Table Of ContentProgramme zur Methode der Finiten Elemente
von
Dr. sc. techn. Edoardo Anderheggen
Institut für Baustatik
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich
Zürich
Juli 1969
ISBN 978-3-7643-0604-5 ISBN 978-3-0348-6870-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6870-9
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
TEIL I : PROGRAMMBESCHREIBUNGEN
1. EINLEITUNG 2
2. ELEMENT PROGRAMME DRPL21, DRPL18, DRSC18, VKPL28, VKPL24, VKSC24 3
2.1 Anwendungen 3
2.2 Programmtechnische Einzelheiten 3
2.3 Die dreieckigen Plattenelemente DRPL21 und DRPL18 4
2.4 Das dreieckige Scheibenelement DRSC18 5
2.5 Die viereckigen Elemente VKPL28, VKPL24 und VKSC24 8
2.6 Elastisch gestützte viereckige Plattenelemente 11
3. PROGRAMME ZUR LOESUNG VON SYMMETRISCHEN GLEICHUNGSSYSTEMEN MIT BAND-
FOERMIGER KOEFFIZENTENMATRIX : BANDMAT, BMRESID 12
3.1 Anwendungen 12
3.2 Organisation der Datenübertragung 12
3.3 Die Subroutine BANDMAT 14
3.4 Die Subroutine BMRESID 15
ANHANG I : KONDENSATION DER INTERNEN FREIHEITSGRADE FUER NICHT GESTUETZTE
UND FUER ELASTISCH GESTUETZTE VIERECKIGE PLATTENELEMENTE 17
LITERATURVERZEICHNIS 22
TEIL II : PROGRAMME
1. Subroutine DRPL21 23
2. Subroutine DRSC18 28
3. Subroutine VKPL28 31
4. Subroutine VKPL24 35
5. Subroutine VKSC24 39
6. Subroutine BANDMAT 42
7. Subroutine BMRESID 45
ZUSAMMENFASSUNG 47
SUMMARY 47
2
TEIL I PROGRAMMBESCHREIBUNGEN
1. EINLEITUNG
Zweck dieses Berichtes ist die Veröffentlichung einiger Computerprogramme, welche
zur elastischen Analyse von Flächentragwerken nach der Methode der finiten Elemente
benützt werden können. Diese wurden am Institut für Baustatik, Abteilung Massivbau
der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich im Rahmen eines entsprechenden
Forschungsprogrammes entwickelt.
Die ersten sechs Programme (DRPLZl, DRPL18, DRSC18, VKPL28, VKPL24 und VKSC24) be
rechnen die Steifigkeitsmatrizen und verschiedene Lastvektoren für dreieckige und
viereckige Platten- und Scheibenelemente. Die zwei letzten (BANDMAT und BMRESID)
dienen zur Lösung von grossen symmetrischen Gleichungssystemen, deren Koeffizenten
matrix eine Bandstruktur aufweist. Die Programme sind in Form von FORTRAN IV Sub
routinen geschrieben und wurden auf dem Computer Control-Data 6500 der Firma
"FIDES" in Zürich via ETH-Satelli t getestet.
Der erste Teil dieses Berichtes erklärt die Funktion jeder Subroutine und schildert
wie dieselben in ein Hauptprogramm einzubauen sind. Es wird dabei angenommen, dass
der Leser sowohl mit der Programmiersprache FORTRAN IV wie mit der Matrizenrechnung
und der Methode der finiten Elemente vertraut ist. Man wird hingegen auf eine de
taillierte Herleitung der Theorie, auf welche die Programme aufgebaut sind, nicht
eingehen, weil diese in der Fachliteratur an verschiedenen Stellen zu finden ist.
Der zweite Teil dieses Berichtes enthält die Programme selber. Diese sollten, dank
der vielen "Comment"-Karten, die Arbeitsweise der verschiedenen Subroutinen ver
ständlich machen. Die entsprechenden Karten können vom Institut für Baustatik,
Abteilung Massivbau der ETH Zürich verlangt werden.
3
2. ELEMENT PROGRAMME DRPL21, DRPL18, DRSC18, VKPL28, VKPL24, VKSC24
2.1 Anwendungen
Diese Programme bestimmen die Steifigkeitsmatrizen sowie verschiedene Lastvektoren
für dreieckige und viereckige Platten- und Scheibenelemente mit orthotropischen ela
stischen Eigenschaften. Bei den viereckigen Elementen werden auch die Matrizen und
Vektoren bestimmt, welche zur Berechnung der Verschiebungen und der Spannungen im
Schwerpunkt des Elementes notwendig sind. Der Fall von elastisch gestützten vier
eckigen Plattenelementen ist ebenfalls behandelt.
Die verschiedenen Matrizen und Vektoren werden auf Grund von polynominalen Verschie
bungsansätzen bestimmt. Sämtliche kinematischen Bedingungen, die für die Konvergenz
der Resultate bei Verfeinerung der Elementeinteilung notwendig sind, werden dabei er
füllt.
Das wesentliche Merkmal dieser Elemente besteht darin, dass nicht nur Verschiebungen,
sondern auch Krümmungen (bei den Plattenelementen) oder Dehnungen (bei den Scheiben
elementen) als Verschiebungsvariablen auftreten. Dies hat zur Folge, dass die Span
nungs~erechnungen in jeder Ecke der Elemente trivial werden. Besitzen alle Elemente,
die an einem Knoten miteinander verbunden sind, die gleichen elastischen Steifigkeits
koeffizenten, wird der Spannungsverlauf über diesem Knoten kontinuierlich sein. Dabei
wird selbst mit einer groben Elementeinteilung, dank den verwendeten hochgradigen Ver
schiebungsansätzen, eine hohe Genauigkeit erreicht. Die hier angeführten Elemente dürf
ten deswegen vor allem für genaue elastische Spannungsberechnungen nach der Theorie
1. Ordnung geeignet sein. Alle Arten von Flächentragwerken lassen sich damit behandeln.
Numerische Resultate sowie weitere Angaben über diese Elemente sind in der Literatur
an den angegebenen Stellen zu finden.
2.2 Programmtechnische Einzelheiten
Die Namen der "Entry Points" der FORTRAN-Subroutinen wurden so gewählt, dass die ver
schiedenen Fälle sich unmittelbar erkennen lassen. Zum Beispiel:
DRPL21 DReieckiges PLattenelement mit 21 Verschiebungsvariablen
VKSC24 yiereckiges SCheibenelement mit 24 VersGhiebungsvariablen
Die Uebertragung der Daten zwischen dem Hauptprogramm und diesen Element-Subroutinen
ist wie folgt organisiert:
1. Die formalen Parameter entsprechen den Resultaten der Subroutine. Ihre Bedeutung
wird jeweils im Programm selbst, mit Hilfe von "Comment"-Karten, erklärt.
2. Die Ausgangsdaten werden via "Labeled Common" übertragen. Die Namen dieser "Labeled
Commons" sind, den Namen der Subroutin.en entsprechend: CDRPL, CDRSC, CVKPL und
CVKSC.
3. Die beiden "Labeled Commons" SCRl und SCR2 sind Arbeitszonen (oder "SCRatch"
Zonen) des Speichers und werden zur Datenübertragung nicht verwendet. Sie können,
um Platz_in Kernspeichern zu sparen, in anderen Programmteilen wieder als Arbeits
zonen benützt werden.
4
4. Nur die obere Hälfte der symmetrischen Steifigkeitsmatrix [K]nxn wird bestimmt,
und, beginnend in der Adresse <STEIFM> zeilenweise gespeichert (n · (n+l)/2 Koef
fizenten).
Selbstverständlich ist es möglich, mit wenigen und übersichtlichen Programmänderungen
die Datenübertragung auf andere Weise zu gestalten.
2.3 Die dreieckigen Plattenelemente DRPL21 Und DRPL18 (s. Lit. 1, 2, 3, 4, 5)
Ein vollständiges Polynom 5. Grades in x und y wird als Durchbiegungsfunktion w(x,y)
angenommen. Da ein solches Polynom von 21 Parametern bestimmt wird, muss das entspre
chende Plattenelement 21 diskrete Verschiebungsvariablen besitzen. Diese bilden zu
sammen einen Verschiebungsvektor {w}2lxl' der bei dem dreieckigen Plattenelement
DRPL21 wie folgt definiert ist (s. Fig. 1.):
{w}T
- < wl wl ,x wl ,y wl,xx wl,yy wl,xy
wz w2 ,x w2 ,y w2,xx w2,yy w2 ,xy
w3 w3 ,x w3 ,y w3,xx w3,,yy w3,xy
-w lZ,n -w 23,n +w3l,n > (*)
Die Nummern 1, 2, 3 sind die Eckpunktnummern, numeriert im Gegenuhrzeigersinn. Die
drei letzten Verschiebungsvariablen sind die Ableitungen der Durchbiegungsfunktion
oder die Rotation in Normalrichtung in der Mitte jeder Seite. Diese werden beim
Element DRPL18 (**) eliminiert, indem die Bedingung gestellt wird, dass die Ableitung
der Durchbiegungsfunktion in Normalrichtung entlang jeder Seite eine Funktion 3. Gra~
des ist (und nicht 4. Grades wie beim Element DRPL21). Die entsprechenden Freiheits
grade gehen dabei verloren. Der Verschiebungsvektor reduziert sich von {w}2lxl auf
{w}l8xl"
Die angegebene Wahl der Verschiebungsvariablen garantiert die Erfüllung der kinema
tischen Kompatibilitätsbedingungen zwischen Elementen. Bei der Bildung der globalen
Steifigkeitsmatrix mit Plattenelementen, die Seitenfreiheitsgrade besitzen (d.h.
DRPL21 und VKPL28: s. Abschnitt 2.5), muss auf die Vorzeichen dieser Variablen ge
achtet werden. Damit sie der gleichen Rotation entsprechen, müssen die Vorzeichen der
Seitenvariablen entgegengesetzt sein. Die Vorzeichenkonvention ist folgende: eine po
sitive Rotation +w erzeugt positive Durchbiegungen im Innern des Elementes. Zur De-
,n
finitionder Steifigkeitsmatrix [K]21x2l (DRPL21) bzw. [K]lBxlB (DRPL18) gilt folgen-
de Beziehung:
JJ t
u Z1 (w M + w,yy My + 2 w,xy Mxy) dF {w} T [K] {w}
,XX X
(*) Ein Komma gefolgt von einem oder mehreren Indices bedeutet partielle Ableitung
nach der entsprechenden Richtung. Zum Beispiel:
w w =~ usw.
,x ,xy - ax ay
(**) DRPL18 ist ein "Entry Point" der Subroutine DRPL21.
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Dabei ist U die elastische Formänderungsarbeit des Plattenelementes (mit Fläche F)
für einen vom Vektor {w} spezifizierten Verschiebungszustand. Mx, My und Mxy sind
die beiden Biegemomente und das Drillungsmoment. Diese werden aus den Krümmungen
w,xx' w,yy und w,xy mit Hilfe der Steifigkeitskoeffizenten d11, d12, d22 und d33 be
stimmt. Zur Definition dieser Koeffizenten gelten folgende Beziehungen:
MX dll w,xx + dl2 w,yy
dl2 w,xx + d22 w,yy
w
,xy
Für isotrope Platten gilt:
E t3
d11 d22 12(1 - v2)
dl2 \) d11
d33 = (1 - \)) d11
Wobei E der Elastizitätsmodul, t die konstante Plattendicke und v der Poisson'sche
Koeffizent sind.
Der Lastvektor {P}2lxl bzw. {P}lSxl für eine auf der Fläche des Elementes gleichmässig
verteilten Belastung p = 1 wird ebenfalls bestimmt. Zur Definition dieses Vektors gilt
folgende Beziehung:
J
j f.f
V = p w dF = p · w dF = {w } T{ p} · p
Dabei ist V die äussere Arbeit der gleichmässig verteilten Last p für einen vom Vektor
{w} spezifizierten Verschiebungszustand des Plattenelementes. Der Vektor {P}2lxl bzw.
{P}lSxl wird, beginnend in der Adresse <GLEICHP>, sequentiell gespeichert.
Die Geometrie des Elementes wird von den Koordinaten (x1, y1) und (x2, y2) der Knoten
punkte 1 und 2 relativ zu 3 bestimmt. Die orthotropischen Steifigkeitskoeffizenten sind
im Innern des Plattenelementes konstant.
Der Algorithmus der Subroutine DRPL21 (wie auch der des Scheibenelementes DRSC18) be
nötigt keine Matrixinversion und keine explizite Integrationsprozedur. Dies wird er
reicht durch die Anwendung von natürlichen, dimensionslosen Dreieckskoordinaten. Da die
in diesem Koordinatensystem hergeleiteten Matrizen und Vektoren von der Geometrie und
von den elastischen Eigenschaften des Elementes weitgehend unabhängig werden, ist es
möglich, viele Berechnungen nur einmal für alle Elemente durchzuführen. Die entspre
chenden Daten werden dann als Konstante (mittels "DATA-Statements") im Computer gespei
chert, so dass die Bestimmung der Steifigkeitsmatrizen und der Lastvektoren in globalen
kartesischen Koordinaten nur noch einfache Transformationen verlangt. Solche Prozeduren
sind heute allgemein bekannt und verkürzen die notwendige Computerzeit erheblich.
2.4 Das dreieckige Scheibenelement DRSC18 (s. Lit. 5, s, 7)
Zwei vollständige Polynome 3. Grades in x und y werden als Verschiebungsfunktionen
u(x,y) und v(x,y) in x- und y-Richtung angenommen. Da jedes von diesen Polynomen von
10 Parametern bestimmt wird, muss das entsprechende dreieckige Scheibenelement 20 dis
krete Verschiebungsvariablen besitzen. Diese bilden zwei(Vektoren {we}lSxl und {wi}2xl
6
Fig. 1 · Plattenelement DRPL21 mit 21
Verschiebungs variablen
t
y,v
u2 v2
u2,x v2,y
I
(u2,y+ v2,x>
(u2,y- v2,x) /2
I
I
u1 v1
u,,x v1,y
I ( U1 ,y + V1 , X )
u3 v3 (u1,y- v1,x) /2
u3,x V3
--·-----.xu,
( U3 ,y + V3 ,y)
(u3,x -v3,y)l2
Fig. 2: Scheibenelement DRSC18 mit 18
Ve rsch iebun gsva r i ab I en
7
die wie folgt definiert sind (s. Fig. 2):
{w e }T = < ul vl ul,x vl,y (u l,y + vl x) (ul ,y - v1 ,x )/2
'
u2 v2 u2,x v2,y Cu2 ,y + Vz X) Cu2 ,y - v2 ,x )/2
'
u3 v3 u3,x v3,y (u3,y + v3,x) (u3 ,y - v3 ,x )/2 >
T !! !.!
{wi} - < u dF V dF >
Dabei sind u n,x = Ex , un ,y = Ey und u n,y + v n,x = y die beiden Dehnungen und die
Schiebung am Eckpunkt n (n = 1,2,3). Die Variable (un,y- vn,x)/2 = w kann als Rota-.
tion des Eckpunktes n um eine zur Scheibenebene senkrecht stehenden Achse aufgefasst
werden(*).
Die Verschiebungsvariablen des Vektors {we}lSxl bestimmen die Verschiebungen der
Elementränder und werden deswegen als "externe" Variablen bezeichnet. Sie sind so
gewählt, dass die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen zwischen Elementen er
füllt werden. Die beiden "internen" Variablen des Vektors {wi} beeinflussen hingegen
die Randverschiebungen nicht und können somit willkürlich gewählt werden. Die hier
getroffene Wahl scheint günstiger zu sein als die Wahl der Schwerpunktverschiebungen
u und v (s. Lit. s, 6, 7). Insbesondere wird damit die Bestimmung der Lastvektoren
für gleichmässig verteilte Massenkräfte in u- und v-Richtung wesentlich erleichtert.
Bekanntlich ist es möglich, durch die Anwendung des Minimumprinzips der potentiellen
Energie im Innern des Elementes die interne Verschiebungsvariablen zu eliminieren
oder zu "kondensieren". Dadurch geht kein Freiheitsgrad verloren. Diese Prozedur
wird im Anhang I kurz erklärt.
Zur Definition der "kondensierten" Steifigkeitsmatrix [K]lSxlS gilt folgende Bezie
hung:
ff
U = l2 (E x Nx + Ey Ny + yN xy ) dF = 12 {w e }T [K] {w e }
Dabei ist U die elastische Formänderungsarbeit des Scheibenelementes für einen vom
Vektor {we} spezifizierten Verschiebungszustand. Nx, Ny und Nxy sind die Normal- und
Schubkräfte pro Längeneinheit, die in der Scheibe wirken. Diese werden aus den Deh
nungen u,x = Ex' v,y = Ey und aus der Schiebung u,y + v,x = y mit Hilfe der ortho
tropischen Steifigkeitskoeffizenten d11, d12, d22 und d33 bestimmt. Zur Definition
dieser Koeffizenten gelten folgende Beziehungen:
dll EX + dl2 Ey
dlZ Ex + d22 EY
(*) Diese Rotations-Variable w erlaubt bei Schalenproblemen eine konsistente Defini
tion des räumlichen Verschiebungsvektors für jeden Knotenpunkt.
