PREPA CAPES MATHS 2016 Géométrie (French Edition)

269 Pages·2015·11.27 MB·French

by  Dany-Jack Mercier

PREPA CAPES MATHS 2016
Géométrie
Dany-Jack Mercier
Editeur : CSIPP
ISBN-13 : 978-1514751718
ISBN-10 ; 1514751712
(c) 2015 Dany-Jack Mercier. Tous droits réservés.
Table des matières
Avant-propos 5
Quelques conseils pour l’écrit 7
1 Introduction 11
1.1 Minimum v ital................................................................................ 11
1.2 Entraînement................................................................................... 13
1.3 Réponses ......................................................................................... 14
2 Théorème de Thalès 39
2.1 Minimum v ital................................................................................ 39
2.2 Entraînement................................................................................... 40
2.3 Réponses ......................................................................................... 42
3 Espaces euclidiens 55
3.1 Minimum v ital................................................................................ 55
3.2 Entraînement................................................................................... 58
3.3 Réponses ......................................................................................... 59
4 TViangles 77
4.1 Minimum v ital................................................................................ 77
4.2 Entraînement................................................................................... 78
4.3 Réponses ......................................................................................... 79
5 Bissectrices & symétries 99
5.1 Minimum v ital................................................................................ 99
5.2 Entraînement......................................................................................100
5.3 Réponses ............................................................................................103
6 Applications orthogonales angles 129
6.1 Minimum v ital..................................................................................129
TABLE DES MATIÈRES
6.2 Entraînement......................................................................................130
6.3 Réponses ............................................................................................133
6.4 Commentaires......................................................................................156
7 Cercles 159
7.1 Minimum v ital...................................................................................159
7.2 Entraînement......................................................................................160
7.3 Réponses ............................................................................................162
8 Compléments de géométrie 185
8.1 Minimum v ital...................................................................................185
8.2 Entraînement......................................................................................187
8.3 Réponses ............................................................................................190
9 Isométries 219
9.1 Minimum v ital..................................................................................219
9.2 Entraînement......................................................................................220
9.3 Réponses ............................................................................................221
10 Constructions 235
10.1 Minimum v ital...................................................................................235
10.2 Entraînement.....................................................................................236
10.3 Réponses ............................................................................................241
Avant-propos
AVANT-PROPOS
Depuis 2010 les réformes de la formation des maîtres s’accumulent jusqu’à
complètement transformer les objectifs et les attendus du CAPES mathéma­
tiques.
Ce livre propose 197 exercices ciblés sur les fondamentaux exigés actuelle­
ment pour se préparer à l’écrit du CAPES 2016. Touchant aux bases et aux
savoirs indispensables, ces exercices permettent de réviser le cours et accumuler
des connaissances pour répondre convenablement à de nombreuses questions
posées à l’oral du CAPES.
Centré sur des parties du cours à bien posséder, ce manuel permettra de
débusquer les thèmes que l’on devra retravailler seul.
Les exercices sont tous extraits des 7 volumes déjà parus de la collection
Acquisition des fondamentaux pour les concours ([13] et suivants) à l’exception
du dernier exercice qui est un problème extrait de [8]. Ces exercices ont été
choisis pour se concentrer sur la préparation du CAPES.
Chaque chapitre comporte trois parties : un minimum vital à traiter en prio­
rité, un entraînement supplémentaire et des réponses détaillées. Les questions
proposées en « minimum vital » sont celles que je travaillerai en TD avec mes
étudiants de master première année à l’ESPE de Guadeloupe durant l’année
universitaire 2015-16 dans l’EC (élément constitutif) de géométrie pour un
volume de 48h.
Ce livre comporte 197 questions réparties inégalement entre les chapitres,
soit 14 -H 8 -I-18 -I-11 -I- 7 -I-15 -I- 9 -I-12 -f- 6 -h 13 = 113 questions placées en
Minimum vital et7-t-3-t-4-|-4-|-20-l-13-|-12-|-12-|-5-|-4 = 84 questions en
Entraînement.
Bonne préparation et bonne chance aux futurs candidats !
Dany-Jack Mercier
Pointe à Pitre, le 30 juin 2015
°tespel6a vl.OO
Avant-propos
Quelques conseils pour l’écrit
Extraits choisis du rapport du jury du CAPES ext. 2014
concernant les deux compositions écrites
Doit-on rappeler que le rapport du jury du CAPES précédent doit
être lu et décortiqué par tous les candidats afin de prendre en
compte tous les conseils qui y sont prodigués 9
En attendant la sortie des rapports 2015, je rappelle les conseils es­
sentiels présentés dans le rapport 2014, et concernant les écrits du
concours. Ne pas suivre ces conseils sera durement sanctionné lors
de la correction de copies, et il est nécessaire que chaque candidat
prenne le temps de lire ce texte et d’agir en conséquence pendant
son année de préparation.
> Dans de nombreuses copies, la mise en place des différentes méthodes de
raisonnement est bien détaillée : les raisonnements par l’absurde, par récur­
rence ou par analyse-synthèse sont clairement annoncés et les étapes sont bien
indiquées. (...)
Cependant on trouve encore trop souvent des raisonnements incomplets : il
manque parfois la partie « synthèse » dans un raisonnement par analyse-
synthèse, le candidat oublie de vérifier certaines hypothèses, ou certains cas
ne sont pas étudiés dans un raisonnement par disjonction de cas, ce qui amène
à considérer, par exemple, que toutes les droites du plan sont sécantes ou que
tous les nombres rationnels sont positifs. Par ailleurs, les notations ensem-
blistes sont souvent malmenées : la confusion entre appartenance et inclusion
est très fréquente.
(...) la notion de bijectivité pose de nombreux problèmes aux candidats. Son
utilisation dans les démonstrations est souvent peu précise et parfois même
invoquée à tort. De surcroît, l’établissement de la bijectivité d’une applica­
tion donnée est fréquemment incomplète : par exemple, seule l’injectivité est
démontrée. (...)
Rappelons une nouvelle fois qu’un dessin ne remplace pas une démonstration,
même s’il est toujours bienvenu pour illustrer celle-ci. (...)
Ces constats conduisent à rappeler que ;
- Les notations ensemblistes telles que l’appartenance, l’inclusion ou l’en­
semble vide doivent absolument être maîtrisées.
- Les notions élémentaires sur les applications (injectivité, surjectivité, bi­
jectivité) ne devraient poser aucun problème aux candidats.
8 Quelques conseils pour l’écrit
- Résoudre une équation différentielle simple, y compris du second ordre, est
une compétence attendue de futurs professeurs de mathématiques. (...)
Le jury a prêté une attention particulière aux compétences suivantes.
- Exhiber un contre-exemple (...).
- Raisonner par l’absurde : (...) 80% [des candidats] rédigent correctement
au moins un raisonnement par l’absurde [de la comp. 2 de la session 2014].
- Rédiger un raisonnement par récurrence : 71% répondent correctement à
cette question [de la comp. 2 de la session 2014], située tôt dans le problème
et qui demandait la preuve d’une inégalité telle qu’on pourrait l’attendre dans
une classe de terminale.
- Calculer une intégrale (...).
> De façon générale, les candidats vérifient trop rarement les hypothèses
avant d’appliquer une propriété établie antérieurement, ou encore lors des
questions de synthèse. Dans la recherche de limites, le théorème des gendarmes
est très souvent invoqué à juste titre, mais l’existence de la limite est rarement
signifiée. Seul le deuxième volet de ce théorème, permettant d’obtenir la valeur
de la limite, est mentionné. Cela avait déjà été signeilé dans les rapports des
sessions précédentes.
(...) les inégalités ne sont pas toujours bien utilisées, les domaines de validité
trop rarement précisés. Si l’inégalité triangulaire est mise en œuvre correcte­
ment, les candidats multiplient souvent une inégalité par un réel sans se soucier
du signe de ce dernier et ne distinguent pas une inégalité large d’une inégalité
stricte.
Dans nombre de raisonnements ou conduites de calculs, on observe une utili­
sation intempestive, voire irréfléchie, du symbole d’équivalence et une maîtrise
sommaire des quantificateurs.
Lorsqu’il est abordé, le problème 3, est rarement accompagné de figures, ce
qui rend difficile la lecture des raisonnements, pouvant obliger le correcteur à
produire une figure à partir de ce que le candidat a écrit.
t> Enfin, la réussite aux épreuves écrites nécessite que la préparation des
candidats prenne en compte les éléments suivants :
- Rédiger clairement et de manière rigoureuse est une composante essentielle
du métier de professeur.
- Les raisonnements, plus particulièrement ceux qui relèvent du collège ou
du lycée, doivent être exposés avec toute la précision requise, en indiquant les
étapes successives et sans oublier de cas particulier.
Quelques conseils pour l’écrit 9
- Les connaissances de base, indispensables à la prise de recul sur les notions
enseignées, doivent être maîtrisées et énoncées avec précision lorsqu’elles sont
utilisées.
- Dans un concours de recrutement d’enseignants, la lisibilité de la copie est
un élément d’appréciation essentiel. (...)