Prüfungstrainer Lineare Algebra: 500 Fragen und Antworten für Bachelor und Vordiplom

252 Pages·2009·2.16 MB·German

by  Rolf Busam

Prüfungstrainer Lineare Algebra
Rolf Busam Thomas Epp
Prüfungstrainer
Lineare Algebra
500 Fragen und Antworten
für Bachelor und Vordiplom
Autor
Dr. Rolf Busam
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Im Neuenheimer Feld 288 (1. OG, Zimmer 218)
69120 Heidelberg
[email protected]
Thomas Epp
[email protected]
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton
Herstellung: Andrea Brinkmann
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Titelfotogra(cid:191)e: © Panthermedia / Rilo N.
Satz: Autorensatz
Druck und Bindung: Krips b.v., Meppel
Printed The Netherlands
ISBN 978-3-8274-1976-7
Vorwort
BeidemvorliegendenBandhabenwirunsvondenselbenZielenundVorstellungen
leitenlassen,diewirschonbeim Pru¨fungstrainerAnalysis“verfolgthaben.Unse-
”
re Idee war es, die zentralen Begriffe der Linearen Algebra in einer knappen und
zielgerichteten Form zu rekapitulieren, und zwar in einer Weise, die Studentin-
nen und Studenten bei der Pru¨fungsvorbereitung eine echte Hilfestellung bietet.
Wir wollten weder eine Aufgabensammlung vorlegen noch mit den zahlreichen
Lehrbu¨chern und den Einfu¨hrungsvorlesungen zur Linearen Algebra konkurrie-
ren. Stattdessen haben wir versucht, Fragen zu formulieren, die man in einer
mu¨ndlichen Pru¨fung realistischerweise erwarten kann. In aller Regel wird man
dort nicht damit konfrontiert, komplizierte Rechnungen und aufwendige Beweise
in allen Details vorzufu¨hren, sondern zu zeigen, dass man die zentralen Begriffe
verstanden hat und sie in den wichtigsten Beweistechniken auch anwenden kann.
UnterdiesemGesichtspunktsinddieFragenausgesuchtunddieAntwortenformu-
liert worden, wobei wieder wesentlich die Erfahrungen des erstgenannten Autors
aus seiner jahrelangen T¨atigkeit als Dozent und Pru¨fer an der Ruprecht-Karls-
Universit¨at Heidelberg eingeflossen sind.
DieInhaltewerden,wieschonbeim Pru¨fungstrainerAnalysis“,ineinemknap-
”
pen Frage- und Antworten-Stil dargestellt. Das soll dem Leser erm¨oglichen, sein
Wissenstichpunktartigzuu¨berpru¨fenundeventuelleLu¨ckenschnellzuentdecken.
Das Buch richtet sich an alle Studierenden, die ein gewisses mathematisches
Pensum in Ihrem Studium zu erfu¨llen haben. Die Lineare Algebra ist heutzutage
derart grundlegend fu¨r s¨amtliche Teilgebiete der Mathematik und in ihrer Dar-
stellungderarteinheitlich,dassesku¨nstlichw¨are,Niveauunterschiedeeinzufu¨hren
und ein Buch u¨ber Lineare Algebra speziell an Diplommathematiker, Lehramts-
kandidaten oder Informatiker zu adressieren. Es mag sein, dass es in der Analysis
Unterschiede in den Anspru¨chen gibt, aber u¨ber die Grundlagen der Linearen Al-
gebra muss im Großen und Ganzen jeder dasselbe wissen. Daher sind Studenten
im Haupt- oder Nebenfach Mathematik (mit den Studienzielen Diplom, Bachelor
oder Lehramt) genauso herzlich eingeladen, das Buch zur Hand zu nehmen, wie
Studierende, die einen Abschluss in Informatik oder in einer Naturwissenschaft
anstreben.
Wir danken dem Verlagsteam von Spektrum Akademischer Verlag fu¨r die kon-
struktive Zusammenarbeit. Besonderer Dank gebu¨hrt unserem Lektor Herrn Dr.
Ru¨dinger, ohne dessen kompetente und engagierte Beratung das Buch in dieser
Form nicht zustande gekommen w¨are, sowie Frau Alton, die uns w¨ahrend der
Entstehungsphase in allen organisatorischen Fragen tatkr¨aftig und geduldig un-
terstu¨tzt hat.
Heidelberg/Berlin im September 2008 Rolf Busam
Thomas Epp
Inhaltsverzeichnis
1 Algebraische Grundlagen.................................... 1
1.1 Der Begriff der Gruppe......................................... 1
1.2 Abbildungen zwischen Gruppen, Untergruppen.................... 9
1.3 Der Signum-Homomorphismus .................................. 18
1.4 Ringe und K¨orper ............................................. 21
1.5 Polynomringe ................................................. 28
2 Vektorr¨aume ................................................ 36
2.1 Grundbegriffe ................................................. 36
2.2 Basis und Dimension........................................... 43
2.3 Summen von Vektorr¨aumen..................................... 49
3 Lineare Abbildungen und Matrizen ......................... 52
3.1 Grundbegriffe ................................................. 53
3.2 Quotientenvektorr¨aume und affine Unterr¨aume .................... 61
3.3 Matrizen ..................................................... 66
3.4 Matrizenringe ................................................. 73
3.5 Koordinatenisomorphismen und Basiswechselformalismus ........... 79
3.6 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren ............................ 86
3.7 Lineare Gleichungssysteme Teil 1 ................................ 92
3.8 Der Dualraum ................................................ 97
4 Determinanten .............................................. 103
4.1 Alternierende Multilinearformen................................. 104
4.2 Determinanten von Matrizen und Endomorphismen................ 107
5 Normalformentheorie ....................................... 117
5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren .................................. 117
5.2 Das charakteristische Polynom .................................. 123
5.3 Einsetzen von Matrizen und Endomorphismen in Polynome ......... 130
5.4 Die Jordan’sche Normalform .................................... 135
6 Euklidische und unit¨are Vektorr¨aume ....................... 144
6.1 Bilinearformen und Skalarprodukte .............................. 144
6.2 Normierte R¨aume ............................................. 151
6.3 Orthonormalbasen und das Orthonormalisierungsverfahren von
Gram-Schmidt ................................................ 158
6.4 Lineare Gleichungssysteme Teil 2 ................................ 167
6.5 Orthogonale und unit¨are Endomorphismen ....................... 170
6.6 Die adjungierte Abbildung...................................... 176
6.7 Selbstadjungierte Endomorphismen .............................. 181
VIII Inhaltsverzeichnis
7 Anwendungen in der Geometrie............................. 188
7.1 Affine R¨aume ................................................. 188
7.2 Affine Abbildungen und Koordinaten ............................ 195
7.3 Projektive R¨aume ............................................. 201
7.4 Projektive Abbildungen und Koordinaten......................... 206
7.5 Invarianten von Projektivit¨aten ................................. 211
7.6 Projektive Quadriken .......................................... 219
7.7 Affine Quadriken .............................................. 230
Literatur ......................................................... 235
Symbolverzeichnis ................................................ 236
Namen- und Sachverzeichnis...................................... 241
1 Algebraische Grundlagen
Wir setzen hier voraus, dass die Leser und Leserinnen mit den Sprech- und Be-
zeichnungsweisen der Mengenlehre und dem Abbildungsbegriff hinreichend ver-
traut sind. Wir sind nicht der Meinung, dass die Vorlesung Lineare Algebra“
”
dazu benutzt werden sollte, Allgemeinheiten u¨ber algebraische Strukturen wie
z.B. allgemeine Strukturs¨atze in aller Ausfu¨hrlichkeit von Grund auf zu behan-
deln. Allerdings ist der Gruppen- und K¨orperbegriff fu¨r den Aufbau der linearen
Algebra fundamental, und deswegen beginnen wir das Buch mit einigen Fragen
zu den grundlegenden Eigenschaften des Gruppen- und K¨orperbegriffs.
1.1 Der Begriff der Gruppe
Gruppen spielen nicht nur in der Linearen Algebra eine zentrale Rolle (z.B. ist
ein Vektorraum insbesondere auch eine abelsche Gruppe bezu¨glich der Addition),
sondern besitzen auch zahlreiche Anwendungen in außermathematischen Berei-
chen wie der Chemie ( kristallografische Gruppe“) oder in der Physik (etwa bei
”
der Klassifikation der Elementarteilchen). Die Schlagkraft der axiomatischen Me-
thode bei der Einfu¨hrung dieser Begriffe wird sich an vielen Beispielen zeigen.
Frage 1 Wasverstehtmanuntereiner Gruppe?WannheißteineGruppeabelsch
bzw. kommutativ?
Antwort: Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Verknu¨pfung ∗“,
”
d.h. einer Abbildung ∗: G×G→G, fu¨r die die folgenden Axiome gelten
(G1) (Assoziativit¨at) Fu¨r alle a,b,c∈G gilt
(a∗b)∗c=a∗(b∗c).
(G2) (Existenz neutraler Elemente) Es gibt ein e∈G, so dass fu¨r alle a∈G gilt
e∗a=a.
e heißt neutrales Element von G.
(G3) (Existenz inverser Elemente) Zu jedem a∈G gibt es ein (cid:2)a∈G mit
(cid:2)a∗a=e,
wobei e das neutrale Element bezeichnet. (cid:2)a heißt in diesem Fall das zu a
inverse Element.
EineGruppe(G,∗)heißtabelsch bzw.kommutativ,wennzus¨atzlicha∗b=b∗a
fu¨r jedes a,b∈G gilt. (cid:2)
2 1 Algebraische Grundlagen
Frage 2 Warum gilt fu¨r jede Gruppe (G,∗) mit neutralem Element e
e∗a=a=⇒a∗e=a fu¨r alle a∈G
sowie
(cid:2)a∗a=e=⇒a∗(cid:2)a=e fu¨r alle a∈G?
Mit anderen Worten, warum ist ein linksneutrales Element in jeder Gruppe G stets
auch rechtsneutral und ein linksinverses Element zu a∈G stets auch rechtsinvers?
(cid:2)
Antwort: Zu (cid:2)a gibt es nach G3 ein linksinverses Element (cid:2)a. Damit gilt
(cid:3) (cid:4)
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
a(cid:2)a=e(a(cid:2)a)= (cid:2)a(cid:2)a (a(cid:2)a)=(cid:2)a((cid:2)a(a(cid:2)a))=(cid:2)a(((cid:2)aa)(cid:2)a)=(cid:2)a(e(cid:2)a) =(cid:2)a(cid:2)a=e.
Das beantwortet den zweiten Teil der Frage. Der erste folgt damit aus
a∗e=a∗((cid:2)a∗a)=(a∗(cid:2)a)∗a=e∗a=a. (cid:2)
Frage 3 Warum ist das neutrale Element e und das zu a ∈ G inverse Element (cid:2)a
eindeutig bestimmt, so dass man also von dem neutralen und dem zu a∈G inversen
Element sprechen kann?
Antwort: Ist e(cid:2) ein (eventuell von e unterschiedenes) neutrales Element, so folgt
mit der Antwort zur vorigen Frage
e(cid:2)∗e=e sowie e(cid:2)∗e=e(cid:2),
also e(cid:2) =e.
Ist (cid:2)a(cid:2) ein (eventuell von a verschiedenes) inverses Element zu a, so gilt
(cid:2)a(cid:2) =(cid:2)a(cid:2)∗e=(cid:2)a(cid:2)∗(a∗(cid:2)a)=((cid:2)a(cid:2)∗a)∗(cid:2)a=e∗(cid:2)a=(cid:2)a. (cid:2)
Frage 4 Warum ist eine nichtleere Menge G mit einer assoziativen Verknu¨pfung
∗ genau dann eine Gruppe, wenn es zu je zwei Elementen a,b∈G ein x∈G und ein
y ∈G gibt mit
x∗a=b und a∗y =b?
Antwort: Aus der ersten Gleichung erh¨alt man fu¨r beliebiges a ∈ G ein e ∈ G
mit e∗a=a. Fu¨r jedes andere b∈G gilt dann
e∗b=e∗(a∗y)=(e∗a)∗y =a∗y =b,
also ist e ein neutrales Element in G. Durch L¨osen der Gleichung x∗a=e erh¨alt
man das zu a inverse Element. Dieses existiert also fu¨r jedes a ∈ G, und folglich
ist G eine Gruppe. (cid:2)
1.1 Der Begriff der Gruppe 3
Frage 5 Sei G eine Gruppe und seien a,b∈G. K¨onnen Sie die folgenden Rechen-
regeln beweisen:
(a−1)−1 =a (a·b)−1 =b−1·a−1?
(Wir lassen an dieser Stelle die bisher gebrauchten Notationen hinter uns und benut-
zeninZukunftderU¨bersichtlichkeitwegenbeiderUntersuchungallgemeinerGruppen
die fu¨r multiplikative Strukturen g¨angigen Bezeichnungen. D.h., a−1 bezeichnet das
zu a inverse Element, und fu¨r das Verknu¨pfungssymbol verwenden wir das Multipli-
kationszeichen, das gegebenenfalls auch unterdru¨ckt werden kann.)
Antwort: Es ist
(a−1)−1 =(a−1)−1·e=(a−1)−1·(a−1·a)=((a−1)−1·a−1)·a=e·a=a.
Das beweist die erste Gleichung, die zweite folgt aus
(b−1·a−1)·(a·b)=b−1·(a−1·a)·b=b−1·e·b=b−1·b=e. (cid:2)
Frage 6 K¨onnen Sie Beispiele fu¨r abelsche und nicht-abelsche Gruppen angeben?
Antwort: (a)Dieganzen ZahlenZbildenbezu¨glichderAdditioneineabelsche
Gruppe mit unendlich vielen Elementen.
(b) Ist K ein beliebiger K¨orper, so ist (K,+) eine additive abelsche Gruppe und
(K∗,·) eine multiplikative abelsche Gruppe. Dabei istK∗ :=K\{0}, wobei 0 das
neutrale Element bezu¨glich der Addition bezeichnet.
(c) Jeder Vektorraum ist bezu¨glich der Addition von Vektoren eine abelsche
Gruppe.
(d) Fu¨r ein n>0 und r ∈Z betrachte man die Menge
r+nZ:={r+n·a; a∈Z}⊂Z,
die sogenannte Restklasse von r modulo n. Es gilt r+nZ = q+nZ genau dann,
wennr−q durchnteilbaristbzw.wennfu¨rr undq beiderganzzahligenDivision
durchnderselbeRestu¨brigbleibt.DahergibtesgenaunverschiedeneRestklassen
modulo n, n¨amlich
nZ, 1+nZ, ..., (n−1)+nZ.
Mit Z/nZ bzw. Zn bezeichnet man die Menge dieser n Restklassen. Diese sind
paarweise disjunkt, und ihre Vereinigung ist Z. Somit liegt jede ganze Zahl a in
genau einer der n Restklassen. Die Abbildung : Z→Z/nZ ordne jedem a∈Z
seine Restklasse modulo n zu. Dann ist durch
a⊕b:=a+b