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der Heidelberger Akademie der Wissenschaften
Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse
Jahrgang 1960/1961,4. Abhandlung
Projektive Frobenius-Erweiterungen
Von
Friedrich Kasch
(Vorgelegt in der Sitzung vom 10. November 1960)
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1961
ISBN 978-3-662-23145-6 ISBN 978-3-662-25130-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25130-0
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© b y Springer-Verlag Berlin Heidel berg 1961
Ursprünglich erschienen bei Springer Verlag oHG, Berlin· Gottigen· Heidelberg 1961.
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Projektive Frobenills=Erweiterllngen
Von
Friedrich Kasch, Heidelberg
Vorgelegt in der Sitzung vom 10. November 1960
Einleitung
Eine Frobenius-Algebra ist bekanntlich eine endlichdimensionale
Algebra rj11 mit 1-Element, für die ein r-Modulisomorphismus
(1 )
existiert. Diese Dualitätseigenschaft hat man von den Gruppen
ringen endlicher Gruppen übernommen.
Frobenius-Algebren sind in zwei verschiedenen Richtungen ver
allgemeinert worden. Einerseits zu Frobenius- und Quasi-Frobe
nius-Ringen, bei denen man die Bezugnahme auf einen Unter
körper oder Unterring 11 fallen gelassen hat. Andererseits hat man
diese Bezugnahme und die Voraussetzung (1) beibehalten, aber die
sonstigen Voraussetzungen abgeschwächt.
So betrachten EILENBERG-NAKAYAMA in [3J Frobenius-Alge
brenr über einem RingA, wobei die Voraussetzung der endlichen
Dimension im Falle eines Körpers 11 durch die Forderung, daß r
als A-Modul endlich erzeugt und projektiv sei, ersetzt wird. In [3J
werden homologische Eigenschaften derartiger Algebren unter
sucht.
Ferner habe ich in [9J den Begriff der Frobenius-Erweiterung
eingeführt, der kürzlich von NAKAYAMA-TsuZUKU in [11J von
gewissen Einschränkungen befreit wurde und sich nach [11J fol
gendermaßen darstellt: Es seien r ein Ring mit 1-Element, 11. ein
Unterring mit dem gleichen 1-Element, es sei r als A-Rechtsmodul
endlich erzeugt und frei, und es gelte (1) als A-r-Isomorphie.
Auf der Grundlage von [9J hat K. HIRATA [7J homologische
Eigenschaften von Frobenius-Erweiterungen untersucht. Es ist nun
wünschenswert, diese Resultate und die von EILENBERG-NAKAYA
MA [3 J möglichst einheitlich zu gewinnen. Dazu schwächen wir den
Begriff der Frobenius-Erweiterung dahingehend ab, daß wir bei
\' - 89 -
4 FRIEDRICH KASCH:
sonst gleichen Voraussetzungen an Stelle von "frei" nur "projek
tiv" verlangen. Damit haben wir die im Titel genannten projektiven
Frobenius-Erweiterungen erhalten.
Im ersten Teil der Arbeit zeigen wir, daß die Definition der
projektiven Frobenius-Erweiterungen symmetrisch ist und stellen
Hilfsmittel für die weiteren Überlegungen bereit. Insbesondere
zeigen wir, daß es projektive Frobenius-Erweiterungen gibt, die
nicht frei sind.
Im zweiten Teil wird untersucht, wie weit sich eine Frobenius
Erweiterung durch ihren A-Endomorphismenring Hom (r,F)
A
charakterisieren läßt. Hier werden wir einen Satz, der nach [9,
11, 10J für freie Frobenius-Erweiterungen bekannt ist, auf pro
j ektiv e F ro benius-Erweiterungen verallgemeinern.
Im dritten Teil betrachten wir dann die homologischen Eigen
schaften von projektiven Frobenius-Erweiterungen und erhalten
zunächst Resultate, die Ergebnisse von EILENBERG-NAKAYAMA [3J
und K. HIRATA [7J enthalten und ergänzen.
So dann schränken wir die Frobenius-Erweiterungen auf ausge
zeichnete projektive Frobenius-Erweiterungen ein. Dabei heiße
rjA ausgezeichnet, wenn r als zweiseitiger A-Modul einen zu A
isomorphen direkten Summanden besitzt. Hier ergibt sich als
Hauptresultat, daß die schwache bzw. projektive bzw. injektive
Dimension eines A-Moduls A mit der entsprechenden Dimension
des r-Moduls A &;;r und Hom (r, A) übereinstimmt.
A
A
Schließlich zeigen wir für freie Frobenius-Erweiterungen, wo
eine Spurbildung möglich ist, daß die durch die Spur eines A-Homo
morphismus in den Ext~r,A) für i >0 induzierte Abbildung jeweils
die Nullabbildung ist. Dieses Resultat, das für Gruppenringe be
kannt ist, besitzt interessante Folgerungen.
1. Definition und Kennzeichnung von Frobenius-Erweiterungen
1.1. Voraussetzungen
Es seien in dieser Arbeit stets r ein Ring mit 1-Element und A
r r-
ein Unterring von mit dem gleichen 1-Element. Alle und
A-Moduln seien unitär. Ist A ein r-Rechts- bzw. r-Linksmodul, so
schreiben wir auch Ar bzw. rA. Die Schreibweise rAAr-=rBA
bedeute, daß die r-Links- und A-Rechtsmoduln A und B r-A-iso
morph seien. Bei Rechtsmoduln schreiben wir Abbildungen links
von dem abzubildenden Element und bei Linksmoduln rechts; ist
- 90 -
Projektive Frobenius-Erweiterungen 5
z. B. f eine Abbildung von Ar bzw. rA, dann sei f (a) bzw. (a) f das
Bild eines Elementes a EA bei f. Der Modul RomA( AA'~) wird
zu einem r-Linksmodul, wenn (yf) (a) = yf (a) für fE RomA( AA' 1;\),
yEr, aEA gesetzt wird. Entsprechend wird RomA(~' AA) zu
einem r-Rechtsmodul durch die Festsetzung (ly) (';) =f(Y,;) für
fERomA (I~, AA) und y, ';Er.
Sei jetzt
n
FA =.<:8x;A
,=1
ein freier A-Rechtsmodul mit den freien Erzeugenden (= Basis) Xl'
••• , Xn• Ist jeweils für i = 1, ... , n die Abbildung diE Rom.1 (FA' 1;\)
durch
{o für i t=j
di(xj) = oii = 1 f'u" r~=J. (2)
definiert, dann gilt offenbar
n
RomA( FA , ~) =.<:8 r di (3 )
.=1
und ebenso
Ferner folgt
rRomA(~,AA) = RomA(FA,rA)·
Sei nun F:1 = AA <:8 BA, dann denken wir un°s jede Abbildung
fE RomA( AA' rA) durch die Festsetzung f (b) = für alle bEB zu
einer Abbildung von ~ fortgesetzt, so daß RomA( AA'~) als
Untermodul von RomA( ~,~) betrachtet werden kann; entspre
chend für BA' Dann gelten die folgenden Gleichungen:
1
RomA( FA'~) = RomA( AA'~) Ei?> RomA( BA'~)
RomA( FA ,AA) = RomA(AA,AA) Ei?> RomA(BA,AA) (4)
r RomA( AA,AA) = RomA(AA'~).
Ferner besitzt RomA(AA'~) bzw. RomA(AA,AA) als r- bzw.
A-Linksmodul ein endliches Erzeugendensystem, nämlich die Ein
schränkungen der Abbildungen d (i = 1, ... , n) von F auf A.
i
Sei jetzt r als A-Rechtsmodul endlich erzeugt und projektiv,
dann istr direkter Summand eines endlich erzeugten freienA-Recht~
moduls FA, und für ~ treffen die zuvor für AA gemachten Fest
stellungen zu. Daraus folgt, daß RomA( ~, AA) als A-Linksmodul
ebenfalls endlich erzeugt und projektiv ist. Außerdem ist zu be-
- 91 -
2 Heidelberger Sitzungsberichte 1961
6 FRIEDRICH KASCH:
merken, daß HomA (-G, AA) nicht nur A-Links- sondern auch noch
r-Rechtsmodul ist.
Da 1;1 endlich erzeugt und projektiv ist, gilt für jeden Modul AC
(nach [3J, S.2)
(5)
als r-Linksmoduln; ebenso gilt für jeden Modul CA
C \8l r ~ HomA(HomA( AT, AA)A' CA) (6)
.1
als r-Rechtsmoduln. Aus (5) folgt speziell für C =A die r-/l-Iso
morphie
r<-'HomA (AHOmA(1;I,AA)'AA), (7)
die explizit durch
r 3 y --+(HomA( -G,AA) 3 t --+ j(y) EA)
gege ben wird.
1.2. Definition der Frobenius-Erweiterungen
Wir gehen von den folgenden Bedingungen aus:
(r1) "1r;,~ AHomA~,AA)r
(r2) 1;1 ist endlich erzeugt und projektiv
(r3) 1;1 ist endlich erzeugt und frei
(li) rI":1 = rHomA (Ar, AA)A
(12) Ar ist endlich erzeugt und projektiv
(13) Ar ist endlich erzeugt und frei.
Bemerkung 1
a) Die Bedingungen (r1) 'Und (r2) sind äquivalent zu (11) 'Und (12).
b) Die Bedingungen (r1) 'Und (r3) sind äquivalent zu (11) und (13).
Beweis. Seien (r1) und (r2) erfüllt. Wie schon festgestellt, ist
wegen (r2) HomA (~, AA) als A-Linksmodul endlich erzeugt und
projektiv. Wegen (r1) folgt dann (12). Gilt (r3), so erhält man
ebenso (13). Wegen (r1) und (7) gilt schließlich (11). Die Umkeh
rung folgt ebenso.
Definition
a) Die Ringerweiter'Ung r/A heißt Frobenius-Erweiterung, wenn
die Bedingungen aus Bemerkung 1 a) erfüllt sind.
- 92 --
Projektive Frobenius-Erweiterungen 7
b) Die Ringerweiterung rlA· heißt freie Frobenius-Erweiterung,
wenn die Bedingungen atts Bemerkttng 1 b) erfüllt sind.
Die im Titel dieser Arbeit genannten projektiven Frobenius
Erweiterungen werden also jetzt kurz Frobenius-Erweiterungen
genannt, und nur die spezielleren freien Frobenius-Erweiterungen
erhalten das zusätzliche Adjektiv.
Wir bemerken schließlich noch, daß es zu je zwei Isomorphis
men CPl und CP2 von AFr und AHomA (I;1' AA)r stets ein invertier
bares Element C aus dem Zentralisator von A. in r gibt, so daß
<Jl2(Y) =CPl(Cy) für alle yEr gilt.
Wie bei freien Frobenius-Erweiterungen kann auch jetzt der
Isomorphismus (r1) bzw. (11), den wir auch als Frobenius-Isomor
phis mus bezeichnen wollen, durch einen "Frobenius-Homomorphis
mus" ersetzt werden. Dazu betrachten wir die folgenden Bedin
gungen:
(r 1') Es gibt einen zweiseitigen A -Homomorphismus "P von r in
.11 so, daß die Abbildung
r :1 y -l>-"PY E HomA (~, AA)
ein A-r-Isomorphismus ist.
(li') Es gibt einen zweiseitigen A-Homomorphismus "P von r in
.11 so, daß die Abbildung
r:1 y -l>-Y"P E HomA (Ar, AA)
ein r-A-Isomorphismus ist.
Bemerkung 2. Dann und nur dann ist TIA ezne Frobenitts
erweiterung bzw. eine freie Frobenius-Erweiterung, wenn (r1') ttnd
(r2) bzw. (r1') und (r3) oder (11') und (12) bzw. (li') und (13) erfüllt
sind.
Beweis. Es genügt zu zeigen, daß (r1) und (r1') äquivalent sind.
Aus (r1') folgt unmittelbar (r1). Sei nun (r1) erfüllt und cP der
A-T-Isomorphismus von rund HomA (~, AA)' dann wollen wir
zeigen, daß "P = cP (1) die Bedingung (r 1') erfüllt. Als Element aus
HomA (~, AA) ist "P ein A-Rechtshomomorphismus. Ferner gilt
für AEA, yEr
"P(AY) = cp(1) (}.y) = cp(A) (y) = Acp(1) (y) = A1p(y),
also ist "P ein zweiseitiger A-Homomorphismus. Die Abbildung
r:1 y ->-"Py = cp(1) Y = cp(y) E Hom.1 (~,AA)
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2*
8 FRIEDRICH KASCH:
stimmt mit cp überein und ist folglich ein A-r-Isomorphismus.
Damit ist (r 1') bewiesen.
Wir stellen noch fest, daß bei einer freen Frobenius-Erweite
rung'lp ein Epimorphismus ist. Zu jedem AEA gibt es dann näm
lich (mindestens) ein hE RomA (~, AA) und ein y Er mit h (y) = }.;
sei 'lpYo = h, dann folgt 'Ip (YoY) = A.
Schließlich wollen wir feststellen, daß es Frobenius-Erweiterun
gen gibt, die nicht frei sind. Dazu betrachten wir zu zwei Frobe
nius-Erweiterungen Fr/Al und I2/A2 die direkte Summe r = Fr Gj Tz,
für die die Multiplikation durch (Y1+Y2)(Y~+Y~)=Y1Y~+Y2Y;'
Y1' Y~Er1' Y2' y;Er2 definiert sei. Dann ist r ein Ring und
r
A =A GjA ein Unterring von mit dem gleichen 1-Element.
I 2
Man prüft sofort nach, daß r/A Frobenius-Erweiterung ist. Außer
dem ergibt sich, daß TjA dann und nur dann freie Frobenius-Er
weiterung ist, wenn I;.jA und I2/A freie Frobenius-Erweiterungen
I 2
gleicher Dimension sind. Daraus folgt sofort, daß es Frobenius··
Erweiterungen gibt, die nicht frei sind.
1.3. Freie Frobenius-Erweiterungen
Wir stellen hier einige (aus [9J und [11J) bekannte Tatsachen
über freie Frobenius-Erweiterungen zusammen, die später ge
braucht werden.
Sei rjA eine Ringerweiterung und seien r r" eine Rechts
1, ... ,
sowie lI' ... , l" eine Linksbasis von TjI1. Diese Basen heißen dual
(zueinander), wenn die durch r r" erzeugte Rechtsdarstellung
1, ••. ,
von r in An mit der durch ll' ... , l" erzeugten Linksdarstellung
übereinstimmt. Das bedeutet, daß für jedes yEr aus
"
yrj = L ri Aij' (j=1, ... ,n)
i=l
die Gleichungen
n
liY = L Aijlj (i = 1, ... , n)
jd
folgen und umgekehrt.
Wesentlich ist nun, daß freie Frobenius-Erweiterungen durch
duale Basen charakterisiert werden können. Es gilt: Dann 'und
nur dann ist TjA eine freie Frobenius-Erweiterung, wenn endliche
duale Basen von rjIJ existieren.
Mit Hilfe von dualen Basen kann nun auch sofort ein Frobenius
Homomorphismus'IfJ angegeben werden, der gleichzeitig (r1') und
- 94 -
Projektive Frobenius-Erweiterungen
(11') genügt. Die Elemente Y1' y Er mögen die Basisdarstellungen
2
n n
Y1 = L A;l;, Y2 = L ri[t;,
;=1 ;=1
besitzen, dann wird 1fJ für das Produkt Y1 Y2 durch
n
1fJ(Y1 Y2) = L A; [t;
definiert, so daß insbesondere
gilt. Da man jedes Element yEr als Produkt von zwei Elementen
schreiben kann (z. B. Y = 1 y) und da 1fJ (Y1 Y2) wegen der Dualität
der Basen nur vom Produkt abhängt, liefert 1fJ einen Homomorphis
mus von r in A, der gleichzeitig (r1') und (11') erfüllt.
Für später merken wir noch die Gleichung
n
1 = L 1fJ(r;) l; (9)
;=1
an, die sofort aus (8) folgt.
2. Kennzeichnung einer Frobenius-Erweiternng
durch ihren Endomorphismenring
2.1. In [9J habe ich den besonders im Hinblick auf die Galois
sche Theorie der Schiefkörper und Ringe interessierenden folgenden
Satz bewiesen: Unter gewissen Voraussetzungen (die hier nicht
angegeben werden sollen) ist eine endlich erzeugte, freie Ring
erweiterung rjA dann und nur dann (freie) Frobenius-Erweiterung,
wenn der A-Endomorphismenring HomA~,~) Frobenius-Er
r r
weiterung des Ringes l der Linksmultiplikatoren von ist. Kürz
lich konnten NAKAYAMA-TsuZUIW in [11J zeigen, daß die dabei
von mir gemachten Voraussetzungen überflüssig sind. Schließlich
konnte ich in [10J einen Beweis dieses Satzes für freie Frobenius
Erweiterungen geben, bei dem nicht von dualen Basen Gebrauch
gemacht wird. Diese Beweisführung ermöglicht es nun, den Satz
mit einer gewissen Einschränkung auch für beliebige Frobenius
Erweiterungen zu beweisen.
2.2. Zur Vorbereitung beweisen wir drei Hilfssätze.
Hilfssatz 1: Sei rjA eine beliebige Ringerweiterul1g. Für jedes
jEHomA(~,AA) gilt dann HomA(~'~) j=rj.
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