Preise in Finanzmärkten: Replikation und verallgemeinerte Diskontierung

247 Pages·2017·2.98 MB·German

by  Jürgen Kremer (auth.)

Jürgen Kremer
Preise in
Finanzmärkten
Replikation und verallgemeinerte
Diskontierung
Preise in Finanzmärkten
Jürgen Kremer
Preise in Finanzmärkten
Replikation und verallgemeinerte
Diskontierung
JürgenKremer
RheinAhrCampusRemagen
HochschuleKoblenz
Remagen,Deutschland
ISBN978-3-662-53725-1 ISBN978-3-662-53726-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-53726-8
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Für Alexander und Ulrike
Vorwort
IndiesemBuchwirddieReplikationsstrategiezurBewertungzukünftigerzustandsabhän-
gigerZahlungsströmedargestellt,wobeiderSchwerpunktaufzeitdiskreteModellegelegt
wird.
EineBesonderheitdesTextesbestehtdarin,dassdiePreisfindungimerstenTeilalsver-
allgemeinerteDiskontierungohneVerwendungderWahrscheinlichkeitstheorieformuliert
wird.
Im zweiten Teil wird die Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungen ein weiteres
Mal,diesmalmitMethodenderdiskretenstochastischenAnalysis,hergeleitet.
Eswirdweitergezeigt,dassdiewahrscheinlichkeitstheoretischeFormulierungderBe-
wertungindiestetigeFinanzmathematikübertragenwerdenkannunddasssiesichsowohl
imzeitdiskretenalsauchimzeitstetigenFallalsverallgemeinerteDiskontierunginterpre-
tierenlässt.
Ich danke meinen Studenten des Bachelor-Kurses Ein- und Mehr-Perioden-Modelle
unddesMaster-KursesStochastischeAnalysisundstetigeFinanzmathematikfürihrehilf-
reichen Rückmeldungen zum Buchmanuskript, und ich bedanke mich herzlich bei Frau
Annika Denkert und bei Frau Agnes Herrmann vom Springer-Verlag für die ausgespro-
chenangenehmeZusammenarbeit.
Daun,2.August2016 JürgenKremer
VII
Inhaltsverzeichnis
TeilI ReplikationundverallgemeinerteDiskontierung
1 Ein-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 DasModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 OptionenundForward-Kontrakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 DieBewertungvonAuszahlungsprofilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 ErgänzungenundderFundamentalsatzderPreistheorie . . . . . . . . . . . 28
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Mehr-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1 Binomialbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 DiskontierungimBinomialbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 VerallgemeinerungaufbeliebigeMehr-Perioden-Modelle . . . . . . . . . 53
2.4 DieBerücksichtigungvonDividendenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5 DerDiskontierungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 PreisschrankenunddiePut-Call-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 ReplizierendeHandelsstrategienundderFundamentalsatz . . . . . . . . . 64
2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Optionen,FuturesundandereDerivate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1 KalibrierungderParameterdesBinomialbaums. . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 ZurBewertungeuropäischerStandard-Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 DieBerücksichtigungvonDividendenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 AmerikanischeOptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 DieBlack-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 DienumerischeBerechnungvonOptionspreisen . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.7 Forward-Start-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Forward-Start-Performance-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.9 EinstrukturiertesProdukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.10 Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.11 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.12 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
TeilII StochastischeAnalysisundverallgemeinerteDiskontierung
4 DiskretestochastischeAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1 Algebren,FiltrationenundadaptierteProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 DiebedingteErwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 DiebedingteErwartungalsProjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 Martingale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.6 DieDoob-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7 Kovariations-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.8 OrthogonaleMartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.9 DasdiskretestochastischeIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.10 StochastischeIntegraleundKovariations-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . 148
4.11 DieItô-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.12 StochastischeExponentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.13 DerMartingal-Darstellungssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.14 DerSatzvonGirsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.15 Stoppzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.16 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5 DiskretestochastischeFinanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1 VerallgemeinerteDiskontierungundWahrscheinlichkeitstheorie . . . . . 173
5.2 MartingalmaßeundDiskontprozesseinbinomialenModellen . . . . . . . 177
5.3 MartingalmaßeundDiskontprozesseinallgemeinenModellen . . . . . . 184
5.4 AmerikanischeOptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6 EinführungindiestetigeFinanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1 DasBlack-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.2 DieBlack-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.3 ElementederstochastischenAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7 Anhang:BemerkungenzudenAufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Teil I
Replikation und verallgemeinerte Diskontierung
IndenarbitragefreienundvollständigenEin-Perioden-ModellendesKap.1lässtsichjede
zukünftigezustandsabhängigeAuszahlungmithilfeeinesPortfoliosreplizieren.Deraktu-
ellePreisdiesesPortfoliosistdefinitionsgemäßderPreisderzukünftigenAuszahlung.
Unter den angegebenen Voraussetzungen lässt sich der Preis alternativ auch mithilfe
eines verallgemeinerten Diskontfaktors, eines Diskontvektors, berechnen, ohnedass das
Replikationsportfoliobestimmtwerdenmüsste.
DieDiskontierungsstrategiezurBewertungzustandsabhängigerAuszahlungenwirdin
Kap. 1 für Ein-Perioden-Modelle entwickelt und in Kap. 2 auf Mehr-Perioden-Modelle
ausgedehnt,diesichalsHintereinanderschaltungenvonEin-Perioden-Modellenbeschrei-
benlassen.
Kap.3enthälteineReihefürdiePraxisrelevanterAnwendungen.
Ein-Perioden-Modelle 1
Die Aktienkurse zum aktuellen Zeitpunkt sind bekannt, nicht aber diejenigen in einem
Jahr. Damit ist auch ungewiss, was ein Derivat, etwa eine Call-Option, in einem Jahr
wert sein wird. Eine Call-Option beinhaltet das Recht, eine bestimmte Aktie zu einem
bereits heute festgelegten Preis K zu einem zukünftigen Zeitpunkt T kaufen zu dürfen.
Es liegt im Ermessen des Eigentümers der Call-Option, sein Kaufrecht auszuüben oder
nicht.BesitztdieAktiezumZeitpunktT einenMarktwertS >K,dannkannderInhaber
derOptionsiemithilfeseinesOptionsrechtszumPreisK kaufenundanschließendander
BörsezumPreisS wiederveräußern.AufdieseWeiseerzieltereinenGewinninHöhevon
S (cid:2)K > 0,unddiesistgeradederWertderOptionfürdiesenFall.LiegtderMarktwert
der Aktie zum Zeitpunkt T dagegen unterhalb von K, gilt also S < K, dann kann der
InhaberdasOptionsrechtnichtvorteilhaftnutzenundwirdseinKaufrechtnichtausüben.
SomithängtderWertderOptionzumZeitpunktT vomungewissenAktienkurszudiesem
Zeitpunktabundistdaherebenfallsungewiss.
NunkönnenzweiextremePositioneneingenommenwerden.Dieerstelautet,dassnie-
mandverlässlichindieZukunftschauenkann,unddassdaherzuverlässigePrognosenfür
die zukünftigen Aktienkurse ausgeschlossen sind. Unter dieser Voraussetzung erscheint
die Entwicklung einer sinnvollen Optionspreistheorie aussichtslos. Eine zweite, entge-
gengesetztePositionlautet,dassesmiteinemausgefeiltenökonomischenModellmöglich
seinsollte,genaueVoraussagenfürdieKursederZukunftzumachen.IndiesemFallwäre
derzukünftigeWertderOptionbekannt,unddieser müsstezurBestimmungdesPreises
derOptionlediglichaufdenaktuellenZeitpunktabdiskontiertwerden.
In der Finanzmathematik wird ein Mittelweg zwischen diesen beiden Alles-oder-
Nichts-Positionen beschritten. Die grundlegende Annahme besteht darin, dass zwar die
Entwicklung eines betrachteten Finanzmarktes nicht vorausgesagt werden kann, dass
aber die Menge aller möglichen zukünftigen Zustände oder Szenarien dieses Marktes
bekanntist.Eswirdangenommen,dassgenaueinesdieserSzenarieninZukunfteintreten
wird, dass aber zum aktuellen Zeitpunkt 0 nicht bekannt ist, welches es sein wird. Das
einfachstenichttrivialeModellbestehtdarin,nebendemZeitpunkt0eineneinzigenwei-
©Springer-VerlagGmbHDeutschland2017 3
J.Kremer,PreiseinFinanzmärkten,DOI10.1007/978-3-662-53726-8_1