Praktische Mathematik mit MATLAB, Scilab und Octave: für Ingenieure und Naturwissenschaftler

448 Pages·2013·85.501 MB·German

by  Frank Thuselt, Felix Paul Gennrich (auth.)

Praktische Mathematik mit
MATLAB, Scilab und Octave
Frank Thuselt • Felix Paul Gennrich
Praktische Mathematik mit
MATLAB, Scilab und Octave
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Prof. Dr. Frank Th uselt Dr. Felix Paul Gennrich
Hochschule Pforzheim, Bereich Innsbruck, Österreich
Elektrotechnik/ Informationstechnik
Pforzheim, Deutschland
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http://www.springer-spektrum.de/978-3-642-25824-4
ISBN 978-3-642-25824-4 ISBN 978-3-642-25825-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-25825-1
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benutzt werden dürft en.
Planung und Lektorat: Dr. Vera Spillner, Stella Schmoll
Redaktion: Alexander Reischert (Redaktion ALUAN)
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Vorwort
Dieses Buch befasst sich mit "praktischer Mathematik". Was ist darunter zu ver
stehen? Eine diffuse Vorstellung davon hat wohl jeder. Gaoz sicher ist nicht die
Mathematik gemeint, die sich mit Existenz- und Eindeutigkeitssätzen befasst.
Diese sind ohne jeden Zweifel gaoz wichtig. Darüber hinaus ist es aber für das
Erlernen mathematischer Grundlagen unerlässlich, sich mit Hilfe von Beispielen
und Grafiken eine grobe Vorstellung von den mathematischen Funktionsbildem
und numerischen Zusammenhängen zu machen. Die einfachste Grafik ist zweifel
los die Handskizze, aber wiinschenswert wäre weiterhin eine schnell zu erstellen
de Darstellung, die die zahlenmäßigen Ergebnisse bereits korrekt widerspiegelt.
Außerdem möchte man sowohl einfache als auch komplizierte Rechnungen mit
nicht zu viel Aufwand durchfiihren. Einiges davon erledigt bereits der Taschen
rechner, doch für umfangreichere Anfgaben reicht dieser nicht mehr aus. Für sol
che Zwecke gibt es heute Standardsoftware, die anf jedem gängigen pe eingesetzt
werden kano. Das vorliegende Buch soll zunächst eimna1 Sicherheit im Umgang
mit solcher Software vermitteln. Dazu wollen wir gleichberechtigt die drei wich
tigsten Programme MATLAB'", Scilab™ und GNU Octave behandeln.'
Sie können sich für eine dieser Programmiersprachen entscheiden. Welche Sie
auswählen, ist eine Frage des gewiinschten Funktionsumfangs - und des Geldbeu
tels. Während Scilab und Octave Freeware sind, ist MAT LAB zwar in günstigen
Studentenversionen erhältlich, kostet jedoch für professionelle Anwendungen
richtig viel Geld.
Mathematische Progranuniersprachen sind notwendiges Handwerkszeug. Zu
sätzlich muss man aber auch lernen, dieses richtig anzuwenden. Es nützt nichts,
einen Hammer zu besitzen, man muss auch in der Lage sein, damit Nägel einzu
schlagen. Neben dem Grundwissen zu den mathematischen Programmpaketen
stellen wir deshalb auch dar, wie man mit diesen Werkzeugen an häufig auftreten
de Fragestellungen der Numerischen Mathematik herangehen kano. Zahlreiche
Übungsaufgaben und Programme unterstützen Sie dabei.
Somit werden Sie in die Lage versetzt, Ihre erworbenen Kenntnisse zur Lösung
vielfältiger mathematischer, physikalischer und insbesondere ingenieurwissen
schaftlicher Anfgaben einzusetzen.
, MATLAB® ist eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks, Inc., ScilabrM ist Waren
zeichen der lnria, Fraokreich.
VI Vorwort
Bevor wir Sie nun mit diesen Themen vertraut machen, möchten wir als Auto
ren unseren Dank aussprechen:
- Frank Thuselt seinen Kollegen Prof. Dr.-Ing. Wolf-Henning Rech, Dipl.
Phys. Michael Bauer, Prof. Dr. Stefan Hillenbrand sowie weiteren Kollegen und
Mitarbeitern der Hochschule Pforzheim fiir viele Hinweise und Diskussionen,
-Felix Paul Gennrich seinen Professoren und Kollegen an der Universität Inns
bruck, besonders Herrn Prof. Dr. Alexander Kend!,
- den Kollegen Prof. Dr. Franz-Karl Schmatzer und Dipl.-Ing. Andreas Matt
von der AKAD Bildungsgesellschaft fiir ihre Unterstützung,
-Israel Herraiz, PhD, Assistant Professor an der Technischen Universität Mad
rid, der die sehr einfach zu installierende Version Octave UPM entwickelt und uns
freundlicherweise zur Verfiigung gestellt hat,
- den zahlreichen Studenten, die immer wieder deutlich gemacht haben, wie
wichtig eine gute didaktische Aufbereitung des Materials ist,
-und nicht zuletzt unseren Frauen Henriette und Nadia, die unsere fortdauernde
Arbeit mit Gelassenheit ertragen und uns unterstützt und geholfen haben.
Bei der AKAD Bildungsgesellschaft bedanken wir uns fiir die Einräumung von
Veröffentlichungsrechten.
Die Autoren wiinschen ihren Lesern bei der Arbeit mit diesem Buch viel Erfolg
und hoffentlich auch ein bissehen Spaß.
Neulußheim und Innsbruck, im Mai 2013
Frank Thuselt und Felix Paul Gennrich
In haltsverzeich ni s
Einleitung ..............................................................................................................................1
1 Einstieg in MATLAB, Scilab und Octave ...................................................................... 7
1.1 Installation der Programme ................................................................................. 7
1.1.1 Installation von MAT LAB .................................................................................................... 7
1.1.2 Installation von Scilab ......................................................................................................... 8
1.1.3 Installation von Octave ..................................................................................................... 10
1.2 Das Arbeiten auf Kommandozeilenebene {Taschenrechner-Funklion) ............. 12
1.2.1 Einfache Operationen mit Zahlen und Variablen ............................................................. 13
1.2.2 Darstellung von Zahlenkolonnen als Vektoren und Matrizen ........................................... 16
1.3 Elementare Funklionen einer Variablen ............................................................ 23
1.3.1 Winkelfunktionen und ihre Umkehrung ............................................................................ 24
1.3.2 Exponentialfunktionen und ihre Umkehrung .................................................................... 25
1.3.3 Grafische Darstellungen von Funktionen ......................................................................... 27
1.3.4 Potenzfunktionen .............................................................................................................. 31
1.4 Weitere wichtige Funklionen ............................................................................. 35
1.5 Funklionen, die von einem Parameter abhängen .............................................. 36
1.6 Funklionen von zwei Variablen und Darstellung von Flächen im Raum ........... 39
1.7 Rechnen mit komplexen Zahlen ........................................................................ 45
1.8 Vekloren und Matrizen ...................................................................................... 53
1.8.1 Schreibweise von Vektoren und Matrizen ........................................................................ 54
1.8.2 Addition. Subtraktion und Multiplikation von Matrizen ...................................................... 58
1.8.3 Weitere Manipulationen mit Matrizen ............................................................................... 60
1.8.4 Spezielle Matrizen ............................................................................................................ 62
1.9 Polynome ........................................................................................................... 64
1.9.1 Darstellung von Polynomen ............................................................................................. 65
1.9.2 Nullstellen .........................................................................................................................6 8
1.9.3 Addition, Multiplikation und Division von Polynomen ....................................................... 71
1.9.4 Differentiation und Integration .......................................................................................... 75
Zusammenfassung zu Kapitell ..................................................................................... 80
Testfragen zu Kapitell .................................................................................................. 85
Literatur zu Kapitell ...................................................................................................... 86
2 Script-Dateien und Funklionen ................................................................................... 87
2.1 Script-Dateien .................................................................................................... 87
2.1.1 Grundsätzliches ................................................................................................................ 87
VIII Inhaltsverzeichnis
2.1.2 Einrichten des Arbeitsverzeichnisses ............................................................................... 90
2.1.3 Ein-und Ausgabekommandos ......................................................................................... 92
2.2 Funktionen in MATLAB, Octave und Scilab ...................................................... 95
2.2.1 Allgemeines Ober Funktionen ........................................................................................... 95
2.2.2 Schreiben und Aufrufen einer Funktion ............................................................................ 98
2.2.3 Funktionen von Funktionen ............................................................................................ 102
2.2.4 Funktionen von Funktionen mit Parameterubergabe ..................................................... 106
2.2.5 Test von Programmen .................................................................................................... 111
2.3 Steuerung des Programmablaufs .................................................................... 118
2.3.1 Kontrollstrukturen ........................................................................................................... 118
2.3.2 Die IF-Bedingung ............................................................................................................ 119
2.3.3 Logische Funktionen ...................................................................................................... 120
2.3.4 Die FOR-Schleife ............................................................................................................ 122
2.3.5 Die WHILE-Schleife ........................................................................................................ 124
2.3.6 Die SWITGH-oder SELEGT-Bedingung ........................................................................ 126
2.3.7 Anwendung: Einfache Benutzerschnittstellen (GUI) ...................................................... 127
Zusammenfassung zu Kapitel 2. .................................................................................. 132
Teslfragen zu Kapitel 2 ................................................................................................ 135
Literatur zu Kapitel 2 .................................................................................................... 135
3 Computerarithmetik und Fehleranalyse ........ 137
on ...... on ..............................................
3.1 Berechnungsfehler .......................................................................................... 137
3.2 Die wichtigsten Fehlerarten ............................................................................. 146
3.2.1 Übersicht ........................................................................................................................ 146
3.2.2 Fehlerfortpflanzung ......................................................................................................... 147
3.2.3 Fehlerschätzung und Konditionierung ............................................................................ 14 8
3.3 IEEE-Gleitkommadarstellung .......................................................................... 150
3.3.1 Datenformat .................................................................................................................... 150
3.3.2 Zahlenbereiche ............................................................................................................... 156
3.4 Rechenzeiten ................................................................................................... 159
Zusammenfassung zu Kapitel 3. .................................................................................. 162
Teslfragen zu Kapitel 3 ................................................................................................ 164
Literatur zu Kapitel 3 .................................................................................................... 165
4 Lineare Gleichungssysteme .. 167
on ...... on.on.on ...... on.on.on.on.on.on.on.on.on.on.on.on.on.on ••
4.1 Problemstellung und grafische Interpretation .................................................. 167
4.1.1 Lineares Gleichungssystem ........................................................................................... 167
4.1.2 Lösbarkeit: Anschauliche Überiegungen ........................................................................ 168
4.1.3 Formale Kriterien der Lösbarkeit .................................................................................... 170
4.2 Der GAuß-Algorithmus ..................................................................................... 175
4.2.1 Eriäuterung des GAUß-Algorithmus an einem Lösungsbeispiel.. .................................... 176
4.2.2 Lösung mit MAT LAB und Scilab ..................................................................................... 179
4.2.3 Speicherbedarf und Rechenzeit beim GAuß-Verfahren .................................................. 180
Inhaltsverzeichnis IX
4.2.4 Probleme beim GAuß-Verfahren; Pivot-Strategien ......................................................... 185
4.3 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme .................................................... 189
4.3.1 Einführungsbeispiel ........................................................................................................ 189
4.3.2 Skizzierung des Lösungswegs ....................................................................................... 191
4.3.3 Lösung mittels Matrizen und Numerikprogramm ............................................................ I94
4.4 Näherungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ........................ 197
4.4.1 Schwach besetzte Matrizen ........................................................................................... 197
4.4.2 Numerische Näherungsverfahren .................................................................................. 201
Zusammenfassung zu Kapitel 4 ................................................................................... 206
Testfragen zu Kapitel 4 ................................................................................................ 209
Literatur zu Kapitel 4 .................................................................................................... 209
5 Nichtlineare Gleichungen .......................................................................................... 211
5.1 AufgabensteIlung ............................................................................................. 211
5.2 Intervallschachtelung ....................................................................................... 213
5.3 NEWTON-Verfahren (Tangentenverfahren) ....................................................... 216
5.4 Sekantenverfahren .......................................................................................... 221
5.4.1 Sekantenverfahren mit aufeinander folgenden Intervallendpunkten .............................. 221
5.4.2 Regula falsi. ....................................................................................................................2 22
5.5 Berechnung der Nullstellen mit Slandardfunktionen ....................................... 226
5.6 Fixpunktiterationen .......................................................................................... 228
Zusammenfassung zu Kapitel 5 ................................................................................... 233
Testfragen zu Kapitel 5 ................................................................................................ 234
Literatur zu Kapitel 5 .................................................................................................... 234
6 Interpolation und Approximation mit Polynomen ................................................... 235
6.1 Notwendigkeit der Interpolation und Approximation ........................................ 235
6.2 Potenzreihen ................................................................................................... 236
6.3 Polynome ......................................................................................................... 239
6.3.1 Berechnung von Polynomen .......................................................................................... 239
6.3.2 Übergang zwischen verschiedenen Zahlensystemen .................................................... 240
6.4 Polynominterpolation und Approximation ........................................................ 245
6.4.1 NEwroNsche Interpolation .............................................................................................. 245
6.4.2 Interpolation nach LAGRANGE ..........................................................................................2 53
6.4.3 Anpassung von Messwerten durch eine Ausgleichsgerade ........................................... 257
6.4.4 Daten-Linearisierung ...................................................................................................... 261
6.4.5 Anpassung mit Polynomen höherer Ordnung ................................................................ 265
6.4.6 Stückweise Approximation und Splines ......................................................................... 271
6.5 PAD~-Approximation ........................................................................................ 276
6.5.1 PADt:-Approximation mit mehreren Funktionswerten ..................................................... 277
6.5.2 PAD.-Approximation mit TAYLOR-Entwickiung ................................................................ 281
x Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung zu Kapitel 6 ................................................................................... 285
Testfragen zu Kapitel 6 ................................................................................................ 287
Literatur zu Kapitel 6 .................................................................................................... 288
7 FOURIER· und Wavelet·Transfonnation ..................................................................... 289
7.1 Spektrale Datenanalyse .................................................................................. 289
7.2 Zerlegung periodischer Funktionen ................................................................. 290
7.3 FOURIER·Analyse von Zeitreihen ..................................................................... 294
7.4 Zeit·Frequenz·Analyse .................................................................................... 299
7.4.1 ZeiUiche Veränderungen eines 8ignals .......................................................................... 299
7.4.2 Kurzzeit·FoURIER·Transformation 8TFT ......................................................................... 303
7.5 Zeit·Skalen·Analyse mit der kontinuierlichen Wavelet·Transformation ........... 311
Zusammenfassung zu Kapitel 7 ................................................................................... 319
Testfragen zu Kapitel 7 ................................................................................................ 321
Literatur zu Kapitel 7 .................................................................................................... 322
8 Numerische Integration und Differentiation ............................................................ 323
8.1 Probleme, die eine numerische Integration erfordern ..................................... 323
8.2 Einfache Quadraturverfahren .......................................................................... 324
8.2.1 Mittelpunktsregel ............................................................................................................ 324
8.2.2 Trapezregel .................................................................................................................... 328
8.2.3 81MPsoNsche Regel ........................................................................................................ 329
8.2.4 Approximation durch Polynome höherer Ordnung ......................................................... 331
8.3 Zusammengesetzte Quadraturverfahren ......................................................... 332
8.4 ROMBERG·Yerfahren ........................................................................................ 341
8.4.1 Yorbetrachtungen ........................................................................................................... 341
8.4.2 RICHARDSON·Ex!rapolation .............................................................................................. 342
8.4.3 Beispiel für die ersten Glieder der Integral näherungen .................................................. 343
8.4.4 Rekursionsschema ......................................................................................................... 345
8.5 GAußSche Quadratur ....................................................................................... 350
8.6 Numerische Differentiation .............................................................................. 354
Zusammenfassung zu Kapitel 8 ................................................................................... 357
Testfragen zu Kapitel 8 ................................................................................................ 360
Literatur zu Kapitel 8 .................................................................................................... 360
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen ...................................................................... 361
9.1 Men von Differentialgleichungen .................................................................... 361
9.2 EULER·Yerfahren .............................................................................................. 366
9.2.1 Differentialgleichung 1. Ordnung mit EULER·Yerfahren .................................................. 367
9.2.2 Fehlerordnung des EULER·Yerfahrens ............................................................................ 371