Prüfungstrainer Analysis

553 Pages·2018·5.33 MB·German

by  Rolf Busam

Rolf Busam
Thomas Epp
Prüfungstrainer
Analysis
Mehr als 1000 Fragen und Antworten für
Bachelor Mathematik und Physik, auch
bestens geeignet für Lehramtsstudierende
3. Auflage
Prüfungstrainer Analysis
(cid:2)
Rolf Busam Thomas Epp
Prüfungstrainer Analysis
Mehr als 1000 Fragen und Antworten für
Bachelor Mathematik und Physik, auch
bestens geeignet für Lehramtsstudierende
3. Auflage
Unter Mitarbeit von Pascal Klaiber
RolfBusam ThomasEpp
MathematischesInstitut Berlin,Deutschland
UniversitätHeidelberg
Heidelberg,Deutschland
ISBN978-3-662-55019-9 ISBN978-3-662-55020-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55020-5
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Vorwort zur dritten Auflage
IndieserdrittenAuflagedesPrüfungstrainersAnalysishabenwireinigeDruckfehlerund
sachlicheFehlerkorrigiert,sowieinhaltlichTexteaneinigenStellenüberarbeitetunder-
gänzt. Ferner kommen neue Aufgaben u.a. zu den komplexen Zahlen C, Konvergenz
(insbesonderedieRichtigstellungdernormalenKonvergenz,dieinderLiteraturvorwie-
gendinFormvonglobalnormalerKonvergenzauftaucht)undReihenhinzu.
AndieserStelleseigesagt,dassbeidenLösungenzudenneuenAufgabenaucheinige
IdeendesdamaligenVorlesungsassistentenDr.MichaelSchraudnermiteingeflossensind.
Ganz besonders möchten wir auf die Preisaufgabe (Frage 206) zur Konvergenz der
modifizierten harmonischen Reihe hinweisen, deren Lösung mit einem Buchpreis vom
Springer-Verlagausgeschriebenwird([email protected];
zubeweisenistdieobereGrenzevon22,9206bzw.einebessereobereGrenze.Injedem
Jahr bis drei Jahre nach Erscheinen des Werks gewinnt der Einsender mit der besten
oberenGrenze.DerRechtswegistausgeschlossen.).
ModifiziertheißtindiesemFall,dasswirüberallenatürlichenZahlenn2N summie-
ren,indenennichtdieZiffer9vorkommt.Dasheißt,wirbetrachtenfüra WD 1 dieReihe
P P n n
1 a D 0 1 undsetzenallea WD0,indenenndieZiffer9enthält.
nD1 n n n
NeuistweiterhineinExkurszudenp-adischenZahlen.Dieser hatinformativenCha-
rakterundsolldasInteresseaneinemTeilgebietderZahlentheorieundAlgebrawecken,
dasaufsEngstemitderTheoriederPrimzahlenverknüpftist,jedochauchMethodender
Analysisbenutzt.
WieimVorwortzurerstenAuflageausgeführt,orientiertsichdieStoffauswahlaneiner
dreisemestrigen,einführendenVorlesungzurAnalysis.DabeiwarderbewährteAnalysis-
zyklusvonOttoForster(vgl.[8])einewichtigeOrientierungshilfe,ebensodieVorlesung
meinerHeidelbergerKollegenProf.Dr.EberhardFreitagundProf.Dr.RainerWeissauer.
Ab der sechsten Auflage des dritten Bandes (2011) hat Otto Forster die Integrations-
theorie in mehreren Variablen auf eine maßtheoretische Grundlage (Mengenalgebren)
gestellt, während von der ersten bis zur fünften Auflage das Lebesgue-Integral mithilfe
desDaniell-Lebesgue- Prozesses eingeführtwurde. Dievon unsdargestellteEinführung
desLebesgue-IntegralsentsprichtderEinführungvonForsterindenerstenfünfAuflagen.
Dass beide Methoden letztlich auf denselben Integralbegriff führen, ergibt sich aus der
V
VI VorwortzurdrittenAuflage
Tatsache,dassdasLebesgue-IntegralalsHaar’schesMaßbisaufeinenkonstantenFaktor
eindeutigbestimmtist.
Vielfältig wird die Umstellung der Diplom- und Staatsexamensstudiengänge auf ge-
stufteStudiengängealsErfolggewertet,jedochsindbeiderStoffauswahletliche„Perlen“
derAnalysisaufderStreckegeblieben.DieobengenannteVorlesungzurPhysikaberhat
z.B.gezeigt,wiewichtigetwaauchThemenwiederDifferenzialformenkalkül,dieInte-
grationüberUntermannigfaltigkeitenoderdieIntegralsätzefürdieAnwendungensind.
An dieser Neuauflagekonntesich Herr ThomasEpp leider aufgrundberuflicher Um-
ständenichtmehrbeteiligen.SeineNachfolgetrittnunHerrPascalKlaiber,einehemaliger
Student des erstgenannten Autors, an. Unser besonderer Dank gilt Herrn Dr. Andreas
Rüdinger und Frau Bianca Alton für ihre fachkundige, aufmerksame und geduldige in-
haltlichesowieorganisatorischeUnterstützung.
Heidelberg,imNovember2017 RolfBusam
PascalKlaiber
Vorwort zur zweiten Auflage
IndieserzweitenAuflagedesPrüfungstrainersAnalysishabenwirzahlreicheDruckfehler
korrigiert, auf die wir dankenswerterweise von Studierenden hingewiesen wurden. In-
haltlich wurde der Text an einigen Stellen überarbeitet und ergänzt in der Absicht, den
Gebrauch des Textes zu erleichtern. Neu aufgenommen wurden Fragen zur Einführung
der komplexen Zahlen: einmal über das Standardmodell C D R2, über spezielle reelle
2(cid:2)2-MatrizenundüberdenRestklassenringRŒX(cid:2)=.X2C1/.Völligüberarbeitetwurde
der Abschnitt über das Newton-Verfahren. Insgesamt sind 24 neue Fragen dazugekom-
men.
Das Literaturverzeichnis wurde ergänzt und aktualisiert. Eingeflossen sind auch die
Erfahrungen des erstgenannten Autors aus einer jüngst gehaltenen Vorlesung „Höhere
MathematikfürPhysiker“.ZwischenAnalysisundLinearerAlgebragibtesmannigfache
Querverbindungen,dieauch in diesem Prüfungstrainerzum Ausdruckkommen(z.B. in
derFormulierungdesHauptsatzesderDifferenzial-undIntegralrechnunginderSprache
derLinearenAlgebra).DiesesWechselspielaufzuzeigen,wareinbesonderesAnliegenin
„Grundwissen Mathematikstudium“(Arens, Busam et al., vgl. die Angabeim Literatur-
verzeichnis[3]).
WieimVorwortzurerstenAuflageausgeführt,orientiertsichdieStoffauswahlaneiner
dreisemestrigen, einführenden Vorlesung zur Analysis. Dabei war der bewährte Analy-
siszyklus von Otto Forster (vgl. [8]) eine wichtige Orientierungshilfe. Ab der sechsten
Auflage des dritten Bandes (2011) hat Otto Forster die Integrationstheorie in mehreren
Variablen auf eine maßtheoretische Grundlage (Mengenalgebren) gestellt, während von
der ersten biszur fünftenAuflagedas Lebesgue-IntegralmithilfedesDaniell-Lebesgue-
Prozesseseingeführtwurde.DievonunsdargestellteEinführungdesLebesgue-Integrals
entspricht der Einführung von Forster in den ersten fünf Auflagen. Dass beide Metho-
den letztlich auf denselben Integralbegriffführen, ergibtsich aus der Tatsache, dass das
Lebesgue-IntegralalsHaar’schesMaßbisaufeinenkonstantenFaktoreindeutigbestimmt
ist.
Vielfältig wird die Umstellung der Diplom- und Staatsexamensstudiengänge auf ge-
stufteStudiengängealsErfolggewertet,jedochsindbeiderStoffauswahletliche„Perlen“
derAnalysisaufderStreckegeblieben.DieobengenannteVorlesungzurPhysikaberhat
VII
VIII VorwortzurzweitenAuflage
z.B.gezeigt,wiewichtigetwaauchThemenwiederDifferenzialformenkalkül,dieInte-
grationüberUntermannigfaltigkeitenoderdieIntegralsätzefürdieAnwendungensind.
UnserbesondererDankgiltunserenbeidenLektoren,HerrnDr.AndreasRüdingerund
Frau Bianca Alton für ihre fachkundige, aufmerksame und geduldige inhaltliche sowie
organisatorischeUnterstützung.
Berlin,HeidelbergimMai2014 RolfBusam
ThomasEpp
Vorwort zur ersten Auflage
AusgelöstdurchdenBOLOGNA-ProzessvollziehtsichzurZeitandendeutschenUniver-
sitätenbezüglichAufbauundInhaltdesStudiumseinradikalerUmbruch.DieUmstellung
derklassischenDiplomstudiengängeaufdiegestuftenStudiengängeBachelor(6Semes-
ter) bzw. Master (4 Semester) hat vielerorts schon stattgefunden oder steht kurzvor der
Realisierung. Wer sich jedoch zur Zeit im klassischen Diplomstudiengang Mathematik
befindet, kann diesen noch abschließen, mancherorts(z.B. in Heidelberg) ist auch noch
einEinstiegindenDiplomstudiengangzumWintersemester2007/2008möglich.
Was die Studieninhalte betrifft, so ist die Änderung nicht so radikal wie die Ände-
rung der Organisationsform mit dem Erwerb von Leistungspunkten oder „Softskills“.
In zahlreichen Modulhandbüchern findet sich der bisherige Analysiszyklus „Analysis 1
bis 3“ unter „Analysis 1“, „Analysis 2“ und etwa „Höhere Analysis“ wieder. Sieht man
sich jedoch die Inhaltsbeschreibungen dieser Vorlesungen an, so kann man feststellen,
dassderbisherigedreisemestrigeGrundkursüberAnalysisabgespecktwurdeundetwas
anspruchsvollereThemenund„Leckerbissen“derAnalysisausdenInhaltenverschwun-
densind.
An wen richtet sich dieser Prüfungstrainer Analysis? Dieser Prüfungstrainer richtet
sich anStudierendemitMathematikalsHaupt-oderNebenfach,speziellanStudierende
der Mathematik (mit den Studienzielen Diplom, Bachelor, Lehramt), aber auch an Stu-
dierende der Naturwissenschaften (speziell der Physik), der Informatik oder auch der
Wirtschaftswissenschaften, die nach ihrem Studienplan Grundvorlesungen in Analysis
besuchenundentsprechendePrüfungen(mündlichoderschriftlich)ablegenmüssen.Der
PrüfungstrainerkannundwillkeinLehrbuchersetzen,undschongarnichtdenBesuchder
entsprechendenVorlesung.WirgehenvonderVoraussetzungaus,dassdieLeserinnenund
LeserdieentsprechendenVorlesungengehörthabenund/odersichdenStoffanhandeines
LehrbuchsoderScriptumserarbeitethaben,sichjedochinkonzentrierterFormaufmög-
liche Klausur- oder Prüfungsfragen vorbereiten wollen. Zentrale Begriffe der Analysis
werdendafürineinemkonzisenFrage-undAntwortspielwiederholt.DerPrüfungstrainer
istkeineAufgabensammlung(davongibteszahlreiche),sondernerzieltmitseinenFragen
undAntworten hauptsächlichaufdasVerständnismathematischerBegriffeundKonzep-
te. Der Nutzen des Prüfungstrainerssoll darin liegen, dass dieLeserinnen und Leser ihr
IX
X VorwortzurerstenAuflage
Wissen inAnalysis stichpunktartigüberprüfenundtrainierenkönnen.AuchStudierende
höhererSemesterkönnenschoneinmalGelerntesgezieltnachschlagen.
FundierteKenntnissein denGrundlagenderAnalysis sindnachunserer Meinungfür
jedeweitereBeschäftigungmitMathematikvongrundsätzlicherBedeutung,weshalbbei
derStoffauswahlauchAnwendungsbezügeundZusammenhängemitanderenmathema-
tischen Gebieten berücksichtigt wurden. Informationselementezum Stoff finden sich an
den Kapitelanfängen und teilweise am Beginn der Unterabschnitte. Natürlich musste an
einigenStelleneineAuswahlgetroffenwerden,wirhoffenabertrotzdem,mitden7(cid:2)11(cid:2)
13(cid:3)1FrageneinbreitesSpektrumabgedecktzuhaben.WirweisendieLeserinnenund
Leserausdrücklichdaraufhin,Prüfungsfragen,diesieimPrüfungstrainervermissthaben,
andenVerlagzusenden.
BasisfürdiesenPrüfungstrainerwarenTest-undWiederholungsfragendeserstgenann-
ten Autorszu einem mehrfach an derRuprecht-Karls-UniversitätHeidelberggehaltenen
dreisemestrigen Analysiszyklus. Erfahrungenaus einem geradeabgeschlossenen Zyklus
sindindieFragenundAntworteneingeflossen.
EinigeTippszurPrüfungs-undKlausurvorbereitung:
(cid:4) Nehmen Sie frühzeitig vor der Prüfung mit ihrem Prüfer persönlichen Kontakt auf,
fragen Sie Ihren Prüfer, auf welche Sachverhalte er einen besonderen Schwerpunkt
legt.
(cid:4) In einem Prüfungsgespräch wird von Ihnen erwartet, zeigen zu können, dass Sie den
behandeltenStoffverstandenhaben.EinerfahrenerPrüferkanndiessehrschnellfest-
stellen.EinPrüfererwartet,
– dass Sie die grundlegenden Definitionen beherrschen (z.B. die Definition für den
KonvergenzradiuseinerPotenzreihe),
– dassSiedieAussagenderwichtigenSätzeparathaben(welcheSätzedassind,hat
derPrüferbestimmtmehrmalsinderVorlesungbetont),
– dass Sie die Sätze in konkretenFällen anwenden können(etwa den Banach’schen
FixpunktsatzzumBeweisdeslokalenUmkehrsatzes),
– dassSiebeidenfundamentalenSätzendieHauptargumentedesBeweiseskennen–
nebenden7(cid:2)11(cid:2)13(cid:3)1vonunsgestelltenFragengibtesunzähligeandere,ein
Prüfer wird in der Regel aber nicht versuchen, eine Frage zu finden, die Sie nicht
beantwortenkönnen.
(cid:4) VersuchenSie,sicheinenÜberblicküberdieVorlesungzuverschaffen.Dabeikannein
„RoterFaden“fürdieVorlesung,denderDozenthoffentlichhäufigerwähntunddem
erhoffentlichauchgefolgtist,sehrnützlichsein.
(cid:4) Simulieren Sie mit Kommilitonen die Prüfungssituation, indem Sie sich gegenseitig
FragenausdemPrüfungstrainerstellenunddieAntwortenmitden„Musterantworten“
vergleichen.
(cid:4) WennSiedenPrüfungsterminschonübereinelängereZeitausgemachthaben,bringen
SiesichbeimPrüferkurzvorderPrüfungnochmalsinErinnerung.