PREPA CAPES MATHS 2016 Algèbre & Arithmétique (French Edition)

261 Pages·2015·11.85 MB·French

by  Dany-Jack Mercier

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PREPA CAPES MATHS 2016
Algèbre & Arithmétique
Dany-Jack Mercier
Editeur : CSIPP
ISBN-13 : 978-1514852538
ISBN-10 : 1514852535
(c) 2015 Dany-Jack Mercier. Tous droits réservés.
Table des matières
Avant-propos 5
1 Généralités 7
1.1 Minimum vital.................................................................................... 7
1.2 Entraînement........................................................................................ 8
1.3 Réponses .............................................................................................. 10
2 Cardinalité & dénombrement 33
2.1 Minimum vital.................................................................................... 33
2.2 Entraînement.............................-....................................................... 35
2.3 Réponses .............................................................................................. 37
2.4 Principes de dénombrement.............................................................. 52
2.4.1 Principe de la som m e.......................................................... 52
2.4.2 Principe du produit ............................................................. 53
2.4.3 Principe du berger................................................................ 54
2.4.4 Principe d’exclusion-inclusion............................................. 55
3 Groupes 57
3.1 Minimum vital.................................................................................... 57
3.2 Entraînement........................................................................................ 58
3.3 Réponses .............................................................................................. 60
3.4 Les structures algébriques au CAPES .......................................... 73
4 Nombres, anneaux, corps 77
4.1 Minimum vital.................................................................................... 77
4.2 Entraînement....................................................................................... 79
4.3 Réponses .............................................................................................. 81
5 PGCD dans Z 105
5.1 Minimum vital........................................................................................105
5.2 Entraînement...........................................................................................107
TABLE DES MATIÈRES
5.3 Réponses ................................................................................................109
6 Nombres premiers 131
6.1 Minimum vital........................................................................................131
6.2 Entraînement...........................................................................................132
6.3 Réponses .................................................................................................134
7 Anneaux Z/nZ 151
7.1 Minimum vital........................................................................................151
7.2 Entraînement...........................................................................................153
7.3 Réponses .................................................................................................156
8 Polynômes 181
8.1 Minimum v ita l........................................................................................181
8.2 Entraînement...........................................................................................182
8.3 Réponses .................................................................................................184
9 Compléments d’arithmétique 203
9.1 Minimum vital.......................................................................................203
9.2 Entraînement...........................................................................................205
9.3 Réponses .................................................................................................207
10 Algèbre linéaire 223
10.1 Minimum v ita l.......................................................................................223
10.2 Entraînement...........................................................................................224
10.3 Réponses .................................................................................................229
Avant-propos
AVANT-PROPOS
Voici mes travaux dirigés de préparation à l’écrit du CAPES 2016 augmentés
d’un grand nombre de questions d’entraînement. Tous les exercices présentés
dans ce volumes ciblent le CAPES et permettent de réviser les fondamentaux.
Si l’objectif principal est une remise à niveau rapide pour passer les écrits
dans de bonnes conditions, la révision des bases concernant l’algèbre et l’arith­
métique permet aussi de se constituer des références salvatrices pour réagir
pendant les épreuves orales. Ce livre permet d’« accumuler des munitions »
pour les écrits et les oraux du CAPES.
Centré sur des parties du cours à bien posséder, ce manuel permettra de
débusquer les thèmes que l’on devra retravailler seul.
Les sept volumes déjà parus de la collection Acquisition des fondamentaux
pour les concours ([12] et suivants) offrent déjà toute une pajioplie de ques­
tions portant sur des classiques qu’il est utile de travailler avant les concours.
Mais cette collection s’adresse aussi bien au candidat du CAPES qu’à celui de
l’agrégation interne.
Le livre que vous avez entre les mains a été construit à partir de ces sept
volumes et des quatre volumes suivants en préparation, en extrayant des exer­
cices significatifs bien adaptés à la seule préparation du CAPES, de façon à
parcourir la majeure partie du programme de l’écrit en algèbre et arithmétique
de façon équilibrée.
Ce livre cible uniquement le CAPES, ce qui explique qu’une attention par­
ticulière a été portée pour replacer des extraits de CAPES ou de CAPES
agricoles dans l’esprit des nouvelles épreuves.
Chaque chapitre est divisé en trois parties :
/ un minimum vital à traiter en priorité,
/ un entraînement supplémentaire, pouvant parfois proposer des complé­
ments sur des parties non traitées dans le minimum vital,
/ des réponses détaillées à toutes les questions posées.
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Avant-propos
Les questions proposées en « minimum vital » sont celles que je travaillerai
en TD en présentiel avec mes étudiants de master première année à l’ESPE de
Guadeloupe durant l’année universitaire 2015-16 dans l’EC (élément constitu­
tif) d’algèbre et arithmétique, pour un volume de 42h.
C’est peu, et les exercices proposés en entraînement permettront de complé­
ter ce travail ou de s’intéresser à des parties qui n’auront pas pu être dévelop­
pées en TD, essentiellement des exercices sur les nombres complexes supposés
bien connus des étudiants de licence, et des exercices d’algèbre linéaire qui ont
été aussi normalement travaillés pendant les trois années de licence. Chaque
étudiant devra fournit du travail personnel sur ces parties « vues récemment »
s’il vient directement de licence.
La partie arithmétique est bien développée en TD car il s’agit d’un domaine
peu abordé durant les trois années de licence.
Ce livre comporte 240 questions réparties inégalement entre les chapitres,
soit 14 -H 10 -I- 7 -I-13 -I-12 4-13 -f 13 -h 5 -I-15 -H 5 = 107 questions placées en
Minimum vital et 11 -I-14 -H 7 H-17 -|-114- 9 -H 16 -f 12 4-16 -H 20 = 133 questions
en Entraînement.
Il ne reste plus qu’à souhaiter à tous beaucoup d’énergie et beaucoup de joie
à fourbir ses armes en utilisant cet outil spécial CAPES. Avant! !
Dany-Jack Mercier
Pointe à Pitre, le 5 juillet 2015
Chapitre 1
Généralités
1.1 Minimum vital
Question 1.1 Définissez ce qu’est une fonction, une application.
Question 1.2 Quand dit-on qu’une application est injective ? surjective ? bi-
jective ?
Question 1.3 Donnez deux définitions d’une bijection et montrez que ces dé­
finitions sont équivalentes.
Question 1.4 Soient g : E F et f : F G deux applications.
Montrer que : {f o g surjective / surjective).
Question 1.5 Soient g : F F et f : F ^ G deux applications.
Montrer que : {f o g injective => g injective).
Question 1.6 On considère une application f : F ^ F. Soit A C F. Que
peut-on dire de f~^ (/ (>!)) et de A? Montrer que f est injective si et seulement
si f~^ (/ (^)) = A pour tout AÇiV (F).
Question 1.7 On considère une application f : F ^ F. Soit B C F. Que
peut-on dire de f (/“^ (B)) et de B ? Montrer que / est surjective si et seule­
ment si f (/“^ (B)) = B pour tout B eV (F).
Question 1.8 Montrer que l’application h ci-dessous est une bijection :
h, R -l-l,l| ;
Question 1.9 Montrer que la donnée d’une relation d’équivalence sur un en­
semble équivaut à la donnée d’une partition de cet ensemble.
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS
Question 1.10 Quels sont les axiomes de l’ensemble N des entiers naturels ?
Question 1.11 (Oral du CAPES externe) Enoncez la propriété qui est à l’ori­
gine du raisonnement par récurrence. Pouvez-vous la démontrer ? Expliquez.
Question 1.12 (Oral du CAPES externe) Est-il vraiment convenable d’utili­
ser l’expression « principe de récurrence » pour parler du raisonnement par
récurrence 9
Question 1.13 Montrer que toute suite décroissante de N est stationnaire.
Question 1.14 Montrer que toute suite croissante majorée (resp. décrois­
sante minorée) de Z est stationnaire.
1.2 Entraînement
Question 1.15 (Division euclidienne dans Pour tout couple {a, b) de
N X N*, montrer qu’il existe un et un seul couple {q, r) de tel que a = bq-\-r
et 0 < r < b.
Question 1.16 (Division euclidienne dans Z) Pour tout couple (a, b) de
Z X Z*, montrer qu’il existe un et un seul couple (q,r) de Z? tel que a = bq-\-r
etQ <r <\b\.
Question 1.17 (Systèmes de numération) Soit b un entier supérieur ou
égal à 2. Montrer que tout entier naturel non nul a s’écrit de façon unique
sous la forme a = anb”’ + ... + aib + ao où n G N, Oj € {0,1,..., 6—1} pour
tout i, et Oji 7^ 0.
Question 1.18 Calculez les sommes :
n n n
k=l k=l k=l
Question 1.19 Connaissez-vous des notions mathématiques importantes qui
nécessitent de bien connaître les relations d’équivalences ?
Question 1.20 Enoncez la caractérisation de la borne supérieure d’une partie
de E, puis démontrez-la rigoureusement.
Question 1.21 Pour toute partie A non vide et bornée de E, démontrer l’éga­
lité suivante :
Sup {\x — y\ / x,y Çl A] = Sup A — Inf A.
1.2. ENTRAÎNEMENT
Question 1.22 Peut-on définir une relation d’ordre total sur l’ensemble C
des nombres complexes ? Justifiez votre réponse.
Question 1.23 (Ecrit du CAPES externe 2007) Soit n un entier naturel non
nul. Soit ■< une relation d’ordre total sur R” compatible avec la structure
d’espace vectoriel, c’est-à-dire telle que :
j Væ, y, Z G M” X :< y = x-\-z Z ;
|v x ,y € R ’^ VAg R+ X :<y => \x < \y.
a) Montrer que :
Vx, y eW ’’ VA G R- X <y \y Ax.
b) Soit (p G GL(R”). On définit une relation binaire dans R” en posant
X y dès que <p{x) :< p{y). Montrer que est une relation d’ordre total
sur R” compatible avec la structure d’espace vectoriel.
Question 1.24 (Ecrit du CAPES externe 2007) Soit n un entier naturel non
nul. On définit une relation ■< sur R" de la façon suivante. Si x = (xi,..., Xn)
ety = {y\,...,yn) appartiennent à R”, on pose x <y si :
x = y ou [x ^ y et Xk < yk avec k = Min{i G { 1 , n} ¡Xi^ y*}].
a) Représenter graphiquement la partie {(x,y) G R^/ (0,0) :< (x, y)}.
b) Montrer que ■< est une relation d’ordre total sur R” compatible avec la
structure d’espace vectoriel, c’est-à-dire telle que :
j Vx, y, zg R” X :< y => X + Z :<y-\- Z -,
^ V X, y G R” VA G R+ X -<y => Ax Ay.
Question 1.25 (Ecrit du CAPESA 2015)
a) Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 1 et AC = ,Jp, où
P G N*. Déterminer BC. En déduire une méthode de construction d’un seg­
ment de longueur y/S avec une règle non graduée et un compas, à partir d’un
segment donné de longueur 1.
b) Démontrer qu’il n’existe pas de triangle rectangle ayant pour dimension
trois entiers et dont l’un vaut 1.
c) Déterminer tous les triangles rectangles ayant pour dimensions trois en­
tiers consécutifs.
d) Soit un triangle rectangle dont les dimensions a, b, c (avec a < b < c)
sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique. Montrer que le triplet
(a,b,c) est proportionnel au triplet (3,4,5).