Praktische Baustatik: Teil 2

472 Pages·1991·12.65 MB·German

by  Professor Dipl.-Ing. Walter Wagner, Professor Dipl.-Ing. Gerhard Erlhof (auth.)

Praktische Baustatik
2
Von Professor Dipl.-Ing. Walter Wagnert
und Professor Dipl.-Ing. Gerhard Erlhof
Fachhochschule Rheinland-Pfalz, Mainz
Vnter Mitwirkung von
Prof. Dipl.-Ing. Gerhard Rehwald
Fachhochschule Frankfurt am Main
14., neubearbeitete und erweiterte Auflage
Mit 464 Bildern und 29 Tafeln
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Fiir dieses Buch einsch1ăgige Normen sind entsprechend dem Entwicklungs
stand ausgewertet worden, den sie bei AbschluB des Manuskripts erreicht hatten.
MaBgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblătter des DIN Deut
sches Institut fiir Normung e.V., die durch den Beuth-Verlag, Berlin und Koln,
zu beziehen sind. - SinngemăB gilt das gleiche fiir alle sonstigen angezogenen
amtlichen Richtlinien, Bestimmungen, Verordnungen usw.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Wagner, Walter:
Praktische Baustatik : [ein Leitfaden der Baustatik fiir Studium
und Praxis] / von Walter Wagner und Gerhard Erlhof. -
Stuttgart : Teubner.
Friihere Aufl. u. d. T.: Ramm, Hermann: Praktische Baustatik
NE: Erlhof, Gerhard:
Teil 2. - 14., neubearb. und erw. Aufl. - 1991
ISBN 978-3-519-45202-7 ISBN 978-3-663-07663-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07663-6
Das Werk einsch1ieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede
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Zustimmung des Verlages unzuIăssig und strafbar. Das gilt besonders fiir Verviel
faltigungen, Dbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und
Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1991
UrsprOnglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1991
Softcover reprint of the hardcover 14th edition 1991
Vorwort
Entwurf und Berechnung von Tragwerken erfordem gut fundierte Kenntnisse von Span
nungen und Formanderungen, die durch Belastungen und aufgezwungene Verformungen
verursacht werden. Deshalb werden in diesem Band die verschiedenen Spannungsarten,
ihre Wirkungen auf die Stabe1emente und ihr Zusammensetzen zu Haupt-und Vergleichs
spannungen systematisch und ausfUhrlich behandelt. Dabei verlassen wir die Vorstellung
yom starren Korper, fiihren Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrungen ein und
berechnen aus den Verzerrungen der Stabelemente die VerschiebungsgroBen von einzelnen
Staben und von Tragwerken, die aus Staben zusammengesetzt sind.
Als Erweiterung gegeniiber der vorigen Auflage wird die Wolbkrafttorsion von Staben mit
I-Querschnitt erlautert, die zugehorige Differentialgleichung und ihre Losung entwickelt
und diese durch ein Zahlenbeispiel veranschaulicht.
Fiir schlanke Stabe, die mittig oder ausmittig auf Druck beansprucht werden, kann die
Sicherheit gegen das Erreichen der Stabilitatsgrenze maBgebend sein. Der vorliegende
Band unterrichtet deswegen ausfiihrlich iiber Stabilitat und die damit zusammenhangenden
Probleme; er erlautert, welche Einfliisse das Verhalten der Baustoffe auf die Stabilitat hat
und wie unvermeidliche AusfUhrungsungenauigkeiten und Abweichungen von den der
Berechnung zugrunde gelegten Baustoffeigenschaften durch die Stabilitatsvorschriften be
riicksichtigt werden. Eine eingehende Darstellung findet auBerdem die Spannungstheorie
II.Ordnung, bei der die Gleichgewichtsbedingungen am verformten System aufgestellt
werden.
Die in den ersten Abschnitten dargebotenen Kenntnisse werden nicht nur in vielen Beispie
len fUr die Bemessung von Querschnitten und Bauteilen benutzt, sondem auch zur Berech
nung der fUr den Ingenieurbau wichtigen statisch unbestimmten Systeme des eingespannten
Tragers und des Durchlauftragers. Das KraftgroBenverfahren, die Dreimomentenglei
chung und das Cross-Verfahren werden in diesem Zusammenhang abgeleitet. Erstmals
enthalt diese Auflage eine EinfUhrung in das verallgemeinerte VerschiebungsgroBenverfah
ren, das auch als WeggroBenverfahren in Matrizendarstellung bezeichnet wird: Es werden
Einzelsteifigkeitsmatrizen entwickelt und aufgestellt und anschlieBend zur Gesamtsteifig
keitsmatrix eines geraden Tragers zusammengesetzt. Der den Ubertragungsmatrizen gewid
mete Abschnitt wurde unverandert iibemommen.
Eine Erweiterung des Inhalts stellt femer die EinfUhrung in die Grundlagen des Traglastver
fahrens fiir Durchlauftrager dar; dagegen wurde die Berechnung unverschieblicher Rahmen
mit Hilfe des Cross-Verfahrens nicht in die neue Auflage iibemommen.
Zahlreiche Beispiele aus den Bereichen des konstruktiven Ingenieurbaus sollen das Ver
standnis vertiefen und eine enge Verbindung zur praktischen Ingenieurarbeit herstellen.
Denselben Zielen dienen Erlauterungen und haufige Anwendungen der amtlichen deut
schen Bauvorschriften, insbesondere der neuen DIN 18800, DIN 1052 und DIN 1053.
Ein Vergleich dieser 14. Auflage mit den vorhergehenden zeigt auch den standigen Wandel
in der Sprache des Bauingenieurs, einen Wandel, der sich ergibt z. B. durch Erweiterung
des Bestandes an Fachwortem im Gefolge neuer oder verfeinerter Rechen-und Nachweis
verfahren sowie durch die EinfUhrung zeitgemaBer, treffender Fachworter als Ersatz fUr
so1che, die veraltet oder unscharf sind. So wurden Tragheitsmomente zu Flachenmomenten
2. Grades, aus Balken auf zwei Stiitzen wurden Balken auf zwei Lagem, statt Auflagerkraf
ten, -reaktionen und -widerstanden berechnen wir Lagerkrafte, die zusammen mit Lager-
4 Vorwort
momenten oder Einspannmomenten StutzgraBen ergeben, die Biege-, Dehn- und Schub
steifigkeiten von Querschnitten und Stiiben wurden eingefuhrt, neben Lastfiillen werden
Verformungsfiille behandelt, wir stellen Einzel- und Gesamtsteifigkeitsmatrizen auf und
beschiiftigen uns mit linearen und nichtlinearen statischen Beziehungen, Werkstoffgesetzen
und geometrischen Beziehungen; schlieBlich veriindert der in DIN 18800 (Ii. 90) verwen
dete Gebrauch der Warter Einwirkung, Widerstand, Beanspruchung, Beanspruchbarkeit
und anderer die Sprache des Bauingenieurs.
Nachdem durch den Tod von Walter Wagner im Jahre 1982 insbesondere die dem Stahlbau
gewidmeten Abschnitte ihren Bearbeiter verloren hatten, konnte Gerhard Rehwald dafUr
gewonnen werden, die inzwischen erschienenen Ausgaben der Stahlbau-und Holzbaunor
men in die vorliegende Auflage der Praktischen Baustatik einzuarbeiten. Dazu muBten die
Grundlagen der DIN 18800 (Ii. 90) erliiutert und eine groBe Zahl von Beispielen durch
eine Berechnung nach den neuen Regeln ergiinzt werden. Die doppelte Berechnung nach
alten Normen (Ausgaben 3.81 und fruher) und nach der neuen Norm (Ausgabe 11.90)
halten wir fUr erforderlich: Zum einen ist das neue Sicherheitskonzept noch nicht in die
Massiv- und Holzbaunormen eingearbeitet worden und deshalb noch ungewohnt, zum
andern sind beide Berechnungsformen bis zum Erscheinen einer europiiischen Norm (EN)
erlaubt, worauf in DIN 18800 (11.90) ausdrucklich hingewiesen wird. Fur seine wertvollen
Beitriige wie fUr die angenehme Zusammenarbeit danke ich Gerhard Rehwald herzlich.
Dem Verlag B. G. Teubner gilt mein herzlicher Dank ebenfalls fUr angenehme Zusammen
arbeit und auBerdem fUr die sorgfiiltige Herstellung und gute Ausstattung des Buches.
Vorschliige aus dem Leserkreis fUr Verbesserungen der Praktischen Baustatik sind stets
willkommen.
Mainz, im Sommer 1991 G. Erlhof
Inhalt
Spannungen nnd Formiinderungen von Stabelementen
1.1 Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Allgemeines iiber Spannung und Festigkeit - 1.1.2 Spannungen als Folge verschiede
ner Beanspruchungsarten - 1.1.3 Statische Festigkeiten - 1.1.4 Sicherheit, zuliissige Span
nung, zuliissige Schnittgrii13e - 1.1.5 Anwendungen
1.2 Formiinderungen oder Verzerrungen von Stabelementen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
1.2.1 Allgemeines - 1.2.2 Liingeniinderungen infolge von Liingskriiften, Zerrei13versuch,
Arbeitsvermiigen - 1.2.3 Hookesches Gesetz, Elastizitiitsmodul - 1.2.4 Formiinderungs
gesetze im Stahlbetonbau (DIN 1045) -1.2.5 Liingeniinderungen durch Wiirmeschwankun-
gen und Schwinden - 1.2.6 Querdehnungen - 1.2.7 Gleitwinkel infolge von Querkriiften,
Schubmodul-1.2.8 Verkriimmung infolge ungleichmiiJ3iger Temperaturiinderung
2 Zug und Druck
2.1 Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Zugbeanspruchung . . . . . . . . . ................................ . 35
2.2.1 Allgemeines - 2.2.2 Anwendungen
2.3 Druckbeanspruchung ......................................... . 41
2.3.1 Allgemeines - 2.3.2 Anwendungen
3 Einfache Biegung
3.1 Normalspannungen infolge eines Biegemoments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
3.2 Flachenmomente 2. Grades und Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
3.2.1 Allgemeines - 3.2.2 Fliichenmomente 2. Grades fUr Achsen, die keine Schwerachsen
sind (Steinerscher Satz) - 3.2.3 Tragheitshalbmesser - 3.2.4 Flachenmomente 2. Grades
und Widerstandsmomente wichtiger Querschnittsformen
3.3 Nutzbare Querschnitte und zu1assige Biegespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
3.4 Beispiele fiir die Ermittlung von Flachenmomenten 2. Grades und Widerstandsmomenten 68
4 Elastische Formiinderungen bei einfacher Biegung
4.1 Allgemeines, Biegelinie, Kriimmung der Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
4.2 Beziehung zwischen Kriimmung und Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
4.3 Differentialgleichung zwischen Durchbiegung und Moment. . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
4.4 Analogie von Mohr .......................................... . 84
4.5 Einfacher Balken auf zwei Lagern mit EI = const ....................... . 86
4.6 Kragtrager mit EI = const ... 94
4.7 Balken auf zwei Lagern mit Kragarm, EI = const .................. . 97
4.7.1 Allgemeines - 4.7.2 Einzellast an der Kragarmspitze - 4.7.3 Gleichlast q auf dem
Kragarm - 4.7.4 Gleichlast q zwischen den Lagern a und b - 4.7.5 Gleichlast q iiber den
ganzen Trager
4.8 An beiden Enden drehbar gelagerter Trager mit Stiitzmomenten .............. . 102
4.8.1 Stiitzmoment nur an einem Ende - 4.8.2 Stiitzmomente an beiden Enden -
4.8.3 Zwei Stiitzmomente sowie beliebige Belastung im Feld
4.9 Berechnung der Biegelinie mit Hilfe der w-Zahlen ......... . 106
4.10 Berechnung der Formiinderungen mit Hilfe der W-Gewichte ................ . 107
4.10.1 Allgemeines, verzerrte Momentenflache - 4.10.2 Berechnung der W-Gewichte-
4.10.3 Rechnerische Ermittlung der Formanderungen mit Hilfe der W-Gewichte -
4.10.4 Zeichnerische Ermittlung der Durchbiegung mit Hilfe der W-Gewichte -
4.10.5 Geometrische Bedeutung der W-Gewichte, Schlu13bemerkung
6 Inhalt
5 Abscheren, Schub bei Biegung, Torsion
5.1 Abscheren ................................................. 119
5.2 Schubspannungen bei Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122
5.2.1 Schubkriifte und Schubspannungen bei beliebigem Querschnitt - 5.2.2 Schubspan
nungen in wichtigen Querschnitten - 5.2.3 G1eichheit der Schubspannungen aufhorizonta-
len und vertikalen Schnitten - 5.2.4 Zuliissige Spannungen - 5.2.5 Verformungen infolge
von Biegeschubspannungen - 5.2.6 Anwendungen
5.3 Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
5.3.1 Einleitung und Aufgabenstellung - 5.3.2 Wahl des [-Profils, Fliichenmoment I,
Stiitz- und Schnittgro/3en - 5.3.3 Schubspannungen und Schubkriifte - 5.3.4 Lage der
resultierenden Schubkraft, Schubmittelpunkt
5.4 Torsion gerader Stiibe ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
5.4.1 Allgemeines - 5.4.2 Wolbfreie und nichtwolbfreie Querschnitte - 5.4.3 S1.-Venantsche
Torsion und Wolbkrafttorsion - 5.4.4 Berechnung der Spannungen und Verformun-
gen bei reiner Torsion - 5.4.5 Anwendungen - 5.4.6 Wolbkrafttorsion von Stiiben mit
I-Querschnitt
6 Hauptspannungen, Vergleicbsspannungen
6.1 Spannungen auf schriigen Schnitten bei Biegung mit Querkraft 165
6.2 Berechnung und Konstruktion der Hauptspannungen infolge von (Jx und 'xz ••...••• 168
6.3 Der einachsige Spannungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173
6.4 Der allgemeine ebene Spannungszustand .............................. 175
6.5 Weitere Sonderfalle des ebenen Spannungszustandes, riium1icher Spannungszustand,
Spannungstensor ............................................. 178
6.5.1 Normalspannungen (Jx und (Jz vorhanden, Schubspannung 'xz = 0 - 6.5.2 Normal
spannungen (Jx und (Jz gleich groB, Schubspannung 'xz = 0 - 6.5.3 Normalspannungen
von gleichem Betrag, aber mit verschiedenen Vorzeichen «(Jx = - (Jz), Schubspannung
'xz = 0 - 6.5.4 Riiumlicher Spannungszustand, Spannungstensor
6.6 Spannungstrajektorien beim Spannungszustand mit (Jx und 'xz = '''' Spannungsellipse . 180
6.7 Praktische Bedeutung von Hauptspannungen und Spannungstrajektorien .......... 182
6.8 Vergleichsspannungen .......................................... 183
6.9 Anwendungen ............................................... 185
7 Doppelbiegung und schiefe Biegung
7.1 Doppelbiegung fUr symmetrische Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189
7.1.1 F ormeln fUr die Spannungs-und Querschnittsberechnung - 7.1.2 Anwendungen
7.2 Zentrifugal-oder Deviationsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194
7.2.1 l...-Profil unter Spannungen (J = My· Ylly - 7.2.2 Erweiterung auf den beliebigen
Querschnitt -7.2.3 Zentrifugalmomente wichtiger Querschnittsformen, Steinerscher Satz
fUr Zentrifugalmomente
7.3 Hauptachsen und Hauptfliichenmomente. Mohrscher Triigheitskreis ............. 199
7.3.1 Hauptachsen und Hauptfliichenmomente - 7.3.2 Mohrscher Triigheitskreis
7.4 Triigheitsellipse .............................................. 202
7.5 Anwendungen ............................................... 202
7.6 Schiefe Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204
7.7 Anwendungen ............................................... 206
8 Stabilitiit bei geraden Stiiben
8.1 Wesen der Stabilitiit und der Stabilitiitsprob1eme ......................... 213
8.1.1 Einfiihrung - 8.1.2 Beispiel eines Stabilitiitsproblems
8.2 Knicken gerader, elastischer Stiibe .................................. 218
8.2.1 Eulersche Knickgleichung - 8.2.2 Knickliinge - 8.2.3 Schlankheitsgrad und Schlank-
heit
Inhalt 7
8.3 EinfluB des Baustoffverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230
8.3.1 Allgemeine Grundlagen, Stahl-8.3.2 Das w-Verfahren - 8.3.3 Vorgehen bei nicht
homogenem Baustoff
8.4 Stabilitatsnachweis und Querschnittsbemessung einteiliger Druckstabe. . . . . . . . . . . . 240
804.1 Einteilige Druckstabe aus Stahl - 804.2 Einteilige Druckstabe aus Holz -
804.3 Anwendungen
8.5 Knickung bei diinnwandigen, offenen ProfIlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249
8.5.1 Begriffe: Biegedrillknickung, Biegeknickung, Drillknickung - 8.5.2 Verschiedene
Querschnitte - 8.5.3 Anwendungen
8.6 Spannungsnachweis und Querschnittsbemessung fiir mehrteilige Druckstiibe. . . . . . . . 257
8.6.1 Mehrteilige Druckstiibe aus Stahl - 8.6.2 Mehrteilige Druckstabe aus Holz -
8.6.3 Anwendungen
8.7 Kippsicherheit von Tragem mit I-Querschnitt ........................... 269
8.7.1 Allgemeines - 8.7.2 Anwendungen
8.8 Ausbeulen von Stegblechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 282
9 Ausmittiger Kraftangriff
9.1 Biegung und Zug nach Theorie 1.0rdnung ............................. 283
9.1.1 Allgemeines zur Theorie I. Ordnung - 9.1.2 Spannungsformeln - 9.1.3 Anwendungen
9.2 Einfiihrung in die Theorie II.Ordnung ................................ 288
9.2.1 Allgemeines -9.2.2 Biegung und Zug - 9.2.3 Biegung und Druck - 9.204 Einfeldbalken
mit Querbelastung und Langskraft - 9.2.5 Sinusfiirmige Querbelastung und Langskraft
9.3 Biegung und Druck, ausmittiger Druck ............................... 298
9.3.1 Spannungs-und Stabilitiitsnachweise - 9.3.2 Lineare und nichtlineare Beziehungen
in der Baustatik und ihre Anwendungen - 9.3.3 Anwendungen
904 Querschnittskem ............................................. 309
904.1 Begriffund Bedeutung - 9.4.2 Anwendungen
9.5 Spannungsverteilung bei klaffender Fuge ............................. , 314
9.5.1 Vorbemerkung - 9.5.2 Rechteckquerschnitt - 9.5.3 Querschnitte, die mindestens
einfachsymmetrisch sind
9.6 Stiitzlinie .................................................. 320
9.6.1 Die Stiitzlinie bei Dreigelenkbogen, Zweigelenkbogen und eingespanntem Bogen -
9.6.2 Die Stiitzlinie in DIN 1053 und 1075, Stiitzlinienverfahren - 9.6.3 Anwendung der
Stiitzlinie
9.7 Spannungen im biegefesten Querschnitt bei beliebigem Angriffspunkt der Kraft. ..... 326
9.7.1 Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte - 9.7.2 Querschnitte mit lyz ~ 0-
9.7.3 Anwendungen
10 Eingespannte Einfeldtriiger
10.1 Einspanngrade ............................................. 332
10.2 Einseitig starr eingespannter Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 335
10.2.1 Allgemeines - 10.2.2 Vollbelastung mit Gleichlast, Volleinspannmoment M~b als
statisch unbestimmte GroBe Xl - 10.2.3 Vollbelastung mit Gleichiast, Lagerkraft B als
statisch unbestimmte GroBe Xl - 10.204 Mittige Einzellast, Xl = M~b - 10.2.5 Last
moment Mb am Lager b, Xl = M~b - 10.2.6 Lotrechte Verschiebung des Lagers b,
Xl = M~b - 10.2.7 Ungleiche Erwarmung des Tragers iiber seine Hohe d
10.3 Beiderseits starr eingespannter Trager. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345
10.3.1 Allgemeines - 10.3.2 Belastung durch ausmittige Einzellast - 10.3.3 Vollbelastung
durch Gleichlast - 10.304 U ngleiche Erwarmung iiber die Tragerhohe d - 10.3.5 Lotrechte
Verschiebung des Lagers b
lOA Berechnung des Einfeldtragers mit Steifigkeitsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 351
1004.1 Die Steifigkeitsmatrix des Einzelstabes - 1004.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des
geraden Tragers - 1004.3 Anwendungsbeispie1
8 Inhalt
11 Durcblauftriiger
11.1 Allgemeines, Obersicht 365
11.2 Dreimomentengleichung von Clapeyron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365
11.2.1 A1lgemeines, Ableitung - 11.2.2 Berechnung der Vorzahlen bjk, Umformung des
Lastgliedes bjO - 11.2.3 Sonderfalle der Dreimomentengleichung - 11.2.4 Belastungs
glieder fUr einige Sonderfalle - 11.2.5 Beispiele
11.3 Momentenausgleichsverfahren von Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 377
11.3.1 A1lgemeines - 11.3.2 Erliiuterung des Verfahrens - 11.3.3 Beriicksichtigung eines
Kragarmes - 11.3.4 Beriicksichtigung von Symmetrie und Antimetrie beim Cross
Verfahren
11.4 Ungiinstigste Laststellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 392
11.4.1 Allgemeines - 11.4.2 EinfluB einer Einzellast - 11.4.3 Extremwerte der Feld-und
Stiitzmomente - 11.4.4 Extremwerte der Lager-und Querkriifte
11.5 Tabellen fUr die Berechnung von Durchlauftriigem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 396
11.5.1 A1lgemeines - 11.5.2 Tabellen fUr die Berechnung von Durchlauftriigern mit
2 bis 5 gleichen Fe1dern - 11.5.3 Winklersche Zahlen
11.6 Symmetrische Durchlauftriiger, Belastungsumordnung ................... 397
11.6.1 Allgemeines - 11.6.2 Durchlauftriiger mit ungerader Felderzahl-11.6.3 Durch
lauftriiger mit gerader Felderzahl
11.7 Durchbiegungen ........................................... 400
11.8 EinfluBlinien von Durchlauftriigem ............................... 401
11.8.1 Allgemeines - 11.8.2 EinfluBlinien der Stiitzmomente, Ableitung - 11.8.3 Ein
fluBlinien der Stiitzmomente, Zahlenbeispiel - 11.8.4 EinfluBiinien der Lagerkriifte,
Querkriifte und Feldmomente - 11.8.5 EinfluBlinien von Feldmomenten, Querkriiften
und Lagerkriiften als Biegelinien - 11.8.6 Kontrollen
11.9 Vereinfachte Bemessung von Durchlauftriigem nach DIN 18801 ............. 418
11.10 Anwendungen ............................................. 418
12 Einfiihrung in die FJieBge1enktheorie I. Ordnnng
12.1 Erliiuterung der Grundgedanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431
12.2 Elastische und plastische Biegung eines Querschnitts, plastisches Moment, Beziehung
zwischen Kriimmung und Moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 432
12.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 435
12.3.1 Lage der FlieBgelenke, Momentenfliiche - 12.3.2 Stiitz-und SchnittgroBen, Be
messung
13 Das Reduktionsverfahren oder die Berechnnng mit Vbertragungsmatrizen
13.1 Die "Obertragungsmatrix eines Stababschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 438
13.2 Berechnung des Einfeldtriigers mit mehreren Abschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
13.3 Das Berechnen von Durchlauftriigem auf starren Lagern mit Obertragungsmatrizen . 452
13.4 Durchlauftriiger auf starren Lagem, Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
13.4.1 "Obertragungsmatrizen - 13.4.2 Der Anfangsvektor Vo - 13.4.3 Berechnung von
V21 = A2Al Vo - 13.4.4 Berechnung von V2r - 13.4.5 Berechnung von V4 = A4A3V2r -
13.4.6 Berechnung der vier Unbekannten im Vektor V4 - 13.4.7 Berechnung noch fehlen
der ZustandsgroBen, Zusammenstellung aller ZustandsgroBen - 13.4.8 Kontrollen
13.5 Durchlauftriiger auf elastisch nachgiebigen Lagern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
13.6 Durchlauftriiger auf elastisch nachgiebigen Lagern, Zahlenbeispiel. . . . . . . . . . . . . 463
13.6.1 Anfangsvektor - 13.6.2 Abschnittsmatrizen - 13.6.3 Punktmatrix fUr das mittlere
elastische Lager - 13.6.4 Matrizenmultiplikation - 13.6.5 Aufstellung und Auflosung
des Gleichungssystems - 13.6.6 Berechnung der noch fehlenden ZustandsgroBen -
13.6.7 Darstellung der ZustandsgroBen - 13.6.8 Kontrollen
Literaturverzeichnis ................................................ 468
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 469
1 Spannungen und Formanderungen
von Stabelementen
1.1 Spannungen
1.1.1 Allgemeines iiber Spannung und Festigkeit
In Teil I dieses Werkes wurden die beim Balken auftretenden BeanspruchungsgroBen
Langskraft N, Querkraft Q, Biegemoment M und Torsionsmoment MT behande1t. Dabei
wurde deutlich, daB in jedem be1iebigen Querschnitt die inneren Krafte und Mo
mente (SchnittgroBen) den auBeren KraftgroBen das Gleichgewichthalten. 1m
folgenden wollen wir die Wirkung der Schni ttgroBen auf die Querschni ttsfla
che betrachten. Zu diesem Zweck den ken wir uns die gesamte Querschnittsflache in
Flacheneinheiten (1 cm2 oder I mm2) aufgeteilt. Auf jede dieser Flacheneinheiten wirken
K riifte, auch dann, wenn der betrachtete Querschnitt ausschlieBlich durch ein M omen t
beansprucht wird. Die Krafte je Flacheneinheit bezeichnen wir als Spannungen.
Einheiten der Spannung sind kNjcm2, MNjm2 oder Njmm2• Wie die Krafte selbst sind
auch die auf die Flacheneinheiten bezogenen Krafte Vektoren; wir haben es also im
folgenden mit Spannungsvektorenp zu tun, die wie die Kraftvektoren durch die drei
Bestimmungsstiicke Betrag, Richtung und Angriffspunkt festgelegt werden. AuBerdem
bedarf es der Definition der Flache, auf die der Spannungsvektor einwirkt.
In der Regel verteilt sich die Spannung nieht gleiehmiiBig liber die Fliieheneinheit. Viertelt man
beispielsweise die Flaeheneinheit, so ergeben sieh i.allg. fUr die Spannungsvektoren PI bis P4 (1.1)
untersehiedliehe GroBen. Das riihrt dazu, die Spannung als den Grenzwert des Quotienten
Kraft/Fliiehe mit gegen Null gehender Fliiehe zu definieren:
(1.1)
1. I Aufteilung des Spannungsvektors p 1.2 Fliiehe mit gIeiehbleibender (konstanter)
Spannung
1m Sonderfall einer gleichbleibenden Spannung spielt es keine Rolle, aus welcher
Flache der Betrag des Vektors p errechnet wird: Wirkt auf 1 mm2 die Kraft 120 N (1.2),
so errechnen wir den Betrag der Spannung zu p = 120 Nj1 mm2 = 120 Njmm2; aus einer
Teilflache 0,5 . 0,5 = 0,25 mm2 ergibt sich genau derselbe Wert: POl5 = 30 NjO,25 mm2 =
120 Njmm2 = p, und aus einer Teilflache 0,1 . 0,1= 0,01 mm2 find~n wir eben falls PO,Ol =
1,2 NjO,OI mm2 = 120 Njmm2 = p.
Der Spannungsvektor p, def mit den Koordinatenachsen x, y, z i.allg. beliebige Win
kel einschlieBt, hat im Bauwesen keine Bedeutung; gearbeitet wird hier nur mit seinen
10 l.l Spannungen
drei zu den genannten Achsen paralleien Komponenten Px, Py, pz (1.3): Die Komponente
Px steht senkrecht auf der Schnittfliiche, sie hat die Richtung der Norm ai e n der Schnitt
fliiche, der Koordinatenachse x, und wird darum Nor m a I spa n nun g (J x genannt; die
beiden Komponenten Py und pz wirken parallel oder tan ge n t i a I zur Schnittflache und
erhalten die Bezeichnung Ta n g e n t i a 1- oder S c hub spa n nun g Txy und Txz. Fur ihre
eindeutige Kennzeichnung werden zwei FuBzeiger benotigt: Der erste erkliirt die Lage
der Schnittfliiche durch Angabe der Normalen zur Schnittfliiche, in unserem
Faile also der Koordinatenachse x, der zweite gibt die Rich tung in d er Sc h nit t fliiche
an durch Mitteilung der parallel en Koordinatenachse (1.4).
~.
x y positive
Schnitt
.~Qche
x
1.3 Der Spannungsvektor p und 104 Normalspannung 1.5 Rechtssystem
seine Komponenten und Schubspan
(Ix
'x>
nungen 'xy und
Die Verwendung eines rechtwinkligen riiumlichen Koordinatensystems mit X-, y- und z-Achse ist
allgemein iiblich. Es erweist sich dabei als zweckmiiBig, eine Koordinatenachse mit der Achse des
betrach teten Triigers zusammenfallen zu lassen. Liegt der Trager waagerecht, was wir im folgen
den stets voraussetzen wollen, so steht die zweite Achse in der horizontalen Ebene senkrecht auf der
Tragerachse, wah rend die dritte Achse vertikal gerichtet ist. Die Zuordnung der Buchstaben x, y und
z zu den Achsen ist in DIN 1080 genormt: Die Tragerachse ist die x-Achse, die zweite horizon tale
Achse die y-Achse und die vertikale Achse die z-Achse. In Ansichten von Tragern weist in der Regel
die positive x-Achse nach rechts, die positive y-Achse auf den Betrachter hin und die positive z-Achse
nach unten (1.3, lA, 1.5); die Koordinatenachsen bilden dann ein Rechtssystem. Blickt man in
einem solchen System vom Ursprung aus in Richtung der positiven z-Achse, so ge1angt man rechts
herum auf kurzem Wege von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse (1.5).
Jeder Baustoffkann Spannungen nur bis zu einer bestimmten Hochstgrenze ertragen; beim
Uberschreiten dieser Hochstgrenze tritt der Bruch ein. Die Spannung im Augenblick des
Bruchs wird Bruch spann ung, Bruchfes tigkei t oder kurz F es tigkei t genannt und
mit f3 bezeichnet, und zwar sowohl bei Normal- wie bei Schubspannungen.
Spannungen treten nicht nur im einzelnen Bauelement selbst auf, sondern konnen auch in
Beruhrungsfliichen zwischen verschiedenen Bauelementen sowie zwischen Baukorpern und
Baugrund wirken.
1.1.2 Spannungen als Foige verschiedener Beanspruchungsarten
Bauteile konnen auf verschiedene Weise beansprucht werden. Danach werden folgende
Spannungen unterschieden: