Problemas resueltos de análisis matemático

656 Pages·2015·2.08 MB·Spanish

PROBLEMAS RESUELTOS DE
´ ´
ANALISIS MATEMATICO
Fernando Revilla Jim´enez
http://www.fernandorevilla.es
(cid:13)c PROBLEMASRESUELTOSDEANA´LISISMATEMA´TICOpor Fernan-
do Revilla Jim´enez se distribuye bajo la licencia:
Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.
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Pro´logo
Los contenidos de ´este libro corresponden a parte de mi labor docente
hasta el curso acad´emico 2008/2009 como
(a) Profesor de A´lgebra, C´alculo, Variable compleja y Ecuaciones diferen-
ciales para Ingenier´ıas y Facultades del distrito universitario de Madrid
y que fueron impartidos en academias de ensen˜anza universitaria
(b) Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES Santa Teresa de Jesu´s
de Madrid.
(c) Profesor de M´etodos Matem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio
de Madrid.
Dado que todos los problemas vienen resueltos, y en aras a la efectividad en
el trabajo, se recomienda al lector que los trabaje previamente.
Madrid, a 24 de agosto de 2015.
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iv
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Indice de problemas
1. M´etodo de inducci´on 1
1.1. Descripci´on del m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Derivada en´esima de la funci´on seno . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Desigualdad de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Sucesiones de nu´meros reales 9
2.1. Concepto de sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. L´ımite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Propiedades de los l´ımites (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Propiedades de los l´ımites (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Sucesiones mon´otonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7. L´ımites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8. Criterios de Stolz y de las medias aritm´etica y geom´etrica . . 25
2.9. Miscel´anea de sucesiones (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10.Miscela´nea de sucesiones (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11.Familia de sucesiones recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12.Sucesi´on recurrente con l´ımite ra´ız de 2 . . . . . . . . . . . . 34
3. Continuidad en una variable 37
3.1. Concepto de continuidad, primeras propiedades . . . . . . . . 37
3.2. Continuidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Continuidad de las funciones no elementales . . . . . . . . . . 40
3.4. Continuidad en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6. Miscel´anea de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7. Funciones f-continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. Derivadas 53
4.1. Concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
v
4.2. A´lgebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Derivaci´on de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. Derivaci´on de funciones trigonom´etricas y circulares inversas. 60
4.5. Derivaci´on de funciones exponenciales y logar´ıtmicas . . . . . 62
4.6. Derivaci´on de funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Derivaci´on de funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . 64
4.8. Derivaci´on de funciones compuestas, regla de la cadena . . . . 65
4.9. Derivaci´on por f´ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.10.Teorema de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.11.Derivada de (g◦f−1)(cid:48)(6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.12.Derivada logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.13.Derivadas de ´ordenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.14.F´ormula de Leibniz de la derivada en´esima . . . . . . . . . . 79
4.15.Aplicaciones geom´etricas de la derivada . . . . . . . . . . . . 82
4.16.Aplicaciones f´ısicas de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.17.Derivadas infinitas y laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.18.Derivaci´on de funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.19.Diferencial de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.20.Derivabilidad segu´n par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.21.Familia de funciones de clase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.22.Desigualdad y nu´mero de ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.23.Derivada sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.24.Derivabilidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.25.Ecuaci´on diferencial y f´ormula de Leibniz . . . . . . . . . . . 99
5. Teoremas del valor medio 101
5.1. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3. Teorema del valor medio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4. Una aplicaci´on del teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5. Di´ametro de un subconjunto de R . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6. L´ımite de las ra´ıces de p (x) = xn+2−2x+1 . . . . . . . . . 111
n
6. F´ormula de Taylor 115
6.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2. F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3. Aproximaci´on de funciones por polinomios . . . . . . . . . . . 119
6.4. La notaci´on o minu´scula de Landau . . . . . . . . . . . . . . 125
6.5. F´ormula de Taylor con o minu´scula, c´alculo de l´ımites . . . . 126
6.6. Una aplicaci´on de la f´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . 128
6.7. Una aproximaci´on racional de la ra´ız de 5 . . . . . . . . . . . 130
vi
7. Regla de L’Hˆopital 133
7.1. L´ımites de funciones por la definici´on . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2. Concepto de indeterminaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.3. Regla de L’Hˆopital para 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4. Distintas formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.5. Problemas diversos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6. Problemas diversos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8. Integrales indefinidas 145
8.1. Integral de la funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3. Integrales por sustituci´on o cambio de variable . . . . . . . . 149
8.4. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.5. Integraci´on de funciones racionales (1) . . . . . . . . . . . . . 156
8.6. Integraci´on de funciones racionales (2) . . . . . . . . . . . . . 159
8.7. Integraci´on de funciones racionales (3) . . . . . . . . . . . . . 160
8.8. Integraci´on de funciones racionales, m´etodo de Hermite (4) . 162
8.9. Integraci´on de funciones irracionales (1) . . . . . . . . . . . . 166
8.10.Integraci´on de funciones irracionales (2) . . . . . . . . . . . . 167
8.11.Integraci´on de funciones irracionales (3) . . . . . . . . . . . . 170
8.12.Integraci´on de funciones irracionales (4) . . . . . . . . . . . . 173
8.13.Integraci´on de diferenciales binomias . . . . . . . . . . . . . . 174
8.14.Integraci´on de funciones trigonom´etricas (1) . . . . . . . . . . 176
8.15.Integraci´on de funciones trigonom´etricas (2) . . . . . . . . . . 178
8.16.Integraci´on de funciones trigonom´etricas (3) . . . . . . . . . . 180
8.17. Integraci´on de funciones trigonom´etricas (4) . . . . . . . . . 182
8.18.Integraci´on de funciones hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . 184
8.19.Miscela´nea (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.20.Miscela´nea (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9. Integrales definidas 193
9.1. Integral definida como l´ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . 193
9.2. C´alculo de l´ımites de sucesiones mediante integrales . . . . . 195
9.3. Teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.4. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.5. Miscela´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.6. Cotas de la longitud de una elipse . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.7. Pi es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.8. F´ormula de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.9. Concepto de integral impropia en intervalos infinitos . . . . . 208
9.10.Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
vii
9.11.Criterio de Cauchy para integrales impropias en intervalos
infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.12.Convergencia de las integrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . 221
9.13.Convergencia absoluta en intervalos infinitos . . . . . . . . . . 222
9.14.Valor principal de Cauchy de una integral impropia . . . . . . 224
9.15.Integrales impropias en intervalos finitos . . . . . . . . . . . . 225
9.16.Funci´on Gamma de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.17.Integral mediante las Gamma y Beta de Euler . . . . . . . . . 233
9.18.Convoluci´on de dos campanas de Gauss . . . . . . . . . . . . 234
9.19.Integral de Euler-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.20.Una integral por derivaci´on param´etrica (1) . . . . . . . . . . 238
9.21.Una integral por derivaci´on param´etrica (2) . . . . . . . . . . 239
9.22.Integral de Gauss o de probabilidades . . . . . . . . . . . . . 240
9.23.Derivaci´on param´etrica y l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10. Series num´ericas reales 245
10.1.Concepto de serie num´erica real . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2.Convergencia y divergencia de series num´ericas . . . . . . . . 246
10.3.Esquemas de asociaci´on de series . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.4.Serie geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.5.A´lgebra de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.6.Series de t´erminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.7.Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.8.Criterios de la ra´ız, cociente y Raabe . . . . . . . . . . . . . . 257
10.9.Criterio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.10.Convergencia de las series de Riemann . . . . . . . . . . . . 265
10.11.Series alternadas, criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . 266
10.12.Series telesc´opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.13.Series hipergeom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.14.Series aritm´etico-geom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.15.Series con factoriales en el denominador . . . . . . . . . . . . 281
10.16.Suma de series num´ericas por desarrollos en serie de funciones283
10.17.El nu´mero e es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.18.Suma de una serie a partir de la de Basilea . . . . . . . . . . 287
10.19.Producto de Cauchy de series, contraejemplo . . . . . . . . . 288
11. Series funcionales 291
11.1.L´ımite puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.2.Convergencia uniforme de sucesiones de funciones . . . . . . . 292
11.3.Teorema de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.4.Series uniformemente convergentes. Criterio de Weierstrass . 298
11.5.Series enteras o de potencias, radio de convergencia . . . . . . 301
viii
11.6.Derivaci´on e integraci´on de series enteras . . . . . . . . . . . 305
11.7.Suma de series enteras por derivaci´on o integraci´on . . . . . . 307
11.8.Serie de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.9.Desarrollos en serie de Maclaurin de las funciones habituales 311
11.10.Funci´on suave pero no anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.11.Convergencia uniforme en un intervalo no acotado . . . . . . 319
11.12.Sucesi´on de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.13.Funci´on exponencial real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.14.Sucesi´on funcional con l´ımite Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . 325
12. An´alisis multivariable 329
12.1.L´ımites reiterados, contraejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.2.Continuidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . 329
12.3.Diferenciabilidad en varias variables . . . . . . . . . . . . . . 330
12.4.Una derivada direccional m´axima . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.5.Diferencial de una composici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.6.Puntos de discontinuidad, compacidad . . . . . . . . . . . . . 339
12.7.Funciones homog´eneas, teorema de Euler . . . . . . . . . . . 340
12.8.Invertibilidad local y teorema fundamental del C´alculo . . . . 341
12.9.Invertibilidad local con series de potencias . . . . . . . . . . . 342
12.10.Teorema de la funci´on impl´ıcita (en R×R) . . . . . . . . . . 344
12.11.Funci´on impl´ıcita con teorema fundamental del C´alculo . . . 346
12.12.Teorema de la funci´on impl´ıcita en Rn×Rm . . . . . . . . . 346
12.13.Puntos cr´ıticos: casos dudosos . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.14.Puntos cr´ıticos de f(x,y) = (cid:80)∞ (xy)k . . . . . . . . . . . . 353
k=0
12.15.M´aximos y m´ınimos condicionados, multiplicadores de La-
grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
12.16.Paralelep´ıpedo inscrito en un elipsoide . . . . . . . . . . . . . 358
12.17.Extremos absolutos sobre compactos. . . . . . . . . . . . . . 359
12.18.Puntos cr´ıticos de g(x,y) = p(f(x))+p(f(y)). . . . . . . . . 362
12.19.Extremos locales de una integral biparam´etrica . . . . . . . . 365
12.20.Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff . . . . . . . . 366
12.21.Integral doble como producto de simples . . . . . . . . . . . 367
12.22.Integral en el cubo unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12.23.Integral de superficie de una funci´on homog´enea . . . . . . . 369
12.24.Integral doble impropia por un cambio ortogonal . . . . . . . 371
12.25.Integral doble impropia con par´ametros . . . . . . . . . . . . 372
12.26.Teoremas de Stokes y Gauss: comprobaci´on . . . . . . . . . . 374
12.27.Flujo y circulaci´on de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.28.Centro de gravedad de una esfera . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.29.M´oviles sobre dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.30.Circulaci´on de un campo y producto mixto . . . . . . . . . . 381
ix
12.31.Potencial de un campo con funci´on homog´enea . . . . . . . . 382
12.32.Un campo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13. Espacios normados 387
13.1.Norma, espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2.Desigualdades de Young, H¨older y Minkowski . . . . . . . . . 391
13.3.Normas p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.4.Distancia inducida por la norma . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.5.La distancia es uniformemente continua . . . . . . . . . . . . 397
13.6.Series en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.7.Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.8.Normas no equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
13.9.Propiedades topol´ogicas en los espacios normados . . . . . . . 403
13.10.Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados . . . 406
13.11.Una aplicaci´on lineal discontinua . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13.12.Espacios normados de dimensi´on finita . . . . . . . . . . . . 409
13.13.Teorema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
13.14.Norma de una aplicaci´on lineal y continua . . . . . . . . . . 413
13.15.Diferenciabilidad entre espacios de Banach . . . . . . . . . . 416
13.16.Criterio de Dirichlet para la convergencia de series . . . . . . 418
13.17.Criterio de Abel para la convergencia de series . . . . . . . . 419
13.18.Espacio de funciones completo y no compacto . . . . . . . . 421
13.19.Espacio de Banach con la norma del supremo . . . . . . . . . 422
13.20.Espacio de Banach l1(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14. An´alisis complejo 425
14.1.Proyecci´on estereogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14.2.Derivada compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
14.3.Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
14.4.Funci´on exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
14.5.Funciones trigonom´etricas complejas . . . . . . . . . . . . . . 431
14.6.Funciones hiperb´olicas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 435
14.7.Logaritmo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
14.8.Funciones arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
14.9.Funci´on arm´onica conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
14.10.Familia de funciones arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.11.Polinomio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
14.12.Funciones holomorfas f con Re f +Im f = 1 . . . . . . . . . 445
14.13.Principio del m´odulo m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
14.14.Lema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
14.15.F´ormulas integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.16.Teorema de Liouville, demostraci´on . . . . . . . . . . . . . . 450
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