Table Of ContentOBRAS PUBLICADAS:
Problemas de Algebra Lineal
Problemas de Cálculo Infinitesimal
Problemas de Física
Problemas de Quíjnica
Formulación Química
Problemas de Cálculo Integral
Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Mecánica
PROBLEMAS
DE
CALCULO INTEGRAL
R. A. E. C.
I
© Publicaciones R.A. E.C.
Gaztambide, 55
Madrid-15
Gráficas Lormo ■ Isabel Méndez, 15 - Madrid Depósito Legal: M-8.572-1971
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TEMA I
Repaso de Métodos de Integración
La técnica de la integración es la que nos permite obtener a partir de una fun
ción dada f(x), otra primitiva de ella F(x); es decir, tal que la función derivada
de F(x) sea f (x): si
J E M L - iw .
dx
se dice que F(x) es primitiva de f(x) y se puede escribir:
Jf(x) dx = F(x) + C
Algunos métodos de obtención de funciones primitivas son los siguientes:
I. Métodos elementales de integración.
Se basan en la aplicación inmediata de las propiedades de la integración:
1-1. La integración es una operación lineal: tiene la propiedad aditiva:
J[f(x) + g(x)] dx = J f (x) d x + f g(x) dx
y la de producto por una constante
J k • f(x) dx = k [f(x)dx.
Ambas propiedades se generalizan en el siguiente teorema: La integral de una
combinación lineal de un número finito de funciones es igual a la misma combi
nación lineal de las integrales de las funciones.
1-2. Si en la integral f f(x) dx se hace x = <¿>(t) y por tánto, dx = -j- [v>(t)]dt,
se convierte en Jf M t)l • <p'(t) ■ dt que es una integral de t que puede ser másfá-
cilmente calculable.
4
PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL
J p'{t)
Si es así, una vez obtenida F(t) = H<P (t)]- • dt se pone t = \¡/ (x) [ \p (x)
es la función inversa de p (t) ], y se obtiene F [ ip (x)] = j"f (x) ■ dx.
1-3. Como d (u ■ v) = v • du + u • dv, u ■ dv = d (u • v) — v • du, o sea,
J u ■ dv = J d (u • v) — J" v du = u ■ v — J v du.
Y mediante esta fórmula, I/u ■ dv = u ■ v —/ v • du , llamada de integración
por partes se pasa de tener que resolver la integral / u ■ dv a calcular / v • du que
puede ser más sencilla.
Mediante la aplicación de cualquiera de estos métodos o de otros más elabora
dos que se exponen a continuación, o, incluso, por aplicación sucesiva de varios
de ellos, se llega a integrales de funciones más sencillas, cuyas primitivas se deben
conocer: son las que se llaman integrales inmediatas.
INTEGRALES INMEDIATAS
S u„n +l c
undu = -yyy + C (si n # -1) 12. I cotg u du = L sen u + C
du ^
13 f du =_ - cotg u + C
2. í a du = a ( du = au + C J sen2u
14. f = tgu + C
J eos u 3
3. | (du + dv)= J du + J dv
L (sec u + tg u) + C
4. Jli=Lu +C 15. Jsecudu =
L(tg J + i)+ C'
5. f '^ du= ^ 2+c ^ |L(cosec u - cotg u) + C
16. cosec u du =<
6. 0 =Jí,/2du = 2V Z+ C (Ltg-j- + C
u 17. J sec1 u du = tg u + C
7. Ja du La + C 18. JcosecJudu= -cotgu + C
8. Jeudu=eu+C 19- f xcu tg u du = sec u + C
20. fcosec u cotg u du= - cosec u + C
9. í sen u du = - eos u + C Jfsen u J
J 21. J— j- du = sec u + C
" fcosudu= senu +C rcosu
1- L eos u + C J senJu du = -cosec u + C
11. ftgudu=J „„ r
J j , 23. I sh u du = ch u + C
[L sec u + C J
TEMA I.-REPASO DE LOS METODOS DE INTEGRACION 5
24. chu du = sh u + C are sec u + C
> 0
25. th u du = L ch u + C du -are cosec u + C
34. /
26. sech u du = arg thfsh u) + C -are sec u + C
>u < 0
27. cosech u du = -arg cot h(ch u) + C are cosec u + C'
28. sech2 u du = th u + C
du
35. / = arg sh u + C
29. cosech2 u du = - cot h u + C vT+P
30. sech u th u du = - sec h u + C du
36. = arg ch u + C
í Vrü2r1
31. cosech u cot h u du = - cosec h u + C
arg th u + C | u| < 1
are sen u + C
du
32. /
V 1 - u2
arg coth u + C' | u | > 1
• -arccosu + C'
du
38. = -arg sech u + C
are tg u + C / u V 1 - u2
33. / d1 u+ u 39. •>f u vdy u;1 -+, u,2 = -arg cosech u + C
, -are cotg u + C'
40. J u dv = uv - j vi du
II. Integración de funciones racionales.
P(x)
II-1. Integración de expresiones de la forma donde P(x) y Q(x) son dos
Q(x)
polinomios de la variable x. Para su integración se realizan las siguientes operacio-
nes:
A) División del numerador P(x) entre el denominador Q(x) para obtener la par-
P(x) M(x)
te entera = + ^ • Da integración de esta parte entera R(x) es sen
cilla, pues es un polinomio. (Este primer apartado A) solo se puede hacer como es
natural, si el gfado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x)).
B) Descomposición en fracciones simples de la fracción propia . Se pue
den hacer por el método de los coeficientes indeterminados, p.e.:
1) Se encuentran las raíces del denominador Q(x) = 0.
Sean estas raíces x = a (grado de multiplicidad, a), x = b (0 veces)... x =
= c+ d¡ y x = c — di (y veces), etc. Por tanto, se podrá ponet:
6 PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL
Q(x) = (x - a)“ • (x - b)P...[(c+di)(c—d i)f...
2). Se plantea la descomposición:
Cada raíz real da lugar a n fracciones simples de la forma —— donde i
3/
varía de 1 a n siendo n el grado de multiplicidad de la raíz en cuestión. Cada raíz
compleja da lugar (agrupada con su conjugada) a n fracciones de la forma:
A,x + B,
[Ix-cP+d2]1
Así pues, la fracción propia ^|xj- de antes, se podrá descomponer del si
guiente modo:
N(x) _ Aa + Aa-i +...+ A i Bg . Bg-i B, +
Q(x) (x—a)° (x-a)a“ 1 x-a (x-b)*3 (x-b)"'1+"'+ x-b
M 7-x+ N 7 M7.j -x + N y - i | M tX + N j (
+ +[(x-c)2+d2r + [(x—c)2+d2]1"1 +”‘+ (x-cV+da
Al plantear esta descomposición, Aa, A a-i ••• A ,, B0... M7, N7... son des
conocidos: son los coeficientes indeterminados, pero los denominadores son
todos perfectamente conocidos.
3). Se obtienen estos “coeficientes indeterminados” por identificación de la
fracción üíñl Con su descomposición en fracciones simples planteadas; se rc-
Q(x)
ducen todas las fracciones al m.c.d. y se identifican los numeradores.
N(x) = Aa (x—bl' Kx—c)l+d2P+ Aa j (x—a)(x—b)0 [(x—c)2 + dJ ]7 +
+ ...
C) Integración de las fracciones simples ya obtenidas. En la descomposición apare
cen cuatro tipos de fracciones:
1.- Fracciones simples de raíces reales,sin exponente. Su integración es inme
diata:
dx = A ■ L(x—a) + C.
f e
2. Fracciones simples de raíces reales múltiples (con exponente). Se integran
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TEMA I.- REPASO DE LOS METODOS DE INTEGRACION
inmediatamente así:
dx = c=-^r — !— + c
a'-” —n + 1 n—1 (x-a)"’1
3. Fracciones simples de raíces complejas sin exponente. Se pueden llevar a
una forma más sencilla como se ve en los problemas, o aplicando directa -
mente la siguiente fórmula:
Mx+ N , M . r# u ,j!i , N + M- C . x—c
dx = —- L [(x—cr+d2 1 + are tg-
(x—c)2+d2 2 "" l'n “ J d d
4. Fracciones de raíces complejas múltiples de la forma: f— +, — -— dx
y J [(x-c)2 + d2]n
que se puede integrar mediante un proceso de reducción, pero en las que nos
otros aplicaremos el método de Hermite.
11-2.- Método de Hermite. Aplicaremos este método principalmente cuando el
denominador de la fracción propia q!*! contiene raíces complejas múltiples, es
útil siempre que las raíces sean múltiples (reales o complejas).
A) Consiste en hacer una descomposición de q|~| diferente de la explicada has
ta ahora basada en el estudio del resultado que se obtiene en la integración de las
fracciones simples. Se puede observar que dicha integración nos Conduce a una
parte racional y otra con términos transcendentes por lo que se plantea la des
composición así:
N(x) a_ ^ I _h!í L 1 + - A - + - § - + ••• + - ü ítíL+ ...
Q(x) dx L Q.i<x>J x ~ a x “ b (x—c)2 + d2
donde:
Q j (x) es un pobnomio que tiene las mismas raíces que Q(x), pero con el or
den de multiplicidad una unidad inferior, es decir, si
Q(x) = (x—a)a*(x—b)?..[(x—c—di)(x—c+ di))7... entonces
Q.x (x) será Q 2 (x)= (x—a)a l-(x-b)p... [(x-c-diXx-c+di)]7'1
q(x) es un polinomio de coeficientes indeterminados de un grado inferior a Q.¡ (x).
A, B, -M, N ,... son unos coeficientes también indeterminados.
8 PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL
B) Planteada la descomposición, se obtienen todos los coeficientes indetermi
nados realizando la derivación indicada, reduciendo a común denominador e iden
tificando ambos numeradores.
C) Después se realiza la integración fácilmente:
B / Mx + N
f A | _q W _ldx + f. dx + ••• + 1
I Q(x) J dx LQ.a (x) I J x-b (x-c)2 + d2
= - q(x) + A L(x—a) + B L(x-b)+- +-M- L [(x—c)2 +d2 ]+ N±M^.. arc
Q.j«x) 2 d
tg +•••■+ C, pues / d [u(x)J = u(x), y las restantes son integrales de fraccio-
d J
nes simples cuya integración ya se ha explicado cómo se realiza.
III. Integración de algunas expresiones irracionales.
Se pueden integrar clcmcntalmente los siguientes tipos:
lll-l. Integrales de la forma:
/ ■ w a r w r - i *
donde R designa una expresión racional cualquiera en x y en potencias de expo
nente racional (m/n, p/q...) de una misma expresión ax + ^ • Se integran hacien-
ax -f- b ex + d /
do ---------= t"; donde u es el m.c.m. de los denominadores de los exponentes:
ex + d
(n, q, ...).
111-2. Integrales binomios.
I xm • (a xn + b)p
donde m, n y p son números racionales.
Se hace el cambio de variable x" = t y la integral se convierte en una de la for
ma anterior si son enteros los números p, q = m - ^ ó p + q. En los restantesca-
n
casos no es integrable elementalmente.
III-;}. Integrales de la forma j R [x,\/ax2 + bx + c] dx. Se pueden realizar
por dos caminos:
