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STOCHASTIQUES
ET
MOUVEMENT BROWNIEN
OUVRAGES DU MÊME AUTEUR
Problèmes concrets ¿.’Analyse fonctionnelle, avec un Complémeni
sur les fonctionnelles analytiques, par T. Pellegrino. (Collection de Mono
graphies sur la Théorie des Fonctions.) In-8° (iô x 25), xiv-484 pages;
i9$i.
Analyse fonctionnelle. (Mémorial des Sciences mathématiques. Fasc. V.)
In-8° (16 x 25), 56 pages, 2e édition; 1951.
Le mouvement brownien. (Mémorial des Sciences mathématiques.
Fasc. CXXVI.) In-8° (16 x 25), 84 pages; 1954.
Théorie de l’Addition des Variables aléatoires. Préface de Ê. Borel.
(Monographies des Probabilités. Fasc. I.) 2eédition revue. In-8°(i6 x 25),
xx-388 pages; 1954.
PROCESSUS
S T O C H A S T I Q U E S
ET
MOUVEMENT BROWNIEN
PAR
Paul L É V Y
PROFESSEUR HONORAIRE DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE
MEMBRE DE L’INSTITUT
Suivi d’une Note de M. LOÊVE
Deuxième édition revue et augmentée
PARIS
GAUTHIER-VILLARS & C‘% IMPRIMEUR-ÉDITEUR
LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE
Quai des Grands-Augustius, 55
1965
© Gauthier-Villars & C1*, 1965.
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction, par tous procédés
y compris la photographie et le microfilm, réservés pour tous pays.
PRÉFACE.
Le développement de la théorie des processus stochastiques
a été si rapide depuis quinze ans qu’il n’était pas possible de
rééditer ce livre sans y ajouter quelques compléments. Il était
encore moins possible de donner dans ces compléments une idée
complète de l’état actuel de cette théorie; il eût fallu un traité
en plusieurs volumes, et non une réédition de mon livre de 1948.
D’ailleurs c’eût été une tâche que je n’aurais guère pu espérer
mener à bonne fin. Aussi me suis-je contenté de rédiger trois
chapitres nouveaux sur les parties de la théorie que je connais
le mieux, et au développement desquelles j’ai personnellement
contribué. Mes travaux ayant paru dans des recueils très variés,
j’ai pensé qu’il y avait intérêt à donner un exposé d’ensemble
des résultats qui, avec un peu de recul, me paraissent les plus
importants, et à indiquer la manière dont ils ont été complétés
par T. Hida, H. P. Mc Kean, N. N. Tchentsov, et d’autres
savants.
C’est ainsi que j’ai été amené à laisser de côté certains aspects
importants de la théorie; je n’ai rien ajouté à ce qui était contenu
dans la première édition sur les processus markoviens; j’ai
aussi renoncé à introduire l’importante notion de processus
séparable, et à parler des martingales. Le lecteur désireux
d’ètre au courant de ces questions pourra lire par exemple les
livres de J. L. Doob [4], de E. B. Dynkin [1] et celui de
K. L. Chung [1].
Il trouvera ici d’abord la reproduction de la première édition,
qui, en ce qui concerne les processus markoviens ou stationnaires,
ne contenait que de brèves indications, mais était plus complète
VI PRÉFACE.
pour les processus additifs et le mouvement brownien. Pour
permettre la reproduction photographique, j’ai renoncé à perfec
tionner la rédaction, et, sauf en ce qui concerne le n° 28, je n’ai
fait que corriger quelques erreurs de détail, et supprimer le n°64,
remplacé par le Chapitre III des compléments.
)Le premier des trois chapitres rajoutés porte sur la théorie
générale des processus laplaciens (souvent appelés gaussiens).
L’essentiel en est constitué par la théorie des représentations,
canoniques ou non, des fonctions aléatoires d’une variable.
Le Chapitre II contient différents résultats relativement récents
sur le mouvement brownien classique, c’est-à-dire sur le cas où il
n’y a qu’une variable indépendante qu’on peut supposer être
le temps. Enfin le Chapitre III porte sur l’extension ‘du
mouvement brownien au cas où il y a plusieurs variables indé
pendantes, et à celui de l’espace de Hilbert. Il s’agit, dans
l’ensemble, de résultats assez récents, puisque je n’ai introduit
qu’en 1955 la notion de représentation canonique, et que,
jusqu’en 1967, j’ai été le seul à m’occuper de la fonction
brownienne de plusieurs variables.
Je me suis efforcé de présenter un exposé dont la lecture
n’exige pas trop d’efforts, et ai dans ce but supprimé ^.démons
trations difficiles. C’est ainsi que je n’ai fait qu’énoncer sans
démonstration un théorème de T. Hida, et les extraordinaires
théorèmes de A. Dvoretsky, P. Erdôs et S. Kakutani sur les
points multiples de la courbe du mouvement brownien plan.
De même, au n° 23, 5°, je n’ai fait qu’indiquer brièvement une
génération possible du théorème fondamental sur le déterminisme
de la fonction brownienne dans l’espace de Hilbert; la question
n’est pas assez au point pour que le résultat partiel obtenu figure
dans un ouvrage didactique. Mais je pense en avoir assez dit pour
donner au lecteur un aperçu de théories qui me paraissent
mériter de retenir l’attention, à la fois à cause des résultats
obtenus et à cause des problèmes qui restent posés.
PROCESSUS STOCHASTIQUES
ET
MOUVEMENT BROWNIEN
INTRODUCTION.
i.
La plus grande partie du présent travail est un exposé d’ensemble des
résultats obtenus par l’auteur, de 1934 à 1939, sur les processus additifs
et sur le moment brownien, et de quelques résultats plus récents. Mais
il nous a paru utile de faire précéder cet exposé par une étude générale
sommaire des processus stochastiques et par un chapitre consacré à
l’étude des processus stationnaires, qui, grâce aux travaux de
A. Khintchine, J. Kampé de Fériet, H. Cramér, M. Loève, A. Blanc-
Lapierre et R. Fortet, a fait de grands progrès depuis quelques années.
Daiis le Chapitre I, pour ne pas risquer de décourager les débutants
en commençant sans préparation l’étude des processus stochastiques les
plus généraux, nous donnons deux exemples concrets, qui sont tous les
deux des exemples de processus additifs et homogènes dans le temps;
l’un est celui du mouvement brownien, l’autre est le processus lié à la
loi de Poisson; nous indiquons aussi un processus plus complexe, lié à
une loi qui est un produit infini de lois de Poisson.
Le Chapitre II contient d’abord la définition générale des processus
stochastiques, dans lesquels, s’ils ne sont pas dégénérés, le hasard
intervient à chaque instant, et la comparaison entre cette notion et celle
de fonction aléatoire. Nous parlons ensuite des différents modes de
continuité des processus, et des différentes sortes de dérivées des fonc
tions aléatoires. Ce chapitre contient aussi quelques remarques générales
sur les équations différentielles stochastiques, et notamment sur une
2 INTRODUCTION.
condition suffisante pour qu’une telle équation conduise à un processus
défini sans ambiguïté. Si nous n’avons pas rattaché ces remarques au
chapitre suivant, c’est que quelques-unes s’étendent aux équations
intégro-différentielles stochastiques, qui définissent des processus héré
ditaires.
Le Chapitre III a pour objet l’étude des processus de Markoff,
c’est-à-dire non héréditaires. Nous montrons le rôle de l’équation
intégrale de Chapman-KolmogorofF, et celui des équations aux dérivées
partielles de Kolmogoroff, qui sont ce qu’on peut appeler les équations
de la diffusion de la probabilité. Elles ne s’appliquent que dans le
cas des processus définissant des fonctions presque sûrement continues.
Dans le cas du mouvement brownien, l’équation de la diffusion est
celle de la chaleur. Nous indiquons ensuite la relation entre les pro
blèmes aux limites de la théorie des équations aux dérivées partielles
et certains problèmes de la théorie des processus stochastiques.
Le Chapitre IV est consacré aux processus stationnaires; dans une
première rédaction, il ne contenait que quelques exemples, puis la
démonstration du théorème fondamental de A. Khintchine, qui s’appuie
sur le théorème de S. Bochner, et quelques remarques simples sur les
relations entre l’existence des dérivées aléatoires et l’existence des déri
vées de la fonction de corrélation. Les circonstances ayant retardé la
publication de cet ouvrage, nous en avons profité en janvier 1948 pour
compléter ce chapitre par l’exposé de théorèmes plus récents, notamment
ceux de H. Cramér et M. Loève sur l’analyse harmonique des processus
stationnaires (le reste de l’ouvrage a été rédigé au début de l’année 1945,
à l’exception des chapitres II et III qui ont été modifiés un an plus tàrd,
et de la bibliographie qui a été complétée jusqu’au moment de la correc
tion des épreuves).
Le Chapitre V est consacré à la théorie générale des processus
additifs. Il a été nécessaire de répéter certains résultats contenus dans
le chapitre VII de notre précédent livre [ P. Lévy [ H ] (* ) ], et en par
ticulier notre théorème fondamental sur la forme la plus générale des
processus additifs. Nous n’avons d’ailleurs indiqué qu’une démonstration
simplifiée et non rigoureuse, en ce sens que nous avons admis qu’on
peut, par l’addition d’un terme non aléatoire, éliminer toutes les dis
continuités autres que des sauts de la fonction aléatoire étudiée. Après
avoir montré l’unicité de la représentation des processus additifs par
(*) Les numéros entre crochets renvoient à la bibliographie placée h la fin de ce
volume.
INTRODUCTION. 3
noire formule générale, qui sen de base à l’arithmétique des lois indé
finiment divisibles, et indiqué l’application de cette formule aux
théorèmes fondamentaux sur la loi de Laplacc, nous indiquons deux
cas particuliers importants, celui des lois stables, et celui d’un groupe
qui comprend des lois connues de Pearson. Enfin nous terminons ce
chapitre par l’étude des processus additifs sur la circonférence, puis
dans les espaces euclidiens et non euclidiens à plusieurs dimensions;
cela nous conduit notamment à parler des beaux résultats de F. Perrin
sur le mouvement brownien de rotation.
Dans le Chapitre VI, nous étudions le mouvement brownien linéaire.
Après avoir introduit la notion d’oscillation brownienne, qui n’aura
d’application que dans le chapitre suivant, nous indiquons un grand
nombre de formules relatives aux lois de probabilité dont dépendent la
fonction aléatoire X (l) du mouvement brownien linéaire, ses valeurs-
extrêmes dans un [intervalle donné, et les valeurs de t les plus voisines
d’une valeur donnée et où X(¿), ou bien s’annule, ou bien est égal à
l’une des valeurs extrêmes considérées. Nous indiquons aussi un grand
nombre de propriétés presque sures de la fonction X (¿), et notamment
de l’ensemble de ses racines, ensemble dont nous faisons une étude
approfondie, et de l’ensemble des points où X(¿) atteint une valeur non
encore dépassée : ces deux ensembles sont stochastiquement identiques
(c’est-à-dire qu’ils sont comparables aux résultats de deux expériences
différentes régies par la même loi). Ce résultat est d’ailleurs contenu
dans le suivant : si M(¿)est le maximum de X (t) dans l’intervalle (o,¿).
et si l’on se place dans l’hypothèse X(o) = o, les fonctions aléatoires
! X(*)| et M (t) — X (£) sont stochastiquement identiques.
Le Chapitre VII est consacré à l’étude du mouvement brownien plan.
Après quelques remarques simples sur l’aspect presque sùr de la trajec
toire C, nous montrons que, contrairement à ce que pourraient faire
penser les résultats obtenus sur l’oscillation brownienne de cette
courbe, elle constitue presque sûrement un ensemble de mesure superfi
cielle nulle, mais presque sûrement partout dense dans le plan (si elle
est indéfiniment prolongée). Nous montrons ensuite qu’on ne peut pas
parler, au sens du calcul intégral classique, de l’aire comprise entre un
arc de la courbe C et sa corde; mais on peut donner un sens à cette
aire par une théorie des intégrales stochastiques et des aires stochastiques,
que nous avons créée dans ce but. La loi à deux variables dont dépendent
cette aire et la longueur de la corde peut alors être définie par une
équation aux dérivées partielles, du type elliptique, qui se déduit aisément
d’une équation de la diffusion de la probabilité analogue à celle de
4 INTRODUCTION.
A. KolmogorofT, ou à celle que S. Bernstein [2] appelle équation
de Fokker-Planck. Cette équation est vérifiée par une dérivée de la
fonction de répartition de cette loi, et suffit à définir parfaitement cette
loi. Pour terminer ce chapitre, nous indiquons l’invariance des propriétés
intrinsèques de la courbe C dans une représentation conforme.
Enfin le Chapitre VIII est consacré à l’étude du mouvement brownien
à plusieurs paramètres; au lieu de X (i), il s’agit d’une fonction X(A)
d’un point A d’un certain espace, ayant des propriétés qui généralisent
celles de la fonction X (i) du mouvement brownien linéaire. Le théorème
fondamental de celte théorie est celui qui établit la compatibilité des
conditions ainsi imposées a X(A). La démonstration utilise un lemine
de L. Schwartz. Nous montrons ensuite que, contrairement à ce qu’on
pourrait croire, ce processus n’a pas la propriété qui semble constituer
la généralisation naturelle de la non-hérédité des fonctions aléatoires X (t)
d’une seule variable, et indiquons certaines particularités très curieuses
qui se présentent lorsque le nombre des dimensions de l’espace lieu du
point A augmente indéfiniment. Ces particularités se rattachent à des
propriétés de l’espace de Hilbert déjà indiquées autrefois dans nos Leçons
<Vanalyse fonctionnelle (P. Lévy [1]). Ilne s’agit d’ailleurs, sur ce sujet,
que de l’ébauche d’une étude qui mériterait un plus grand dévelop
pement.
Le livre se termine par une Note de M. Loève. relative aux fonctions
aléatoires du second ordre.
Enfin nous avons cru utile de faire suivre cette introduction par un
bref rappel de quelques définitions et de résultats que nous supposons
connus; pour la plupart d’entre eux, les démonstrations se trouvent dans
notre précédent ouvrage (P. Lévy [11]).
II. — Définitions, notations et rappel de résultats connus.
I. Les notations Prj A j, Prj A, B | et Prj A/B J désigneront respec
tivement la probabilité de A, celle de «A et B», et la probabilité
conditionnelle de A dans l’hypothèse où B est réalisé. On a toujours
(i) Pr j A, B | = P r j A } Prj B/A j =Pr;{B}Pr{A/B}.
Les événements A et B sont indépendants (ou leurs probabilités sont
indépendantes) si
l'r { B/A 1 == Pr| B j, OU Pr { A./B } = Pr | A j.
