt.DassolldemLesererm¨oglichen,seinWis-
sen stichpunktartig zu u¨berpru¨fen und eventuelle Lu¨cken schnell zu entdecken.
Das Buch richtet sich an alle Studierenden, die ein gewisses mathematisches
Pensum in Ihrem Studium zu erfu¨llen haben. Die Lineare Algebra ist heutzutage
derart grundlegend fu¨r s¨amtliche Teilgebiete der Mathematik und in ihrer Dar-
stellung derarteinheitlich, dass es ku¨nstlich w¨are, Niveauunterschiede einzufu¨hren
und ein Buch u¨ber Lineare Algebra speziell an Diplommathematiker, Lehramts-
kandidaten oder Informatiker zu adressieren. Es mag sein, dass es in der Analysis
Unterschiede in den Anspru¨chen gibt, aber u¨ber die Grundlagen der Linearen Al-
gebra muss im Großen und Ganzen jeder dasselbe wissen. Daher sind Studenten
im Haupt- oder Nebenfach Mathematik (mit den Studienzielen Diplom, Bachelor
oder Lehramt) genauso herzlich eingeladen, das Buch zur Hand zu nehmen, wie
Studierende, die einen Abschluss in Informatik oder in einer Naturwissenschaft
anstreben.
Wir danken dem Verlagsteam von Spektrum Akademischer Verlag fu¨r die kon-
struktive Zusammenarbeit. Besonderer Dank gebu¨hrt unserem Lektor Herrn Dr.
Ru¨dinger, ohne dessen kompetente und engagierte Beratung das Buch in dieser
Formnichtzustande gekommenw¨are,sowie FrauAlton, die uns w¨ahrendder Ent-
stehungsphaseinallenorganisatorischenFragentatkr¨aftigundgeduldigunterstu¨tzt
hat.
Heidelberg/Berlin im September 2008 Rolf Busam
Thomas Epp
Inhaltsverzeichnis
1 Algebraische Grundlagen ...................................... 1
1.1 Der Begriff der Gruppe....................................... 1
1.2 Abbildungen zwischen Gruppen, Untergruppen.................. 9
1.3 Der Signum-Homomorphismus ................................ 19
1.4 Ringe und K¨orper ........................................... 23
1.5 Polynomringe ............................................... 29
2 Vektorr¨aume .................................................. 39
2.1 Grundbegriffe............................................... 39
2.2 Basis und Dimension......................................... 47
2.3 Summen von Vektorr¨aumen................................... 52
3 Lineare Abbildungen und Matrizen............................ 55
3.1 Grundbegriffe............................................... 56
3.2 Quotientenvektorr¨aume und affine Unterr¨aume .................. 64
3.3 Matrizen ................................................... 70
3.4 Matrizenringe............................................... 78
3.5 Koordinatenisomorphismenund Basiswechselformalismus......... 84
3.6 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren .......................... 92
3.7 Lineare Gleichungssysteme Teil 1 .............................. 97
3.8 Der Dualraum .............................................. 105
4 Determinanten ................................................ 111
4.1 Alternierende Multilinearformen............................... 112
4.2 Determinanten von Matrizen und Endomorphismen.............. 115
5 Normalformentheorie.......................................... 127
5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren ................................ 127
5.2 Das charakteristische Polynom ................................ 133
5.3 Einsetzen von Matrizen und Endomorphismen in Polynome....... 141
5.4 Die Jordan’sche Normalform .................................. 146
vii
viii Inhaltsverzeichnis
6 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume.......................... 155
6.1 Bilinearformen und Skalarprodukte ............................ 155
6.2 Normierte R¨aume ........................................... 163
6.3 Orthonormalbasenund Orthonormalisierungsverfahren ........... 171
6.4 Lineare Gleichungssysteme Teil 2 .............................. 180
6.5 Orthogonale und unit¨are Endomorphismen ..................... 182
6.6 Die adjungierte Abbildung.................................... 189
6.7 Selbstadjungierte Endomorphismen ............................ 194
7 Anwendungen in der Geometrie ............................... 201
7.1 Affine R¨aume ............................................... 201
7.2 Affine Abbildungen und Koordinaten .......................... 208
7.3 Projektive R¨aume ........................................... 215
7.4 Projektive Abbildungen und Koordinaten....................... 220
7.5 Invarianten von Projektivit¨aten ............................... 226
7.6 Projektive Quadriken ........................................ 234
7.7 Affine Quadriken ............................................ 245
Literatur .......................................................... 251
Symbolverzeichnis ................................................. 253
Namen- und Sachverzeichnis....................................... 257
1 Algebraische Grundlagen
Wir setzen hier voraus, dass die Leser und Leserinnen mit den Sprech- und Be-
zeichnungsweisen der Mengenlehre und dem Abbildungsbegriff hinreichend ver-
traut sind. Wir sind nicht der Meinung, dass die Vorlesung ,,Lineare Algebra“ da-
zu benutzt werden sollte, Allgemeinheiten u¨ber algebraische Strukturen wie z.B.
allgemeine Strukturs¨atze in aller Ausfu¨hrlichkeit vonGrund auf zu behandeln. Al-
lerdings ist der Gruppen- und K¨orperbegriff fu¨r den Aufbau der linearen Algebra
fundamental, und deswegen beginnen wir das Buch mit einigen Fragen zu den
grundlegenden Eigenschaften des Gruppen- und K¨orperbegriffs.
1.1 Der Begriff der Gruppe
Gruppen spielen nicht nur in der Linearen Algebra eine zentrale Rolle (z.B. ist
ein Vektorraum insbesondere auch eine abelsche Gruppe bezu¨glich der Addition),
sondernbesitzenauchzahlreicheAnwendungeninaußermathematischenBereichen
wie der Chemie (,,kristallografische Gruppe“) oder in der Physik (etwa bei der
Klassifikationder Elementarteilchen). Die Schlagkraftder axiomatischen Methode
bei der Einfu¨hrung dieser Begriffe wird sich an vielen Beispielen zeigen.
Frage 1 Was versteht man unter einer Gruppe? Wann heißt eine Gruppe abelsch
bzw. kommutativ?
Antwort: Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknu¨pfung ,,*“, d.h.
einer Abbildung ∗: G×G→G, fu¨r die die folgenden Axiome gelten
(G1) (Assoziativit¨at) Fu¨r alle a,b,c∈G gilt
(a∗b)∗c=a∗(b∗c).
(G2) (Existenz neutraler Elemente) Es gibt ein e∈G, so dass fu¨r alle a∈G gilt
e∗a=a.
e heißt neutrales Element von G.
1
© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von SpringerNature 2019
R. Busam et al., Prüfungstrainer Lineare Algebra,
https://doi.org/10.1007/978-3-662-59404-9_1
2 1 Algebraische Grundlagen
(G3) (Existenz inverser Elemente) Zu jedem a∈G gibt es ein (cid:2)a∈G mit
(cid:2)a∗a=e,
wobeiedasneutraleElementbezeichnet.(cid:2)aheißtindiesemFalldaszuainverse
Element.
Eine Gruppe (G,∗) heißt abelsch bzw. kommutativ,wenn zus¨atzlich a∗b=b∗a fu¨r
jedes a, b∈G gilt. (cid:2)
Frage 2 Warum gilt fu¨r jede Gruppe (G,∗) mit neutralem Element e
e∗a=a=⇒a∗e=a fu¨r alle a∈G
sowie
(cid:2)a∗a=e=⇒a∗(cid:2)a=e fu¨r alle a∈G?
Mit anderen Worten, warum ist ein linksneutrales Element in jeder Gruppe G stets
auch rechtsneutral und ein linksinverses Element zu a∈G stets auch rechtsinvers?
Antwort: Zu (cid:2)a gibt es nach G3 ein linksinverses Element (cid:2)(cid:2)a. Damit gilt
(cid:3) (cid:4)
α(cid:2)a=e(a(cid:2)a)= (cid:2)(cid:2)a(cid:2)a (a(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a((cid:2)a(a(cid:2)a))=(cid:2)(cid:2)a(((cid:2)aa)(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a(e(cid:2)a)=(cid:2)(cid:2)a(cid:2)a=e.
Das beantwortet den zweiten Teil der Frage. Der erste folgt damit aus
a∗e=a∗((cid:2)a∗a)=(a∗(cid:2)a)∗a=e∗a=a.
(cid:2)
Frage 3 Warum ist das neutrale Element e und das zu a ∈ G inverse Element (cid:2)a
eindeutig bestimmt, so dass man also von dem neutralen und dem zu a ∈G inversen
Element sprechen kann?
Antwort: Ist e(cid:2) ein (eventuell von e unterschiedenes) neutrales Element, so folgt mit
der Antwort zur vorigen Frage
e(cid:2)∗e=e sowie e(cid:2)∗e=e(cid:2),
also e(cid:2) =e.
Ist (cid:2)a(cid:2) ein (eventuell von a verschiedenes) inverses Element zu a, so gilt
(cid:2)a(cid:2) =(cid:2)a(cid:2)∗e=(cid:2)a(cid:2)∗(a∗(cid:2)a)=((cid:2)a(cid:2)∗a)∗(cid:2)a=e∗(cid:2)a=(cid:2)a.
(cid:2)