Projektive Geometrie der Ebene: Ein klassischer Zugang mit interaktiver Visualisierung

126 Pages·2017·6.1 MB·German

by  Stefan Liebscher (auth.)

Springer-Lehrbuch Masterclass
Stefan Liebscher
Projektive Geometrie
der Ebene
Ein klassischer Zugang mit interaktiver
Visualisierung
StefanLiebscher
TNGTechnologyConsultingGmbH
Unterföhring
Deutschland
Springer-LehrbuchMasterclass
ISBN978-3-662-54079-4 ISBN978-3-662-54080-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54080-0
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Vorwort
Lagéométrieestuneespècedehochetquelanaturenousajeté
pournousconsoleretnousamuserdanslesténèbres.
(Jean-BaptisteleRondd’AlembertanFriedrichII.,1764)
DieGeometrieisteineArtSpielzeug,welchesdieNaturunszuwarf
zumTrosteundzurUnterhaltunginderFinsternis.
DieGeometrieoffenbartdieSchönheitderMathematikbesonderseindrucksvollundoh-
nevieleVorkenntnisse.Tatsächlichlöstedie(Wieder-)EntdeckungderPerspektiveinder
Frührenaissanceeinenwahren„Hype“inderMalereiaus.
AuchwennsichdieAnwendungderprojektivenGeometrieindermodernenCompu-
tergrafikmeistaufdieperspektivischeDarstellungvonGitternetzenbeschränkt, kannsie
doch viel mehr: Sie beherbergt sowohl die euklidische als auch die nichteuklidischen
GeometrienundliefertdadurchüberraschendeundnützlicheEinsichten.
DervorliegendeTextnahmseinenUrsprungineinigenProgrammierübungen,mitde-
nen ich meinem Vater zeigen wollte, wie man interaktive geometrische Konstruktionen
alsJavaScript-Anwendung(ohneumständlicheJava-Applets)imWeb-Browserumsetzen
kann.Dashatmichschließlichsobegeistert,dassdasResultatdanndochetwasumfang-
reicher wurde: http://www.stefan-liebscher.de/geometry.php. Viele Anregungen bekam
ich durch Richter-Gebert (2011) und natürlich Liebscher (2005), die ich beide auch zur
weitergehendenLektüreempfehlenkann.
Gleichzeitig kam ich zu der Überzeugung, dass die projektive Geometrie viele
interessante, aber noch überschaubare Beispiele für die dynamischen Systeme, Singula-
ritätentheorie,DifferenzialgeometrieundKosmologiebereithält.ImErgebnishieltichim
Sommer2015anderFreienUniversitätBerlineineVorlesungüberprojektiveGeometrie.
DasbegleitendeSkriptzudieserVorlesungbildetdieGrundlagedesvorliegendenBuches.
DerzeitlicheRahmenderVorlesung(14Doppelstunden)zwangmichzueinerstarken
inhaltlichen Selektion. Darüber hinaus war mein Ziel, geometrisches Vorstellungsver-
mögen zu nutzen und zu entwickeln. Daher beschränke ich mich weitestgehend auf die
V
VI Vorwort
reelleprojektiveEbene.GrundlegendeBegriffeundTechnikenderprojektivenGeometrie
werden jedoch besprochen und alle Aussagen vollständig bewiesen. Insbesondere in der
zweiten Hälfte des Buches weicht die Auswahl der behandelten Themen dann deutlich
vonüblichenDarstellungenab,umausgewählteAspektevonKegelschnittennäherzube-
leuchten,diemichpersönlichbesondersfaszinieren.Ichhoffe,dassdieseFaszinationbeim
Lesen des Buches überspringt. Das Abschlusskapitel schließlich wird man so in keinem
Lehrbuchfinden.
AnvielenStellenfindensichVerweiseaufvorbereiteteKonstruktionenindereingangs
erwähntenBrowser-Applikation,mitdermandiedargestelltenSätzeimComputerexperi-
ment„überprüfen“kann.
BesonderesAugenmerkmöchteichnochaufdieÜbungsaufgabenrichten.Diesesind
nicht nur schmückendes Beiwerk. Mathematik zu studieren, ohne sich mit ihr anhand
von Übungsaufgaben auseinanderzusetzen, ist wie der Versuch, schwimmen zu lernen,
ohne ins Wasser zu gehen. Aus eigener Erfahrung als Student weiß ich, dass dazu aber
immer wenigstens ein klein bisschen Ansporn nötig ist. Daher sind den Aufgaben keine
Lösungen beigefügt – ich selbst würde als Leser zu schnell mangelnde Zeit als Grund
vorschieben,umdortnachzuschauen.DieAufgabenkönneninderRegelabermitdenun-
mittelbarvorihnenbereitgestelltenResultatenundMethodenbearbeitetwerden.Auchals
DozentwarichkeinFreundvonMusterlösungen.Einerseitssindsiezuleichtzukopieren.
AndererseitsgehörenaufdieÜbungszettelkeineAufgaben,fürdiederDozentselbsteine
Musterlösungbraucht.
München,April2017 StefanLiebscher
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung............................................................................................ 1
1.1 Zusammenfassung........................................................................... 1
1.2 „Eingangstest“................................................................................ 3
1.3 HistorischeszuPerspektiveundGeometrie........................................... 4
1.4 Ausblick........................................................................................ 5
2 Grundbegriffe...................................................................................... 7
2.1 DerprojektiveRaum........................................................................ 8
2.2 PunkteundLinien........................................................................... 9
2.3 ProjektiveAbbildungen.................................................................... 10
2.4 DieprojektiveGerade....................................................................... 11
2.5 Doppelverhältnisse.......................................................................... 12
2.6 DerSatzvonPappos........................................................................ 14
3 VollständigeViereckeundharmonischeVerhältnisse.................................. 17
3.1 ProjektiveInvolutionen..................................................................... 17
3.2 DerSatzvonDesargues.................................................................... 19
3.3 ViereckeundVierseite...................................................................... 20
3.4 DerFundamentalsatzderprojektivenGeometrie.................................... 22
4 Kegelschnitte........................................................................................ 25
4.1 QuadratischeFormen....................................................................... 26
4.2 DiePolarität................................................................................... 31
4.3 BüschelvonKegelschnitten............................................................... 33
4.4 DerKegelschnittalsprojektiveGerade................................................. 35
4.5 DieSätzevonPascalundBrianchon.................................................... 36
4.6 Kegelschnittkonstruktionen ............................................................... 38
5 DieCayley-Klein-Geometrien................................................................. 43
5.1 SpiegelungenalsausgezeichneteInvolutionen....................................... 44
5.2 DieeuklidischeEbene...................................................................... 45
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
5.3 DieKlassifikationdurchdenabsolutenKegelschnitt............................... 47
5.4 DieMetrikausdemDoppelverhältnis.................................................. 48
5.5 SpiegelungenundOrthogonalität........................................................ 56
5.6 DieMinkowski-Ebene...................................................................... 59
6 Kreise.................................................................................................. 65
6.1 MetrischeCharakterisierung.............................................................. 65
6.2 CharakterisierungdurchSpiegelungen................................................. 67
6.3 Umkreise,InkreiseundAnkreise........................................................ 69
6.4 Peripheriewinkel............................................................................. 71
7 Brennpunkte........................................................................................ 77
7.1 DieeuklidischeEllipse..................................................................... 77
7.2 Brennpunkte,BrennlinienunddasDiagonaldreieck................................ 80
7.3 BüschelkonfokalerKegelschnitte....................................................... 85
8 GeodätenundParallelverschiebung......................................................... 93
8.1 DergeodätischeFluss....................................................................... 93
8.2 Horozyklen.................................................................................... 94
8.3 ParelleltransportundKrümmung........................................................ 101
9 DiedreibrennpunktteilendenEllipsen..................................................... 105
9.1 Historisches................................................................................... 105
9.2 AllgemeineprojektiveFormulierungen................................................ 106
9.3 AlgebraischeBeweise...................................................................... 108
AnhangA LineareAlgebra........................................................................ 113
A.1 Matrizen........................................................................................ 113
A.2 ReelleNormalform.......................................................................... 114
A.3 KomplexeNormalform..................................................................... 115
Literatur ................................................................................................. 117
Abbildungsverzeichnis
Abb.2.1 KoordinatenwechselderprojektivenGeraden................................ 12
Abb.2.2 DasDoppelverhältnis.......................................................... 13
Abb.2.3 DerSatzvonPappos .......................................................... 15
Abb.3.1 DerSatzvonDesargues ....................................................... 19
Abb.3.2 VollständigesViereck,DiagonaldreieckunddualesVierseit................ 21
Abb.3.3 HarmonischeErgänzungmittelsvollständigenVierecks .................... 22
Abb.3.4 VierecksmengemittelsvollständigenVierecks............................... 22
Abb.3.5 VierecksmengemittelsvollständigenVierseits............................... 23
Abb.4.1 EntfaltungsingulärerKegelschnitte........................................... 30
Abb.4.2 DurcheinenKegelschnittvermitteltePolarität............................... 32
Abb.4.3 BüschelvonKegelschnitteninallgemeinerLage............................ 33
Abb.4.4 DerSatzvonPascal............................................................ 37
Abb.4.5 DerSatzvonBrianchon ....................................................... 38
Abb.4.6 KegelschnittkonstruktionalleinmitdemLineal.............................. 39
Abb.4.7 DurchPeripheriepunkteundTangentenfestgelegteKegelschnitte.......... 39
Abb.4.8 KegelschnittedurchvierPunktemitgegebenerTangenten.................. 40
Abb.4.9 KegelschnittedurchdreiPunktemitzweigegebenenTangenten ........... 41
Abb.5.1 KonstanteAbständeentlangvonTangentenandenHorizont ............... 50
Abb.5.2 HyperbolischeLängenmessung............................................... 52
Abb.5.3 ElliptischeLängenmessung ................................................... 53
Abb.5.4 SelbstpolaresDreieckausMittelpunktenundPol............................ 57
Abb.5.5 SpiegelungvonPunktenundGeraden........................................ 58
Abb.5.6 SpiegelunginderMinkowski-Ebene ......................................... 60
Abb.5.7 Identische(spiegelbildliche)Uhren,diesichgegeneinanderbewegen...... 62
Abb.5.8 ZeitdilatationundZwillingsparadoxon....................................... 62
Abb.5.9 Daseuklidische„Zwillingsparadoxon“....................................... 63
Abb.6.1 BüschelkonzentrischerKreise................................................ 66
Abb.6.2 In-,Um-undAnkreisevonDreiecken........................................ 71
Abb.6.3 PeripheriewinkelsatzindereuklidischenundderMinkowski-Ebene....... 73
IX
X Abbildungsverzeichnis
Abb.6.4 Wechsel-undAußenwinkelsatzindenflachenGeometrien................. 74
Abb.7.1 DieEuklidischeEllipse........................................................ 78
Abb.7.2 InfinitesimalbetrachtungderGärtnerregel.................................... 79
Abb.7.3 SpiegelungeinesBrennpunktesimKegelschnitt............................. 79
Abb.7.4 PoleinerBrennpunktsehne.................................................... 80
Abb.7.5 DieGärtnerregelderEllipse................................................... 80
Abb.7.6 DiagonaldreieckeinesKegelschnittpaares.................................... 82
Abb.7.7 KlassifikationvonKegelschnittbüscheln ..................................... 84
Abb.7.8 KreisdesimKegelschnittgespiegeltenBrennpunktes....................... 88
Abb.7.9 DurchPeripheriepunkteundTangentenbestimmteKreise.................. 92
Abb.8.1 HorozyklenalsinvarianteMannigfaltigkeitendesgeodätischenFlusses ... 95
Abb.8.2 HorozyklenalsstabileFaserndesgeodätischenFlusses..................... 96
Abb.8.3 GeodäteundHorozyklenimBeltrami-Poincaré-Kreisscheibenmodell..... 97
Abb.8.4 GeodätenundHorozyklenimBeltrami-Poincaré-Halbebenenmodell ...... 97
Abb.8.5 ParalleltransportentlangderSeiteneineDreiecks........................... 102
Abb.8.6 KrümmunganhandderMercator-KartederDe-Sitter-Geometrie........... 103
Abb.8.7 KrümmunganhandderMercator-KartederLobacˇevskij-Geometrie ....... 103
Abb.9.1 BrennpunktteilendeEllipsen .................................................. 106
Abb.9.2 KonkurrentegemeinsameSehnendreierKegelschnitte...................... 108