Probabilites et processus stochastiques

308 Pages·2011·2.18 MB·French

by  Yves Caumel (auth.)

Probabilités et processus
stochastiques
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Yves Caumel
Probabilités et processus
stochastiques
Yves Caumel
ISAE-ENSICA
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DANGER
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Collection
Statistique et probabilités appliquées
dirigée par Yadolah Dodge
Professeur Honoraire
Université de Neuchâtel
Suisse
[email protected]
Comité éditorial :
Aurore Delaigle Christian Mazza
Département de mathématiques Département de mathématiques
et de statistique Université de Fribourg
Université de Melbourne Chemin du Musée 23
Victoria 3010 CH-1700 Fribourg
Australie Suisse
Christian Genest Stephan Morgenthaler
Département de mathématiques École Polytechnique Fédérale
et de statistique de Lausanne
Université McGill Département de Mathématiques
Montréal H3A 2K6 1015 Lausanne
Canada Suisse
Marc Hallin Louis-Paul Rivest
Université libre de Bruxelles Département de mathématiques
Campus de la Plaine et de statistique
CP 210 Université Laval
1050 Bruxelles Québec G1V (cid:2)(cid:3)(cid:4)
Belgique Canada
Ludovic Lebart Gilbert Saporta
Télécom-ParisTech Conservatoire national
46, rue Barrault des arts et métiers
75634 Paris Cedex 13 292, rue Saint-Martin
France 75141 Paris Cedex 3
France
Dans la même collection :
– Statistique. La théorie et ses applications
Michel Lejeune, avril 2004
– Optimisation appliquée
Yadolah Dodge, octobre 2004
– Le choix bayésien. Principes et pratique
Christian P. Robert, novembre 2005
– Régression. Théorie et applications
Pierre-André Cornillon, Éric Matzner-Løber, janvier 2007
– Le raisonnement bayésien. Modélisation et inférence
Éric Parent, Jacques Bernier, juillet 2007
– Premiers pas en simulation
Yadolah Dodge, Giuseppe Melfi, juin 2008
– Génétique statistique
Stephan Morgenthaler, juillet 2008
– Maîtriser l’aléatoire. Exercices résolus de probabilités et statistique, 2eeédition
Eva Cantoni, Philippe Huber, Elvezio Ronchetti, septembre 2009
– Pratique du calcul bayésien
Jean-Jacques Boreux, Éric Parent, décembre 2009
– Statistique. La théorie et ses applications, 2ee édition
Michel Lejeune, septembre 2010
– Le logiciel R
Pierre Lafaye de Micheaux, Rémy Drouilhet, Benoît Liquet, novembre
2010
Pr´esentation
La th´eorie des probabilit´es r´esulte d’un long processus de mod´elisation
des ph´enom`enes al´eatoires, inaugur´e au xviie si`ecle par l’´etude des jeux de
hasard, pour aboutir aujourd’hui `a la th´eorisation de ph´enom`enes aussi com-
plexes que les processus de diffusion en physique ou l’´evolution des march´es
financiers. En 1931, le math´ematicien sovi´etique Andrei Kolmogorov, prenant
appui sur la toute r´ecente th´eorie de la mesure et de l’int´egration d´evelop-
p´ee par Borel et Lebesgue, donna au corpus d´enomm´e jusqu’alors Calcul des
probabilit´es une structure axiomatico-d´eductive, propre aux math´ematiques
contemporaines, assurant la th´eorie des probabilit´es sur des bases solides.
Ce livre s’adresse aux ´etudiants en math´ematiques de niveaux L2, L3
et M1, ainsi qu’aux ´el`eves ing´enieurs et plus g´en´eralement aux ´etudiants et
aux chercheurs sollicit´es par des probl`emes de mod´elisation de ph´enom`enes et
de syst`emes al´eatoires. Il devrait leur permettre de maˆıtriser les concepts et
les m´ethodes probabilistes afin de les appliquer a` des domaines aussi vari´es
que le traitement du signal, l’automatique, la th´eorie des r´eseaux, la recherche
op´erationnelle, les sciences biologique et ´economique.
Les pr´erequis constitu´ees des connaissances math´ematiques dispens´ees
durant les deux premi`eres ann´ees d’un cursus universitaire du type math´ema-
tique, ou dans le cadre des classes pr´eparatoires aux ´ecoles d’ing´enieurs et de
commerce,pourrontˆetrecompl´et´esparlesnotionsbasiquesd’analysefonction-
nelle : mesure et int´egration, espaces de Hilbert.
J’ai r´edig´e ce cours dans le souci permanent d’´eviter la pesante et sou-
vent inefficace lin´earit´ede l’expos´ed´eductif,que les limites horairesd’un cours
de math´ematiques en ´ecole d’ing´enieurs rendent impraticables. A` de rares ex-
ceptions pr`es,seulesles d´emonstrationspeu techniqueset relativementcourtes
ont´et´e donn´ees; en revanche certaines d´emonstrations abordables et ayant un
int´erˆet p´edagogique sont propos´ees sous forme d’exercices.
L’ouvrage est compos´e de onze chapitres : les six premiers constituent
unexpos´edelath´eoriedesprobabilit´es;lesquatresuivantssontconsacr´esaux
processusal´eatoiresclassiqueseta`leursapplications,quantaudernierchapitre
c’est un ensemble de probl`emes suivis de leurs corrig´es. Le premier chapitre
concerne les probabilit´es d´efinies sur des ensembles au plus d´enombrables; les
deux chapitres suivants mettent en place les notions th´eoriques centrales s’ar-
ticulant sur les concepts de variable et de vecteur al´eatoire. Dans le chapitre 4
viii Probabilit´es et processus stochastiques
sont rassembl´ees les m´ethodes permettant d’effectuer des calculs de lois, dont
la probl´ematique g´en´erale consiste `a d´eterminer la loi d’une variable ou d’un
vecteur al´eatoire fonction d’un vecteur al´eatoire X de loi connue. Le chapitre 5
d´efinit les diff´erents modes de convergence de la th´eorie des probabilit´es et ex-
pose les th´eor`emes limites classiques qui s’y rattachent. Le chapitre 6 traite du
conditionnement et de ses applications a` la fiabilit´e et `a la th´eorie de l’infor-
mation. Les chapitres 7 et 8 sont consacr´es `a l’´etude des chaˆınes de Markov
discr`etes ainsi qu’aux processus de Poisson et a` leur extension aux processus
de renouvellement. Le chapitre 9 est consacr´e aux chaˆınes de Markov a` temps
continu,a`leursapplicationsauxprocessusdenaissanceetdemortainsiqu’a`la
th´eorie des files d’attente. Dans le chapitre 10 on expose les bases de la th´eorie
des processus du second ordre et du processus brownien.
Afin de montrer, s’il en ´etait besoin, combien sont vivantes les th´eories
math´ematiques et les pens´ees qui y sont mises en œuvre, j’ai parsem´e ce cours
de notules historiques portant sur le lent d´eveloppement de la th´eorie probabi-
liste,ainsiquederemarquesdenature´epist´emologiqueconcernantlanotionde
hasard. De br`eves biographies tentent de donner une ´epaisseur humaine `a ces
cr´eateurs souvent m´econnus que sont les math´ematiciens, si joliment baptis´es
par le philosophe Gaston Bachelard «proph`etes de l’abstrait».
Quiconque a un jour abord´e la th´eorie des probabilit´es sait combien sa
compr´ehension n´ecessite la pratique d’une intuition et d’un savoir-faire sp´eci-
fiques : seul un apprentissage actif ou` les exercices joueront un roˆle pr´epon-
d´erant, se r´ev´elera productif. Pour r´epondre `a cette exigence, cent cinquante
exercicesetprobl`emesenviron,dontlamajorit´esontcorrig´es,couvrentlatota-
lit´e du cours et sont orient´es, pour beaucoup d’entre eux, vers les applications.
Leur niveau de difficult´e est gradu´e de la fa¸con suivante :
♠ : application directe du cours;
♠♠ : n´ecessite une bonne compr´ehension du cours;
♠♠♠ : r´esolution exigeant un savoir-faire certain.
J’adresse mes plus vifs remerciements a` Claudie Chabriac pour son aide
pr´ecieuse tout au long de la gestation de cet ouvrage ainsi qu’a` Emmanuel Lo-
chinpoursonaidetechniqueetsonsoutienmoral.Jeremerciechaleureusement
mes coll`egues et particuli`erement Ludovic d’Estampes et Florence Nicol pour
leurs lectures critiques, ainsi que R´emi Diana et Thomas Ferrandiz pour leur
aide lors de la retranscription du manuscrit. Que tous trouvent ici l’expression
de mon amicale et chaleureuse gratitude.
Yves Caumel
Sommaire
Pr´esentation vii
1 Probabilit´es sur les ensembles finis 1
1.1 Notions de syst`eme al´eatoire et d’espace de probabilit´e . . . . 1
1.2 Ind´ependance d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 E´v´enements ´equiprobables dans le cas ou` Ω est fini . . . . . . 7
1.4 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Variables al´eatoires 19
2.1 Notion de variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Variables al´eatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Vecteurs al´eatoires 45
3.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Description des vecteurs al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Vecteurs discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Vecteurs absolument continus . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Ind´ependance et corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Fonctions g´en´eratrice et caract´eristique . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Fonction caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Le vecteur gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Calcul de lois 71
4.1 Approche du probl`eme sur deux exemples . . . . . . . . . . . . 71
4.2 M´ethodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 M´ethode du changement de variables . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 M´ethode d’identification fonctionnelle . . . . . . . . . . 75
x Probabilit´es et processus stochastiques
4.2.3 Variables al´eatoires d´efinies comme maximum ou mini-
mum d’un ensemble de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.4 Lois de variables mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 M´ethodes de simulation des lois de probabilit´e . . . . . . . . . 81
4.4 Quelques densit´es classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Convergences et limites des suites al´eatoires 93
5.1 Convergence en probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Th´eor`emes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Convergence presque suˆre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6 Probabilit´es, lois et esp´erances conditionnelles 113
6.1 Conditionnement d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.1 Loi d’une variable discr`ete conditionn´ee par une
variable discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.2 Loi d’unevariableabsolumentcontinueconditionn´eepar
une variable discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.3 Loi d’une variable discr`ete conditionn´ee par une variable
absolument continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.4 Loid’unevariablecontinueconditionn´eeparunevariable
continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.5 Loi d’une variable continue conditionn´ee par un ´ev´ene-
ment quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5 Loi et esp´erance conditionnelle des vecteurs gaussiens . . . . . 134
6.6 Notions d’entropie et d’information . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.7 Retour sur la notion de hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.8 Corrig´es des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 Chaˆınes de Markov discr`etes 149
7.1 Introduction aux processus al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2 D´efinition et caract´erisation des chaˆınes de Markov discr`etes . 152
7.3 Classification des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.1 Relation de communication entre ´etats . . . . . . . . . . 157
7.3.2 E´tats r´ecurrents et transitoires . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3.3 E´tats p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4 Distributions stationnaires et distributions limites . . . . . . . 165
7.5 Compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170