Problématiser en mathématiques: le cas de l'apprentissage des fonctions affines

489 Pages·2017·9.53 MB·French

by  Sylvie Grau

Problématiser en mathématiques: le cas de
l’apprentissage des fonctions affines
Sylvie Grau
To cite this version:
Sylvie Grau. Problématiser en mathématiques: le cas de l’apprentissage des fonctions affines. Math-
ématiques générales [math.GM]. Université Bretagne Loire, 2017. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-01629911￿
HAL Id: tel-01629911
https://hal.science/tel-01629911
Submitted on 6 Nov 2017
HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents
entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de
teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires
abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
SSyyllvviiee GGRRAAUU

MMéémmooiirree pprréésseennttéé eenn vvuuee ddee ll’’oobbtteennttiioonn dduu

ggrraaddee ddee DDoocctteeuurr ddee ll''UUnniivveerrssiittéé ddee NNaanntteess
ssoouuss llee sscceeaauu ddee ll’’UUnniivveerrssiittéé BBrreettaaggnnee LLooiirree

ÉÉccoollee ddooccttoorraallee :: 550044 –– CCooggnniittiioonn,, ÉÉdduuccaattiioonn,, IInntteerraaccttiioonnss ((CCEEII))

DDiisscciipplliinnee :: SScciieenncceess ddee ll’’éédduuccaattiioonn ((sseeccttiioonn 7700))
UUnniittéé ddee rreecchheerrcchhee :: CCRREENN –– UUnniivveerrssiittéé ddee NNaanntteess nn°°EEAA22666611

SSoouutteennuuee llee 99 ooccttoobbrree 22001177

PPrroobblléémmaattiisseerr eenn

mmaatthhéémmaattiiqquueess ::
llee ccaass ddee ll’’aapppprreennttiissssaaggee

ddeess ffoonnccttiioonnss aaffffiinneess
VVoolluummee 11
JJUURRYY

PPrrééssiiddeenntt dduu jjuurryy Christian ORANGE, Professeur des Université, Université Libre de Bruxelles

RRaappppoorrtteeuurrss :: YYaannnn LLHHOOSSTTEE,, PPrrooffeesssseeuurr ddeess UUnniivveerrssiittééss,, UUnniivveerrssiittéé ddeess AAnnttiilllleess,, ppôôllee MMaarrttiinniiqquuee
FFaabbrriiccee VVAANNDDEEBBRROOUUCCKK,, PPrrooffeesssseeuurr ddeess UUnniivveerrssiittééss,, UUnniivveerrssiittéé PPaarriiss DDiiddeerroott PPaarriiss 77

EExxaammiinnaatteeuurr··rriiccee··ss :: SSyyllvviiee CCOOPPPPEE,, MMaaîîttrreessssee ddee ccoonnfféérreenncceess,, UUnniivveerrssiittéé ddee GGeennèèvvee
CChhrriissttiiaann OORRAANNGGEE,, PPrrooffeesssseeuurr ddeess UUnniivveerrssiittéé,, UUnniivveerrssiittéé LLiibbrree ddee BBrruuxxeelllleess
DDiirreeccttrriiccee ddee TThhèèssee :: MMaaggaallii HHEERRSSAANNTT,, PPrrooffeesssseeuurree ddeess UUnniivveerrssiittééss,, EESSPPEE UUnniivveerrssiittéé ddee NNaanntteess
Résumé : La notion de fonction affine n’est pas disponible (Robert et Rogalski, 2002)
pour bon nombre d’élèves malgré un enseignement par les problèmes. Nous avons essayé de
comprendre pourquoi et de trouver des pistes pour y remédier. Pour cela, nous avons analysé
le savoir enseigné en lien avec l’épistémologie de cette notion, évalué les connaissances des
élèves à la sortie du collège pour identifier les difficultés qu’ils rencontrent, et expérimenté
différentes situations d’apprentissage. Nous avons utilisé des outils inspirés du cadre de la
problématisation (Fabre et Orange, 1997) pour analyser les productions langagières des
élèves, comprendre la manière dont ils posent les problèmes liés à l’affinité, comment ils
agissent sur les objets et effectuent des changements de cadres (Douady) ou de registres
(Duval). Cette étude nous a amenée à penser que la disponibilité du savoir est issue d’un
double processus : un apprentissage par problématisation de l’outil, un processus de
secondarisation du discours. Nous avons fait l’hypothèse qu’une approche de l’affinité par un
point de vue global et covariationnel devrait permettre aux élèves de mieux comprendre en
quoi la fonction affine peut être un outil de modélisation pour résoudre des problèmes liés à la
covariation de deux grandeurs et pensé un format de séquence intégrant ces hypothèses par
une succession de situations basée sur l’idée d’une problématisation par analyse des
productions des élèves (PPAP). L’objectif est de travailler la relation entre l’action et l’objet
de savoir. Nous avons expérimenté cette ingénierie afin d’en tirer quelques conditions
favorables pouvant servir à l’enseignement des fonctions affines.
Mots clés : apprentissage – collège – covariation – discours – fonction affine –
grandeurs – modélisation – problématisation
PROBLEMATIZING IN MATHEMATICS: LINEAR FUNCTIONS CASE
Abstract: For certain pupils, the notion of linear functions is not available in spite of a
teaching by problems. We tried to understand why and to find tracks to remedy it. For that
purpose, we analyzed the knowledge taught in connection with the epistemology of the notion
of affinity, estimated the knowledge of the pupils at the exit of the middle school to identify
the obstacles or the difficulties which they meet and experimented various situations of
learning. We used tools inspired by the framework of the problematization (Fabre et Orange,
1997) to analyze the linguistic productions of the pupils to understand the way they raise the
problems bound to the affinity, how they act on the met objects and how they make changes
of frames (Douady) or registers (Duval). This study brought to us to make the hypothesis that
the availability of the knowledge arises from a double process: a learning by problematization
of the tool, a process of secondarisation of the speech. Besides, an approach of the affinity by
a global point of view and covariationnel should allow the pupils to understand better in what
the linear functions can be a modelling tool to solve problems bound to the covariation of two
quantities measurable. We thought of a format of sequence integrating these various
approaches by a succession of situations based on the idea of a problematization by analysis
of the productions of the pupils (PPAP) to work the relation between the action and the object
of knowledge. We experimented this engineering to reach some favorable conditions which
can be of use to the teaching of the linear functions.
Key words: covariation – learning – linear functions – mathematics – middle school –
modelling – problematization – quantities –
Remerciements ,
Merci à Yann Lhoste et Fabrice Vandebrouck d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse,
merci pour l’intérêt que vous avez porté à mon travail, vos retours sont précieux.
Merci à Sylvie Coppé d’être membre de ce jury. Ses travaux sont une source d’inspiration. J’espère
que nous aurons l’occasion de poursuivre nos échanges.
Merci à Christian Orange pour l’accompagnement de cette réflexion commencée à l’IUFM de
Nantes bien avant cette thèse, merci pour ses encouragements, nos discussions et pour sa lecture en
cette fin d’été.
Merci à Magali Hersant avec qui j’ai partagé cette aventure et qui a toujours su guider mon travail,
conseiller par des critiques et des encouragement et qui a appris à changer de couleur de stylo pour
ménager ma susceptibilité.
Merci aux membres du laboratoire du CREN, aux doctorants, aux étudiants qui ont alimenté mes
réflexions par des apports, des questions, des remises en cause toujours très constructives. Les
séminaires du vendredi sont un rendez-vous inratables tout comme le colloque Probléma qui a
accueilli mes contributions avec beaucoup d’exigence et de bienveillance.
Je tiens à remercier tous les collègues qui ont participé aux constructions et expérimentations dans
leur classe, les membres du groupe fonction de l’IREM de Nantes.
Merci à Anne Boyé qui a gentiment accepté d’apporter son regard d’historienne des mathématiques
sur mon travail et pour son enthousiasme, son analyse toujours si précise.
Merci à mes stagiaires et à mes élèves qui ont souvent servi de cobayes dans cette recherche.
Merci enfin à Hervé, mon mari et à mes garçons Nicolas, François et Lucas. Ils ont supporté ces
années de travail et mon humeur massacrante en m’apportant toujours leur soutien et leurs
encouragements. Difficile de leur demander de rester moins longtemps sur leurs ordinateurs quand
je passe moi-même de longues heures à transcrire, analyser, rédiger…
Je n’envisage pas un jour sans apprendre, j’espère qu’ils auront cette passion de toujours découvrir.
Université de Nantes UFR Lettres et Langage
Département des sciences de l'éducation
Centre de Recherche en Éducation de Nantes (CREN)
Chemin de la Censive du Tertre BP 81227
44312 Nantes cedex 3
Table des matières | v
Table des matières
INTRODUCTION 13
PARTIE 1 CADRES THÉORIQUES ET MÉTHODOLOGIE
CHAPITRE I : ANALYSE ÉPISTÉMOLOGIQUE 16
I.1 : Repères historiques sur l'évolution de la notion de fonction affine....................17
I.1.1 : Le moyen-âge et la Renaissance..............................................................17
I.1.2 : L’époque classique...................................................................................21
I.1.3 : L’époque moderne....................................................................................22
I.1.4 : Caractérisation des fonctions affines à chaque période............................24
I.2 : La fonction affine dans les programmes scolaires du collège et du lycée.........25
I.2.1 : Première période avant 1902 : l'algèbre au service de la géométrie........25
I.2.2 : Deuxième période de 1902 à 1960 : la droite comme représentation
graphique de fonction.......................................................................................................29
I.2.3 : Troisième période : à partir de 1959, le temps des réformes...................34
I.2.4 : Quatrième période à partir de 1986 : le problème au cœur du processus
d'apprentissage..................................................................................................................39
I.2.5 : Conclusion sur l'évolution de la transposition didactique de la notion de
fonction affine...................................................................................................................43
I.3 : Étude des organisations mathématiques de la notion de fonction affine...........46
I.3.1 : Étude de l'organisation mathématique dans les programmes de 2008.....46
I.3.2 : Étude de l’organisation mathématique de la notion de fonction affine
dans le manuel Sésamaths de la classe de 3e....................................................................53
I.4 : Conclusion........................................................................................................57
CHAPITRE II : DEUX POINTS DE VUE 59
II.1 : La covariation..................................................................................................59
II.2 : L'expression de ces deux points de vue dans les différents registres..............62
II.3 : Cycle de modélisation......................................................................................69
II.4 : Conclusion.......................................................................................................74
CHAPITRE III : LE CHOIX DU CADRE THÉORIQUE 75
III.1 : Mise en évidence des difficultés repérées......................................................75
III.2 : Les fondements théoriques.............................................................................83
III.2.1 : La Théorie des situations didactiques (TSD).........................................83
III.2.2 : L'apprentissage par problématisation....................................................84
III.3 : A propos des définitions..................................................................................89
III.4 : Vers une praxéologie de modélisation de la fonction affine............................93
III.5 : Le cadre épistémique pour l'apprentissage par problématisation....................95
III.6 : Le rôle du langage........................................................................................102
III.7 : Le contrat didactique.....................................................................................106
III.8 : Structure générale du cadre épistémique.....................................................109
III.9 : Conclusion....................................................................................................111
CONCLUSION DE LA PARTIE 1 113
vi | Table des matières
PARTIE 2 L'ÉLABORATION DES ÉLÉMENTS DE L'INGÉNIERIE
CHAPITRE I : LE TEST ET LES RÉSULTATS 115
I.1 : Les types de problèmes mathématiques relevant de l'affinité et les procédures
utilisées pour les résoudre................................................................................................115
I.2 : Méthodologie de construction, passation et analyse.......................................117
I.2.1 : Méthodologie de construction................................................................117
I.2.2 : Méthodologie de passation.....................................................................121
I.3 : Le choix des exercices en lien avec les hypothèses de recherche.................121
I.3.1 : Les grandeurs et la proportionnalité : exercices A, B et H.....................126
I.3.2 : La proportionnalité et les graphiques : exercices C et E........................131
I.3.3 : L'utilisation du registre des expressions algébriques : exercice D.........133
I.3.4 : Les fonctions, notations et vocabulaire : exercices F et G.....................135
I.4 : Analyse des résultats......................................................................................138
I.4.1 : Analyse des résultats exercice par exercice...........................................140
I.4.2 : Analyse par thèmes................................................................................145
I.5 : Analyse des propos des enseignants des classes testées..............................173
I.5.1 : Le retour des élèves après correction du test..........................................173
I.5.2 : Les réactions des enseignants.................................................................174
I.6 : Conclusion......................................................................................................175
CHAPITRE II : INTRODUCTION DE LA NOTION DE FONCTION AU COLLÈGE 178
II.1 : Quelles situations sont proposées aux élèves dans les chapitres consacrés aux
fonctions dans les manuels de 3e ?...................................................................................179
II.2 : Quels problèmes proposer en classe pour introduire la notion de fonction au
collège ?...........................................................................................................................184
II.2.1 : L'utilisation de la lecture graphique pour analyser l'aspect global d'une
fonction...........................................................................................................................186
II.2.2 : Identifier une relation fonctionnelle......................................................189
II.2.3 : L'étude de situations mettant en évidence la covariation de grandeurs par
une fonction non monotone............................................................................................194
II.2.4 : La généralisation d'un comportement covariationnel pour résoudre un
problème de covariation non affine : le problème du pluviomètre à différents niveaux de
la scolarité.......................................................................................................................202
II.2.5 : L'interpolation linéaire sur un intervalle sur lequel on considère le
comportement d'une fonction continue et monotone : le problème du marchand de glace
........................................................................................................................................222
II.3 : Conclusion.....................................................................................................237
CONCLUSION DE LA PARTIE 2 238
PARTIE 3 MISE EN PLACE D'UNE INGÉNIERIE
CHAPITRE I : EXPÉRIMENTATIONS DE SÉQUENCES VISANT L'APPRENTISSAGE PAR
PROBLÉMATISATION DES FONCTIONS AFFINES 242
I.1 : Analyse d’un temps de débat en classe de 2nde............................................244
I.1.1 : Analyse du débat....................................................................................245
I.1.2 : Problématisation dans le débat...............................................................249
I.1.3 : Que nous apprend l’analyse de la séquence « degrés Celsius-degrés
Fahrenheit » ?.................................................................................................................255
Table des matières | vii
I.2 : Un essai pour permettre l'apprentissage par problématisation de l'affinité par les
élèves...............................................................................................................................256
I.2.1 : Présentation de la situation salaire-chiffre d'affaires..............................257
I.2.2 : La mise en œuvre de la situation salaire-chiffre d'affaires.....................258
I.2.3 : Analyse a priori de la séquence salaire-chiffre d'affaires......................260
I.2.4 : Analyse a posteriori de la séquence salaire-chiffre d'affaires................263
I.3 : Conclusion sur le choix des problèmes...........................................................285
I.3.1 : Du point de vue des savoirs....................................................................285
I.3.2 : Du point de vue du scénario...................................................................286
CHAPITRE II : UN MODÈLE DE SÉQUENCE : LA PPAP 288
II.1 : L'apport des travaux en didactique des sciences et vie de la terre.................288
II.2 : Les séquences PPAP (Problématisation Par Analyse des Productions)........290
II.3 : La dynamique de problématisation dans une PPAP......................................297
II.4 : Un nouvel outil pour l'analyse de l'activité de l'élève......................................302
II.5 : Des pistes pour l'élaboration d'une ingénierie didactique...............................307
II.6 : Conclusion.....................................................................................................310
CHAPITRE III : L'INGÉNIERIE TEMPÉRATURE-PRESSION 313
III.1 : Situation problème : mise en évidence de la proportionnalité des écarts pour
caractériser la covariation de deux grandeurs...................................................................313
III.1.1 : Grandeurs repérables, grandeurs mesurables et proportionnalité........313
III.1.2 : Aspect didactique................................................................................316
III.1.1 Choix de la situation..............................................................................316
III.2 : Analyse de l'expérimentation dans la classe de collège................................318
III.3 : Le format.......................................................................................................322
III.3.1 : L'étape 1...............................................................................................322
III.3.2 : Analyse a priori de l'étape 1................................................................323
III.3.3 : Analyse a priori de l'étape 2................................................................329
III.4 : La situation 2................................................................................................334
III.4.1 : Présentation de la situation 2...............................................................334
III.4.2 : Analyse a priori de la situation 2........................................................335
III.5 : La situation 3................................................................................................336
III.5.1 : Présentation de la situation 3...............................................................336
III.5.2 : Analyse a priori de la situation 3........................................................337
III.6 : Évaluation intermédiaire................................................................................339
III.6.1 : Présentation de l'évaluation.................................................................339
III.6.2 : Analyse a priori de l'évaluation...........................................................339
III.7 : La situation 4................................................................................................340
III.8 : Analyse de la séquence PPAP.....................................................................342
III.9 : Conclusion....................................................................................................345
CHAPITRE IV : ANALYSE A POSTERIORI DE LA SÉQUENCE PPAP TEMPÉRATURE-PRESSION
DANS DEUX CLASSES DE SECONDE 347
IV.1 : Méthodologie d'analyse de l'expérimentation...............................................347
IV.1.1 : Méthodologie liée à l'ingénierie didactique.........................................347
IV.1.2 : L'organisation du traitement des données...........................................347
IV.1.3 : La structure de l'analyse et les différents outils...................................348
IV.1.4 : La synthèse au travers des espaces de contraintes...............................350
IV.2 : Présentation des classes et des enseignants...............................................351
viii | Table des matières
IV.3 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l’étape 1 dans la classe de 2nde 1
..........................................................................................................................................354
IV.3.1 : Analyse des procédures des élèves lors de l'étape 1 ...........................354
IV.3.2 : Analyse des traces écrites des différents groupes étape 1...................355
IV.3.3 : Synthèse dans l'espace de contraintes a posteriori..............................365
IV.3.4 : Ce que les fonctions langagières nous apprennent de la mise en relation
des données et des conditions du problème à l'étape 1...................................................369
IV.3.5 : Configuration des registres à l'étape 1.................................................371
IV.4 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 2 dans la classe de 2nde 1
..........................................................................................................................................372
IV.4.1 : Analyse des productions écrites étape 2..............................................372
IV.4.2 : Analyse des interactions dans les groupes par comparaison entre l'étape
1 et l'étape 2....................................................................................................................380
IV.5 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 1 dans la classe de 2nde 2
..........................................................................................................................................398
IV.5.1 : Analyse des procédures des élèves lors de l'étape 1 à travers les
productions écrites..........................................................................................................398
IV.5.2 : Analyse des traces écrites des différents groupes étape 1...................399
IV.5.3 : Analyse comparée des fonctions langagières entre les classes de 2nde 1 et
2 sur l'étape 1..................................................................................................................409
IV.6 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 2 dans la classe de 2nde 2
..........................................................................................................................................419
IV.6.1 : Analyse des productions écrites..........................................................419
IV.6.2 : Analyse des interactions dans les groupes durant l'étape 2.................422
IV.7 : Analyse a posteriori de l’expérimentation de l’étape 3 dans la classe de 2nde 1
..........................................................................................................................................435
IV.7.1 : Les procédures utilisées par les élèves pour caractériser les variations
dans la classe 1...............................................................................................................435
IV.7.2 : La comparaison des variations entre les trois tableaux de valeurs dans la
classe 1............................................................................................................................438
IV.8 : Analyse a posteriori de l'expérimentation de l'étape 3 dans la classe de 2nde 2
..........................................................................................................................................438
IV.8.1 : Les procédures utilisées par les élèves pour caractériser les variations
dans la classe 2...............................................................................................................439
IV.8.2 : La comparaison des variations entre les trois tableaux de valeurs dans la
classe 2............................................................................................................................441
IV.9 : Analyse et comparaison des processus de secondarisation dans les classes
de 2nde 1 et 2 au cours de l'étape 3....................................................................................442
IV.10 : Analyse a posteriori de l’expérimentation des étapes 4 et 5.......................448
IV.11 : Conclusion à l’issue de cette expérimentation............................................449
CONCLUSION DE LA PARTIE 3 453
CONCLUSION
1. L'apport du cadre de la problématisation pour penser l'organisation de
l'enseignement-apprentissage de la notion de fonction affine et sa transposition didactique
..........................................................................................................................................457
1.1. Une revisite des cadres, registres et points de vue par le travail de figuration,
configuration et de reconfiguration................................................................................457
1.2. L'apport de notre étude épistémologique pour penser la transposition
didactique de la fonction affine......................................................................................458
1.3. Les programmes du cycle 4 à la rentrée 2016...........................................460
Table des matières | ix
2. L'apport du format PPAP pour problématiser en mathématiques........................465
2.1. Ses effets attendus sur l'apprentissage........................................................465
2.2. Les effets produits au regard des effets attendus........................................466
2.3. Des outils d'analyse pour mesurer les progrès des élèves dans l'apprentissage
par problématisation.......................................................................................................467
2.4. La PPAP comme pratique pédagogique pour élémenter l'apprentissage par
problématisation dans l'enseignement............................................................................467
2.5. Une généralisation possible........................................................................469
3. Synthèse dans un espace de contraintes...........................................................469
BIBLIOGRAPHIE 471