Table Of Content

Precalculus Prerequisites a.k.a. ‘Chapter 0’ by Carl Stitz, Ph.D. Jeff Zeager, Ph.D. Lakeland Community College Lorain County Community College August 16, 2013 Table of Contents 0 Prerequisites 1 0.1 Basic Set Theory and Interval Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.1.1 Some Basic Set Theory Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.1.2 Sets of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.2 Real Number Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 0.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0.3 Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0.3.1 Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0.3.2 Linear Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 0.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 0.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 0.4 Absolute Value Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 0.4.1 Absolute Value Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 0.4.2 Absolute Value Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 0.4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 0.4.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 0.5 Polynomial Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 0.5.1 Polynomial Addition, Subtraction and Multiplication. . . . . . . . . . . . . . 61 0.5.2 Polynomial Long Division. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 0.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 0.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 0.6 Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 0.6.1 Solving Equations by Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 0.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 0.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 0.7 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 0.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 0.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 0.8 Rational Expressions and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 iv Table of Contents 0.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 0.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 0.9 Radicals and Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 0.9.1 Rationalizing Denominators and Numerators . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 0.9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 0.9.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 0.10 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 0.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 0.10.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 1 Relations and Functions 137 1.1 Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . 137 1.1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1.1.2 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1.1.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.1.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1.2.1 Graphs of Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 1.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 1.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1.3 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.4 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 1.4.1 Modeling with Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 1.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 1.4.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1.5 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 1.6 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 1.6.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 1.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 1.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 1.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 1.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 1.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2 Linear and Quadratic Functions 283 2.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Table of Contents v 2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 2.4 Inequalities with Absolute Value and Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . 341 2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 2.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 3 Polynomial Functions 369 3.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 3.2 The Factor Theorem and the Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 3.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . 404 3.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . 407 3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 3.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . 421 3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 4 Rational Functions 437 4.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 4.3 Rational Inequalities and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 4.3.1 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 4.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 4.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 vi Table of Contents 5 Further Topics in Functions 495 5.1 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 5.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 5.2 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 5.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 5.3 Other Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 6 Exponential and Logarithmic Functions 553 6.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 553 6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 6.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 6.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 6.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 6.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 6.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 6.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 6.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 607 6.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 6.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 6.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 6.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 7 Hooked on Conics 633 7.1 Introduction to Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 7.2 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 7.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 7.3 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 7.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 7.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 7.4 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 7.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 7.5 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 7.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 Table of Contents vii 7.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 8 Systems of Equations and Matrices 689 8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 8.3 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 8.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 8.4 Systems of Linear Equations: Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 8.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 8.5 Determinants and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 8.5.1 Definition and Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 8.5.2 Cramer’s Rule and Matrix Adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 8.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 8.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 8.6 Partial Fraction Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 8.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 8.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 8.7 Systems of Non-Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 8.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 8.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 9 Sequences and the Binomial Theorem 793 9.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 9.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 9.2 Summation Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 9.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815 9.3 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816 9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 9.3.2 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Table of Contents. 0 Prerequisites. 1. 0.1. Basic Set Theory and Interval Notation . 3. 0.1.1 Some Basic Set Theory Notions .
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About Precalculus Prerequisites aka 'Chapter 0'

Table of Contents. 0 Prerequisites. 1. 0.1. Basic Set Theory and Interval Notation . 3. 0.1.1 Some Basic Set Theory Notions .

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Author:Unknown
Publication Year:2013
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