Problemas resueltos de meteorología

2005·0.62 MB·Spanish

by  José Enrique García Ramos

Problemas resueltos de Meteorolog´ıa
Jos´e Enrique Garc´ıa Ramos,
Francisco P´erez Bernal
y
Jos´e Rodr´ıguez Quintero
Universidad de Huelva
Copyright (cid:13)c 2005 Jos´e Enrique Garc´ıa Ramos, Francisco P´erez Bernal y Jos´e Rodr´ıguez Quin-
tero. Se otorga permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo los t´erminos
de la Licencia de Documentacio´n Libre de GNU, Versio´n 1.2 o cualquier otra versio´n poste-
rior publicada por la Free Software Foundation1; sin secciones invariantes ni textos de cubierta
delantera ni textos de cubierta trasera.
1Puede encontrar una copia de la licencia en http://www.gnu.org/licenses/licenses.html
i
Pr´ologo
La presente coleccio´n de problemas resueltos se ofrece como ayuda al estudiante de la asignatura
Meteorolog´ıa y Climatolog´ıa de tercer curso de la licenciatura en Ciencias Ambientales. Se
han incluido soluciones detalladas de aproximadamente ochenta problemas y el manual puede
encontrarse en la web de la asignatura 2.
Es necesaria una nota de advertencia. Tanto la Meteorolog´ıa como la Climatolog´ıa son im-
portantes ramas de la ciencia que mezclan componentes diversos de la F´ısica, la Geograf´ıa F´ısica
y la Estad´ıstica. Resulta, por tanto, muy dif´ıcil ofrecer en un breve manual como este una vi-
sio´n de todos los problemas de inter´es para estas ciencias. En concreto el manual se concentra
en algunos aspectos f´ısicos de la Meteorolog´ıa, pudiendo distinguirse tres partes en el mismo.
La primera parte (problemas 1 al 16) se dedica a problemas de propagaci´on del calor por ra-
diacio´n, presentando diferentes casos de aplicaci´on de la ley de Stefan–Boltzmann de inter´es
climatolo´gico. La segunda parte (problemas 17 al 58) se centra en la termodina´mica del aire no
saturado,trat´andosecasostantodeairesecocomodeairehu´medo,haciendoespecialhincapi´een
problemas de ascenso adiab´atico y procesos politro´picos. La tercera y u´ltima parte del manual
(problemas 58 al 83) se ocupa de la termodina´mica del aire hu´medo saturado ampliando los
conceptos previamente tratados en el caso del aire no saturado Adema´s, al comienzo de cada
cap´ıtulo se ha incluido un resumen con los conceptos y f´ormulas utilizados a lo largo del mismo.
La coleccio´n de problemas que se presenta se ha basado en libros bastante veteranos publica-
dos por el Instituto Nacional de Meterolog´ıa y en la propia cosecha de los autores. La principal
diferencia entre este trabajo y las referencias antes citadas reside en la notacio´n usada y en las
explicaciones detalladas que se presentan y que sustituyen al mero uso de f´ormulas, es decir se
pretende en todo momento “explicar co´mo se hacen los problemas”
Este manual ha sido concebido para los estudiantes de la licenciatura de Ciencias Ambienta-
les aunque esperamos que pueda ser de ayuda para aquellos estudiantes de diversas licenciaturas
que por primera vez se acerquen al estudio cuantitativo de problemas atmosf´ericos. Al no estar
dirigido a estudiantes de F´ısica se ha reducido la complejidad formal de los problemas presenta-
dos, se ha hu´ıdo de desarrollos teo´ricos y se han simplificado al ma´ximo las matema´ticas usadas.
Como requisitos necesarios para la comprensio´n de las materias presentadas es necesario que el
lector tenga conocimientos b´asicos de F´ısica General -en especial Termodina´mica- y de C´alculo.
Los autores agradecen al Vicerrectorado de Innovacio´n Docente de la Universidad de Huelva
la ayuda finaciera prestada para llevar a cabo esta compilacio´n de problemas. Esta ayuda nos
ha permitido conceder una beca a Roc´ıo Ort´ız Guti´errez, antigua alumna de la asignatura
“Meteorolog´ıa y Climatolog´ıa”, as´ı como adquirir el material inform´atico necesario. Es preciso
resaltar el excelente trabajo realizado por Roc´ıo escribiendo en formato LATEX las soluciones de
los problemas que previamente hab´ıa recogido (y completado) en nuestras clases.
Huelva, septiembre de 2005.
Los autores.
2http://www.uhu.es/gem/docencia/meteo-ccaa/

´
Indice general
1. Radiacio´n, equilibrio radiativo y temperatura 3
1.1. Fo´rmulas de inter´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Leyes del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Constante solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Temperatura de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Termodin´amica del aire no saturado 19
2.1. Fo´rmulas de inter´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Ecuacio´n del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Ascenso adiab´atico de masas de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3. Nivel de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4. Procesos politro´picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.5. Algunas definiciones u´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Termodin´amica del aire saturado 71
3.1. Fo´rmulas de inter´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1. Humedad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2. Ecuacio´n de Clausius-Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.3. Elevacio´n adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.4. Nivel de condensacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.5. Elevacio´n pseudo-adiaba´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.6. Algunas definiciones u´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1
2 ´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo 1
Radiaci´on, equilibrio radiativo y
temperatura
1.1. F´ormulas de inter´es
1.1.1. Leyes del cuerpo negro
Dado un cuerpo negro a una temperatura T, sabemos que su emitancia radiante mono-
croma´tica,R(λ,T)vienedadaporlaleydePlanck.Siintegramosentodoelrangodelongitudes
de onda obtendremos la emitancia radiante, R1, expresada por la ley de Stefan-Boltzmann,
∞
W
R = dλR(λ,T) = σT4 ; σ = 5,67·10−8 . (1.1)
B m2K4
Z0
El valor de longitud de onda para el cual la emitancia radiante monocroma´tica sera´ ma´xima,
viene dado por la ley del desplazamiento de Wien que puede derivarse como sigue:
∂
R (λ ,T) = 0 ⇒ λ T = 2,9·10−3mK (1.2)
B M M
∂λ
La ley de Kirchhoff nos dice que cualquier cuerpo no negro inmerso en un ban˜o de radiaci´on y
en equilibrio con ´este a la temperatura T, emitira´ segu´n
R(λ,T) = ε(λ)R (λ,T) (1.3)
B
donde ε es el coeficiente de emisividad que sera´ equivalente al de absortividad. Si, adema´s,
suponemos que este coeficiente es independiente de la longitud de onda, entonces podremos
expresar la radiancia o emitancia radiante total para cualquier cuerpo radiante como
R = εσT4 (1.4)
1.1.2. Constante solar
Considerado nuestro sol, o cualquier otra estrella, como un cuerpo negro radiante a la tem-
peratura T y con un radio R , la potencia radiada, P, que llega a un punto separado de dicha
S S
estrella por el vector ~r y a una superfice diferencial ds, caracterizada por el vector unitario
normal ~n, viene dada por
1Para referirnos a la emitancia radiante tambi´en puede usarse la letra M.
3
4 CAP´ITULO 1. RADIACIO´N, EQUILIBRIO RADIATIVO Y TEMPERATURA
2
dP ~r·~n R
dP = φ~(~r)d~s = ds = σT4 S cosθ ds , (1.5)
dΩ r3 S r
(cid:18) (cid:19)
siendo, en la aproximacio´n de radiaci´on iso´tropamente distribuida,
dP P
= total = R2R (T ) ; (1.6)
dΩ 4π S B S
y donde θ define el ´angulo que forman la direccio´n de incidencia de los rayos luminosos y la
normal a la superficie. El flujo radiante, φ(r), definido en esta u´ltima ecuacio´n, calculado para
θ = 0 (orientacio´n normal) y para r = RT−S (distancia Tierra-Sol) se denomina constante solar
y se designa con la letra S,
2
R
S = φ(RT−S,θ = 0) = σTS4(cid:18)RT−SS(cid:19) (1.7)
Para los para´metros caracter´ısticos del sol y de la Tierra, el valor de la constante solar es
S = 1400 W/m2.
1.1.3. Temperatura de equilibrio
La potencia recibida por cualquier placa plana, de superficie ∆s, situada en la Tierra, dado
que el ´angulo so´lido sustendido por ella desde el Sol es muy pequen˜o, se puede escribir muy
aproximadamente como:
P = Scosθ ∆s . (1.8)
La potencia total recibida por todo el planeta, P , corresponde a la recibida por la seccio´n plana
0
ma´xima del mismo, es decir por su disco, se tiene por tanto,
P = S πr2 , (1.9)
0 T
siendo r el radio de la Tierra. Igualando la potencia total absorbida por el planeta (que es
T
la potencia total recibida menos la reflejada) a la que ´este radiar´a a su vez y suponi´endolo un
cuerpo negro que se encuentra en equilibrio radiativo a la temperatura T con el Sol, se tendra´:
eq
1
(1−a)S 4
(1−a)P = (1−a)S πr2 = 4πr2σT4 ⇒ T = (1.10)
0 T T eq eq 4σ
(cid:18) (cid:19)
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS 5
1.2. Problemas resueltos
1. Determ´ınese el valor de la constante de la ley de Stefan-Boltzmann (σ = 5,6710−8 W m−2
K−4) en unidades del sistema CGS y en Langmin−1 K−4. Nota 1 Langley = 1 cal cm−2.
Solucio´n:
Conversio´n a unidades del sistema CGS:
5,6710−8J 107erg 1m2
· · = 5,6710−5ergs−1K−4cm−2
sm2K4 1J 104cm2
Conversio´n a Langmin−1K−4:
5,6710−8J 1cal 60s 1m2
· · · = 8,1310−11Langmin−1K−4
sm2K4 4,18J 1min 104cm2
2. Calcu´lese el flujo de energ´ıa radiante emitido por la Tierra, considerada como un cuerpo
negro esf´erico a la temperatura de 300 K y cuyo radio es de 6370 km. ¿Cu´al es el poder
emisivo total (irradiancia) de la Tierra?
Solucio´n:
En primer lugar calculamos la emitancia radiante (potencia emitida por unidad de
superficie) aplicando la ley de Stefan-Boltzman:
M = σT4
M = 5,6710−8Wm−2K−4· 3004K4
M = 459,3Wm−2
A continuacio´n calculamos la irradiancia (poder emisivo total) de la Tierra:
P = MA
siendo M la emitancia radiante y A la superficie de la Tierra.
P = σT44πR2
P = 5,6710−8Wm−2K−4· 3004K4· 4π(6370103m)2
P = 2,31017W
3. El almacenador de energ´ıa de una central solar esta´ constituido por una cisterna cil´ındrica
de 2 m de dia´metro y 4 m de altura, cuya superficie presenta una emisividad de 0,5 y que
◦
contiene aceite a la temperatura de 150 C. La cisterna esta´ situada en un recinto en el
◦
que la temperatura se mantiene constante e igual a 27 C y se observa que las p´erdidas
de calor radiante son muy elevadas, por lo que vuelve a repintarse la cisterna con un
6 CAP´ITULO 1. RADIACIO´N, EQUILIBRIO RADIATIVO Y TEMPERATURA
barniz de emisividad 0,3. Calcu´lese el tanto por ciento de reducci´on de p´erdidas de flujo de
energ´ıa radiante si (a) el coeficiente de emisividad es id´entico a ambas temperaturas (b)
el depo´sito se comporta como un cuerpo negro al absorber la energ´ıa radiante del entorno.
Calcu´lesetambi´enlapotenciaemitidaporeldepo´sitoparaambosvaloresdelaemisividad.
Solucio´n:
(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
4(cid:0)(cid:1) m(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
T=150ºC
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) 2 m (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)
(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1)(cid:0)(cid:1)
T=27ºC
El flujo de energ´ıa radiante se define a partir de la siguiente expresio´n:
δQ
H = = M − M = εσ(T4 − T4 )
δt dep par dep par
(a) Caso 1: C´alculo de la p´erdida de energ´ıa radiante y de la potencia emitida para
coeficientes de emisividad id´enticos a ambas temperaturas.
En nuestro caso, como presentan id´entica emisividad, los flujos de energ´ıa radiante
sera´n:
H = ε σ(T4 − T4 )
0 0 dep par
H = ε σ(T4 − T4 )
1 1 dep par
As´ı pues, la p´erdida de energ´ıa radiante resultara´: