Pohyb, síly a sportovní aktivity 1

40 Pages·2013·0.74 MB·Czech

Pohyb, síly a sportovní aktivity 1
Zimní sporty na sněhu a ledu
Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku
Ivo Volf, Přemysl Šedivý
Obsah
Slovo úvodem 2
1 Fyzikální východiska 3
2 Zimní sporty na vodorovné rovinné ploše 7
2.1 Rychlobruslení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Curling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Krasobruslení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Lední hokej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Zimní sporty v ledovém korytu 20
3.1 Jízda na bobu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Jízda bobu v zatáčce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Nebezpečí při jízdě na sáňkácha na skeletonu . . . . . . . . . . 26
4 Pohyby po zasněženém svahu 28
4.1 Základní situace lyžaře na zasněženém svahu . . . . . . . . . . 28
4.2 Nejrychlejší lyžaři na světě v nebezpečné disciplíně speedski . . 31
5 Skoky na lyžích 34
Řešení úloh 37
Literatura 40
Slovo úvodem
Před více než 160 lety dr. F. J. Smetana ve své učebnici fyziky, kterou vydal
v roce 1852 pod názvem Počátkové silozpytu čili fysiky pro gymnasia, napsal:
...čímdůkladnějipoznámesílypřírodníazákonyčinnostijejich,tímlépejich
”
užívatimůžemejakkuprospěchutělesnému,takikduševnímuvzdělánísvému.
Silozpyt(čtifyzika)nejlépebudíostrovtip,brousírozumazapuzujepředsudky
a pověry, které vzniku blaha lidského nejvíce překážejí.“
Fyzikální poznatky pomáhají pochopit a vysvětlit jevy a děje v dalších
přírodovědnýchdisciplínách. Mnoho lidí po celém světě miluje sport, nebo mu
alespoňholdujíjakofanouškové.Tělesnávýchova(fizkulьtura,PhysicalCul-
ture, Φυσικη Λγωγη = Fisike Agogi, L’ Education Physique ...) poskytuje
všakobrovsképoleproaplikacifyzikálníhopoznání.Protodo programustudia
učitelů tělesné výchovy a trenérů je zařazen předmět Biomechanika tělesných
cvičení, kdese budoucí učitelé a trenéřiseznamují s využitím fyzikálníchzáko-
nitostí pro pohyb sportovce či sportovního náčiní.
Úkolemtohototextu jezabývatsepohybem,vlivemsilnapohybsportovce
čináčiníaukázatnanebezpečí,kteránasportovcečíhajívdobě,kdysevěnují
svýmkoníčkůmazálibám.Začnemesezimnímisporty—sportovánímnasněhu
a ledu.
Řešení problémů z běžného života vyžaduje vždycky podrobnou analýzu
sledovanésituace,která potom poskytneurčitý zjednodušený popis a následně
ipoužitíjednoduchýchfyzikálníchzákonitostí.Kdyžvšaksituacizjednodušíme
příliš, získáme nevěrohodné řešení problému. Když na zjednodušení zapome-
neme,dostanemesedosituace,kdydanýproblémnejsmeschopnivyřešit.Proto
základem procesuřešení je výběr vhodného modelu, který popisuje situaci do-
statečně přesně a současně odpovídá fyzikálním a matematickým vědomostem
i dovednostem řešitele.
V textu se budeme převážně zabývat pohyby, při kterých na těleso pů-
sobí nezanedbatelným způsobem odpor vzduchu a smykové tření. Analytické
řešení pohybových rovnic těchto dějů obvykle překračuje rámec středoškolské
matematiky. Na několika příkladech si ukážeme, jak můžeme takovéto pohyby
jednoduše vyšetřit metodou numerického modelování.
2
1 Fyzikální východiska
Nejprve se dohodneme na označování fyzikálních veličin, které budeme použí-
vat při fyzikálním popisu sportovce nebo jeho náčiní, s nímž sport provozuje.
Kromětohosipřipomenemeněkterézákladnífyzikálnípoznatkyavztahy,které
použijeme při řešenísportovníchproblémovýchsituací. Možná, že by bylo jed-
nodušší odkázat čtenáře na platné učebnice a příručky [1], [2].
Je pochopitelné, že tak, jako to provádímev celé fyzice, bude nutno reálné
situace i jejich aktéry zjednodušovat, nebo alespoň o některých vlivech při
řešeníneuvažovat.Takbudemesportovceněkdypovažovatzamalétěleso,jehož
rozměrynejsouprořešenípodstatné(např.běžecpřimaratonskémběhu),jindy
jako rozměrné těleso (sportovec, který klopýtl a padá k zemi či skokan do
výšky). To vše podstatně ovlivní i volbu použitých údajů.
Polohasportovcečináčinímůžebýturčenapolohoujehotěžiště,atovzávis-
lostinatom,zdajepříslušnýdějnebojevpopisovánvtrojrozměrnémprostoru
(O;x,y,z;t), nebo zda stačí popis v rovině(O;x,y;t), nebo sledujeme přemís-
tění po přímce (O;x;t). Každopádně je nutné využít popisu v prostoročase,
zvolit počátek vztažné soustavy, zvolit příslušný počet prostorovýchsouřadnic
a souřadnici časovou.
U tělesa potom dále rozlišujeme hmotnost, hybnost, pohybovou či poloho-
vou energii, moment setrvačnosti a jejich značky
1
m, p=mv, E = mv2, E =mgh, J =J +ma2,
k 2 p 0
kdeJ jemomentsetrvačnostivzhledemkoseprocházejícítěžištěmaJ moment
0
setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose ve vzdálenosti a.
V mnoha případech můžeme tedy nahradit skutečné těleso (sportovce či
náčiní)tzv.hmotnýmbodem,unějžlzestanovitjednoznačněpolohu(x,y,z;t)
a popsat jeho pohyb.
Hmotnýbodsemůžepohybovatpopřímcestálourychlostív,tedypohybem
rovnoměrným přímočarým. Přitom za dobu ∆t = t t urazí vzdálenost
2 1
−
∆x=x x ,kterounazývámedráhoupohybu∆x=s;potomplatís=v ∆t;
2 1
− s x · x
ve variantáchvztahu lze stanovit velikost rychlosti pohybu v = = 2− 1
∆t t t
2 1
−
s
nebo dobu pohybu ∆t= .
v
Pokud se během pohybu mění rychlost s časem, jde o pohyb zrychlený
(v > v ), nebo zpomalený (v < v ). Z hlediska matematické jednoduchosti
2 1 2 1
nás zajímá především rovnoměrnězrychlený pohyb sestálým zrychlením o ve-
1
likosti a, potom pro dráhu a velikost rychlosti platí s = at2, v = at, nebo
2
v případě nenulové počáteční rychlosti v
0
1
s=v t+ at2, v =v +at.
0 2 0
3
Rovnoměrně zpomalený pohyb předpokládá počáteční rychlost o velikosti
v a vztahy pro dráhu a velikost rychlosti jsou opět jednoduché:
0
1
s=s +v t at2, v =v at,
0 0 − 2 0−
kde a je velikost zrychlení (zpomalení). Velmi jednoduše si lze zapamatovat
tyto poznatky na základě grafu v(t):
v + at v
v = v 0 v0
v
v0 v = at =v0−at
O t1 t2 t O t
Obsahplochypodúsečkouv(t)námvyjadřujedráhu,cožjeveshoděsvýše
uvedenýmivztahy.Vpřípaděrovnoměrnězpomalenéhopohybumůžemezgrafu
v
stanovit i dobu nutnou k zastavení (pro v =0), tedy t= 0.
a
Zajímavéje,ževztahy platínejen propřímočarýpohyb,aleiprokřivočarý
rovnoměrně zrychlený, resp. zpomalený pohyb, např. po kružnici. V takovém
případěmusímepočítatstečnýmzrychleníma .Dostředivézrychlenía kolmé
t d
ke směru okamžité rychlosti, mění její směr, ale na její velikost nemá vliv.
Výsledné zrychlení má potom velikost
a= a2+a2.
t d
Přizimnímsportováníseještěmůqžemesetkatspohybemvblízkostipovrchu
Země, kdy sportovec opustí pevnou podložku spojenou se Zemí. Vznikají po-
hyby:volnýpád,vodorovnýašikmývrh.PočátečnívýškunadzemíoznačmeH,
okamžitou výšku h.
Při volném pádu z výšky H platí
1
h=H gt2, v =gt= 2g(H h).
− 2 −
p
2H
Hmotný bod dopadne na zem za dobu t= rychlostí v =√2gH.
g
r
Pro vodorovný vrh s počáteční rychlostí o velikosti v musíme uvažovatve
0
svislé rovině (x,y;t). Potom
1
x=v t, y =H gt2.
0
− 2
4
Odtud můžeme po dosazení y =0 určit dobu letu tělesa a délku vrhu:
2H 2H
t= , d=x=v t=v .
s g 0 0s g
Často uvažujeme ještě o vrhu šikmém, kde vektor počáteční rychlosti v
0
svírá s vodorovnýmsměrem úhel α. Potom při nulové počáteční výšce
1
x=v tcosα, y =v tsinα gt2.
0 0
− 2
y y
v
0
H
v v
H 0
h
α
O d x O x
Provznikzrychlenéhočizpomalenéhopřímočaréhopohybusezrychleníma
je třeba vyvolat sílu F = ma, která má v případě zrychleného pohybu směr
okamžitérychlosti,vpřípadězpomalenéhopohybusměropačný.Přikřivočarém
zrychleném či zpomaleném pohybu působí na hmotný bod kolmo ke směru
okamžité rychlosti ještě síla dostředivá, která způsobuje zakřivení trajektorie.
v2
Pro výpočet velikosti dostředivé síly používáme zpravidla vztah F = m ,
d · r
kde v je velikost okamžité rychlosti a r poloměr křivosti trajektorie.
Ze sil, které působí na těleso vybíráme s ohledem na naši problematiku
následující (uvádíme velikosti sil):
tíhová síla, tíha F =G=mg,
G
třecí síla, F =fF , f je součinitel smykového tření,
t n
F kolmá tlaková síla,
n
1
odporová síla F = CS̺v2, C je odporový součinitel,
o 2
S obsah kolmého řezu,
̺ hustota prostředí,
v velikost rychlosti.
Vyšetřujeme-lipohybtělesavroviněOxynebovprostoruOxyz,používáme
vztah pro výpočet odporové síly ve vektorovémtvaru
1
F = CS̺vv,
o
−2
5
rozepsaný na souřadnice
1 1
F = CS̺vv , F = CS̺vv .
x x y y
−2 −2
Při řešení pohybu sportovce či náčiní budeme také uvažovat práci při po-
hybu W = Fs, působí-li síla konstantní velikosti ve směru pohybu, nebo
W = Fscosα, pokud síla konstantní velikosti svírá se směrem pohybu úhel
W
α. Dále výkon P = , popřípadě okamžitý výkon P =Fv.
t
1
Pohybujícísetěleso popíšemekinetickouenergiíE = mv2 nebo její změ-
k 2
nou, která je rovna spotřebované práci:
1 1
∆E = mv2 mv2 =W.
k 2 2 − 2 1
Těleso v určitém místě ve výšce h nad hladinou nulové polohové energie
popisuje polohová energie E = mgh nebo její změna, která je také rovna
p
spotřebované práci:
∆E =mgh mgh =W.
p 2 1
−
Jsou-liodporovésílyzanedbatelněmalé,můžemevomezenémířevyužítzá-
kon zachovánímechanické energie.Jsou-li odporovésíly nezanedbatelné, tento
zákon neplatí.
Přisetkánídvoutělesohmotnostechm ,m arychlostechv ,v využijeme
1 2 1 2
jejich hybnosti p = m v , p = m v . Například pro nepružný ráz pak platí
1 1 1 2 2 2
zákon zachováníhybnosti ve tvaru
p=(m +m )v =m v +m v .
1 2 1 1 2 2
Zákonzachováníhybnostinámumožňujeřešenímnohavariacíúlohvzávislosti
na geometrickém vztahu vektorů rychlostí v , v , poměru hmotností těles aj.
1 2
Připopisuotáčivéhopohybutělesakolempevnéosyseuplatníveličinamo-
ment hybnostiL,jejíž velikostje L=Jω.Pokudna těleso nepůsobívnější síly,
platí zákon zachování momentu hybnosti. Jestliže těleso působením vnitřních
sil změní tvar a tím i moment setrvačnosti z J na J , změní se i jeho úhlová
1 2
rychlost z ω na ω , přičemž platí
1 2
J ω =J ω .
1 1 2 2
6
2 Zimní sporty na vodorovné rovinné ploše
Jestliže vynecháme běžectví, biatlon a závody psích spřežení, potom nám zbý-
vají jen sporty na ledové ploše. Mezi sporty, které podrobíme naší pozornosti,
patří rychlobruslení, krasobruslení, curling a lední hokej. Tyto zimní sporty
jsou zařazeny mezi olympijské disciplíny.
2.1 Rychlobruslení
Rychlobruslení je individuální zimní sport. Koná se na oválnýchledových dra-
hách o délce 400m, které mají na kratších stranáchzatáčky o poloměru 25m.
Závodí se ve dvojicích na drahách o šířce 4,0m a po každém kole si své dráhy
musejízávodnícivyměnit.Závodyprobíhajípromuženatrasáchodélce500m,
1500m, 5000m, 10000m, po ženy 500m, 1500m, 3000m, 5000m.
U rychlobruslení nás zajímá průměrná rychlost sportovce, avšak měřením
se určuje doba, za kterou od startu sportovecdosáhl cíle.
Příklad 1. České rychlobruslařky v akci
Vednech21.–24.března2013sekonalovSočivpořadíjiž15.mistrovstvísvěta
v rychlobruslení, kterého se zúčastnily české závodnice Martina Sáblíková a
Karolína Erbanová.Dosáhly následujících velmi dobrých časů:
Karolína — 500m 38,48s, 1000m 76,1s, 1500m 119,0s,
→ → →
Martina — 3000m 244,5s, 5000m 414,3s.
→ →
Určete průměrné rychlosti sportovkyň na trasách.
Výsledky:
Průměrné rychlosti Karolíny:
12,99m s−1 =46,78km h−1, 13,14m s−1 =47,31km h−1,
12,61m·s−1 =45,38km·h−1. · ·
· ·
Průměrné rychlosti Martiny:
12,27m s−1 =44,17km h−1, 12,07m s−1 =43,45km h−1.
· · · ·
Úlohy
1. Průměrné rychlosti
UrčeteprůměrnérychlostiMartinySáblíkovév roce2010na zimnícholym-
pijských hrách ve Vancouveru, kde získala zlatou medaili na trase 5000m,
kterouzdolalaza6min50,92s.Dalšízlatoumedailizískalanatrase3000m,
kterou zdolala za 4 min 2,53 s, na trase 1500m získala bronzovou medaili
za dobu 1 min 57,96 s.
7
2. Rozjezd rychlobruslařky
Rychlobruslařkasepostarturozjíždízkliduasnažíseconejdřívedosáhnout
plné rychlosti a tu pak udržovat až do cíle. Předpokládejme, že rozjezd
Karolíny na trati 500 m v příkladu 1 byl pohyb rovnoměrně zrychlený a
trval 8 s. Po rozjezdu se pohybovala až do cíle stálou rychlostí.
a) Určete, jaké rychlosti během rozjíždění dosáhla, a porovnejte ji s prů-
měrnou rychlostí celého závodu.
b) Určete, s jakým zrychlením se rozjížděla.
Příklad 2: Rychlobruslařky v zatáčce
Závodní trasa se skládá ze dvou přímých úseků, na které navazují dva úseky
tvaru půlkružnic o poloměru 25 m. Závodnice projíždí celou zatáčku stálou
rychlostí 45km h−1.
·
a) Jak velké je dostředivé zrychlení?
b) Jak vzniká potřebná dostředivá síla?
c) Určete sklon závodnice v zatáčce,
Řešení:
Situacipopíšemevinerciálnívztažnésoustavěspojenésestadionem,tedyzhle-
diska pozorovatelepřihlížejícího z tribuny.
R
n
T Fd
α
F
G
α

a) Dostředivé zrychlení má velikost a = v2 =6,25m s−2.
d r ·
b) VzatáčcereakceledovéplochyRmíříšikmodovnitřzatáčkyarozkládásena
složku R kolmou ke směru okamžité rychlosti, která se uplatní při vzniku
n
dostředivé síly, a na složku R namířenou proti směru okamžité rychlosti,
t
cožje smykovétření. Dostředivásíla F je výslednicí tíhovésíly F a složky
d G
reakce R
n
8
c) Zobrázkujezřejmé,žeproúhelsklonuzávodnicepočítanýodsvisléhosměru
platí
F v2 12,52 m2 s−2
tgα= d = = · =0,637,
F rg 25m 9,81m s−2
G
· ·
α=32,5◦;pro menší rychlostbude odklonmenší. Výsledky záležíi na tom,
zda jede po vnitřní nebo vnější trase.
Příklad 3: Jaký je výkon bruslaře?
Rychlobruslař o hmotnosti 80 kg jede stálou rychlostí 12,8 m s−1. Součinitel
·
smykovéhotřeníbruslepoleduje0,027,závodníkpřijízděvpřiléhavémobleku
másoučinitelodporuC =0,70;obsahkolméhopříčnéhořezuje0,80m2.Určete
výkonbruslařea)napřímémúsekutratě,b)vzatáčceopoloměru25m.Musíme
ještě odhadnout hustotu vzduchu (̺=. 1,20kg m−3).
·
Řešení:
a) Výkon bruslaře určíme pomocí vztahu P = Fv, kde v je okamžitá rychlost
a F velikost celkové odporové síly, která se skládá ze síly odporu vzduchu
1
o velikostiF = CS̺v2 a síly smykovéhotření,kterámá narovnémúseku
o 2
velikostF =fmg.Celkovásíla, kteroumusí bruslařpřekonávatna rovném
t
1
úseku, má velikost F =fmg+ CS̺v2.
2
F =21,2N, F =55,1N, celková odporová síla F =76,3N.
t o
.
Výkon závodníka P =980W.
b) Vzatáčcepůsobíbruslařnaledkromětíhyještěodstředivousilouovelikosti
mv2. Třecí síla se zvětší na F′ =f m2g2+ m2v4.
r t r2
r
′ ′
F =25,6N, celková odporová síla F =80,7N.
t
Závodník musí v zatáčce zvětšit výkon na P′ =. 1030W.
2.2 Curling
Curling (nepřesně česky lední metaná) je zimní sportovní disciplína, která je
již80let(s přestávkami)zařazenamezizimníolympijskésporty.Hrajesesžu-
lovými kameny, jejichž průměr má být nejvýše 29,09 cm, výška bez plastové
hlavice s držadlem nejméně 11,43cm. Hmotnost kamene včetně držadla nesmí
být větší než 19,96 kg. Dále potřebují hráči speciální obuv (na jedné botě je
klouzavá podrážka, na druhé naopak podrážka protiskluzová.
Curling se hraje v krytých halách (kvůli kvalitě ledu), led se při tvorbě
kropíauhlazuje.PodrobnostiohřištiaohřenajdemenaWikipediipodheslem
Curling.
9
Z fyzikálního hlediska nás zajímá problematika smykového tření žulového
kamenepo ledu.Ikdyžjsmeanina internetovýchstránkáchnenašlipříslušnou
hodnotu, pokusíme se odhadnout f = 0,025; tuto hodnotu lze potom ještě
ovlivňovattzv. metáním“, kdy se ledový povrch zametá koštětem tak, aby se
”
snížila hodnota jeho smykového tření a u již pomalu se pohybujícího kamene
prodloužila dráha pohybu.

Příklad 4: Rychlost odhodu
Hrací kámen má hmotnost m přibližně 20,0 kg, vzdálenost středu cílového
kruhu od čáry odhodu je s=28,35m.
a) Jaká by měla být velikost v rychlosti kamene na čáře odhodu, aby se za-
0
stavilpřesněuprostředcílovéhokruhu,je-li součinitelsmykovéhotřenímezi
kamenem a ledem f =0,025?
b) Jak velká třecí síla kámen brzdí?
c) Dojakévzdálenostis odstartusekámendostanepřistejněvelképočáteční
1
rychlosti, zmenšíme-li metením ledu před kamenem součinitel smykového
tření na f =0,022?
1
Řešení
a) Počátečníkinetickouenergiikamenenačářeodhoduporovnámespracíproti
třecí síle:
1
mv2 =F s=fmgs v = 2fgs=3,7m s−1.
2 0 t ⇒ 0 ·
.
b) Třecí síla má velikost F =fmg =0,49N. p
t
c) Pro brzdné dráhy platí
v2 v2
s= 0 , s = 0 .
2gf 1 2gf
1
Z toho
s1 = f s =sf =. 32m.
s f ⇒ 1 f
1 1
10