Table Of ContentCollection dirigée par
Charles-Michel Marie
Philippe Pilibossian
Précis d’analyse réelle
Analyse fonctionnelle
Intégrale de Lebesgue
Espaces fonctionnels
Vîlmos Komornik
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M athématiques pour le 2® cycle
Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian
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récis
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d a n a ly se réelle
Analyse fonctionnelle
Intégrale de Lebesgue
Espaces fonctionnels
(volume 2)
Vilmos KOMORNIK
Professeur à l'Université Louis Pasteur (Strasbourg)
Présentation de la Collection
Mathématiques pour le deuxième cycle
Depuis 1997, cette collection se propose de mettre à la disposition des étudiants
de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant Vessentiel des
programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront
être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux
élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement
la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des
démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels.
Dans cet ouvrage en deux volumes, le quinzième de la collection, Vilmos Komornik
présente les bases de l'Analyse réelle. Le lecteur trouvera dans le premier volume
les notions essentielles de Topologie de de Calcul différentiel que tout étudiant
en mathématiques doit acquérir, ainsi qu'une introduction à l'Analyse numérique.
Ce second volume présente les bases de l'Analyse fonctionnelle, expose de manière
très complète la théorie de l'intégrale de Lebesgue et traite des espaces fonctionnels
les plus fréquemment employés. L'auteur a recherché, avec beaucoup de soin, les
références aux travaux dans lesquels les concepts et résultats aujourd'hui classiques
ont été présentés pour la première fois. En plaçant les théories actuelles dans la
perspective de leur développement historique, il en a donné une présentation parti
culièrement assimilable et attrayante, tout en montrant que les mathématiques
sont une science vivante, en constante évolution. Le présent ouvrage, aisément
accessible aux mathématiciens débutants, est particulièrement riche; le lecteur
y trouvera nombre de résultats rarement inclus dans les ouvrages de second
cycle, comme par exemple l'étude approfondie des relations entre intégration et
dérivation (formule de Newton-Leibniz généralisée) et les propriétés des espaces
LP pour 0 <p <1.
Les sujets traités ont été très judicieusement choisis, pour leur intérêt propre,
leur importance ou leurs liens avec d'autres branches des mathématiques. On doit
encore saluer la très grande élégance de nombreuses démonstrations. L'ouvrage
rendra certainement service aux étudiants de licence et de maîtrise, aux candidats
au CAPES et à l'Agrégation, ainsi qu'aux mathématiciens confirmés et aux
historiens des mathématiques.
Charles-Michel Marie Philippe Pilibossian
ISBN 2-7298-1067-6
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2002
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et
non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes cita
tions dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou
partielle faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite »
(Art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefa
çon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.
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Avant-propos
Ce livre est la suite d’un premier volume consacré à la Topologie, au Calcul différentiel
et à certaines Méthodes d’approximation, mais il n’utilise que des résultats de base de
la Topologie, exposés dans presque n’importe quel texte d’introduction'. On étudie ici
L’analyse fonctionnelle. L’intégrale de Lebesgue, et certains Espaces fonctionnels im
portants. Les trois parties du livre correspondent à trois cours semestriels de Maîtrise de
mathématiques, avec des compléments optionnels.
Comme dans le volume I, nous avons essayé de fournir un texte relativement court qui
contient les bases essentielles. Nous avons fait beaucoup d’efforts concernant la sélection
des sujets étudiés, le choix d’énoncés esthétiques et généraux, la recherche de preuves
courtes et élégantes, et les illustrations par des exemples simples et pertinents.
Une particularité du livre est que nous indiquons les sources originales de la plupart
des notions et résultats traités. Au lieu de nous prononcer sur des questions de priorité,
nous signalons en général plusieurs articles dans la bibliographie à la fin de chaque partie,
pour inciter le lecteur à les consulter directement. Ils contiennent souvent des versions
différentes des théorèmes, illustrant aussi l’évolution des idées.
Les parties 1 et 2 sont largement indépendantes, tandis que la partie 3 utilise les
résultats des deux parties précédentes. Nous conseillons d’omettre, en première lecture,
tous les résultats, paragraphes et chapitres, marqués par un astérisque* ; le reste du texte
correspond au matériel effectivement enseigné. Le texte additionnel contient aussi de
nombreux exemples et contre-exemples importants, souvent difficiles à localiser dans la
vaste littérature. Un grand nombre d’exemples et remarques peuvent aussi être traités
comme exercices.
Sur la page vii, nous donnons une liste d’articles variés, dont la consultation permettra
au lecteur d’élargir ses connaissances mathématiques au-delà de l’horizon restreint de
notre ouvrage.
Je remercie tous mes amis qui m’ont encouragé à rédiger ces notes, et de nombreux
collègues, en particulier P. Loreti, Ch.-M. Marie, P. Martinez et J. Vancostenoble, pour
leur aide précieuse.
Je dédie ce volume à la mémoire de mon père. Sa vie m’a servi de modèle, et il
continuera de vivre dans mon coeur.
Budapest, le 6 janvier 2002.
’ La seule exception est l’application occasionnelle des filets, suites généralisées, équivalents aux filtres.
Table des matières
Avant-propos............................................................................................................. iii
Bibliographie............................................................................................................. vii
Partie 1. Analyse fonctionnelle................................................................................... 1
Chapitre 1. Espaces de Hilbert.................................................................................. 3
1.1. Définition et exemples.................................................................................. 3
1.2. Orthogonalité .............................................................................................. 8
1.3. Séparation d’ensembles convexes................................................................ ]]
1.4. Bases orthonormées...................................................................................... 15
1.5. Convergence faible. Théorème du choix....................................................... 19
' 1.6. Opérateurs continus et compacts ................................................................. 23
1.7. Théorème spectral de Hilbert....................................................................... 26
1.8. * Cas complexe............................................................................................ 30
Chapitre 2. Espaces de Banach............................................................................... 33
2.1. Espaces normés............................................................................................ 33
2.2. Séparation d’ensembles convexes................................................................ 36
2.3. Théorème de prolongement......................................................................... 41
2.4. Les duals des espaces (P............................................................................... 43
2.5. Convergence faible. Théorème de Banach-Steinhaus.................................. 45
2.6. Espaces réflexifs. Théorème du choix.......................................................... 50
2.7. Espaces réflexifs. Applications géométriques.............................................. 54
2.8. * Opérateurs continus et compacts ............................................................. 57
2.9. * Théorie de Fredholm-Riesz...................................................................... 59
2.10. * Applications ouvertes et graphes fermés................................................. 65
2.11. * Cas complexe........................................................................................... 68
Chapitre 3. Espaces convexes.................................................................................. 71
3.1. Familles de seminormes............................................................................... 72
3.2. Théorèmes de séparation et de prolongement............................................. 74
3.3. Théorème de Krein-Milman......................................................................... 76
3.4. * Topologie faible........................................................................................ 78
3.5. * Topologie faible étoile............................................................................... 81
3.6. * Espaces réflexifs........................................................................................ 84
3.7. * Espaces vectoriels topologiques................................................................ 85
Bibliographie............................................................................................................. 89
Partie 2. Calcul intégral........................................................................................ 95
Chapitre 4. * Fonctions monotones......................................................................... 97
4.1. * Continuité. Ensembles dénombrables...................................................... 97
4.2. * Dérivabilité. Ensembles négligeables................................................... . 99
Table des matières
4.3. * Fonctions de sauts.....................................................................................102
4.4. * Preuve du théorème de Lebesgue.............................................................105
4.5. * Fonctions à variation bornée......................................................................108
Chapitre 5. Intégrale de Lebesgue sur M ................................................................109
5.1. Fonctions en escalier.....................................................................................110
5.2. Fonctions intégrables .....................................................................................113
5.3. Théorème de Beppo L evi...............................................................................115
5.4. Théorèmes de Lebesgue, Fatou et Riesz-Fischer...........................................117
5.5. * Fonctions et ensembles mesurables..........................................................121
Chapitre 6. * Formule généralisée de Newton-Leibniz...........................................125
6.1. * Continuité absolue........................................................................................126
6.2. * Primitives.....................................................................................................129
6.3. * Intégration par parties et changement de variable........................................133
Chapitre 7. Intégrale dans des espaces mesurés..........................................................135
7.1. Mesures...........................................................................................................135
7.2. Intégrale associée à une mesure finie.............................................................139
7.3. Espaces produit : théorèmes de Fubini et Tonelli...........................................142
7.4. * Intégrale généralisée. Prolongement de mesures........................... 146
7.5. Mesures signées. Décompositions de Hahn et Jordan.....................................151
7.6. Théorème de Radon-Nikodÿm.........................................................................154
7.7. Changement de mesure. Décomposition de Lebesgue ..................................159
Bibliographie.................................................................................................................163
Parties. Espaces fonctionnels................................................................................167
Chapitres. Espaces de fonctions continues.............................................................169
8.1. Théorèmes d’approximation de Weierstrass . .................................................171
8.2. * Théorème de Stone-Weierstrass...................................................................175
8.3. Ensembles compacts. Théorème d’Arzelà-Ascoli...........................................178
8.4. Divergence de séries de Fourier......................................................................179
8.5. Sommabilité des séries de Fourier: théorème de Fejér..................................181
8.6. * Théorèmes de Korovkine. Polynômes de Bernstein.....................................183
8.7. * Théorèmes de Kharshiladze-Lozinski, Nikolaev et Faber............................186
8.8. * Espace dual. Théorème de représentation de Riesz.....................................190
8.9. Convergence faible...........................................................................................196
Chapitre 9. Espaces de fonctions intégrables..........................................................197
9.1. Les espaces U’, 1 < p < o o ............................................................................197
9.2. * Ensembles compacts.....................................................................................204
9.3. * Convolution.................................................................................................206
9.4. Convexité uniforme........................................................................................208
9.5. Réflexivité.......................................................................................................212
9.6. Les duals des espaces D’ ...............................................................................214
9.7. Convergence faible et faible étoile.................. 217
Chapitre 10. Convergence presque partout................................................................219
10.1. Les espaces I/,! <p < o o ..........................................................................219
10.2. Les espaces 0 < p < 1 .............................................................................221
10.3. Les espaces L®..............................................................................................226
10.4. Convergence en mesure .................................................................................228
VI Table des matières
Bibliographie................................................................................................................235
Index terminologique et notations ...............................................................................241
Index des noms.............................................................................................................245
Liste de mathématiciens cités........................................................................................247
Bibliographie
Tu dois rejeter cela comme la plus turpide liaison, car cela risque d'emporter tous tes loisirs, ta santé,
ta paix et toutes les Jouissances de la vie. Ce gouffre de ténèbres pourrait sans doute engloutir mille
géants semblables à Isaac Newton...
F. Bolyai à son fils, pour le dissuader de l’étude des parallèles, le 4 avril 1820.
[1 ] G. D. Birkhoff, What is the ergodic theorem?, Amer. Math. Monthly 49 (1942), 222-226.
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[51] L. Zalcman, Real proofs of complex theorems (and vice versa). Amer. Math. Monthly 81 (1974), 115-
137.
J*ai du néant tiré un nouvel univers.
J. Bolyai à son père, le 3 novembre 1823.
Partie 1
Analyse fonctionnelle
