Praktische Winke zum Studium der Statik: Grundlagen · Anwendungen · Rechenkontrollen

231 Pages·1957·9.18 MB·German

by  Dr.-Ing. habil Ernst Kohl (auth.)

Praktische Winke
zum Studium der Statik
Praktische Winke
zum
Studium der Statik
Grundlagen· Anwendungen· Rechenkontrollen
Von
Ernst Kohl
Dr.-Ing. habil.
o. Professor an der Technischen HochschnJe Brannschweig
Mit 208 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin f Göttingen I Heidelberg
1957
ISBN-13: 978-3-642-49078-1 e-ISBN-13: 978-3-642-94707-0
DOJ: 10.1007/978-3-642-94707-0
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© by Springer-Verlag OHG., Berlin I Göttingen I Heidelberg 1957
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1957
Vorwort
Unter dem Titel "Praktische Winke zum Studium der Statik
und zur Anwendung ihrer Gesetze" erschien erstmalig im Jahre 1910
und in vierter Auflage 1923 das Buch von ROBERT ÜTZEN, Geh. Reg.
Rat und Professor an der Technischen Hochschule Hannover, welches
meinen Konsemestern aus der Zeit nach dem ersten Weltkrieg noch
gut in Erinnerung sein wird. Der Springer-Verlag erwog schon vor
einigen Jahren eine Neuauflage bzw. Neubearbeitung, doch mußte
dieser Gedanke bald aufgegeben werden, da ein völlig neues Buch zu
erwarten war, wenn der Entwicklung der Statik in vier Jahrzehn
ten Rechnung getragen werden sollte. Auch das schien etwas gewagt,
da nach dem zweiten Weltkrieg bereits eine Reihe recht guter Lehr
bücher über Statik erschienen ist. Wie aber schon in dem beibehal
tenen Titel "Praktische Winke" zum Ausdruck kommt und auch die
Gliederung des Stoffes erkennen läßt, soll es sich nicht um ein Lehr
buch der Statik im üblichen Sinne handeln.
Bei dem vorgesehenen Umfang konnten unmöglich alle Gebiete in
dem Maße berücksichtigt werden, wie man es von einem Lehrbuch
erwartet. So wurde u. a. die Auflösung der Elastizitätsgleichungen
recht kurz behandelt, und zu den Einflußlinien statisch unbestimmter
Tragwerke sind nur einige allgemeine Hinweise gegeben worden, ohne
auf ihre Ermittlung im einzelnen einzugehen. Vorausgesetzt werden
Kenntnisse, über die der Studierende nach den Vorlesungen über
Mechanik und Festigkeitslehre der ersten Semester hinreichend verfügt.
Die Darstellung ist z. T. recht knapp und beschränkt sich häufig
auf das Grundsätzliche. An manchen Stellen ist auf eine strenge Be
weisführung verzichtet und einer mehr anschaulichen Begründung der
Vorzug gegeben worden. Andererseits wurde Wert darauf gelegt, ins
besondere bei statisch unbestimmten Tragwerken, verschiedene Wege
der Lösung aufzuzeigen und ihre Zusammenhänge zu beleuchten, um
dadurch ein tieferes Verständnis und Eindringen in die Grundlagen
zu ermöglichen. Aus diesem Grunde werden auch - im Gegensatz
zu dem in den Lehrbüchern üblichen Aufbau - die Einflußlinien
statisch bestimmter Tragwerke gleichzeitig in ihrer analytischen und
kinematischen Ermittlung betrachtet. Aufgaben, deren Lösung in vie
len Fällen recht ausführlich behandelt wird, sollen die Anwendung
VI Vorwort
der Grundlagen vermitteln und deren Verständnis erleichtern. Die
Beispiele wurden so gewählt, daß an ihnen die verschiedenen Lösungs
möglichkeiten gut verglichen werden können.
Da die besten Formeln nichts nützen, wenn sie falsch angewendet
werden oder wenn Rechenfehler unterlaufen, wurde besonderer Wert
darauf gelegt, immer wieder auf Möglichkeiten von Rechenkontrollen
hinzuweisen und diese auch an den behandelten Beispielen durch
zuführen.
Als Beispiel für die Berechnung nach der Theorie zweiter Ordnung
wurde der querbelastete Balken mit Längskraft behandelt und gezeigt,
wie sich über Differenzenrechnung und w-Gewichte äußerst einfache
Formeln für die Maximalmomente ableiten lassen. Im letzten Ab
schnitt werden für räumliche Tragwerke beliebiger Gliederung allge
meine Stabilitätsbedingungen mitgeteilt, wie sie sich in Analogie zu
den für ebene Tragwerke geltenden Gleichungen aufstellen lassen.
Dem Springer-Verlag bin ich für die angenehme Zusammenarbeit
und die gute Ausstattung des Buches zu besonderem Dank verpflichtet.
Braunschweig, im November 1956
E. Kohl
Inhaltsverzeichnis
Seite
I. Die Stabilitäts bedingungen ebener Tragwerke und ihre An-
wendung. . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Die Glieder eines Tragwerkes. . . . . . 1
2. Die innere Stabilität ebener Tragwerke . 2
3. Die äußere Stabilität ebener Tragwerke . 5
4. Kinematische Bedingungen der Stabilität . 11
11. Die Aufgaben der Statik . 14
5. Die Gleichgewichtsaufgabe 14
6. Die Formänderungsaufgabe 16
7. Das Superpositionsgesetz . 21
IH. Die Lösung der Gleichgewichtsaufgabe . 22
8. Die Gleichgewichtsbedingungen 22
9. Das Gleichgewicht der äußeren Kräfte 22
10. Die Stabkräfte des Fachwerkes. . 25
11. Beispiele. . . . . . . . . . . . 31
12. Die Schnittgrößen des biegesteifen Stabes 36
13. Beispiele. . . . . . . . . . . . 39
14. Beziehungen zwischen Belastung, Querkraft und Biegemoment
und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
15. Lastenumordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
16. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und seine Anwendung 50
17. Beispiele . . . . . . . . 55
IV. Einflußlinien . . . . . . . 60
18. Allgemeine Betrachtungen . 60
19. Balken auf zwei Stützen . 63
20. Durchlaufbalken mit Gelenken. 79
21. Dreigelenkbogen, Stabbogen- und Hängetragwerke . 82
V. Die Lösung der Formänderungsaufgabe. . . . . 92
22. Die Arbeitsgleichung und ihre Anwendung. Belastungseinheiten 92
23. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
24. Auswertung der Arbeitsgleichung. Elastische Gewichte 98
25. Der MAxWELLsche Satz . . . . . . . . . . 105
26. Die BiegeIinie. w-Gewichte . . . . . . . . . . 106
27. Beispiele von BiegeIinien vollwandiger Balken. . 110
28. Die BiegeIinie rahmenartiger Tragwerke. Beispiel 116
29. Die BiegeIinie des Fachwerkes. . '.' . 121
VI. Querbelastete Balken mit Längskraft 123
30. Lösung durch Iteration ..... 123
31. Lösung der Differentialgleichung . 125
32. Lösung durch Differenzenrechnung 127
VIII Inhaltsverzeichnis
Seite
VII. Statisch unbestimmte Tragwerke. . 131
33. Kennzeichen der statischen Unbestimmtheit 131
34. Lösungsmöglichkeiten . . . . . . . . . 134
35. Aufstellung der Elastizitätsgleichungen 138
36. Der eingespannte Balken . . . . . . . 141
37. Formänderungen als Unbekannte 146
38. Behandlung von Sonderfällen. Statisch unbestimmte Hauptsysteme 149
39. Grundlagen des Momenten- und Drehwinkelausgleichs 170
40. Momenten- und Drehwinkelfestpunkte . . . . . . . 176
41. Allgemeine Lösung der Elastizitätsgleichungen . . . . 192
42. Elastizitätsgleichungen gegenseitiger Unabhängigkeit. 200
43. Einflußlinien statisch unbestimmter Tragwerke 215
VIII. Stabilität räumlicher Tragwerke. 218
44. Bedingungen der inneren Stabilität 218
45. Bedingungen der äußeren Stabilität 221
Sach verzei chnis . . . . . . . . . . . . 223
I. Die Stabilitäts bedingungen ebener Tragwerke
und ihre Anwendung
1. Die Glieder eines Tragwerkes
Die Stabilitätsbedingungen geben Aufschluß über die zur inneren
oder äußeren Stabilität erforderliche Anzahl von inneren bzw. inneren
und äußeren Gliedern eines Tragwerkes. Sie können hergeleitet werden
aus kinematischen Überlegungen oder durch Vergleich der Zahl der
unbekannten statischen Größen, die in den Gliedern eines Tragwerkes
auftreten, mit der Anzahl der zu ihrer Ermittlung zur Verfügung stehen
den Gleichgewichtsbedingungen.
Innere Glieder eines Tragwerkes sind die einfachen Stäbe mit gerader
Stabachse, die lediglich Zug- und Druckkräfte aufnehmen können,
ferner die biegesteifen Stäbe mit gerader oder gekrümmter Stabachse
und die steifen Ecken. Äußere Glieder sind die Stützungen und Ein
spannungen, über die die angreifenden Lasten auf die das 'rragwerk
stützenden Bauglieder - Widerlager, Pfeiler, Fundamente - abgege
ben werden.
Innere statische Größen - auch Schnittgrößen oder Spanngrößen
genannt - sind in einfachen Stäben die Stabkräfte S, in biegesteifen
Stäben und steifen Ecken die Längs- oder Normalkräfte N, die Biege
momente M und die Querlcräfte Q. Außere statische Größen sind die
Stützkräfte 0 und die Einspannmomente E.
Die Aufgabe der Statik besteht einmal in der Ermittlung der in den
Gliedern eines Tragwerkes auftretenden statischen Größen (Gleichge
wichtsaufgabe), zum andern in der Ermittlung der Formänderungen
des Tragwerkes (Formänderungsaufgabe). In der Gleichgewichtsauf
gabe stellt jeder einfache Stab, jede Stützung und jede Einspannung
eine Unbekannte, jeder biegesteife . Stab des ebenen Tragwerkes drei
Unbekannte und jeder biege- und torsionssteife Stab des räumlichen
Tragwerkes sechs Unbekannte, da hier zu der Normalkraft die Biege
momente um zwei Querschnittsachsen, die beiden Querkräfte für diese
Achsrichtungen und ein Torsions- oder Drillmoment um die Stabachse
hinzutreten.
Jede Stütze ist in der Lage, im gestützten Knotenpunkt (dem Auf
lager) eine Kraft in bestimmter Wirkungslinie zu übertragen; sie kann
durch einen Stützstab ersetzt werden, dessen Achse mit dieser Wirkungs-
1 Kohl, Prakt. Winke
2 Die StabHitätsbedingungen ebener Tragwerke und ihre Anwendung
linie zusammenfällt. Ist in dem gestützten Punkt nur eine Stütze vor
handen, so liegt ein bewegliches Lager des ebenen Tragwerkes, ein
Flächenlager des räumlichen Tragwerkes vor. Zwei Stützungen eines
Knotenpunktes ergeben ein festes Lager des ebenen, ein Linienlager des
räumlichen Tragwerkes mit zwei Unbekannten. Drei Stützungen eines
Knotenpunktes, deren Wirkungslinien nicht in einer Ebene liegen,
bilden ein festes Lager des räumlichen Tragwerkes mit drei Unbekann
ten. Mit einer Einspannung eines biegesteifen Stabes, durch die ein
Einspannmoment in bestimmter Ebene übertragen werden kann, ist in
den meisten Fällen ein festes Lager verbunden, so daß dann beim ebenen
Tragwerk drei Unbekannte vorliegen. Im Raume können zu drei
Stützungen noch drei Einspannungen treten, womit sich sechs Unbe
kannte ergeben. In den Stützpunkten können Verschiebungen und Ver
drehungen bestimmter Größe eintreten. Ist ihre Größe mit den Stütz
wirkungen veränderlich, so liegt elastische Stützung vor.
2. Die innere Stabilität ebener Tragwerke
Jede starre Scheibe erfüllt die Bedingung der inneren Stabilität,
daß die Knotenpunkte ihre gegenseitige Lage nur bei einer Änderung
der Abmessungen der inneren Glieder ändern
können. Die starre Scheibe kann aus 8 einfachen
Stäben gebildet werden, die in k Knotenpunkten
durch reibungslose Gelenke miteinander verbun
den sind. Die Zahl der notwendigen Stäbe einer
solchen Fachwerkscheibe beträgt
8>2k-3. (1)
Ist 8 > 2k - 3, also 8 = 2k - 3 + n, so liegt
Abb.l
innere statische Unbestimmtheit vor, da n über
zählige Glieder vorhanden sind, d. h. n innere Glieder mehr als zur
Stabilität erforderlich. Für die Scheibe in Abb. 1 ist n = 2.
Aus zwei in gleicher Ebene liegenden starren Scheiben 1 und 11
kann eine Scheibe dadurch gebildet werden, daß zwischen diesen Schei-
a h c
Abb.2a-c
ben 3 Stäbe eingezogen werden, die sich aber nicht in einem Punkte
schneiden dürfen, Abb.2a. Werden die Stäbe nach Abb. 2b oder 2c
eingezogen, so sind die Scheiben gegeneinander verschieblich und innere
Stabilität ist nicht vorhanden, obwohl die Bedingung GI. (1) erfüllt ist.
Die innnere Stabilität ebener Tragwerke 3
In einer Fachwerkscheibe können einzelne Stäbe entfernt und durch
die gleiche Anzahl anderer Stäbe ersetzt werden, jedoch darf dieser
Austausch nicht beliebig vorgenommen werden, wie aus Abb. 3 hervor
geht. Der Ersatz der Diagonalen D durch den Stab E fiihrt in Abb. 3a
d
~
(J., b
a b
Abb. 3a u. b
wieder zu einer starren Scheibe, nicht aber in Abb. 3 b. Hier erhält man
zwei Scheiben, die durch zwei Stäbe miteinander verbunden sind
(Gelenkviereck a-b-c-d), wobei in der linken Scheibe ein überzähliger
Stab auftritt. Daraus und aus den zu Abb. 2 gemachten Einschrän-
$=1
e=o
Jc=2
2
Abb. 4a u. b
kungen über die Anordnung der Stäbe geht hervor, daß die Bedingung
8 > 2 k - 3 eine zwar notwendige, aber noch nicht hinreichende Bedin
gung für die innere Stabilität darstellt, und daß diese gegebenenfalls
besonders untersucht werden muß, worauf an anderer Stelle (Ab
sehn. 1.4) eingegangen wird.
Eine starre Scheibe kann auch aus 8
biegefesten Stäben und e steifen Ecken
gebildet werden; sie muß dann der Be
dingung
(2)
genügen. Diese ist mit k = 2 (Stab-
enden) und e = 0 für den einzelnen Abb.5
biegesteifen Stab (Abb. 4a) ebenso er-
füllt wie GI. (1) für den einzelnen einfachen Stab. In einem biege
steifen Stab dürfen weitere Knotenpunkte und damit auch steife
Ecken in beliebiger Zahl und Lage angenommen werden, Abb. 4 b. Sind
in einem Knotenpunkt i Stäbe biegesteif miteinander verbunden,
Abb.5, so ist e = i-I die Zahl der steifen Ecken in diesem Knoten
punkt. Jede dieser steifen Ecken kann man sich durch einen ein-
1 *