Precis de recherche operationne Méthodes et exercices d’application

592 Pages·2014·20.12 MB·French

by  Robert Faure

Précis
recherche
de
opérationnelle
Méthodes et exercices d’application
Robert Faure
était professeur de la chaire
de recherche opérationnelle au CNAM
Bernard Lemaire
est professeur émérite de la chaire
de recherche opérationnelle au CNAM
Christophe Picouleau
est professeur des universités au CNAM
7e édition
REMER CIEMENTS
Nous remerc ions toutes les per sonnes qui ont contri bué à la réa li sa tion de cette
édi tion du Pré cis de recherche opér a tion nelle. En par ti cu lier :
Mme Nacera SEGHOUANI- BENNACER Enseignante- c hercheuse à Supélec,
pour le cha p itre por tant sur la simul a tion ;
M. Patrick SIARRY, Pro fes seur à l’Uni ver sité Paris XII, pour le cha pitre trai t ant
des méta h eu ris tiques ;
M Daniel VANDERPOOTEN, Pro fes seur à l’Uni ver sité Paris- Dauphine pour le
cha pitre intro d uc tif à l’aide multi c ri tère à la déci s ion.
Mme Agnès PLATEAU-ALFANDARI, maître de conférences au CNAM, pour
ses remarques pertinentes.
Illustration de couverture ©Kentoh-Fotolia.com
© Dunod, Paris, 2014
ISBN 978-2-10-071060-7
T M
able des aTières
avanT-ProPos ......................................................................................... vii
inTroducTion À la recherche oPeraTionnelle ................................... ix
1 sTruc Tures ordon nées aPPli ca Tions des Treillis
eT de l’algèbre de boole en recherche
oPé ra Tion nelle ................................................................................. 1
1.1 NotioNs sur les struc tures ordoNNées ............................................. 1
1.2 repré seN ta tioN eNsembliste des algèbres de boole.
appli ca tioN à la logique élé meN taire ................................................. 11
1.3 l’algèbre de boole biNaire ............................................................... 19
1.4 appli ca tioNs élé meN taires ................................................................. 27
2 noTions de coMPlexiTé .................................................................. 42
2.1 complexité des algorithmes ............................................................. 42
2.2 complexité des problèmes ................................................................. 47
3 élé MenTs de la Théo rie des graPhes : défi ni Tion, concePTs
essen Tiels ; Par cours des graPhes .................................................. 59
3.1 élé meNts de la théo rie des graphes .................................................. 59
3.2 par cours des graphes ........................................................................ 70
4 aPPli ca Tions des graPhes à la recherche
oPé ra Tion nelle ................................................................................ 99
4.1 NotioNs de pro gram ma tioN dyNa mique (prd) .................................. 99
4.2 appli ca tioNs aux che miNs opti maux ................................................... 104
4.3 pro blèmes d’ordoN NaN ce meNt eN ges tioN de pro jets ........................ 114
4.4 pro blème du flot de valeur maximale .............................................. 128
4.5 flot de valeur maximale à coût miNi mal.......................................... 134
4.6 pro blèmes d’affec ta tioN ................................................................... 139
4.7 NotioNs d’arbre et d’arbo res ceNce .................................................. 144
4.8 appli ca tioNs aux arbres opti maux ..................................................... 146
4.9 les pro grammes de traN sport............................................................ 149
4.10 recherches arbo res ceNtes .............................................................. 163
iii
Table des Matières
5 Pro ces sus sTo chas Tiques eT Pro graM Ma Tion
dyna Mique sTo chas Tique ............................................................... 186
5.1 iNtro duc tioN aux pro blèmes sto chas tiques ...................................... 186
5.2 défi Ni tioN d’uN pro ces sus sto chas tique ............................................ 188
5.3 chaîNes de markov à espace d’états dis cret .................................... 188
5.4 clas si fi ca tioN des états d’uNe chaîNe de markov
fiNie à l’aide du graphe des traN si tioNs ............................................ 191
5.5 pro ces sus de markov à espace d’états dis cret ................................ 197
5.6 pro ba bi li tés des états ....................................................................... 200
5.7 ergodicité .......................................................................................... 202
5.8 cal cul des pro ba bi li tés des états eN régime
per maNeNt–théo rème des coupes........................................................ 204
5.9 pro ces sus de markov par ti cu liers.................................................... 208
5.10 NotioN de pro gram ma tioN dyNa mique
sto chas tique .................................................................................... 216
6 fia bi liTé des coM Po sanTs, sûreTé de fonc Tion ne MenT
des sys TèMes .................................................................................... 228
6.1 doN Nées dis crètes. courbes de sur vie expé ri meN tale ....................... 228
6.2 loi de sur vie : forme aNa ly tique ....................................................... 233
6.3 pro ba bi lité de coNsom ma tioN. appro vi sioN Ne meNts .......................... 237
6.4 cal cul des appro vi sioN Ne meNts ......................................................... 239
6.5 uN autre com pro mis : l’eNtre tieN pré veN tif ..................................... 244
6.6 fia bi lité des sys tèmes NoN répa rables .............................................. 250
6.7 sûreté de foNc tioN Ne meNt des sys tèmes répa rables ......................... 254
6.8 stra té gie de rem pla ce meNt ............................................................... 259
7 les Phé no Mènes d’aTTenTe ............................................................. 270
7.1 géNé ra li tés sur les phé No mèNes d’atteNte ....................................... 270
7.2 loi des arri vées. loi des ser vices ...................................................... 271
7.3 file à uNe sta tioN. sys tème ouvert : file m/m/1 ............................. 272
7.4 file à s sta tioNs, sys tème ouvert : file m/m/s ................................ 278
7.5 appli ca tioN Numé rique ....................................................................... 280
7.6 file à s sta tioNs, cas du sys tème fermé :
file m/m/s/N ..................................................................................... 286
iv
Table des Matières
7.7 pro ba bi lité de dépas ser uNe cer taiNe atteNte :
cas de la file m/m/1 ......................................................................... 289
8 la Pro graM Ma Tion linéaire ........................................................... 297
8.1 exemple de pro gramme liNéaire (pl) – aspect géo mé trique ................ 298
8.2 algo rithme du sim plexe : méthode algé brique,
méthode des tableaux ........................................................................ 307
8.3 dégé Né res ceNces possibles ................................................................ 321
8.4 aspect matriciel ................................................................................. 324
8.5 démar rage de l’algo rithme du sim plexe : pro blème
de la base iNi tiale ............................................................................. 330
8.6 NotioNs sur la méthode révi sée du sim plexe ..................................... 340
8.7 dua lité ............................................................................................... 342
8.8 pro gramme liNéaire eN Nombres eNtiers ; méthode
des troNcatures de gomory .............................................................. 352
9 inTro duc Tion à la Théo rie des jeux ............................................. 367
9.1 uN jeu d’eNfaNt .................................................................................. 367
9.2 jeux à deux per soNNes et à somme Nulle ........................................... 368
9.3 NotioN de stra té gies mixtes ; calcul des frequeNces optimales ...... 372
9.4 autre méthode de cal cul : les pl des joueurs soNt
eN dua lité ........................................................................................... 376
9.5 exemple d’appli ca tioN éco No mique ; domi NaNce d’uNe
stra té gie, réduc tioN d’uN jeu ............................................................ 379
9.6 métho do lo gie d’étude des jeux à deux joueurs
et somme Nulle .................................................................................. 382
10 siMu la Tion ...................................................................................... 384
Toute reproduction non autorisée est un délit. 11111 00000 ..... 24315 dulialNNeeéNtsasf r e i l«or Nxy é diees tsumNeiuoc tpslN trlt tiséeaoa .e . tNtd.si.s e s.. ».. t(..s s..idiq..om..’..uru..u..e tN.. l ...ia ..e.m...s t......)oi...o ...dd...N...è’... u....l....eN........ e....d.... ....es........i ....ms....i....um........ l....u....a.... l.... t....a....i.... to....i....No........ N....e.... t.......... ..... .......................................................................................................................................................................... 333339898834276
Dunod –
©
v
Table des Matières
10.6 Lan gages de simu La tion ................................................................... 398
10.7 ConCLu sion ....................................................................................... 399
11 Méta heu ris tiques en opti Mi sation coM bi na toire ....................... 400
11.1 intro duC tion ................................................................................... 400
11.2 La tâChe impar tie aux méta heu ris tiques ........................................ 401
11.3 La méthode du reCuit simuLé .......................................................... 404
11.4 La reCherChe tabou ........................................................................ 408
11.5 Les aLgo rithmes géné tiques ........................................................... 412
11.6 Les aLgo rithmes de CoLo nies de four mis ........................................ 415
11.7 Les méthodes hybrides .................................................................... 417
12 intro duc tion à l’aide Multi cri tère à la déci sion ................................. 419
12.1 intro duC tion .................................................................................... 419
12.2 Cadre géné raL .................................................................................. 421
12.3 La somme pon dé rée ........................................................................... 427
12.4 méthodes de sur CLas se ment (eLeCtre) ........................................... 429
12.5 opti mi sation muLti objeC tif............................................................... 435
12.6 ConCLu sion ....................................................................................... 440
solu tions des exer cices ...................................................................................... 442
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 1 ............................................................. 442
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 2 ............................................................. 450
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 3 ............................................................. 452
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 4 ............................................................. 457
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 5 ............................................................. 482
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 6 ............................................................. 497
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 7 ............................................................. 514
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 8 ............................................................. 526
soLu tions des exer CiCes du Cha pitre 9 ............................................................. 559
bibliographie générale .......................................................................... 568
index ..................................................................................................... 569
vi
A - P
vAnt roPos
Le « Pré cis de recherche opé ra tion nelle » a été publié pour la prem ière fois en 1968,
puis a fait l’objet de cinq autres édi tions, puis d’une sixième édition en 2009 refon­
due et complétée. En voici une 7e édition révisée.
Cet ouvrage se dis tingue prin ci pa le ment par son carac t ère pédag o gique très mar ­
qué, par son souci de replac er l’exposé des prin ci pales méthodes de la recherche
opé ra tion nelle dans un contexte appli q ué. Il a connu, depuis sa prem ière ver sion, une
très large dif fu sion qui en a fait un vect eur pri vi lé gié d’ini tiation et de for ma tion à la
recherche opé ra tion nelle pour des génér a tions d’étud iants, d’ingén ieurs, de cadres.
Aussi nous a­ t­il semb lé impor tant de l’actua l i ser pour lui per mettre de conti n uer
d’assu rer cette mis s ion.
Ce livre peut être abordé par un large public : il pri vi lé gie un lan gage d’expli ca ­
tion natu relle, en évit ant, sous pré texte de rigueur aca dé mique, un exposé par trop
abs trait s’appuyant sur un for ma lisme mathéma t ique ou un jar gon qui ne le ren drait
que beau coup plus dif fi ci le ment acces s ible.
Il comporte plu sieurs niveaux de lec ture, les para graphes les plus « poin tus »
ayant été plac és en fin de cha pitre. Ainsi convient- il tout à fait à une découv erte de
la R.O., comme on la pra tique en deuxième ou troi sième année de l’ensei gne ment
supé r ieur. Il est acces sible à des lec t eurs dont la for ma tion de base est variée, pas
néces sair e ment spé cia li sés en mathéma t iques et/ou en infor m a tique.
Certes la dif fus ion, désorm ais large, de logic iels intég rant les méthodes ici décri­
tes, faci lite et accé lère l’appli ca tion de la R.O. par l’ingé nieur dans l’entre prise, mais
encore faut­i l pour mieux les util is er connaître les méthodes qui les sous­t endent : nous
expo sons ici les prin ci pales. Il convient aussi d’apprendre à formuler, modéliser les
problèmes concrets que peut rencontrer l’ingénieur.
Le souci des auteurs, pour la prés ente édit ion, a été de moder ni ser et de complé­
ter le contenu de ce manuel, tout en conser vant le carac t ère péda go gique. Depuis les
pre mières édi tions, l’algo rith mique a connu et conti nue de connaître de nom breux
pro grès. Ainsi dans le domaine de la complexité des algo rithmes et des pro blèmes
(qu’ils soient polyn o miaux ou bien « NP­ complets »), avec l’approximabilité des
pro blèmes dif fi ciles, avec la démonst ra tion du carac tère poly no mial de la pro gram -
ma tion linéaire (même si les algor ithmes poly no miaux de réso lu tion des pro grammes
linéaires, les « méthodes inté rieures », sortent du cadre de cet ouvrage) ; les avan cées
dans les struc tures de don nées et les algor ithmes de « par cours des graphes » ont
per mis de construire des algo rithmes de faible complexité résolv ant des pro blèmes
clas siques tant de théor ie des graphes non valués (connexité, forte connexité, etc.)
que d’opti mi sation dans les graphes valués. Dans le domaine sto chas tique (aléa ­
toire), on a assisté notam ment au déve lop pe ment de la sûreté de fonc tion ne ment des
sys tèmes et de l’éva l ua tion de leurs per f or mances.
Nous avons eu le souci de pré sen ter des méthodes spéc i fiques qui sont éprou vées,
opé ra tion nelles. En fin d’ouvrage le lec t eur trou vera trois cha pitres trai tant de mé­
thodes géné rales de réso lu tion de pro blèmes : d’une part un cha pitre sur les tech niques
de simu la tion, d’autre part un chap itre sur les méta­ heuristiques (recuit simulé, tabou,
algo rithmes géné tiques, colonies de fourmis, etc.) qui perm ettent à l’ingén ieur
d’obte nir rapi de ment une pre mière solu tion (géné ra le ment sous­ optimale) au pro ­
blème de R.O. qu’il doit trai t er (sou vent en un temps bien limité !), enfin un chap itre
consa cré à l’aide à la prise de décis ion face à plu sieurs cri tères (ana lyse multi c ri ­
tère).
Nous nous sommes gar dés du souci d’exhaus ti vité qui aurait conduit à un ouvrage
plé tho rique, pour nous limit er aux bases de la disc i pline et à ses pro blèmes cen traux.
Aussi des domaines, tels que : les SIAD (sys tèmes inter ac tifs d’aide à la déci sion),
les réseaux de Petri, les bases de la pro gram ma tion non linéaire, la pro gram ma tion
convexe, les méthodes polyédrales, ne sont pas abord és ici ; tou te fois leurs prérequis
y sont déve lopp és. Dans le domaine des graphes nous ne trai tons pas direc t e ment
cer tains pro blèmes avan cés (emplois du temps, tour nées de véhi cules, affect a tions
de res sources et de fré quences en télé communications, etc.), même si les modèles et
algo rithmes pré s en tés ici peuvent contri b uer à leur réso l u tion.
Nous serons tout à fait satisf aits si ce livre est jugé, par ses lect eurs, comme
appro prié à son but, qui est de trans mettre des connaiss ances et de four nir une ouver ­
ture d’esprit sur la modél i sa tion et l’opti m i sation appli q uées. Nous espér ons aussi
qu’il les inci t era à un appro f on dis se ment !
Pr B. LEMAIRE Pr C. PICOULEAU
[email protected] [email protected]
viii
I
ntroductIon

à la recherche

opératIonnelle
À pre mière vue, la recherche opér a tion nelle est un ensemble de techn iques récentes,
datant tout au plus de la Seconde Guerre mon diale. Et, en fait, c’est bien à son appli­
ca tion aux opé ra tions milit aires qu’elle doit son nom.
En réa lité, elle est bien plus ancienne, car, dès le xvii e siècle, Blaise Pas cal et
Pierre de Fermat, inven teurs de la notion d’espé rance mathéma tique (1654), cher­
c haient, sui vis de peu par Jacques Bernoulli puis Waldegrave, à résoudre des pro ­
blèmes de déci sion dans l’incer tain. Avant la fin de l’ancien régime, Gaspard Monge
s’était pro posé et avait résolu anal y ti que ment un pro blème éco no mique de nature
com bi na toire : celui des déblais et remb lais (1776). Sous la monarc hie de Juillet,
Augustin Cournot s’était atta qué à la théo rie mathéma tique des richesses (1838),
deve nant ainsi le pré cur seur de l’éco no mé trie. Au début du xx e siècle, Emile Borel
intro dui sait la théo rie mathéma tique des jeux, sous sa forme moderne, à l’Aca dé mie
des Sciences (1921­1925), tand is qu’Erlang fon dait celle des files d’attente, qu’il uti­
li sait à la concep t ion des réseaux télép ho niques (1917). Enfin, à la veille de la guerre
1939­1945, Leonid Kantorovitch concev ait et appli quait la pro gram ma tion linéaire
à la pla n i fi ca tion, peu après que Dénes König eut sys t é ma tisé les graphes (1936).
On peut donc dire que, lorsque le phys i cien anglais Patrick Blackett fut, en 1940,
appelé à dirig er la prem ière équipe de chercheurs opé ra tion nels, d’illustres devan ­
ciers l’avaient pré cédé. Cepen dant, Blackett eut l’immense mérite de trouv er, notam­
ment, l’organ i sa tion lui per met tant de trai t er rapi dem ent et avec suc cès les diffi ciles
ques t ions telles que l’implant a tion opti male des radars de sur veillance des côtes bri­
tan niques ou encore de la prot ec tion des convois de navires marc hands reliant la
Grande Bretagne et les États­Unis, qui devaient jouer un rôle déter mi nant dans la
bataille d’Angleterre. L’effi ca cité de son entre prise était due aux trois faits sui vants :
l’équipe qu’il avait ras sem blée était très hété ro gène (autre ment dit elle ras sem blait
des comp é tences variées, com plé men taires ; ainsi, les points de vue qu’elle exprim ait
étaient plus per ti nents) ; aucune infor ma tion (même secrète) ne fut jugée trop noble
Introd uc tion à la recherche opé r a t ion nelle
pour échap per à sa comp é tence : les don nées, néces saires à ses études, étaient com­
plètes et fiables ; enfin il réserv ait la déci sion à l’état­major (il n’y eut pas de subs ti ­
tution de pou voir : son équipe ne s’est pas arrogé le pou voir de déci sion. L’ami rauté
bri tan nique rest ait libre d’adop ter les conclu sions des trav aux de Blackett et de son
équipe, ou bien de les reje t er). Ces règles s’appliquent encore aujourd’hui, et font
par tie de la déon t o lo gie de la recherche opé r a tion nelle d’entre p rise.
Dès la fin des hos ti li tés, furent tent és de nom breux essais d’appli ca tion à l’éco n o ­
mie indust rielle des méthodes jus qu’alors éprou vées seulem ent par les états­m ajors
alliés. Depuis les années cin quante, nombre de public a tions scien ti fiques et tech ­
niques témoignent de leur réuss ite et de leurs heu r eux déve lop pe ments.
C’est pour quoi l’on peut légi ti mement se demander pour quoi l’appa ri tion de la
recherche opé ra tion nelle d’entreprise a été si tard ive. Il est bon de citer ici quelques­
unes des prin ci pales rai s ons de cette nais s ance labo r ieuse :
a) les modèles mathémat iques qui ont, de longue date, conquis la phy sique et, peu
à peu, bien d’autres sciences expér i men tales, n’ont pas été accep t és d’emblée par
les spé cia listes des sciences écon o miques, par ti cu liè re ment de la micro­é conomie et
sur tout de l’éco no mie d’entre prise. Il ne faut pas méconnaître que les éco no mistes
avaient quelques rai sons de sus pec t er des modèles inertes, simp listes, rigides et abs ­
traits, d’être peu propres à repré sen ter le milieu vivant, com plexe, flexible et ter ri ­
ble ment concret de l’éco no mie. Tou te fois, dès que la connais sance éco no mique fut
suf fi sam ment avan cée et consen tit à se parer du nom de science, il fal lut bien se ren­
dre à l’évi dence : comme dans toutes les autres sciences expér i men tales, parv e nues
à une cer t aine matu r ité, le recours à la mathémat ique était incontour n able ;
b) c’est seule ment à par tir des années cin quante que les pro blèmes éco no miques sont
deve nus irré mé dia ble ment com plexes, en rai son de la taille crois sante des firmes et
de l’intric a tion extraor d i naire des liens qui les unissent entre elles ;
c) enfin, les acquis théor iques de la recherche opér at ionn elle ne seraient rien sans la puis­
sance de cal cul : les ordi na teurs sont indis pen sables pour résoudre les pro blèmes dans la
prat ique. Or, les prem iers ordin at eurs n’ont été comm erc ial is és qu’en 1955­1956.
À ce pro pos, il peut être utile de remar q uer qu’il en va de la recherche opér a tion ­
nelle comme des ordi na teurs. Ces dern iers ont sus cité des espoirs déme s u rés ou des
craintes infond ées. Il faut répét er que la machine doit être consi dé rée comme un ins ­
tru ment, un outil au ser vice de son créa teur : l’homme. Il faut se per sua der que lors­
que l’on confie à une machine l’exé cu tion d’opér a tions qui, naguère encore étaient
l’apa nage de l’esprit humain, le carac tère de cette besogne se trans forme, du même
coup, radi ca le ment : le tra vail intel l ec tuel devient un simple tra vail d’exéc u tion. Il
n’y a donc aucune chance qu’une machine dépasse un jour son auteur, bien qu’il
n’y ait pas d’impos si bi lité à ce qu’elle démontre une conjec t ure, voire découvre un
théo rème inconnu (par une com bi nai son logique inat t en due...). De la même manière,
la recherche opé ra tion nelle est l’auxi liaire de la déci sion humaine : elle lui est, par
essence, subor don née et il n’existe pas plus de chance qu’elle la supp lante un jour.
C’est pour quoi on consi dère sou vent que la recherche opér a tion nelle est une com po ­
sante majeure de l’aide à la déci s ion.
x