polycopie analyse numerique

147 Pages·2011·2.99 MB·French

UNIVERSITE MOHAMED PREMIER
FACULTE DES SCIENCES OUJDA
Département de mathématiques
et informatique
POLYCOPIE ANALYSE NUMERIQUE
Section SMA-SMI /S2
Abdesslam Boutayeb Mohamed Derouich
Année universitaire : 2010/ 2011
UNIVERSITE MOHAMED 1 er
FACULTE DES SCIENCES D’OUJDA-MAROC
Table des matières
1 RAPPELS 5
1.1 IDENTITESALGEBRIQUES: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 TRIGONOMETRIE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 valeursusuellesdesfonctionstrigonométriques: . . . . . . . 5
1.2.2 Périodesetsymétries: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Formulestrigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 DEVELOPPEMENTSLIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 INTEGRATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Approximationsdessolutionsdel’équation f(x) = 0 14
2.1 Rappelsetnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 MéthodedeNewton: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 MéthodedeNewtonmodifiée: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Méthodededichotomie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Méthodedefausseposition(RegulaFalsi): . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Inroductionàl’interpolation 28
3.1 Rappeletdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 InterpolationdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 ExistenceetUnicitédel’interpolant . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Interpolationlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Erreurd’interpolation(deLagrange) . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Intégrationnumérique 38
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Approximationpardesrectanglesàgauche . . . . . . . . . . . 40
1
4.2.2 Approximationpardesrectanglesàdroite . . . . . . . . . . . 41
4.2.3 Approximationpardesrectanglesmédians . . . . . . . . . . . 42
4.2.4 Approximationspardestrapèzes. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.5 FormuledeSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 InterpolationetErreurd’intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Applications: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 Interpolationlinèaireetlaformuledutrapèze: . . . . . . . . . 45
4.4.2 Formuledutrapèzecomposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.3 ErreurdelaformuledeSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Méthodesdirectesderésolutiondessystèmeslinéaires Ax = b 48
5.1 Résolutiond’unsystèmeparlesméthodesdedescenteouderemontée 49
5.2 Matricesélémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 MatricesélémentairesdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 MatricesélémentairesdeDanilevski . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.3 MatricesélémentairesdeHouseholder . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.4 Matricesélémentairesdepermutation . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.5 MatricesélémentairesdePerlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.6 MatricesélémentairesdeGivens(ouderotation). . . . . . . . 53
5.3 MéthodesdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.1 MéthodedeGausssanspivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 MéthodedeGaussavecpivotpartiel . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.3 MéthodedeGaussavecpivottotal . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.4 MéthodedeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5 FactorisationdeCholeski(matricesymétrique) . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 FactorisationdeHouseholder(matriceunitaire) . . . . . . . . . . . . 59
5.7 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.8 Matricescreuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.9 Résultatssurlesmatricesnoncarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.10 Résolutiondessystèmesàmatricesnoncarrées . . . . . . . . . . . . 68
5.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Méthodesindirectesderésolutiondessystèmeslinéaires Ax = b 75
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Généralitésetdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
6.3 Descriptiondesméthodesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.1 MéthodedeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.2 MéthodedeGauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.3 Méthodederelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 Comparaisondesméthodesclassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4.1 ComparaisondesméthodesdeJacobietdeGauss-Seidel . . . 85
6.4.2 ComparaisondesméthodesdeJacobietderelaxation . . . . 86
6.5 Méthodessemi-itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6 Décompositiondesmatricespositives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.1 Décompositionrégulièredesmatrices . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Comparaison des méthodes classiques dans le cas des matrices po-
sitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.8 Complémentbibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Analysenumériquedeséquationsdifferentiellesordinaires(e.d.o) 106
7.1 Rappelssurleséquationsdifferentiellesordinaires(e.d.o) . . . . . . 106
7.2 Systèmeslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Notionsdestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Systèmed’équationsauxdifferenceslinéairesaveccoéfficientsconstants110
7.5 Méthodesnumériquespourlesproblèmesdeconditioninitiale . . . 111
7.5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5.4 Méthoded’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.5 MéthodesdeTaylordanslecasscalaire . . . . . . . . . . . . . 116
7.5.6 MéthodesdeRunge-Kutta(R.K)danslecasscalaire . . . . . . 117
7.5.7 MéthodesdeRunge-Kuttaexplicites . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.7 Complémentbibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.9 Examend’AnalyseNumériqueSessiondejuin . . . . . . . . . . . . . 140
7.10 ExamenAnalyseNumériqueSessiondejuin(rattrapage) . . . . . . . 142
7.11 Corrigé(SessiondeJuin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3
Table des figures
2.1 lasolutionest x = 1.3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 f(1).f(2) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 x = 2.7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 InterpolationdeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 InterpolationdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Approximationpardesrectanglesàgauche . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Approximationpardesrectanglesàdroite. . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Approximationpardesrectanglesmédians . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1 Convergenceλ= 4.5,2_cyclesλ= 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2 4_cyclesλ= 6.5,Chaosλ= 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 λ= 3.5,γ= 2-λ= 5.5,γ= 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 SIRàdeuxpopulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5 Convergence∆t = 0.01,Convergenceoscillatoire∆t = 0.018 . . . . 128
7.6 Oscillation∆t = 0.027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.7 Convergence-Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.8 Schémadetransmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.10 Effetdel’effortphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4
Chapitre 1
RAPPELS
1.1 IDENTITES ALGEBRIQUES :
(cid:88) (a+b)2 = a2+2ab+b2
(cid:88) (a−b)2 = a2−2ab+b2
(cid:88) a2−b2 = (a−b(a+b)
(cid:88) (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(cid:88) a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
(cid:88) a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
(cid:88) (a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4ab3+b4
(cid:183) (cid:184)
n!
(cid:88) (a+b)n = an+C1an−1b+...+Ckan−kbk+...+bn avecCk =
n n n k!(n−k)!
n(n+1)
(cid:88) 1+2+3+.....+(n−1)+n =
2
(cid:88) an−bn = (a−b)(an−1+an−2b+....+abn−2+bn−1
(cid:88) a2m+1+b2m+1 = (a+b)(a2m−a2m−1b+....−ab2m−1+b2m)
(cid:88) Casparticuliers(a=1) 1−xn+1 = (1−x)(1+x+x2+...+xn)
1.2 TRIGONOMETRIE :
1.2.1 valeursusuellesdesfonctionstrigonométriques:
1.2.2 Périodesetsymétries:
(cid:88) sin(x+2π) = sinx
(cid:88) sin(x+π) = −sinx
5
θ sinθ cosθ tgθ cotgθ
0=0◦ 0 1 0 -
π √ √ √
=30◦ 1/2 3/2 3/3 3
6
π √ √
=45◦ 2/2 2/2 1 1
4
π √ √ √
=60◦ 3/2 1/2 3 3/3
3
π
=90◦ 1 0 - 0
2
π
(cid:88) sin(x+ ) = cosx
2
(cid:88) sin(−x) = −sinx
π
(cid:88) sin( −x) = cosx
2
(cid:88) cos(x+2π) = cosx
(cid:88) cos(x+π) = −cosx
π
(cid:88) cos(x+ ) = −sinx
2
(cid:88) cos(−x) = cosx
π
(cid:88) cos( −x) = sinx
2
(cid:88) tg(x+2π) = tgx
(cid:88) tg(x+π) = tgx
π
(cid:88) tg(x+ ) = −cotgx
2
(cid:88) tg(−x) = −tgx
π
(cid:88) tg( −x) = cotgx
2
ex+e−x
(cid:88) ch(x) =
2
ex−e−x
(cid:88) sh(x) =
2
sh(x)
(cid:88) th(x) =
ch(x)
ch(x)
(cid:88) coth(x) =
sh(x)
1.2.3 Formulestrigonométriques
(cid:88) cos(nπ) = (−1)n
nπ 1+(−1)n+1
(cid:88) sin2( ) =
2 2
6
(cid:88) cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny
(cid:88) cos(x−y) = cosxcosy+sinxsiny
(cid:88) sin(x+y) = sinxcosy+cosxsiny
(cid:88) sin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny
tgx+tgy
(cid:88) tg(x+y) =
1−tgxtgy
tgx−tgy
(cid:88) tg(x−y) =
1+tgxtgy
(cid:88) cos(2x) = cos2x−sin2x
= 2cos2x−1
= 1−2sin2x
(cid:88) sin(2x) = 2sinxcosx
2tgx
(cid:88) tg(2x) =
1−tg2x
1.3 DEVELOPPEMENTS LIMITES
x3 x5 x2p+1
(cid:88) sin(x) = x− + +...+(−1)p +o(x2p+1)
3! 5! (2p+1)!
x2 x4 x2p
(cid:88) cos(x) = 1− + +...+(−1)p +o(x2p)
2! 4! (2p)!
x5
(cid:88) tan(x) = x+x3+2 +o(x6)
15
x3 x5 x2p+1
(cid:88) sh(x) = x+ + +...+ +o(x2p+1)
3! 5! (2p+1)!
x2 x4 x2p
(cid:88) ch(x) = 1+ + +...+ +o(x2p)
2! 4! 2p!
x3 2x5
(cid:88) th(x) = x− + +o(x6)
3! 5!
1
(cid:88) = 1+x+...+xn+o(xn)
(1−x)
1
(cid:88) = 1−x+...+(−1)nxn+o(xn)
(1+x)
x2 xn
(cid:88) ln(1+x) = x− +...+(−1)n+1 +o(xn)
2 n
x2 xn
(cid:88) ln(1−x) = −x− −...− +o(xn)
2 n
x2 xn
(cid:88) exp(x) = 1+x+ +...+ +o(xn)
2! n!
7
α(α−1) α(α−1)(α−2.)···(α−n+1)xn
(cid:88) (1+x)α = 1+αx+ x2 +···+ +
2 n!
o(xn)
x3 (−1)nx2n+1
(cid:88) arctan(x) = x− +...+ +o(x2n+1)
3 (2n+1)
x3 1×3 x5 1×3×···×(2n−1) x2n+1
(cid:88) arcsin(x) = x3+ + × +....+ × +
2×3 22×2! 5 2nn! 2n+1
o(x2n+1)
1.4 INTEGRATION
(cid:90) (cid:90)
1) udv = uv− vdv
(cid:90)
au
2) andu = +c,a (cid:54)= 1,a > 0
(cid:90) lna
3) cosudu = sinu+c
(cid:90)
4) sinudu = −cosu+c
(cid:90) (ax+b)n+1
5) (ax+b)ndx = +c,n (cid:54)= 1
a(n+1)
(cid:90)
1
6) (ax+b)−1dx = ln|ax+b|+c
a
(cid:90)
(ax+b)n+1 ax+b b
7) x(ax+b)ndx = [ − ]+c
a2 n+2 ax+b
(cid:90)
x b
8) x(ax+b)−1dx = − ln|ax+b|+c
a a2
(cid:90)
1 b
9) x(ax+b)−2dx = [ln|ax+b|+ ]+c
a2 ax+b
(cid:90)
dx 1 x
10) = ln| |+c
x(ax+b) b ax+b
(cid:179)√ (cid:180)n+2
(cid:90) √ 2 ax+b
11) ( ax+b)ndx = +c,n = −2
√ a n+2
(cid:90) ax+b √ (cid:90) x
12) dx = 2 ax+b+b √
x x ax+b
(cid:114)
(cid:90)
dx 2 ax+b
13)(a) √ = √ tan−1 +c,b < 0
x ax+b −b −b
√ √
(cid:90)
dx 1 ax+b− b
(b) √ = √ ln|√ √ |+c,b > 0
x ax+b b ax+b+ b
√ √
(cid:90) (cid:90)
ax+b ax+b a dx
14) dx = − + √ +c
x2 x 2 x ax+b
√
(cid:90) (cid:90)
x ax+b a dx
15) √ = − − √ +c
x2 ax+b dx 2b x ax+b
(cid:90)
dx 1 x
16) = tan−1 +c
a2+b2 a a
8
(cid:90)
dx x 1 x
17) = + tan−1 +c
(a2+x2)2 2a2(a2+x2) 2a3 a
(cid:90)
dx 1 x+a
18) = ln| |+c
a2−x2 2a x−a
(cid:90) (cid:90)
dx x 1 dx
19) = +
(a2−x2)2 2a2(a2−x2) 2a2 a2−x2
(cid:90) (cid:112)
dx x
20) √ = sinh−1 +c = ln|x+ a2+x2|+c
a2+x2 a
(cid:90) (cid:112) (cid:112)
x a2 x
21) a2+x2dx = a2+x2+ sinh−1 +c
2 2 a
√
(cid:90) (cid:112) x(a2+2x2) a2+x2 a4 x
22) x2 a2+x2dx = − sinh−1 +c
8 8 a
√
(cid:90) a2+x2 (cid:112) a
23) dx = a2+x2−asinh−1| |+c
x x
√ √
(cid:90)
a2+x2 x a2+x2
24) dx = sinh−1 − +c
x2 a x
√
(cid:90)
x2 a2 x x a2+x2
25) √ dx = − sinh−1 + +c
a2+x2 2 a 2
√
(cid:90)
dx 1 a+ a2+x2
26) √ = − ln| |+c
x a2+x2 a x
√
(cid:90)
dx a2+x2
27) √ = − +c
x2 a2+x2 a2x
(cid:90)
dx x
28) √ = sin−1 +c
a2−x2 a
(cid:90) (cid:112) x(cid:112) a2 x
29) a2−x2dx = a2−x2+ sin−1 +c
2 2 a
(cid:90) (cid:112) a4
30) x2 a2−x2dx = sin−1
8
√ √
(cid:90) a2−x2 (cid:112) a+ a2−x2
31) dx = a2−x2−aln| |+c
x x
√ √
(cid:90)
a2−x2 x a2−x2
32) dx = −sin−1 − +c
x2 a x
(cid:90) x2 a2 x 1 (cid:112)
33) √ dx = sin−1 − x a2−x2+c
a2−x2 2 a 2
√
(cid:90)
dx −1 a+ a2−x2
34) √ dx = ln| |+c
x a2−x2 a x
√
(cid:90)
dx − a2−x2
35) √ dx = +c
x2 a2−x2 a2x
(cid:90) (cid:112)
dx x
36) √ dx = cosh−1 +c = ln|x+ x2−a2|+c
x2−a2 a
(cid:90) (cid:112) x(cid:112) a2 x
37) x2−a2dx = x2−a2− cosh−1 +c
2 2 a
√
(cid:90) (cid:112) x( x2−a2)nn na2 (cid:90) (cid:112)
38) ( x2−a2)ndx = − ( x2−a2)n−2dx,n (cid:54)= −1
n+1 n+1
9