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PREPA CAPES MATHS 2016
Analyse
Dany-Jack Mercier
Editeur : CSIPP
ISBN-13 ; 978-1519694942
ISBN-10 : 1519694946
(ç) 2015 Dany-Jack Mercier. Tous droits réservés.
Table des matières
Avant-propos 5
Comment utiliser ce volume ? 7
1 Fonctions 11
1.1 Minimum v ital........................................................................................ 11
1.2 Entraînement........................................................................................... 12
1.3 Réponses .................................................................................................. 13
2 Continuité 25
2.1 Minimum v ital........................................................................................ 25
2.2 Entraînement........................................................................................... 26
2.3 Réponses .................................................................................................. 28
3 Dérivabilité 41
3.1 Minimum v ital........................................................................................ 41
3.2 Entraînement................................................................’......................... 43
3.3 Réponses .................................................................................................. 45
4 Intégration 67
4.1 Minimum v ital........................................................................................ 67
4.2 Entraînement........................................................................................... 69
4.3 Réponses .................................................................................................. 71
5 Suites 87
5.1 Minimum v ital........................................................................................ 87
5.2 Entraînement........................................................................................... 89
5.3 Réponses .................................................................................................. 90
6 Séries 103
6.1 Minimum v ital...........................................................................................103
TABLE DES MATIERES
6.2 Entraînement...........................................................................................104
6.3 Réponses ..................................................................................................106
7 Equations différentielles 121
7.1 Minimum v ital...........................................................................................121
7.2 Entraînement...............................................................................................123
7.3 Réponses .....................................................................................................125
8 Compléments sur les fonctions 141
8.1 Minimum v ital...........................................................................................141
8.2 Entraînement...............................................................................................142
8.3 Réponses .....................................................................................................145
9 Compléments sur les suites 165
9.1 Minimum v ital...........................................................................................165
9.2 Entraînement...............................................................................................167
9.3 Réponses .....................................................................................................169
10 Extraits de concours 191
10.1 Fonction, suite et tableur ................................................................191
10.2 Equation différentielle x'^y' + xy = 1 ..................................................198
10.3 Etude de fonction et calcul intégral........................................................203
10.4 Valeurs approchées de ................................................................208
10.5 Méthode de Newton.................................................................................220
10.6 Etude de suites récurrentes...................................................................225
10.7 Equations différentielles, fonctions et suites.....................................231
10.8 Equations différentielles linéaires d’ordre 2 ..........................................241
Avant-propos
AVANT-PROPOS
Ce livre a été construit pour répondre à la demande de nombreux prépara-
tionnaires du CAPES qui désiraient un ouvrage dédié à l’analyse et à leur
concours. Cette parution leur est dédiée, car sans eux je n’aurais jamais en
trepris ce travail, ni pensé m’y atteler un jour.
Les thèmes abordés sont des thèmes classiques d’analyse : fonctions, suites,
séries, intégrales, équations différentielles, à un niveau qui ne dépasse pas celui
des classes préparatoires aux grandes écoles, comme le stipule le progranune
officiel du concours, en donnant la part belle à des extraits réellement proposés
aux CAPES, aux CAPESA et aux CAPLP de ces dernières années, donc après
les réformes 2011 et 2014 des épreuves du concours.
Les exercices et problèmes proposés dans ce volume sont centrés sur la prépara
tion à l’écrit du CAPES mathématiques pour la session 2016. Ils sont extraits
de sept ouvrages différents qui s’adressent à la fois aux candidats aux CAPES
et à ceux de l’agrégation interne, en ne retenant que des énoncés importants
pour le CAPES.
Les ouvrages utilisés pour construire ce recueil sont :
• Les volumes 5, 6 et 7 de la collection Acquisition des fon
damentaux pour les concours ([4], [5], [6]), ainsi que le volume 8
actuellement en préparation pour cette même collection [7].
• Les volumes 4 et 5 de la série Exercices & problèmes ([8], [10]),
et le volume 9 en préparation, et qui sera consacré entièrement à
l’analyse [11].
Travailler ces questions permettra de bien préparer les écrits et d’approfondir
des thèmes récurrents d’analyse extrêmement utiles pour les entretiens avec
les jurys des épreuves orales.
Chaque chapitre, sauf le dernier, est divisé en trois parties :
/ un minimum vital à traiter en priorité,
/ un entraînement complémentaire, à traiter ensuite,
/ des réponses détaillées à toutes les questions posées.
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6 Avant-propos
Le dernier chapitre permet de réinvestir ses connaissances dans des problèmes
variés choisis en fonction de leur modernité pour le CAPES 2016.
Il ne me reste plus qu’à souhaiter au lecteur d’avancer à grand pas dans son
projet, avec énergie, joie et détermination.
Avanti !
Dany-Jack Mercier
Pointe-à-Pitre, le 7 décembre 2015
i hotogiaphic <le couverture : Waterlilios de PuraVida_Fotografie / CCO Public Domain
ittps ;//|)ixabay.com/fi7ii%C3%A9iiuphars-rosc-l-cau-lac-flcurs-481984/
Comment utiliser ce volume ?
Comment utiliser ce volume ?
Cet entraînement s’adresse en priorité aux nouveaux licenciés de mathéma
tiques qui sont en master MEEF et passeront le CAPES à la fin de l’année
universitaire. Mais il s’adresse aussi à tous ceux qui ont acquis le niveau licence
dans le passé, puis se mettent à préparer le concours des années après.
La préparation à l’écrit du concours peut être envisagée de différentes manières
qui doivent être choisies en fonction de son caractère et de sa nature, mais
quelle que soit la façon de procéder, l’utiUsation de ce recueil permettra de
traiter des questions prioritaires, et les indications qui suivent pourront être
suivies avec profit.
MODE D’EMPLOI
► Balayage
Le lecteur a déjà plus ou moins traité ces thèmes quand il était en licence.
Il peut se confronter directement aux exercices de ce recueil en suivant cet
ordre ;
/ Balayage des exercices des parties Minimum vital (chap. 1 à 9).
/ Balayage des exercices des parties Entraînement (chap. 1 à 9).
/ Balayage des extraits de concours choisis au chap. 10.
Ce balayage est proposé à titre indicatif : il peut être suivi scrupuleusement ou
transgressé si le lecteur le désire. Une préparation réussie est une préparation
où l’on prend plaisir à avancer, en se permettant aussi de suivre son instinct et
ses désirs pour les utiliser comme de puissants leviers. Si au bout de quelques
exercices du chapitre 1 on désire se lancer dans un problème du chapitre 10,
il faut se faire plaisir !
► Recherche & rédaction
Voici l’algorithme que je propose de suivre devant chaque question, que ce soit
à l’occasion d’un exercice court ou d’un problème long :
/ Lire l’énoncé avec un brouillon à côté.
/ Utiliser le brouillon en toute liberté pour débuter la recherche (1).
/ Se donner 5 minutes pour chercher un démarrage possible. Si une piste
est trouvée, il faut la tester ou en essayer une autre sans jamais rester bloqué
plus de 5 minutes. A l’issue de cette étape, soit on a répondu à la question,
soit on a déclaré forfait après 5 minutes de blocage à un moment donné.
8 Comment utiliser ce volume ?
/ Si on a répondu à la question, on peut la rédiger ou non suivant ses
capacités rédactionnelles (2) (3), puis lire la solution pour valider sa réponse
ou découvrir une autre réponse possible.
/ Si on a déclaré forfait, il faut lire complètement la solution et la com
prendre, ce qui constitue un travail mathématique à part entière et une mé
thode d’apprentissage particulièrement efficace. Si la lecture de la solution est
malaisée ou impossible, cela indique qu’il faut relire du cours sur le sujet en
utilisant tout ce que l’on peut utiliser : cours manuscrits de licence, livres,
bibliothèques, internet, Wikipedia...
► Revenir plusieurs fois sur ces questions
Les neurosciences le répètent : pour acquérir des connaissances et des savoir-
faire, il faut les solliciter régulièrement pour construire de véritables circuits
neuronaux qui s’activeront chaque fois un peu plus rapidement. C’est la base de
tout apprentissage : retrouver, reformuler, revisiter, recomprendre, revalider,
et réinvestir.
Dans la pratique, il est intéressant d’attendre un peu puis de revenir sur les
questions déjà traitées pour essayer d’y répondre à nouveau. On peut se reposer
des questions une semaine plus tard, puis un mois plus tard, et rien n’interdit
de balayer rapidement toutes les questions courtes des chapitres 1 à 9 une
dernière fois quelques semaines avant les épreuves.
► Compléter avec des annales récentes
A n’importe quel moment, il est intéressant de travailler sur des annales cor
rigées récentes du CAPES externe, du CAPES agricole et du CAPLP. La
méthode de travail est la même que dans ce recueil : il faut lire les corrections
des questions dès que l’on est bloqué et sans aucune piste à suivre.
NOTES
(1) Il ne faut pas rédiger au brouillon puis recopier ensuite. Il ne faut pas
trop écrire sur le brouillon, sauf si on a décidé de s’acharner sur une question
et que c’est la seule option qui reste.
Dans la majorité des cas, le brouillon doit uniquement servir de support pour
des investigations rapides, comme on le ferait sur un tableau.
On l’utilise librement pour aider sa réflexion de toutes les manières possibles :
rappel des hypothèses, rappel de la conclusion, diagrammes, schémas, repré
sentations graphiques à main levée, flèches indiquant des connexions, des dé
ductions... On établit des connexions, on barre des passages qui n’ont rien
donné, on ouvre des portes et on voit jusqu’où on peut aller.
Comment utiliser ce volume ? 9
(2) Si une réponse est trouvée au brouillon, il n’est pas nécessaire de la
rédiger si l’on sait que l’on est capable de rédiger correctement un texte ma
thématique en étant assuré de récolter au moins 90% des points de la question.
Plusieurs cas se présentent :
- Si on connaît des difficultés en rédaction, il faut s’astreindre à rédiger
toutes les questions trouvées au brouillon, puis porter un jugement critique sur
sa rédaction, soi-même ou en demandant de l’aide à un camarade, et comparer
avec la solution proposée.
- Si on possède déjà un certain niveau de rédaction mathématique, on peut se
plier à l’exercice de la rédaction seulement une fois toutes les trois questions,
puis une fois toutes les cinq questions, et ainsi de suite, jusqu’à la maîtrise
complète.
- Si on est rompu à cet exercice, on peut se contenter de chercher les réponses
au brouillon sans les rédiger, sauf pour se faire plaisir ou vérifier ses acquis.
(3) Quand on parle rédaction de concours, il faut penser PRD : présenta
tion, rédaction et disposition.
- La présentation doit être impeccable.
- Les numéros des questions doivent être clairement signalés sur les copies.
- On doit sauter au moins deux lignes entre les questions.
- Il faut être lisible donc calligraphier et écrire suffisamment gros.
- Il faut faire des phrases et créer des paragraphes.
- Il ne faut utiliser que les abréviations autorisées (ex. : i.e., ssi, CQFD).
- Il ne faut pas oublier les majuscules, les accents et la ponctuation.
- Il faut bien disposer les égalités et les implications.
- Il faut placer les quantificateurs en avant dans les phrases mathématiques.
- Il faut adopter une disposition qui mette en évidence son raisonnement.
