Table Of ContentOkonometrie
und Unternehmensforschung
Econometrics
and Operations Research
XVI
Herausgegeben von / Edited ~Y
M. Beckmann, Munchen / Providence. R. Henn, Karlsruhe
A. Jaeger, Cincinnati. W. Krelle, Bonn. H. P. Kunzi, Zurich
K. Wenke, Zurich. Ph. Wolfe, New York
Geschaftsfuhrende Herausgeber / Managing Editors
W. Krelle . H. P. Kunzi
Reinhard Selten
Preispolitik
der
Mehrproduktenunternehmung
in der
statischen Theorie
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1970
Professor Dr. Reinhard Selten
Institut fUr Wirtschaftstheorie der Freien Universitat
Berlin
ISBN-13: 978-3-642-48889-4 e-ISBN-13: 978-3-642-48888-7
DOl: 10.1007/978-3-642-48888-7
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© by Springer-Verlag Berlin· Heidelberg 1970
Library of Congress Catalog Card Number 76-103019.
Softcover reprint of the hardcover 18t edition 1970
Titel-Nr. 6491
Vorwort
An dieser Stelle mochte ich Herrn Professor Dr. Heinz
Sauermann, der mich zu der Abfassung dieser Arbeit ermun
tert hat, fUr die mir erwiesene Forderung herzlich danken.
Mein Dank gilt auch der Deutschen Forschungsgemeinschaft,
die mich durch die Gewahrung eines Habilitationsstipendiums
unterstiitzt hat. Ich bin Herrn Dr. Otwin Becker, Herrn Rein
hard Tietz und Herrn Michael Klose dafUr zu Dank verpflich
tet, daB sie das Manuskript vor seiner Veroffentlichung noch
einmal durchgesehen haben. Ihnen und Herrn Professor Dr.
Waldemar Wittmann verdanke ich einige wertvolle Hinweise.
Nicht zuletzt gilt mein Dank auch meiner Frau, deren techni
sche Hilfe mir unentbehrlich ist.
Berlin, den 12. 1. 1970 REINHARD SELTEN
Inhalt
Einleitung. . . . . . . . . . .
Grundlagen der Theorie des Mehrproduktenmonopols 12
1.1 Das Grundmodell . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Existenz und Eindeutigkeit des Optimums . . . 13
1. 3 Nicht zunehmender Bi'mdelgrenzertrag und Kostenkonvexitat . 19
1.4 Uberwiegen der unmittelbaren Preiswirkungen und eindeutige U mkehr-
barkeit des Nachfragezusammenhangs 23
1.5 Umsatzkonvexitat. . . . . . 30
1.6 Konvexitat des Mengenbereichs . . . 32
2 Substitutionalitat und Komplementaritat 34
2.1 Direkte Substitutionalitat und Komplementaritat der Nachfrage . 34
2.2 Inverse Substitutionalitat und Komplementaritat der Nachfrage. 37
2.3 Substitutionalitat und Komplementaritat der Kostenverbundenheit 40
3 Die Marginalbedingungen . . . . . . . . . 43
3.1 Die Marginalbedingungen zweiter Ordnung 43
3.2 Das Problem des Randoptimums 45
3.3 Die Marginalbedingungen erster Ordnung . 46
3.4 Folgerungen aus den Marginalbedingungen erster Ordnung 49
3.5 Zwei Zahlenbeispiele . . . 52
4 Das linear-quadratische Modell 59
4.1 Die Taylor-Interpretation des Modells 59
4.2 Formulierung und analytische Behandlung 60
4.3 Graphische Darstellung des 2-Guter-Falls . 63
5 Das Edgeworth-Paradox. . . . . . . . . . 71
5.1 Der 2-Guter-Fall - notwendige Bedingungen 72
5.2 Der 2-Guter-Fall - eine notwendige und hinreichende Bedingung 75
5.3 Der n-Guter-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Vereinfachende Annahmen u ber die Kostenfunktion und den N achfrage-
zusammenhang . . . . . . . . . . . . 86
6.1 Die einfache Kostenverbundenheit. . . . . . . . . . . . 86
6.2 Die einfache Nachfrageverbundenheit . . . . . . . . . . 91
6.3 Bestimmung des Optimums im linear-quadratischen Modell bei ein-
facher Kostenverbundenheit und einfacher Nachfrageverbundenheit . 96
6.4 Eigenschaften des Optimums im linear-quadratischen Modell bei ein-
facher Kostenverbundenheit und einfacher Nachfrageverbundenheit 102
7 Aggregationstheorie des linear-quadratischen Modells . . . . . . .. 111
7.1 Die Aggregierbarkeitsvoraussetzungen . . . . . . . . . . . .. 114
7.2 Inversion des Nachfragezusammenhangs und Untersuchung der Mar
ginalbedingungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 117
VIII Inhalt
7.3 Vergleich mit dem linear-quadratischen Modell bei einfacher Kosten
verbundenheit und einfacher Nachfrageverbundenheit . . . . . . . 122
8 Grundlagen einer nichtkooperativen Theorie gleichmaBiger Mehrprodukten-
oligopole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.1 Uber die Behandlung statischer Oligopolmodelle mit den Mitteln der
nichtkooperativen Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2 Der Begriff des Gleichgewichtspunktes in reinen Strategien und seine
Anwendung auf statische Oligopolmodelle. . . . . . . . . .. 130
8.3 Die Klasse der gleichmaBigen und eingipfligen Kontinuumsspiele 132
8.4 Die Stetigkeit der besten Antwort . . . . . . . . 137
8.5 Kardinale Messung der Aggressivitat von Strategien . . . . .. 142
9 Ausbau der nichtkooperativen Theorie gleichmaBiger Mehrprodukten-
oligopole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Die Existenz von Gleichgewichtspunkten in reinen Strategien 149
9.2 Die Klasse der strategisch aggregierbaren Spiele. . . . . . 150
9.3 Die Existenz eines besten Gleichgewichtspunktes . . . . . 156
9.4 Das Cournotsche Mengenmodell als Beispiel eines strategisch aggregier-
baren Oligopolmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10 Anwendung der nichtkooperativen Theorie gleichmaBiger Mehrprodukten-
oligopole auf ein spezielles Mehrproduktenmodell 164
10.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . 164
10.2 Das reduzierte Modell. . . . . . . . . 167
10.3 Die Eingipfligkeit des reduzierten Modells 171
10.4 Die Marginalbedingungen erster Ordnung 174
10.5 Die strategische Aggregierbarkeit des reduzierten Modells 179
10.6 Eigenschaften des Gleichgewichtspunkts . 182
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 189
Einleitung
Es ist nicht leicht, den Modellfall der Einproduktenunternehmung
in der Wirklichkeit wiederzufinden. Selbst hochspezialisierte Produktions
unternehmungen stellen im allgemeinen mehrere Artikel her. Anderer
seits gibt es viele Unternehmungen, die Hunderte oder sogar Tausende
von Artikeln anbieten. Derartige Vielproduktenunternehmungen sind
in manchen Sparten des Einzelhandels eher die Regel als die Ausnahme1.
Es ist das Ziel dieser Arbeit, die optimale Preispolitik der Mehr
produktenunternehmung zu untersuchen. Diese Fragestellung ist natiir
lich nur dann sinnvoll, wenn die Marktbedingungen einen Spielraum
fiir Preisvariationen offenlassen. Wir werden deshalb immer davon aus
gehen, daB sich die untersuchte Unternehmung in einer monopolistischen
oder oligopolistischen Wettbewerbssituation befindet.
Die fiir den Mehrproduktenfall spezifischen Probleme ergeben sich
aus den Moglichkeiten der Kosten- und Nachfrageverbundenheit. Beide
Arten der Verbundenheit mtissen bei der Preisfestsetzung beriicksichtigt
werden. Die optimalen Preise einer Mehrproduktenunternehmung konnen
daher im allgemeinen nicht unabhangig voneinander bestimmt werden.
Die Theorie der Mehrproduktenunternehmung muB sich mit diesem
Ph an omen der Interdependenz der optimalen Preise auseinandersetzen.
Die Behandlung von Mehrproduktenproblemen nimmt im Rahmen
der umfangreichen Literatur tiber den unvollkommenen Wettbewerb
einen verhaltnismaBig geringen Raum ein. Fast aIle wichtigen Arbeiten,
die unser Thema unmittelbar betreffen, beschaftigen sich mit der Theorie
des Mehrproduktenmonopols. F. Y. Edgeworth ist der eigentliche Be
grtinder dieser Theorie2• Das Problem der Preisdifferenzierung, das als
ein Grenzfall der Theorie des Mehrproduktenmonopols aufgefaBt werden
kann ist allerdings schon wesentlich frtiher behandelt worden, namlich
3,
von Dupuit4•
I Nach Auskunft des Versandhauses Neckermann enthiilt der Neckermann
Katalog ungefiihr 1 5000 Artikel.
2 Wir denken hier vor aHem an den Artikel "The Pure Theory of Monopoly"
aus dem Jahre 1897, der ebenso wie einige andere fur uns interessante Arbeiten
in den 1925 erschienenen "Papers Relating to Political Economy" wiederabgedruckt
worden ist (Edgeworth, 1925, 1,2, 3 und 4).
3 Wir verweisen in diesem Zusammenhang auf den Survey-Artikel von Hicks
(Hicks, 1952, S. 368).
<1 Dupuit (1844 und 1849).
2 Einleitung
Die Theorie der Preisdifferenzierung ist im Hinblick auf unsere
Fragestellung nur am Rande von Interesse. Eine Unternehmung, die
von der M6glichkeit der Preisdifferenzierung Gebrauch macht, indem
sie einen bisher einheitlichen Markt fUr ein von ihr angebotenes Gut
in zwei mehr oder weniger unabhiingige Teilmarkte aufspaltet, ergreift
damit eine MaBnahme, die unserer Auffassung nach eher dem Bereich
der Angebotsgestaltung, als dem der Preispolitik zuzurechnen ist. Dieser
Standpunkt ist jedenfalls dann gerechtfertigt, wenn man, wie wir es
tun wollen, einen absichtlich eng gefaBten Begriff der Preispolitik
zugrunde legt: Die Preispolitik der Mehrproduktenunternehmung be
trifft nur die Festsetzung eines Preissystems fUr ein nach Zahl und Art
der angebotenen Giiter fest vorgegebenes Giitersystem.
Es ist nicht das Ziel dieser Arbeit, die zweifellos wichtigen Fragen
der Sortimentsbestimmung, des Werbeaufwands und der Produkt
gestaltung zu behandeln. AuBer den Preisen werden daher keine anderen
Aktionsparameter explizit beriicksichtigt. Unsere oligopoltheoretischen
Untersuchungen in den Kapiteln 8 und 9 sind jedoch von so allgemeiner
Natur, daB sie von der Art der Aktionsparameter der Oligopolisten
weitgehend unabhiingig sind und deshalb auch iiber die eigentliche
Problemstellung dieser Arbeit hinaus von Bedeutung sind.
Die Fiille der m6glichen Untersuchungsrichtungen macht eine Be
schrankung auf eine eng umrissene Fragestellung notwendig. Die Preis
politik der Mehrproduktenunternehmung wird hier nur im Rahmen der
statischen Theorie behandelt. Es kommt uns dabei vor aHem darauf
an, zu theoretischen Aussagen iiber die Struktur des Systems der opti
malen Preise und iiber den EinfluB von Veranderungen der Kosten
und Nachfragesituation auf das Optimum zu gelangen. Die Verfahren
des linearen und des nichtlinearen Programmierens, denen fiir die
Durchrechnung praktischer Mehrproduktenprobleme eine groBe Bedeu
tung zukommt, k6nnen vermutlich nur sehr schwer der Beantwortung
derartiger Fragen nutzbar gemacht werden und werden deshalb in dieser
Arbeit nicht herangezogen
5.
Die ersten sieben Kapitel beschiiftigen sich mit der Theorie des
Mehrproduktenmonopols, die wir auch unter dem Aspekt ihrer Anwend
barkeit auf den monopolistischen Wettbewerb sehen. Bei der Unter
suchung des Mehrproduktenmonopols k6nnen wir uns auf eine ganze
Reihe von Autoren stiitzen, die Wichtiges zu dieser Theorie beigetragen
haben. Neben den Arbeiten von F. Y. Edgeworth6 sind vor allem die
5 In diesem Zusammenhang sei auf das Buch von K. Bohr verwiesen, das
einige dieser modernen Rechenverfahren darstellt und mit der traditionellen Pro
duktionstheorie in Verbindung bringt (Bohr, 1967).
8 Edgeworth (1925, 1, 2, 3 und 4).
Einleitung 3
Beitrage von G. CasseF, H. Hotelling8, Ch. ROOS9, E. Barone10, E. Cle
mensll, M. Bailey12, J. Niehans13, B. Holdren14 und Ch. Ferguson15 von
Bedeutung.
Das erste Kapitel setzt sich mit der Frage nach der Existenz und der
Eindeutigkeit des Optimums auseinander. Wir werden hinreichende
Bedingungen dafur angeben, daB genau ein lokales Optimum vorhanden
ist, und wir werden die wichtigsten dieser Bedingungen auf ihre okono
mische Plausibilitat hin untersuchen und zum Teil auf leichter inter
pretierbare Annahmen zuruckfuhren. Die Bedingung, daB die Kosten
als Funktion der Ausbringungsmengen streng konvex nach un ten sind,
wird mit einer Verallgemeinerung des Gesetzes vom abnehmenden
Grenzertrag in Verbindung gebracht werden. Die Bedingung, daB der
funktionale Zusammenhang zwischen den Preis en und den Absatz
mengen eindeutig umkehrbar ist, wird durch die Annahme "uber
wiegender unmittelbarer Preiswirkungen" gerechtfertigt werden, die
darin besteht, daB die Abhangigkeit der Absatzmengen von den eigenen
Preisen die Abhangigkeit von den Preisen der anderen Guter in einem
ganz bestimmten Sinne uberwiegt.
Das zweite Kapitel beschaftigt sich mit den Begriffen der Sub
stitutionalitat und Komplementaritat. Diese Begriffe werden in dieser
Arbeit nicht nutzentheoretisch oder produktionstheoretisch verstanden;
sie beziehen sich unmittelbar auf die Nachfrageverbundenheit und die
Kostenverbundenheit. Auf der Nachfrageseite muB zwischen einer
direkten, mit Hilfe der partiellen Ableitungen der Mengen nach
den Preisen und einer inversen, mit Hilfe der partiellen Ableitungen
der Preise nach den Mengen formulierten Definition unterschieden
werden.
Die Marginalbedingungen, die fUr ein nicht am Rande liegendes
Optimum erfullt sein mussen, werden im dritten Kapitel untersucht.
In der Literatur findet man haufig Behauptungen, die auf die Marginal
bedingungen gestutzt werden, ohne daB wirkliche Beweise angegeben
werden16. Heuristische Argumente konnen jedoch bei der Interpretation
der komplizierten Mehrproduktenzusammenhange leicht zu Irrtumern
7 Cassel (1900).
8 Hotelling (1932 und 1933).
9 Roos (1934).
10 Barone (1921).
11 Clemens (1950).
12 Bailey (1954,1 und 2).
13 Niehans (1956).
14 Holdren (1960).
15 Ferguson (1960).
16 So z.B. bei ]. Niehans, B. Holdren und K. Borchardt (Niehans, 1956;
Holdren, 1960; Borchardt, 1960).
4 Einleitung
flihren17. Es ist daher notwendig, sich auf exakte Ubedegungen zu
beschranken. Auf diese Weise konnen wir allerdings nur verhaltnismaBig
wenige Schltisse aus den Marginalbedingungen ziehen. Unsere Folgerun
gen sind zwar nicht neu, aber soweit uns bekannt ist, bisher noch nicht
wirklich bewiesen worden.
In der Literatur tiber das Mehrproduktenmonopol spielen zwei
Themen eine besonders wichtige Rolle: das Edgeworth-Paradox und
das Phanomen des Zugartikels. Ein Zugartikel ist ein Artikel, der zum
Zwecke der Steigerung der Nachfrage nach anderen Artikeln besonders
billig verkauft wird18. Das nach seinem Entdecker F. Y. Edgeworth
benannte Edgeworth-Paradox besteht darin, daB die Einflihrung einer
Steuer, die pro Mengeneinheit eines der angebotenen Gtiter erhoben
wird, eine Senkung aller optimaler Preise bewirken kann19, 20.
Die Erfahrungen, die in der Wirtschaftspraxis, insbesondere der des
Einzelhandels, tiber preispolitische Probleme gesammelt wurden, haben
zu einer ausgedehnten Literatur geftihrt, in der das Phanomen des Zug
artikels sehr oft beschrieben und erortert wird 21. Die erste analytische
Behandlung dieses Themas findet sich bei eh. Roos22.
Eine extreme Form des Zugartikels liegt dann vor, wenn der optimale
Preis unterhalb der Grenzkosten liegt. Wenn man von bestimmten
allgemeinen Voraussetzungen tiber den funktionalen Zusammenhang
zwischen den Preisen und den Absatzmengen ausgeht, so laBt sich
zeigen, daB dieser Extremfall des Zugartikels unmoglich ist, wenn auf
der Nachfrageseite zwischen den angebotenen Gtitern ausschlieBlich
17 Das wird in Abschnitt 3.5 anhand eines der Literatur entnommenen Beispiels
gezeigt werden.
18 Das Wort "Zugartikel" stammt von Humbel (Humbel, 1958, S. 78-79).
Dieser Ausdruck ist treffender als andere in der Literatur gebrauchliche Benennun
gen; im angelsachsischen Sprachgebrauch wird der Zugartikel "loss leader" ge
nannt; zuweilen findet man die deutsche Dbersetzung "Ve rlustfiihrer".
19 Das Edgeworth-Paradox ist von Edgeworth zuerst in dem Artikel "The
Pure Theory of Monopoly" aus dem Jahre 1897 dargestellt worden (Edgeworth,
1925, 1).
20 Das Edgeworth-Paradox ist nicht nur ein Steuerparadox. Anstelle der
Steuer kann ebensogut eine andere, von dem Absatz eines der angebotenen Giiter
abhangige proportionale Kostenerhiihung betrachtet werden.
21 Es sei hier nur auf einige der Arbeiten hingewiesen, die sich mit dem Mehr
produktenaspekt der Preisbildung im Einzelhandel auseinandersetzen. Ein kurzer,
aber instruktiver Aufsatz stammt von O. Knauth. Eine ausfiihrlichere Darstellung
gibt das Buch von P. Humbel. Ein besonders wichtiger Beitrag zu diesem Problem
ist das Supermarket-Modell von B. Holdren. Das Einzelhandelsmodell von A. Ott
ist fiir uns weniger interessant, weil es, wie K. Borchardt in seiner kritischen
Stellungnahme ausfiihrlich darlegt, das eigentliche Mehrproduktenproblem aus
klammert. Schliel3lich sei noch das Buch von H. Smith erwahnt (Knauth, 1949/50;
Humbel, 1958; Holdren, 1960; Ott, 1960; Borchardt, 1960; Smith, 1948).
22 Roos (1934) S. 128-147.
