Problemas del Capítulo 6 TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

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Problemas del Capítulo 6
TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Roberto Jiménez Martínez, Fernando Cruz Roldán,

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

FILTROS DIGITALES IIR

6.1.- Se desea diseñar un filtro digital paso banda a partir de las siguientes
especificaciones:
• Atenuación total en 0 y π radianes.
• Banda de paso centrada en π/2 radianes.
• Ancho de banda a 3 dB de 0.04π radianes
Obtenga la función del sistema del filtro de coeficientes reales (por ubicación de polos y
ceros) y la ecuación en diferencias. Suponga que la relación entre el módulo de los
polos (r) y el ancho de banda a 3 dB (ΔΩ) es:
r ≈1−ΔΩ 2 para r >0.9
6.2.- Se desea diseñar un filtro notch causal y estable con las siguientes características:
• Frecuencia a eliminar: 0.05π radianes.
• Ancho de la banda eliminada a 3 dB: ± 0.01π radianes
( )
• H z =1
z=1
Utilizando el método de ubicación de polos y ceros:

a) Obtener la función del sistema del filtro de orden dos, considerando que la
respuesta al impulso es real.
b) Representar de manera aproximada el módulo de la respuesta en frecuencia.
c) Dibujar, empleando diagramas de flujo, una realización del filtro según la forma
directa III.
d) Contabilizar en dicha estructura el número de registros de almacenamiento
necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos
términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad)
que se realizan por cada muestra de salida.
NOTA: suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3
dB (ΔΩ) es:
r ≈1−ΔΩ 2 para r >0.9
y opere con cuatro cifras decimales.
6.3.- La función del sistema que se indica a continuación se corresponde con un filtro
diseñado mediante el método de la invarianza de impulso, con T = 2, es decir,
d
[ ] ( ) ( )
h n = 2⋅h 2n , donde h t es real. Se pide:
d c c
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Tratamiento Digital de Señales
3 1
( )
H z = −
d
−0.4 −1 −0.2 −1
1−e ⋅z 1−e ⋅z
a) Encontrar la función del sistema H (s) de un filtro de tiempo continuo que
c
pueda haber sido la base del diseño anterior. ¿Es única la solución? Justifique la
respuesta.
b) Dibujar, empleando diagramas de flujo, unas realizaciones del filtro digital
empleando la forma directa I y estructuras de orden uno conectadas en paralelo.

6.4.- La función del sistema que se indica a continuación se corresponde con un filtro
diseñado mediante el método de la transformación bilineal, con T = 2. Se pide:
d
3 1
( )
H z = −
d
−1 −1
1−0.5z 1+0.5z
a) Encontrar la función de sistema H (s) de un filtro de tiempo continuo que
c
pueda haber sido la base del diseño anterior. ¿Es única la solución?. Justifique
la respuesta.
b) Dibujar, empleando diagramas de flujo, unas realizaciones del filtro digital
empleando estructuras de orden uno conectadas en cascada y en paralelo.
6.5.- Considere un filtro paso bajo de Chebyshev cuya función de sistema es:
( )4
−1
0.0018361+ z
Hlp(z)= ( ) ( )
−1 −2 −1 −2
1−1.5548z +0.6493z ⋅ 1−1.4996z +0.8482z
Este sistema de cuarto orden fue diseñado para que cumpliese las siguientes
especificaciones:
( )
0.89125≤ H Ω ≤1 para 0≤Ω≤0.2π
lp
( )
H Ω ≤0.17783 para 0.3π≤Ω≤ π
lp
Diseñe a partir de este un filtro paso alto cuya frecuencia de corte de la banda de paso
sea Ω =0.6π.
p
6.6.- La siguiente función de sistema se corresponde con un filtro de Chebyshev paso
alto, de orden 2, con 0`8 dB de rizado en la banda de paso, y de pulsación de corte
ω =2 Krad/s:
c
2
s
H (s)=
c
2 6
s +1967s+3'28⋅10
a) Obtenga, a partir del filtro anterior, los coeficientes de la función de sistema
Hd(z) de un filtro paso alto digital empleando la transformación que estime
oportuno.
−1 −2
b +b z +b z +...
H (z)= 0 1 2
d
−1 −2
1−a z −a z −...
1 2
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Tratamiento Digital de Señales
Considere la pulsación de muestreo ω =8 Krad/s, y opere con tres cifras
d
decimales.
b) Dibuje, empleando diagramas de flujo, una realización del filtro según la
forma directa IV.
c) Calcule el valor de Ω en que se transforma la pulsación de corte del filtro
T
analógico ω , así como el valor del módulo de la respuesta en frecuencia (en
c
dB's) para dicha pulsación:
20⋅log H (Ω )
d T
6.7.- La siguiente función de sistema se corresponde con un filtro paso bajo de
Butterworth:
2
H ⋅ω 100
( ) o c
H s = =
a
2 2 2
s + 2⋅ω s+ω s +10⋅ 2s+100
c c
a) Compruebe que ω =10 rad/s se corresponde con la pulsación de corte a 3 dB.
c
b) Empleando el método de la invarianza de impulso, obtenga, a partir del filtro
anterior, los coeficientes de la función de sistema Hd(z) de un filtro paso bajo
digital.
−1 −2
b +b z +b z +...
( ) 0 1 2
H z =
d
−1 −2
1−a z −a z −...
1 2
Considere la pulsación de muestreo ω = 25⋅ 2 rad/s.
d
c) Dibuje, empleando diagramas de flujo, las realizaciones del filtro según las
formas directas II y IV.
6.8.- Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xa(t) (limitada en
banda a 3 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia H(jω) son:
• Debe ser mayor que 0'89125 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y
800 Hz.
• No debe superar 0'17783 a partir de los 1400 Hz.
a) Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en
frecuencia, expresada en dB's, del filtro discreto de respuesta al impulso h[n]
real que cumpla lo indicado.
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Tratamiento Digital de Señales
b) El diseño del filtro anterior se decide realizar a partir de un prototipo analógico
y empleando la transformación bilineal. Obtenga la plantilla de
especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia de dicho filtro
analógico. Considere T =2.
d
c) En la etapa de aproximación se elige un filtro elíptico de orden 2 cuya función
de sistema es H (s). Calcule, operando con cuatro cifras decimales, los
a
coeficientes de la función de sistema H (z) correspondiente.
D
2
0'4386⋅s +0'307
H (s)=
a
2
2'7698⋅s +0'8858⋅s+0'3444
−1 −2
b +b ⋅z +b ⋅z + ⋅⋅⋅
o 1 2
H (z)=
D
−1 −2
1−a ⋅z −a ⋅z − ⋅⋅⋅
1 2
d) Dibuje, empleando diagramas de flujo, las realizaciones del filtro según la
formas directas II y IV.

6.9.- Se desea diseñar un filtro digital para aproximar la siguiente función del sistema
correspondiente a un sistema LTI causal:
1
( )
H s =
a
2
s +4s+8
Considerando una pulsación de muestreo ω =8π, se pide obtener la función de sistema
s
H (z) del filtro digital y su correspondiente diagrama polo-cero empleando
d
a) el método de invarianza de impulso.
b) el método de la transformación bilineal.
Nota: opere con cuatro cifras decimales.
6.10.- La función del sistema H(z) de la ecuación se corresponde con un filtro digital
diseñado a partir de un prototipo analógico y empleando la transformación bilineal.
Calcule la función del sistema de dicho filtro analógico y dibuje en ambos sistemas el
diagrama polo-cero.
( )
−1 −1
z 1− z
( )
H z =
−1 −2
1+ z + z
Nota: Considere T = 2.
d
6.11.- Dada la respuesta al impulso de un filtro analógico
N
h (t)= ∑A ⋅espk ⋅t ⋅u(t),
c k
k=1
donde A y s son constantes, y N es el orden del filtro, el método de invarianza al
k p
k
escalón transforma su función del sistema analógica H (s) en la función del sistema
c
digital siguiente:
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⎛ s ⋅T ⎞
H (z)= ∑N Ak ⋅⎜⎝e pk d −1⎟⎠⋅ z−1 .
ie
k=1 spk ⎜⎛1−espk ⋅Td z−1⎟⎞
⎝ ⎠
Del mismo modo, el método de invarianza a la rampa transforma la función del sistema
analógica H (s) en la siguiente función del sistema
c
⎛⎛ s ⋅T ⎞ ⎞
N ⎜⎜e pk d −1⎟ ( −1) ⎟
Hir(z)= ∑ Ak ⎜⎝ ( ) ⎠⋅ 1−z −1⎟.
k=1spk ⎜⎜ spk ⋅Td ⎜⎛1−espk ⋅Td z−1⎟⎞ ⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
Dada la siguiente función del sistema estable y causal
1
( )
H s = ,
c
2
s +3s+2
se pide:
a) Obtener la función del sistema digital H (z) resultante de aplicar al filtro analógico
1
[ ] ( )
dado, el método de invarianza al impulso (considere que h n =T ⋅h n⋅T ).
1 d c d
b) Obtener la función del sistema digital H (z) resultante de aplicar al filtro analógico
2
dado, el método de invarianza al escalón.
c) Dibuje el diagrama de polos y ceros del filtro analógico dado. Al aplicar al filtro
analógico inicial los métodos de invarianza al impulso, al escalón y a la rampa,
todos los sistemas resultantes son causales. ¿Son estables dichos sistemas? Razone
la respuesta.
1
Nota: considere f = =10 y opere con cuatro cifras decimales. Exprese las
d
T
d
funciones del sistema de la siguiente forma:
M
∑b ⋅z−k
k
( ) k=0
H z = .
N
1− ∑a ⋅z−k
k
k=1

6.12.- En el diagrama de bloques de la figura se conoce la función de transferencia del
filtro discreto:
1− 2z−1 + z−2
( )
H z = a∈ℜ
( ) ( )
1−az−1 ⋅ 1−0.5z−1

Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 5
Tratamiento Digital de Señales
Determinar el valor de a y la frecuencia de muestreo a utilizar si se desea que la
respuesta del sistema ante la entrada:

⎛ π⎞ ⎛ π⎞
x(t)=5⋅cos⎜2π103t + ⎟+5 2 ⋅sen⎜4π103t + ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠

sea:
⎛ 2π⎞
y(t)=8⋅sen⎜4π103t + ⎟
⎝ 3 ⎠

6.13.- Un filtro continuo paso bajo cuya pulsación de corte es ω = 10π rad/s se va a
c
utilizar como base para el diseño de un filtro discreto ( H(Ω) ). A su vez, dicho filtro
discreto se usará formando parte del sistema mostrado en la siguiente figura:

a) Si el filtro discreto se obtiene por aplicación del método de la respuesta al
impulso invariante al filtro continuo inicial con T = 0,01, determinar la
d
pulsación de corte de H (ω).
eff
b) Si el filtro discreto se obtiene por aplicación de la transformación bilineal al
filtro continuo inicial con T = 2, determinar la pulsación de corte de H (ω).
d eff

6.14.- Se desea diseñar un filtro discreto paso banda que cumpla las siguientes
especificaciones de respuesta de amplitud:
1 ⎧Ω =0,2π
HD(Ω) = para las pulsaciones ⎨ 1
2 ⎩Ω2 =0,8π
El diseño del mismo, H (z), se realizará mediante la conexión adecuada de dos filtros,
D
H (z) y H (z), obtenidos por aplicación de la transformación bilineal a los filtros de
1 2
Butterworth cuyas funciones del sistema son, respectivamente:
ω s
( ) a ( )
H s = , H s =
1 2
s+ω s+ω
a b

a) Obtener la función del sistema del filtro discreto, H (z).
D
π
b) Una vez diseñado el filtro se desea que H (Ω) =1 para la pulsación Ω = .
D
2
Obtener la nueva expresión de la función del sistema, H (z), así como los
D2
nuevos valores de respuesta en amplitud (expresados en decibelios) para las
pulsaciones Ω y Ω .
1 2
Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 6
Tratamiento Digital de Señales
c) El filtro discreto diseñado en el apartado 2, H (z), se utiliza para el diseño del
D2
sistema de la siguiente figura en el que T = 0,125ms. Obtener la respuesta del
s
sistema, y(t), si la señal de entrada es:
⎛ π⎞
( ) ( )
x t = 2+5⋅sen⎜ω t + ⎟+3⋅cos ω t +0,72π
a b
⎝ 2⎠
siendo ω = 4πkrad/s y ω =6,4πkrad/s
a b

6.15.- La función del sistema H(s) de un filtro de tiempo continuo cumple la plantilla de
especificaciones que se muestra en la figura 1:

2
( )
H s =
2
s +2s+2

Dicho filtro va a ser utilizado como base para el diseño de un filtro de tiempo discreto,
H (Ω), que a su vez forma parte del sistema mostrado en la figura 2:
D

a) Determinar la función del sistema del filtro de tiempo discreto, H (z), obtenida por
D
aplicación del método de la respuesta al impulso invariante al filtro de tiempo
continuo, H(s), con T = 1/4 s.
d
b) Dibujar la estructura en forma directa II transpuesta del filtro digital H (z).
D
c) Obtener el valor de la pulsación de muestreo, ω, que debería utilizarse si se desea
s
que la pulsación de corte de la banda de paso del filtro analógico resultante, H (ω),
a
sea de 1 krad/s.
d) Obtener la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia
expresada en dB’s del filtro analógico resultante, H (ω), si para el diseño del filtro
a
Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 7
Tratamiento Digital de Señales
discreto se aplica el método de la transformación bilineal con T =0,4 s. Considerar
d
para este apartado T =1ms.
s

6.16.- Se ha obtenido la función de transferencia H(z) de un filtro IIR por aplicación de
la transformación bilineal, con T =2, a un filtro continuo cuya función de
d
0,13(s2 +1)
transferencia es H(s)= . El filtro así obtenido [H(z)] forma
s3+0,9s2 +1,24s+0,52
parte del sistema de la figura. Determinar el valor de T para que cuando la señal de
s
entrada sea x(t)=A cos(104t+0,2π), la señal de salida sea nula (y(t)=0).
0

FILTROS DIGITALES FIR

6.17.- Se pretende diseñar un filtro FIR de fase lineal tipo II (número de coeficientes par
y simetría par en la respuesta al impulso). Se desea que la respuesta al impulso sea real,
y que la función de sistema presente un cero en el punto del plano z
1 1
z = + j
1 2 2
Se pide:
a) Obtener la función de sistema que cumple los requisitos anteriores, sabiendo
que el orden del filtro es el mínimo posible.
b) Dibujar la respuesta al impulso correspondiente.
c) Representar el filtro empleando diagramas de flujo mediante las conexiones:
c.1) Cascada (con subestructuras de orden dos).
c.2) Fase lineal.
d) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento,
de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra de salida (no considerar
multiplicaciones por la unidad).
6.18.- Para diseñar un filtro digital se emplea el método de la ventana. Observando dos
ventanas diferentes (rectangular y Hamming) se obtienen los siguientes valores:
• Ventana a.1:
Amplitud máxima del lóbulo secundario: -46 dB.
Anchura del lóbulo principal: 0'098.
• Ventana a.2:
Amplitud máxima del lóbulo secundario: -13'5 dB.
Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 8
Tratamiento Digital de Señales
Anchura del lóbulo principal: 0'056.
Una vez diseñado el filtro se comprueba que la banda de transición resultante es de
mayor anchura si se emplea la ventana a.1.
Indique razonadamente si los datos indicados anteriormente se pueden corresponder con
un diseño real y qué ventanas son las mencionadas como a.1 y a.2.
6.19.- Las siguientes funciones de transferencia representan dos filtros diferentes que
cumplen la misma plantilla de especificaciones de respuesta en amplitud:
0.4981819+0.9274777z−1 +0.4981819z−2
i) H(z)=
1−0.6744878z−1 +0.3633482z−2
11
ii) H(z)=∑h(k)z−k con
k=0
h(0)= 0.54603280·10-2 = h(11) h(1)= -0.45068750·10-1 = h(10)
h(2)= 0.69169420·10-1 = h(9) h(3)= -0.55384370·10-1 = h(8)
h(4)= -0.63428410·10-1 = h(7) h(5)= 0.57892400 = h(6)
Para cada filtro:
a) Indique si se trata de un sistema FIR o IIR.
b) Dibuje un diagrama de bloques para cada filtro y escriba la correspondiente
ecuación en diferencias.
c) Determine el número de operaciones y de registros de almacenamiento que se
necesitan.
6.20.- Se pretende diseñar un filtro FIR de fase lineal tipo III (número de coeficientes
impar y simetría impar en la respuesta al impulso). Se desea que la respuesta al impulso
sea real, y que la función de sistema presente un cero en el punto del plano z.
1
z =
1 2
Se pide:
a) Obtener la función de sistema que cumple los requisitos anteriores, sabiendo
que el orden del filtro es el mínimo posible.
b) Dibujar la respuesta al impulso correspondiente.
c) Representar el filtro empleando diagramas de flujo mediante las conexiones:
c.1) Forma directa.
c.2) Fase lineal.
d) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento
(para coeficientes y datos), de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra
de salida (no considerar multiplicaciones por la unidad).
6.21.- Se pretende diseñar un filtro FIR de manera que el módulo de la respuesta en
frecuencia H(Ω) del filtro diseñado satisfaga los siguientes requisitos:
Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 9
Tratamiento Digital de Señales
• Debe ser mayor que 0'9 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y
0'15π.
• No debe superar 0'01 a partir de 0'25π.
a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de
ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia del
filtro deseado.
b) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana con las
siguientes funciones: rectangular, Hanning, Hamming y Blackman. Indique
qué ventanas de las anteriores satisfacen los requisitos exigidos.
c) De las ventanas que cumplen las especificaciones iniciales, seleccione la que
presente menor atenuación en la banda eliminada. Empleando dicha ventana,
obtenga la anchura de la banda de transición y el orden del filtro resultante.
d) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el
módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.
e) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría
calcular los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro diseñado.
6.22.- Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica x(t) (limitada en
banda a 8 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia H(ω) son:
• Debe ser mayor que 0'85 y menor que 1'1 en la banda de frecuencias
comprendidas entre 0 y 2000 Hz.
• No debe superar 0'001 a partir de los 3400 Hz.
a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de
ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia que
debe cumplir el filtro digital H (Ω).
D
b) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana. A partir de la
tabla adjunta, indique qué ventanas –considere sólo la rectangular, de Hanning,
de Hamming y de Blackman- satisfacen los requisitos anteriores.
c) Seleccione la ventana de las indicadas en el apartado anterior que presente
menor atenuación en la banda eliminada. Empleando dicha ventana, obtenga la
anchura de la banda de transición y el orden del filtro resultante.
d) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el
módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.
e) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría
calcular los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro diseñado.
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