Problemas resueltos de álgebra

700 Pages·2015·2.13 MB·Spanish

PROBLEMAS RESUELTOS DE
´
ALGEBRA
Fernando Revilla Jim´enez
http://www.fernandorevilla.es
(cid:13)c PROBLEMASRESUELTOSDEA´LGEBRAporFernandoRevillaJim´enez
se distribuye bajo la licencia:
Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.
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Pro´logo
Los contenidos de ´este libro corresponden a parte de mi labor docente
hasta el curso acad´emico 2008/2009 como
(a) Profesor de A´lgebra, C´alculo, Variable compleja y Ecuaciones diferen-
ciales para Ingenier´ıas y Facultades del distrito universitario de Madrid
y que fueron impartidos en academias de ensen˜anza universitaria
(b) Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES Santa Teresa de Jesu´s
de Madrid.
(c) Profesor de M´etodos Matem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio
de Madrid.
Dado que todos los problemas vienen resueltos, y en aras a la efectividad en
el trabajo, se recomienda al lector que los trabaje previamente.
Madrid, a 24 de agosto de 2015.
iii
iv
´
Indice de problemas
1. Conjuntos 1
1.1. Concepto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Inclusi´on de conjuntos. Conjunto vac´ıo . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Relaciones de inclusi´on y pertenencia . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Uni´on e intersecci´on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Propiedades de la uni´on e intersecci´on . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Cardinal de la uni´on de tres conjuntos . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Partes de un conjunto, complementario y diferencia . . . . . . 8
1.8. Propiedades del complementario . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto . . . . . . . . . 11
1.10.Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11.Uni´on e intersecci´on generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12.Funci´on caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.13.Asociatividad de la diferencia sim´etrica . . . . . . . . . . . . 17
1.14.Partes de uniones e intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15.Cardinales de las σ-´algebras contables . . . . . . . . . . . . . 18
2. Relaciones 21
2.1. Concepto de relaci´on binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Relaciones de equivalencia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Relaciones de equivalencia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. M´aximo, m´ınimo, cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Supremo,´ınfimo, maximales y minimales. . . . . . . . . . . . 30
2.7. Orden total, buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8. Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9. Relaci´on de equivalencia en R[x] . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.10.Tres relaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11.Finura de las relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . 37
v
3. Funciones 41
3.1. Concepto de funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Composici´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . 43
3.4. Aplicaci´on identidad, aplicaci´on inversa . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Im´agenes directas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Biyecci´on entre (−1,1) y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7. Aplicaci´on involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8. Factorizaci´on can´onica de la funci´on seno . . . . . . . . . . . 52
4. Grupos 55
4.1. Concepto de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2. Primeras propiedades de los grupos . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4. Tabla de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5. Generadores de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6. Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.8. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.9. Subgrupo normal y centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.10.Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.11.Grupo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12.Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.13.Nu´cleo e imagen de un homomorfismo de grupos . . . . . . . 80
4.14.Clasificaci´on de homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . 81
4.15.Descomposici´on can´onica de un homomorfismo de grupos . . 82
4.16.Grupo de las partes con la diferencia sim´etrica . . . . . . . . 84
4.17.Tres igualdades en un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.18.Grupo no c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.19.Grupo de funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.20.Conjunto, grupo y aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.21.Relaci´on y operaciones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.22.Grupo de aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.23.Centro de un grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.24.Conmutador y subgrupo derivado . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.25.Grupo construido por biyecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5. Anillos y cuerpos 97
5.1. Concepto de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Anillo de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3. Producto directo de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4. Propiedades de los anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
vi
5.5. Grupo multiplicativo de las unidades . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6. Anillo de los enteros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.7. Anillo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.8. Anillos de integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.9. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.10.Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.11.Ideales de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.12.Ideal de las sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.13.Ideal bil´atero f(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.14.Anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.15.Descomposici´on can´onica de un homomorfismo de anillos . . 120
5.16.Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.17.Cuerpos Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
p
5.18.Caracter´ıstica de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.19.Homomorfismos entre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.20.Anillo segu´n par´ametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.21.Anillo y grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.22.M´aximo comu´n divisor en los enteros de Gauss . . . . . . . . 129
5.23.Dominio de integridad no eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.24.Binomio de Newton en un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.25.Anillo de las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.26.Anillo idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.27.Intersecci´on de subcuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.28.Cuerpo infinito con caracter´ıstica finita . . . . . . . . . . . . 138
5.29.Cuerpo conmutativo con funci´on sobre R+ . . . . . . . . . . . 139
5.30.Cuaternios de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Sistemas lineales sobre un cuerpo 143
6.1. Sistemas lineales escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2. Reducci´on gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3. Sistemas lineales segu´n par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4. Aplicaciones de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . 152
7. Matrices sobre un cuerpo 157
7.1. Concepto de matriz, suma de matrices . . . . . . . . . . . . . 157
7.2. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo . . . . . . . . 158
7.3. Producto de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . 159
7.4. Multiplicaci´on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5. Matriz inversa (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.6. Matriz inversa (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.7. Inversa de orden n por el m´etodo de Gauss . . . . . . . . . . 175
7.8. Inversa de orden n por sistema de columnas . . . . . . . . . . 176
vii
7.9. Ecuaciones y sistemas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.10.Transposici´on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.11.Descomposici´on A = uvt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.12.Matriz nilpotente e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.13.Potencia en´esima por binomio de Newton . . . . . . . . . . . 185
7.14.Traza de una matriz, propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.15.Matrices m´agicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.16.Matriz de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.17.Inversa generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8. Determinantes sobre un cuerpo 197
8.1. Determinantes sencillos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2. Determinantes sencillos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3. Determinantes por triangularizaci´on (1) . . . . . . . . . . . . 202
8.4. Determinantes por triangularizaci´on (2) . . . . . . . . . . . . 204
8.5. Determinantes por inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.8. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria . . . . . 217
8.9. Determinante y sucesi´on de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 219
8.10.Determinante con nu´meros combinatorios . . . . . . . . . . . 219
8.11.Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados de
enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.12.Determinante e inversa de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.13.Determinante de I + v w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.14.Determinante por inducci´on y sistema lineal . . . . . . . . . . 223
9. Espacios vectoriales 227
9.1. Primeras propiedades de los espacios vectoriales . . . . . . . . 227
9.2. Espacio vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo . . . . . . . 230
9.4. Espacio vectorial K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.5. Espacio vectorial de las funciones reales . . . . . . . . . . . . 232
9.6. Subcuerpo como espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.7. Subespacios vectoriales, caracterizaci´on . . . . . . . . . . . . 234
9.8. Suma e intersecci´on de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.9. Suma directa de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.10.Suma directa de varios subespacios . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.11.Combinaci´on lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.12.Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . 247
9.13.Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.14.Subespacio de las matrices diagonales, dimensi´on y base . . . 259
viii
9.15.Subespacio de las matrices escalares, dimensi´on y base . . . . 259
9.16.Subespacio de las matrices sim´etricas, dimensi´on y base . . . 260
9.17.Subespacio de las matrices antisim´etricas, dimensi´on y base . 261
9.18.Subespacios de matrices triangulares, dimensi´on y base . . . . 262
9.19.Rango de una matriz. Dependencia lineal en Kn . . . . . . . . 263
9.20.Teorema de la base incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.21.Existencia de base en todo espacio vectorial . . . . . . . . . . 266
9.22.Dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.23.Teorema de la torre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.24.Teorema de la dimensi´on para espacios vectoriales . . . . . . 271
9.25.Propiedades de la dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.26.Teorema de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.27.Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.28.Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.29.Ecuaciones de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.30.Bases de la suma e intersecci´on de subespacios . . . . . . . . 284
9.31.Espacio vectorial cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.32.Cambio de base en orbitales at´omicos . . . . . . . . . . . . . 290
9.33.Intersecci´on de subespacios de (Z )4 . . . . . . . . . . . . . . 291
7
9.34.Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto . . 293
9.35.Realificaci´on de un espacio vectorial complejo . . . . . . . . . 294
9.36.Subespacios transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10. Aplicaciones lineales 297
10.1.Concepto de aplicaci´on lineal (1) . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.2.Concepto de aplicaci´on lineal (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.3.Nu´cleo e imagen de una aplicaci´on lineal . . . . . . . . . . . . 302
10.4.Teorema de las dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.5.Matriz de una aplicaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.6.Expresi´on matricial de una aplicaci´on lineal . . . . . . . . . . 311
10.7.Nu´cleo e imagen del operador derivaci´on . . . . . . . . . . . . 318
10.8.Clasificaci´on de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 320
10.9.Espacio vectorial de las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . 324
10.10.Composici´on de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 327
10.11.Descomposici´on can´onica, teorema de isomorf´ıa . . . . . . . 331
10.12.Cambio de base, matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . 334
10.13.Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes . . . 341
10.14.Anillo de los endomorfismos y grupo lineal . . . . . . . . . . 344
10.15.Espacio dual, base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.16.Cambio de base en el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.17.Subespacio conjugado o anulador . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.18.Aplicaci´on transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
ix
10.19.Matrices de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.20.Un endomorfismo nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.21.Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.22.Endomorfismo y suma S = 14+...+n4 . . . . . . . . . . . 362
4
10.23.Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.24.Endomorfismo en un subespacio de C(R). . . . . . . . . . . . 365
10.25.Un operador traspuesto en el espacio dual. . . . . . . . . . . 367
10.26.Interpolaci´on en el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.27.Clasificaci´on de una familia de endomorfismos . . . . . . . . 373
10.28.Dos aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.29.Endomorfismo en C sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11. Valores y vectores propios 379
11.1.Concepto de valor y vector propio . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.2.Primeras propiedades de los valores y vectores propios . . . . 382
11.3.Polinomio caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
11.4.C´alculo de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . 388
11.5.Endomorfismos diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.6.Potencia en´esima de una matriz por diagonalizaci´on . . . . . 399
11.7.Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.8.Diagonalizaci´on segu´n par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.9.Suma y producto de valores propios . . . . . . . . . . . . . . 407
11.10.Valores propios del endomorfismo inverso . . . . . . . . . . . 407
11.11.Diagonalizaci´on de un endomorfismo en R2×2 . . . . . . . . . 409
11.12.Diagonalizaci´on de un endomorfismo en R [x] . . . . . . . . 410
2
11.13.Valores propios de una matriz nilpotente . . . . . . . . . . . 411
11.14.Logaritmo de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.15.Un determinante por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.16.Diagonalizaci´on en un espacio complejo . . . . . . . . . . . . 416
11.17.L´ımite de una sucesi´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.18.Modelo de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.19.Endomorfismo con modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . 422
11.20.Endomorfismo idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.21.L´ımite de sucesi´on de puntos diagonalizando en C . . . . . . 425
11.22.Valor propio y as´ıntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.23.Coseno de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.24.Matrices componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
12. Formas can´onicas de Jordan 433
12.1.Bloques de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.2.Polinomio m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
12.3.Forma can´onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
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