Probabilistic Applications of Tauberian Theorems (Modern Probability and Statistics)

234 Pages·2005·1.38 MB·English

by  A. L. Iakymiv

(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)
(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:55)(cid:68)(cid:88)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:80)(cid:86)
(cid:36) (cid:3) (cid:3)
(cid:47)(cid:54)(cid:50) (cid:36)(cid:57)(cid:36)(cid:44)(cid:47)(cid:36)(cid:37)(cid:47)(cid:40) (cid:44)(cid:49)
(cid:48) (cid:3)(cid:51) (cid:3) (cid:3)(cid:54) (cid:29)
(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:53)(cid:49) (cid:53)(cid:50)(cid:37)(cid:36)(cid:37)(cid:44)(cid:47)(cid:44)(cid:55)(cid:60) (cid:36)(cid:49)(cid:39) (cid:55)(cid:36)(cid:55)(cid:44)(cid:54)(cid:55)(cid:44)(cid:38)(cid:54)
(cid:52)(cid:88)(cid:72)(cid:88)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)(cid:3)
(cid:51)(cid:17)(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:17)(cid:3)(cid:39)(cid:182)(cid:36)(cid:83)(cid:76)(cid:70)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:57)(cid:17)(cid:3)(cid:51)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:79)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:82)
(cid:3)
(cid:42)(cid:72)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:76)(cid:93)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:48)(cid:82)(cid:71)(cid:72)(cid:79)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:76)(cid:85)(cid:3)(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)
(cid:44)(cid:81)(cid:86)(cid:88)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:41)(cid:76)(cid:81)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)
(cid:57)(cid:17)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:17)(cid:60)(cid:88)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:82)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:89)
(cid:53)(cid:82)(cid:69)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:92)(cid:86)(cid:76)(cid:86)(cid:29)(cid:3)(cid:70)(cid:85)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)
(cid:42)(cid:17)(cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:79)(cid:92)(cid:68)(cid:78)(cid:82)(cid:89)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:49)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:57)(cid:76)(cid:79)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:89)(cid:86)(cid:78)(cid:76)
(cid:36)(cid:86)(cid:92)(cid:80)(cid:83)(cid:87)(cid:82)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:55)(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:43)(cid:92)(cid:83)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:86)(cid:29)(cid:3)(cid:40)(cid:73)(cid:191)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:16)
(cid:87)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:50)(cid:83)(cid:87)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:79)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:90)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:47)(cid:82)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:191)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:92)
(cid:57)(cid:17)(cid:40)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:74)
(cid:54)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:55)(cid:82)(cid:83)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:38)(cid:75)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:70)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:41)(cid:88)(cid:81)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)
(cid:49)(cid:17)(cid:42)(cid:17)(cid:3)(cid:56)(cid:86)(cid:75)(cid:68)(cid:78)(cid:82)(cid:89)
(cid:38)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:79)(cid:76)(cid:87)(cid:92)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:69)(cid:88)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:76)(cid:85)(cid:3)(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)
(cid:57)(cid:17)(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:61)(cid:82)(cid:79)(cid:82)(cid:87)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:89)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:17)(cid:57)(cid:17)(cid:3)(cid:56)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:76)(cid:78)(cid:76)(cid:81)
(cid:49)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:91)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:90)(cid:3)(cid:53)(cid:72)(cid:86)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:86)
(cid:57)(cid:17)(cid:57)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:72)(cid:81)(cid:68)(cid:87)(cid:82)(cid:89)
(cid:48)(cid:82)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:80)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:53)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:57)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:86)
(cid:57)(cid:17)(cid:48)(cid:17)(cid:3)(cid:61)(cid:82)(cid:79)(cid:82)(cid:87)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:89)
(cid:51)(cid:85)(cid:82)(cid:69)(cid:68)(cid:69)(cid:76)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)
(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:55)(cid:68)(cid:88)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:80)(cid:86)
(cid:36)(cid:17)(cid:47)(cid:17)(cid:3)(cid:60)(cid:68)(cid:78)(cid:76)(cid:80)(cid:76)(cid:89)
(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:36)(cid:81)(cid:71)(cid:85)(cid:72)(cid:76)(cid:3)(cid:57)(cid:17)(cid:46)(cid:82)(cid:79)(cid:70)(cid:75)(cid:76)(cid:81)
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:57)(cid:54)(cid:51)(cid:18)(cid:18)(cid:18)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:19)(cid:3)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:3)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:3)(cid:23)
(cid:139)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:24)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:15)(cid:3)(cid:47)(cid:72)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:86)(cid:17)
(cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:83)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:80)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:70)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3)
(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:82)(cid:73)(cid:73)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:54)(cid:51)
(cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:17)(cid:44)(cid:17)(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)
(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)(cid:49)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:92)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:3)
(cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:86)(cid:92)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:15)
(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:90)(cid:76)(cid:86)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:88)(cid:87)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:17)
(cid:36)(cid:88)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:93)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:3)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:72)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:86)(cid:72)(cid:90)(cid:82)(cid:82)(cid:71)(cid:3)
(cid:39)(cid:85)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:28)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:81)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:36)(cid:3)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:21)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:17)
Contents
Introduction vii
1 Tauberiantheorems 1
1.1 Regularlyvaryingfunctionsinacone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Weakconvergenceofmeasuresandfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 MultidimensionalTauberiantheoremsofKaramatatype. . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Weaklyoscillatingfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 AmultidimensionalTauberiancomparisontheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 One-dimensionalTauberiantheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7 TauberiantheoremsofDrozhzhinov–Zavyalovtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.8 ThreemultidimensionalTauberiantheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.9 RemarkstoChapter1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Applicationstobranchingprocesses 89
2.1 Boundedbelowbranchingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2 Bellman–Harrisbranchingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Convergenceoffinite-dimensionaldistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4 Thenumberoflong-livingparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 RandomA-permutations 111
3.1 ThenumberofA-permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 Auxiliarylimittheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Fundamentallimittheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4 Uniformlydistributedsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.5 ExamplesofsetsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.6 RandomsetsA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 Infinitelydivisibledistributions 167
4.1 Probabilitiesoflargedeviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2 Asymptoticbehaviourofadensityatinfinity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3 Multidimensionalcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 Limittheoremsintherecordmodel 197
5.1 Intervalsbetweenstatechangetimesintherecordprocess. . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Theasymptoticbehaviourofthekthrecordtimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Bibliography 211
Index 225
v
vi
Introduction
ByAbeliantheoremsaremeantthoseassertionswhichallowtodeducefromtheasymptotic
behaviourofsequencesandfunctionstheasymptoticpropertiesoftheirgeneratingfunctions
andLaplacetransforms(aswellasotherintegraltransforms).TheoremsconversetoAbelian
arereferredtoasTauberian.TheyarenamedafterAbelandTauber,respectively,whowere
thefirsttoprovetheoremsofsuchkinds(Abel,1826;Tauber,1897)).
Usually, direct methods are used to prove Abelian theorems. It is much more dif-
ficult to prove the corresponding Tauberian theorems, and a wide spectrum of analyt-
ical techniques is involved. As milestones in Tauberian theory, we mention the works
(Littlewood,1910;Hardy,Littlewood,1914;Karamata,1930b;Karamata,1931a;Wiener,
1932;Korevaar,1954;Keldysh,1973;Vladimirov,1978).
Inlastthreedecades,muchthoughthasbeengiventomultidimensionalTauberianthe-
ory. This is primarily due to the fact that Tauberian theorems are finding ever-widening
applicationin mathematicalphysics, theoryofdifferentialequations, andprobabilitythe-
ory.
We place particular emphasis on the multidimensional studies (Alpa´r, 1976; Alpa´r,
1984;Vladimirov,1978;Vladimirovetal.,1988;Drozhzhinov,1983;Drozhzhinov,Zavy-
alov,1984;Drozhzhinov,Zavyalov,1986a;Drozhzhinov,Zavyalov,1986b;Drozhzhinov,
Zavyalov,1990;Drozhzhinov,Zavyalov,1992;Drozhzhinov,Zavyalov,1995a;Drozhzhinov,
Zavyalov,1995b;Drozhzhinov,Zavyalov,1998;Drozhzhinov,Zavyalov,2000;Drozhzhinov,
Zavyalov,2002;deHaan,Omey,1983;deHaanetal.,1984;Resnick,1991;Omey,1989;
Omey, Willekens,1989;Diamond,1987;Kozlov,1983;Pilipovic´ etal.,1990;Stankovic´,
1983;Stankovic´,1985a;Stankovic´,1985b;Stadtmu¨ller,Trautner,1979;Stadtmu¨ller,Traut-
ner,1981;Stadtmu¨ller,1983;Stam,1977;Chelidze,1977).
We omit the discussion of Tauberian theorems with remainder term; the reader can
findthedetailsinthebooks(Aljancˇic´ etal.,1974;Ganelius,1971;Postnikov,1980;Sub-
khankulov, 1966) and the papers (Frennemo, 1965; Frennemo, 1966; Vladimirov et al.,
1988; Drozhzhinov,Zavyalov,1995a; Drozhzhinov,Zavyalov,1995b). We note, though,
thattheuseofordinaryTauberiantheorems(withoutaremainderterm)hasallowedtheau-
thortoobtainanexactasymptoticexpressionoftheremaindertermforinfinitelydivisible
distributions(seeChapter4).
The Tauberian theory has found a widespread application in probability theory.
Tauberian theorems have been used to study asymptotic problems of probability theory
by(Vatutin,1977b;Vatutin,1977c;Vatutin,1979;Vatutin,Sagitov,1988a;Zolotarev,1961;
Novikov,1982;Postnikov,1980;Rogozin,2002a;Rogozin,2002b;Sevastyanov,1978;Sen-
eta, 1969; Seneta, 1973; Seneta, 1974; Feller, 1966; Bingham, 1984a; Bingham, 1984b;
vii
Bingham,1988;Bingham,1989;Bingham,Doney,1974;deHaan,Omey,1983;deHaanet
al.,1984;Omey,1989;Weiner,1990)),tonameafew.
DespiteofthestronginterestofprobabiliststoTauberiantheorems,nobookspecially
devotedtothistopichasbeenpublishedyet.Thismonographisintendedtofillthisgap.
A series of studies (Yakymiv,1981; Yakymiv,1982; Yakymiv,1983;Yakymiv,1984;
Yakymiv, 1987a; Yakymiv, 1987b; Yakymiv, 1988; Yakymiv, 1990a; Yakymiv, 1990b;
Yakymiv, 1991a; Yakymiv, 1991b; Yakymiv, 1993a; Yakymiv, 1993b; Yakymiv, 1995;
Yakymiv,1997;Yakymiv,2000;Yakymiv,2001;Yakymiv,2002;Yakymiv,2002;Yakymiv,
2003a; Yakymiv,2003b), which have seen the light in the last two decades, are also de-
votedtoprobabilisticapplicationsofTauberiantheoremsandformthebasisforthisbook.
It contains Tauberian theorems and their applications to analysing the asymptotic beha-
viourofstochasticprocesses,recordprocesses,randompermutations,andinfinitelydivis-
iblerandomvariables. Weincludetheworksonbranchingprocesses(Vatutin,1977b;Sev-
astyanov,1978)whichgivetheimpetustoourstudiesinthisfield.Wealsoincludeaseries
ofTauberiantheoremsduetoDrozhzhinovandZavyalovwhich,webelieve,areofmuch
interesttoprobabilists,althoughtheywereintendedforuseinotherfieldsofmathematics.
The book on Tauberian theorems and their applications follows the traditions of the
SteklovInstituteofMathematics. Itsufficestomentionthebooks(Postnikov,1988;Vladi-
mirovetal.,1988)andthepapers(Keldysh,1973;Sevastyanov,1978;Vatutin,1977b).
Tauberiantheoremsare containedin the first chapterof the book. In particular, mul-
tidimensionalextensionsofTauberiantheoremsduetoKaramataaregiveninSection1.3;
amultidimensionalTauberiancomparisontheoremofKeldyshtypeandanextensionofa
TauberiantheoremofLittlewoodtypearegiveninSection1.5;Section1.6containsaseries
ofone-dimensionalTauberiantheorems.ThewholeSection1.7isdevotedtoTauberianthe-
oremsduetoDrozhzhinovandZavyalov.InSection1.8,threemultidimensionalTauberian
theoremsofDrozhzhinov–Zavyalovtypearegiven,whichareusedlatertostudytheasymp-
toticbehaviourofinfinitelydivisibledistributionsinacone.Sections1.1,1.2and1.4areof
auxiliarynature;herewedealwithgeneralisationsofregularlyvaryingfunctionsoccurring
inTauberiantheorems.
Chapters 2–5 cover probabilistic applications of Tauberian theorems. In Chapter 2,
asymptotic properties of branching processes are studied. A series of limit theorems on
random permutations whose cycle lengths belong to a given set A (the so-called A-per-
mutations)constituteChapter3.Chapter4isdevotedtoanalysingtheasymptoticbehaviour
ofinfinitelydivisibledistributionsatinfinity.InChapter5,probabilitiesoflargedeviations
forsomerandomvariablesarestudiedinthecontextoftherecordmodel.
TheauthorissincerelygratefultohiscolleaguesoftheSteklovInstituteofMathematics,
ProfessorsV.A.Vatutin,Yu.N.Drozhzhinov,A.M.Zubkov,V.F.Kolchin,A.I.Pavlov,
V.E.Tarakanov,toProfessorV.Yu.KorolevoftheMoscowStateUniversityfortheircor-
rections and remarks, and to Professor A. V. Kolchin who kindly agreed to translate the
booktoEnglish.
viii
1
Tauberian theorems
1.1. Regularlyvaryingfunctionsinacone
ABorelset(cid:2) (cid:2)Rnissaidtobeaconewithapexatapointa2RnifaC(cid:3).x(cid:3)a/2(cid:2)for
anyx 2(cid:2),(cid:3)>0,(cid:3)2R. LetintAdenotetheinteriorityofthesetA(cid:2)Rn. Wesaythata
cone(cid:2) issolidifint(cid:2) ¤¿.Aclosedsolidconvexconeissaidtobeacuteifthereexistsa
hyperplaneofdimensionalityn(cid:3)1whichmeetstheconeatitsapexonly.
Let (cid:2) be a cone in Rn with apexat zero, S D (cid:2) nf0g. We fix some vectore 2 S.
Everywhereinthischaptert isarealpositivevariable.
Afunctionf.x/issaidtoberegularlyvaryingatinfinityalong(cid:2) ifitisdefinedforall
x 2S,jxj(cid:4)c >0,ispositiveandmeasurableonthisset,and
f.tx/=f.te/!'.x/>0; '.x/<1 (1.1.1)
foranyx 2S t !1.
Weobservethatthesetofallfunctionswhichareregularlyvaryingatinfinityalong(cid:2)
doesnotdependonthevectore(letR .(cid:2)/denotethisset). Itiseasilyseenindeedthatif
1
(1.1.1)holdsforf thenforanyb2S
f.tx/ f.tx/f.te/ '.x/
D ! : (1.1.2)
f.tb/ f.te/f.tb/ '.b/
for any b 2 S as t ! 1. In accordancewith (1.1.1), we set ' D H .f/. A function
e
L 2 R .(cid:2)/ is said to be slowly varying at infinity along (cid:2) if H .L/ (cid:5) 1. In the one-
1 e
dimensionalcase,asthecone(cid:2)weconsiderthesetofallnon-negativerealnumbers,andthe
functionswhichareregularly(slowly)varyingatinfinityalongthissetaremerelyreferred
toasregularly(slowly)varyingwithoutspecifyingthesetalongwhichtheyareregularly
(slowly)varying.LetR .(cid:2)/denotethesetofallf 2R .(cid:2)/suchthat
2 1
f.tx /(cid:3)f.tx/
t
!0 (1.1.3)
f.te/
foranarbitraryfamilyofvectorsx 2 S, x ! x 2 S ast ! 1. A function' onS
t t
issaidtobehomogeneousinS withhomogeneitydegree(cid:4) 2 RifitisBorel-measurable
on S and '.tx/ D t(cid:2)'.x/ for any x 2 S, t > 0. In view of this definition, we set
1