Problemas y Algoritmos de Olimpiada de Informática

219 Pages·2009·0.95 MB·Spanish

Problemas y Algoritmos
de Olimpiada de InformÆtica
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2 9 1
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9 7 7 7 9 6 6
Por Luis E. Vargas Azcona
Algunas imagenes por Roberto L(cid:243)pez
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Prefacio
El prop(cid:243)sito general de este libro, es el de introducir al lector en la resoluci(cid:243)n de
problemas de programaci(cid:243)n as(cid:237) como en el diseæo de algoritmos.
Si bien se presentan algoritmos, el objetivo no es saturar el conocimiento del lector
con una gran cantidad de algoritmos sino mostar sus fundamentos, mostrar tambiØn
maneras inteligentes de usarlos para resolver problemas, y sobre todo, lograr que el
lector sea capaz de diseæar sus propios algoritmos.
Muchos libros de algoritmos se limitan a explicar algoritmos sin detenerse en su fun-
damento matemÆtico y sin decir las aplicaciones que tiene en soluci(cid:243)n de problemas.
Algunosotrossiexplicanelfundamentodelosalgoritmos,peroresultaninadecuados
para estudiantes con poco conocimiento matemÆtico ya que suelen dar por hecho
que el lector ya sabe teor(cid:237)a de conjuntos y matemÆticas discretas.
Este libro estÆ dirigido a estudiantes con gusto de programar y resolver problemas
pero que todav(cid:237)a no adquieren las bases matemÆticas necesarias para poder leer
libros de algoritmos con su(cid:28)ciente fundamento matemÆtico; por lo que se pretende,
no solamente explicar los algoritmos, sino tambiØn darle al lector las herramientas
necesarias para entender, analizar y diseæar.
Por ello, una gran cantidad de pÆginas se dedican a establecer las bases matemÆticas
que sirven como soporte para la resoluci(cid:243)n de problemas de programaci(cid:243)n.
Los temas tratados en este libro son indispensables para comprender el gran campo
de estudio de la soluci(cid:243)n de problemas mediante el uso de las computadoras, consti-
tuyenlosfundamentosdeunacantidadinterminabledeconocimientosytØcnicasque
estan en constante desarrollo por la investigaci(cid:243)n en las ciencias de la computaci(cid:243)n.
En el libro se muestran implementaciones en C++ que no usan memoria dinÆmica
ni estructuras, esto es por los siguientes motivos:
A veces al tener el pseudoc(cid:243)digo de un algoritmo, no resulta claro c(cid:243)mo im-
plementarlo sin escribir demasiado. Por ello es preferible mostrar algunas im-
plementaciones de ejemplo para que el lector conozca al menos una implemen-
taci(cid:243)n corta de cada algoritmo.
Muchos elementos del lenguaje C++ son muy conocidos e incluso estan pre-
sentes en otros lenguajes, con una syntaxis casi idØntica a la de C++, por ello,
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si se utilizan pocos elementos del lenguaje, es posible que un lector que no estØ
familiarizado con este lenguaje pueda igualmente entender los c(cid:243)digos.
No estÆ por demÆs decir que este libro fue escrito pensando en participantes
de un concurso llamado olimpiada de informÆtica, en ese concurso los parti-
cipantes tienen tiempo limitado para implementar y depurar sus programas y
las implementaciones son mas fÆciles de depurar con memoria estÆtica.
Al Estudiante
Puede parecer extraæo encontrar un libro de algoritmos con estas caracter(cid:237)sticas,
ya que dedica muchas pÆginas a los fundamentos matemÆticos y omite varias cosas
que varios libros de algoritmos orientados a licenciatura no dejar(cid:237)an pasar por alto,
como lo son quicksort, shellsort, listas circulares, listas doblemente ligadas y tablas
de dispersi(cid:243)n entre otras cosas.
Elmotivodeestoessimple:estelibronopretendeserunareferencianimuchomenos
un repaso de los temas de licenciatura; pretende aportar las herramientas bÆsicas
para aplicar la programaci(cid:243)n en la resoluci(cid:243)n de problemas.
Por esto mismo puede llegar a ser un recurso valioso ya que permite abordar la
programaci(cid:243)n desde un punto de vista mas creativo y menos repetitivo, y al mismo
tiempo el enfoque a resolver nuevos problemas es la base de la inovaci(cid:243)n.
Este libro esta hecho para leerse casi como si fuera una novela, un cap(cid:237)tulo tras otro,
y si se decide saltarse uno o mas cap(cid:237)tulos se corre el riesgo de que mas adelante no
se pueda seguir bien. La diferencia con una novela es la gran cantidad de problemas
de ejemplo, los cuales conviene intentar resolver antes de leer la soluci(cid:243)n.
Al Instructor
La teor(cid:237)a necesaria para leer este libro de principio a (cid:28)n es muy poca, incluso un
alumno de preparator(cid:237)a la deber(cid:237)a de saber. Sin embargo, muchos problemas que
se mencionan, por si di(cid:28)cultad, estan lejos de ser adecuados para cualquier alumno
de preparatoria e incluso pueden darle di(cid:28)cultades a graduados de la universidad;
pero resultan bastante adecuados para aquellos que buscan algo mas interesante que
problemas de rutina o para quienes se preparan para concursos de programaci(cid:243)n.
El libro estÆ escrito de la manera en la que me gustar(cid:237)a presentar los temas si fuera
yo el instructor.
Es decir, procura motivar todos los conceptos antes de abordarlos formalmente,
intenta nunca dejar huecos, en la teor(cid:237)a; y sobre todo, buscar aplicaciones creativas
a cada tema que se aborda evitando decir muy rÆpido la soluci(cid:243)n y dando tiempo
para especular.
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Para resolver un problema, es necesario plantearse un diÆlogo consigo mismo de
preguntas y respuestas. Dicho diÆlogo tambiØn se debe de presentar entre alumno e
instructor y en muchas partes del libro se intenta plasmar el diÆlogo abordando los
razonamientos que podr(cid:237)an llevar al lector a resolver cada uno de los ejemplos.
Al Ol(cid:237)mpico
Este libro lo escrib(cid:237) pensando principalmente en los ol(cid:237)mpicos, por lo que todo lo que
semencionaaqu(cid:237)tieneaplicaci(cid:243)ndirectaoindirectaconlaolimpiadadeinformÆtica.
La olimpiada esta centrada en resolver problemas mediante la programaci(cid:243)n y el
diseæo de algoritmos; para ello se requieren bases matemÆticas s(cid:243)lidas y un conoci-
miento profundo(aunque no necesariamente amplio) de los algoritmos.
Es por eso que este libro dedica muchas pÆginas a dejar claras las bases matemÆticas
y a explorar las propiedades de algoritmos y no solo en introducirlos.
Los ejemplos se deben de intentar resolver por cuenta propia para aprender de
los propios errores e ir desarrollando poco a poco un mØtodo propio para resolver
problemas. Si de pronto no logras resolver un ejemplo, puedes empezar a leer la
soluci(cid:243)n para darte una idea y continuar por cuenta propia.
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˝ndice general
I Recursi(cid:243)n 13
1. Inducci(cid:243)n MatemÆtica 17
1.1. Ejemplos de Inducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2. Errores Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. De(cid:28)nici(cid:243)n de Inducci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1. Sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2. Tablero de Ajedrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3. Chocolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Sugerencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. De(cid:28)nici(cid:243)n y Caracter(cid:237)sticas de la Recursi(cid:243)n 31
2.1. Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Imprimir Nœmeros en Binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Los Conejos de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Recursi(cid:243)n con Memoria o Memorizaci(cid:243)n 39
3.1. Mejorando el Rendimiento de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Error Comœn en la Memorizaci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Divide y VencerÆs 45
4.1. MÆximo en un Arreglo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Bœsqueda Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Torres de Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Bœsqueda Exhaustiva 53
5.1. Cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2. Conjuntos y Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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10 ˝NDICE GENERAL
II AnÆlisis de Complejidad 65
6. TØcnicas BÆsicas de Conteo 69
6.1. Reglas BÆsicas de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. Conjuntos, Subconjuntos, Multiconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.5. Separadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7. Funciones 83
7.1. Las Funciones como Reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2. El Concepto Formal de Funci(cid:243)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8. AnÆlisis de Complejidad 89
8.1. Un ejemplo no muy computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2. Algunos Ejemplos de Complejidad en Programas . . . . . . . . . . . . 90
8.3. Funci(cid:243)n de Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.4. La Necesidad del S(cid:237)mbolo O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.5. De(cid:28)nici(cid:243)n de la notaci(cid:243)n O-mayœscula . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.6. Mœltiples Complejidades en Notaci(cid:243)n O-Mayœscula . . . . . . . . . . 99
8.7. CuÆndo Un Algoritmo es Factible y CuÆndo Buscar Otro . . . . . . . 99
9. Reglas para Medir la Complejidad 101
9.1. Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2. Producto por Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.3. Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.4. Complejidad en Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.5. Medir antes de implementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.6. Bœsqueda de Cotas Mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.Complejidades Logar(cid:237)tmicas 109
10.1.AnÆlisis de la Bœsqueda Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2.Bases de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.3.Complejidades O(NlogN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.Complejidades en Funciones Recursivas 113
11.1.Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.2.Cortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115