Table Of Content______ Zum Thema
Taschenrechner
Taschenrechner Handbuch. Naturwissenschaften/Technik,
von H. Schumny
Elektronische Taschenrechner in der Schule,
von A. und U. Wynands
Programmierbare Taschenrechner
von K. U. Bromm
Programmieren von Taschenrechnern
Band 1 Lehr- und Obungsbuch fi.ir den SR 56,
von H. H. Gloistehn
Band 2 Lehr- und Obungsbuch fi.ir den Tl 57,
von H. H. Gloistehn
Band 3 Lehr- und Obungsbuch fi.ir den Tl 58 und Tl 59,
von H. H. Gloistehn
Anwendung programmierbarer Taschenrechner
Band 1 Angewandte Mathematik, Finanzmathematik,
lnformatik, Statistik fi.ir UPN-Rechner, von H. Alt
Vieweg
Karl Udo Bromm
Programmierbare
Taschenrechner
in Schule und Ausbildung
Grundlagen und Anwendungen
des Programmierens
Mit uber 50 Programmen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliathek
Bromm, Karl Udo:
Pragrammierbare Taschenrechner in Schule und
Ausbildung: Grundlagen u. Anwendungen d.
Pragrammierens; mit iiber 50 Pragrammen 1
Karl Uda Bramm.- Braunschweig, Wiesbaden:
Vieweg, 1979.
1979
Al le Rechte varbehalten
©Springer Fachmedien Wiesbaden 1979
Ursprunglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sahn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1979
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Dieser Vermerk umfal!t nicht die in den §§ 53 und 54 URG ausdriicklich erwăhnten Ausnahmen.
Satz: Vieweg, Wiesbaden
ISBN 978-3-528-04088-8 ISBN 978-3-322-91749-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91749-2
Ill
Vorwort
Programmierbare Taschenrechner sind insofern echte Computer, als sie die Steuerung von Rechen
abliiufen durch Programme ermiiglichen, die der Benutzer seinen Bediirfnissen entsprechend selbst
erstellen kann.
Das vorliegende Buch will dem Leser einen Eindruck von der Vielfalt dieser Miiglichkeiten ver
mitteln; dabei ist es nicht auf einen bestimmten Geriitetyp hin ausgerichtet; zentrales Anliegen ist
vielmehr die Propagierung eines Programmierstils, bei dem man sich zuniichst einer problem
orientierten, maschinenunabhiingigen Darstellungsweise bedient und diese erst spiiter, quasi
mechanisch, in die der Maschine verstiindlichen Sprache Ubersetzt. Man erledigt so einen Teil jener
Arbeiten, die in griiBeren Rechnern der compiler oder interpreter Ubernimmt.
Die oft beschworenen .. Sprachunterschiede" zwischen der Umgekehrten Polnischen Notation und
dem Algebraischen Operationssystem sind dabei von untergeordneter Bedeutung.
Vorteile dieser Konzeption: Der allgemeine Ablaufplan ist offen fUr Veriinderungen; auf seiner
Grundlage kiinnen beliebige Computer programmiert werden. lndem die Befehlsfolge des Taschen·
rechners erst als Obersetzung dieses Planes entsteht, vermeidet man die Gefahr, daB durch geriite
spezifisches .. Herumtricksen" der urspriingliche Algorithmus unkenntlich gemacht wird.
Das Buch ist in zwei Teile gegliedert, deren Funktion ein Vergleich mit der Skischule deutlich
macht:
Teil I (Grundlagen) entspricht den .. Obungen am Hang",
Teil II (Anwendungen) bietet .. Tourenvorschliige" unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades an.
Die Grundlagen sol len den Leser, der noch keine Erfahrungen im Umgang mit Computern sammeln
konnte, mit den Elementen der Programmierung in systematischer Weise vertraut machen; die dabei
verwandten Beispiele sind inhaltlich bewuBt einfach gewiihlt und dienen lediglich zur Erliiuterung
typischer Merkmale von Ablaufpliinen wie Verzweigung, Schleife, Unterprogramm und anderer in
diesem Zusammenhang wichtiger Begriffe der lnformatik.
Neben dem herkiimmlichen FluBdiagramm wird auch das Nassi-Shneiderman-Diagramm eingefiihrt
und die Verwendung genormter Sprachelemente innerhalb einer verbalen Notation aufgezeigt, wie
sie im Hinblick auf griiBere Systeme schon Ianger empfohlen wird. (Siehe Literaturhinweise [4].
[5]. [7]. [13].)
Die in den Anwendungen zusammengestellten Probleme sind griiBtenteils dem mathematisch
naturwissenschaftlichen Bereich entnommen. (Nichtnumerische Probleme erfordern Alpha
Miiglichkeit und eine Speicherkapazitiit, die beim programmierbaren Taschenrechner i.a. nicht zur
Verfiigung steht.) Zu jedem Beispiel gehiirt a) eine Eriirterung des Problemhintergrunds, b) ein
allgemeiner Ablaufplan, c) eine auf den Taschenrechner bezogene Befehlsfolge und d) ein Test
lauf. Soweit es der Umfang des Werkes zulieB, habe ich mich bemiiht, Programme nicht als .. Fertig
produkte" vorzustellen, sondern den zugehiirigen EntwicklungsprozeB wenigstens teilweise mit
einzubeziehen.
Algorithmisches Den ken braucht nicht am Material der .. Hiiheren Mathematik" eingeiibt zu werden:
Zum Verstiindnis von Teil I und vieler Fragestellungen aus Teil II reichen Mittelstufenkenntnisse
aus; bei manchen Beispielen wird der fachliche Hintergrund parallel zum Programm entwickelt.
Dadurch sind die angesprochenen Aspekte der I nformatik auch Schiilern der Sekundarstufe 1
- etwa ab Klasse 9 - zugiinglich.
Karl Udo Bromm
Dusseldorf, im Miirz 1979
IV
lnhaltsverzeichnis
Teil I Grundlagen ............................................... .
1 Steuerung von Rechenablaufen durch Programme .................... .
1.1 Speichern und Abrufen von Befehlen ............................. .
1.1.1 Einfuhrendes Beispiel (Kugelvolumen) ...................... .
1.1.2 Rechenvorgange bei Algebraischer Logik (AL) und
Umgekehrter Polnischer Notation (UPN) ..................... .
1.1.3 Arbeitsweise des Programmierbaren Taschenrechners (PTR) . . . . . . . . . 2
1.1.4 Durchfi.ihrung der Aufgabe am PT R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Vergleich der Kapazitat von Programmspeichern . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Funktion der Zahlenspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Einfuhrendes Beispiel (Dreiecksflachen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Vorgange im Rechner beim Abspeichern und Zuruckrufen von Zahlen . . 5
1.2.3 Programmierung in AL und UPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 .4 Testbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Vergleich der Kapazitat von Zahlenspeichern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Saldierende Speicher, Klammern und algebraische Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 E infi.ihrendes Beispiel (Werte quadratischer Funktionen) . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Rechnerlogik und algebraische Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Programmierungen in den unterschiedlichen Logiksystemen . . . . . . . . . 9
1.3.4 Testbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Zusammenfassung der Vorgange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Obungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Programmablaufplane mit Verzweigungen ........................... 13
2.1 Algorithmen und ihre Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 .1.1 Ablaufplan in Verbaler Notation (VN), als Flu~diagramm (FD)
und als Nassi-Shneiderman-Diagramm (NSD) ................... 13
2.1.2 Anmerkungen zum Flu~diagramm .......................... 14
2.1.3 Zuweisung .......................................... 15
2.2 Die .. wenn-dann"·Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Einfi.ihrendes Beispiel (Dreisatz) ........................... 15
2.2.2 Allgemeiner Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Charakterisierung der .. wenn-dann"-Verzweigung ................ 16
2.2.4 Miiglichkeiten logischer Entscheidung beim PTR . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 PT R -0 bersetzu ngen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.6 Testbeispiele ........................................ 20
2.2.7 Obungsaufgabe ...................................... . 20
v
lnhalt
2.3 Die .. wenn-dann-sonst"-Verzweigung .............................. 20
2.3.1 Einfi.ihrendes Beispiel (Oberpri.ifung von Dreiecken auf rechte Winkel) .. 20
2.3.2 Allgemeiner Ablaufplan ................................. 21
2.3.3 Charakterisierung der Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 PTR-Obersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Problematik der Gleichheitsabfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Kombination von Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Einfi.ihrendes Beispiel (vollstandige L6sung der linearen Gleichung) . . . . 25
2.4.2 Allgemeiner Ablaufplan ................................. 25
2.4.3 PTR-Obersetzung ..................................... 27
2.4.4 Testbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Programmabliiufe mit Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 Einfi.ihrende Begriffsbestimmung ................................. 28
3.2 Die .,solange-tue"-Anweisung ................................... 28
3.2.1 Einfi.ihrendes Beispiel (Fiache unter der Normalparabel) ............ 28
3.2.2 Allgemeiner Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Charakterisierung der .. solange-tue"-Anweisung ................. 30
3.2.4 PTR-Obersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.5 Testbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Die .,wiederhole-bis"-Anweisung ................................. 33
3.3.1 Wurzel iteration nach Heron: Vom Problem zum allgemeinen
Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Endgi.iltiger Programmablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.3 Charakterisierung der .,wiederhole-bis"-Anweisung ............... 35
3.3.4 PTR-Obersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.5 Testbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.6 Vergleich von .,Solange-tue" und .,Wiederhole-bis" . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Zahlergesteuerte Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Einfi.ihrendes Beispiel (n-te Fakultat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Allgemeiner Ablaufplan ................................. 38
3.4.3 PTR-Obersetzung ..................................... 39
3.4.4 Testbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Kombination von Verzweigung und Schleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.1 Wurzel iteration nach der Methode der fortgesetzten Halbierung:
Allgemeiner Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2 PTR-Obersetzung mit Testausdruck ......................... 42
4 Unterprogrammtechnik ......................................... 43
4.1 E instufige Unterprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Einfi.ihrendes Beispiel (k) ................................ 43
4.1.2 Zum Begriff des Unterprogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.3 Allgemeiner Ablaufplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.4 PTR-Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.5 Testbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
VI In halt
4.2 Mehrstufige Unterprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Einfiihrendes Beispiel (Binomialkoeffizienten) .................. 46
4.2.2 Allgemeiner Ablaufplan ................................. 46
4.2.3 PTR-Fassung ........................................ 47
4.2.4 Testbeispiele ........................................ 47
4.3 Obungsaufgabe ............................................. 47
5 Optimieren und Korrigieren von Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Optimieren von Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1 Erliiuterung des Begriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Korrigieren von Programmen ................................... 51
5.2.1 Einzelheiten zur Fehlerbehebung ........................... 51
5.2.2 Allgemeine Vorschliige zur Programmerstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Teil II Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.1 Reelle Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.2 Komplexe Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.1 Zwei Gleichungen mit zwei Variablen ........................ 58
6.2.2 Drei Gleichungen mit drei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Niiherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.1 Losung einer Gleichung vierten Grades ....................... 64
6.3.2 Losung einer transzendenten Gleichung ...................... 66
7 Aus der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1 Teiler einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Durchschnittsnote im Abitur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Primfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4 Primzahltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 Primzahltabellierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5.1 Schnellverfahren ...................................... 77
7.5.2 Siebmethode ........................................ 79
7 .5.3 Vorschliige zu weiteren Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.6 g.g.T. und k.g.V ............................................. 80
7.7 Addition und Subtraktion von Briichen ............................. 83
7.8 Pythagoriiische Zahlentripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.8.1 Berechnung siimtlicher Tripe! .................. ·. .......... 85
7 .8.2 Beschriinkung auf Grundtripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
lnhalt VII
7.9 g-adische Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.9.1 Verwandlung vom Zehnersystem ins fremde System .............. 89
7.9.2 Verwandlung vom fremden System ins Zehnersystem ............. 91
7.10 Ungeloste Probleme der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.10.1 DieVermutungvonMcCarthy ............................. 93
7.10.2 Klassische Faile ...................................... 94
8 Niiherungsweise Berechnung irrationaler Zahlen 96
8.1 Bestimmung der n-ten Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.1 Methode der fortgesetzten Halbierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.2 Methode von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.1.3 Schnellverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Berechnung von Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.1 Elementares Verfahren ................................. 99
8.2.2 Reihen ............................................ 102
8.2.3 Numerische Integration ................................. 103
8.3 Die Zahl e ................................................ 103
8.4 Die Zahl 1r ...••.•....••.••............•.••....•.•...•.•... 105
8.4.1 Rechteckmethode ..................................... 105
8.4.2 Vieleckmethode ...................................... 107
8.4.3 Leibniz-Reihe ....................................... 115
8.4.4 Methode von Cusanus .................................. 116
8.4.5 Monte-Carlo-Methode .................................. 118
8.5 Approximierung des Sinus ..................................... 118
8.5.1 Elementares Verfahren ................................. 118
8.5.2 Potenzreihe ......................................... 119
9 Naturwissenschaftliche Probleme .................................. 121
9.1 Linearitatspri.ifung einer Mel3reihe ................................ 121
9.2 Bewegungen unter Beri.icksichtigung des Luftwiderstandes ................ 122
9.2.1 Senkrechter Wurf ..................................... 123
9.2.2 Schiefer Wurf ........................................ 126
9.2.3 Gedampfte Schwingung ................................. 128
9.3 Satellitenbewegungen ........................................ 130
9.4 Bewegung von zwei Korpern .................................... 133
9.5 Bewegung von drei und mehr Korpern ............................. 137
9.6 Mondlandespiel ............................................ 139
9.7 Populationsentwicklung in einem Rauber-Beute-System .................. 142
10 Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ........................... 145
10.1 Binomialverteilung .......................................... 145
10.2 Wahrscheinlichkeitsintegral ..................................... 146
10.3 Erzeugung von Zufallszahlen .................................... 147
10.4 Monte-Carlo-Methode zur Flachenberechnung ........................ 149
VIII lnhalt
10.5 Simulation von G li.icksspielen ................................... 150
10.5.1 Gewi:ihnliches Wi.irfeln .................................. 150
10.5.2 Gli.icksrad und Roulette ................................. 151
10.5.3 Spielautomaten ...................................... 151
10.5.4 Lotto und Kartenspiel .................................. 151
10.6 Simulation von Wahrscheinlichkeiten .............................. 154
10.6.1 Amerikanisches Wi.irfeln ................................. 154
10.6.2 lrrfahrten .......................................... 157
10.7 Rechnen fi.ir Grundschi.iler (Lernprogramm) .......................... 159
11 Numerische Aspekte der lnfinitesimalrechnung ....................... 162
11.1 Folgen und Reihen .......................................... 162
11.1.1 Folgen ............................................ 162
11.1.2 Reihen ............................................ 163·
11.2 Tabellierung von Funktionen ................................... 164
11.3 Numerische Differentiation .................................... 166
11.4 Numerische Integration ....................................... 166
11.4.1 Rechteckverfahren .................................... 166
11.4.2 Trapezverfahren ...................................... 166
11.4.3 Simpsonverfahren ..................................... 168
11.5 lterationsverfahren .......................................... 170
11.5.1 Allgemeines lterationsverfahren ............................ 170
11.5.2 Newtonverfahren ..................................... 173
11.5.3 Sekantenverfahren (regula falsi) ............................ 174
11.6 D ifferentialgleichungen ....................................... 175
12 Der Rechner als Wahlhelfer und Zeitanzeiger ......................... 178
12.1 d'Hondtsches Hochstzahlverfahren ................................ 178
12.2 Digitaluhr ................................................ 181
Anhang ........................................................ 183
Entscheidungshilfen bei der Anschaffung eines programmierbaren Taschenrechners ........ 192
Literaturverzeichnis ............................................... 193
Namen-und Sachverzeichnis ........................................ 195
PTR-Befehlsregister ............................................... 198
