problema da´arvore de suporte de custo mínimo com restric¸˜ao de grau e custos associados aos

207 Pages·2009·1.11 MB·Portuguese

UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA E INVESTIGAC¸A˜O
OPERACIONAL
´
PROBLEMA DA ARVORE DE SUPORTE
´ ˜
DE CUSTO MINIMO COM RESTRIC¸AO
DE GRAU E CUSTOS ASSOCIADOS AOS
NODOS
Pedro Martins Moura
DOUTORAMENTO EM ESTAT´ISTICA E INVESTIGAC¸A˜O
OPERACIONAL
(Especialidade em Optimizac¸˜ao)
2009

UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE ESTAT´ISTICA E INVESTIGAC¸A˜O
OPERACIONAL
´
PROBLEMA DA ARVORE DE SUPORTE
´ ˜
DE CUSTO MINIMO COM RESTRIC¸AO
DE GRAU E CUSTOS ASSOCIADOS AOS
NODOS
Pedro Martins Moura
DOUTORAMENTO EM ESTAT´ISTICA E INVESTIGAC¸A˜O
OPERACIONAL
(Especialidade em Optimizac¸˜ao)
Tese orientada pelo Prof. Doutor Lu´ıs Gouveia
2009

RESUMO
Nesta dissertac¸˜ao aborda-se uma variante de Problemas de A´rvores em Gra-
fos onde, para al´em de custos associados `as ligac¸˜oes entre os nodos, existem
tamb´em custos associados ao grau dos nodos. Esta variante ´e motivada no
contexto de redes de telecomunicac¸˜oes, onde estes custos se encontram asso-
ciados a equipamento de routing que ´e necess´ario instalar em todo os nodos
que estejam ligados a mais do que um nodo na rede. Neste tipo de redes ´e
ainda usual restringir o nu´mero m´aximo de ligac¸˜oes de cada v´ertice de forma
a reduzir interferˆencias de sinal. Esta variante ´e aplicada a dois problemas
cl´assicos de A´rvores em Grafos: o problema da A´rvore de Suporte de Custo
M´ınimo e o problema da A´rvore de Steiner com Recolha de Pr´emios. Incor-
porando esta variante nas formulac¸˜oes tradicionalmente utilizadas para estes
problemas chega-se a modelos n˜ao lineares, devido `a presenc¸a dos custos as-
sociados ao grau dos v´ertices. Duas t´ecnicas de reformulac¸˜ao de modelos s˜ao
ent˜ao utilizadas: a t´ecnica de Reformulac¸˜ao por Discretizac¸˜ao e a t´ecnica de
Reformulac¸˜ao por Caminhos. Ao utilizar qualquer uma destas duas t´ecnicas
no modelos tradicionais, obtˆem-se modelos lineares. Al´em disso, as duas
t´ecnicas permitem construir conjuntos de desigualdades v´alidas que ao ser
adicionadas a um modelo fortalecem-no no que diz respeito `a respectiva re-
laxac¸˜ao linear. A segunda t´ecnica s´o pode ser aplicada ao primeiro problema
devido `a existˆencia de uma estrutura de Saco Mochila, presente neste pro-
blema.
Os modelos apresentados s˜ao comparados utilizando um conjunto de
instˆancias com 25 e 50 nodos.
Palavras-chave: A´rvoredeSuporte, A´rvoredeSteiner, Reformula¸c˜ao
por Discretiza¸c˜ao, Reformula¸c˜ao por Caminhos, Saco Mochila.

ABSTRACT
In this dissertation a new variant of Tree Problems in Graphs is considered.
In this variant, besides the costs associated to the links between the nodes,
there also exist costs associated with the degree of the nodes. This variant
is motivated in the context of telecommunications networks where this type
of costs is associated with routing equipment that has to be installed in
every node that is connected with more than one node in the network. In
this kind of networks it is usual to limit the number of links in any node to
prevent signal interferences. This variant is applied to two classical problems:
the Spanning Tree Problem and the Prize-collecting Steiner Tree Problem.
By integrating this variant in traditional formulations for these problem one
obtains non-linear models, due to the presence of the costs associated with
the degree of the nodes. Two reformulations techniques are then used: the
Reformulation by Discretization technique and the Reformulation by Paths
technique. Linear models are obtained by using any of these two techniques
in the traditional models. In addition, different sets of valid inequalities can
be constructed with the use of these techniques which, when added to a
model, strengthen it in terms of the respective linear relaxation. The second
technique can only be applied to the first problem due to the existence of a
Knapsack structure present in this problem.
The presented models are compared using a set of instances with 25 and 50
nodes.
Keywords: Spanning Tree, Steiner Tree, Reformulation by Discre-
tization, Shortes-Path Reformulation, Knapsack.

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