Pixelspiele: Modellieren und Simulieren mit zellulären Automaten

138 Pages·2014·10.923 MB·German

by  Daniel Scholz (auth.)

Daniel Scholz
Pixelspiele
Modellieren und Simulieren
mit zellulären Automaten
Springer-Lehrbuch
Daniel Scholz
Pixelspiele
Modellieren und Simulieren
mit zellulären Automaten
DanielScholz
Braunschweig,Deutschland
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-45130-0 ISBN978-3-642-45131-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-45131-7
MathematicsSubjectClassification(2010):37B15,68Q80,97M10,97M50,97M60,97N70
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Vorwort
Zelluläre Automaten bieten eine weitreichende Möglichkeit zur diskreten Modellierung
komplexerSachverhalte.DiegrundlegendeIdeedabeiist,einegroßeAnzahlvonSpielern
wieFiguren,Teilchen,Elemente,TiereoderÄhnlichesaufeinemSpielfeldzusimulieren,
wobeisichalleSpielernachexaktidentischenRegelnverhalten,abernurmiteinerkleinen
AnzahlvonSpielernausihrerNachbarschaft interagieren. Damitzählen zelluläre Auto-
matenzurKlassederagentenbasiertenModellierungundSimulation.
AngetriebenvonderrasantenSteigerungderRechenleistungvonComputern,sindin
den vergangenen Jahrzehnten ständigneue zelluläre Automaten definiert undanalysiert
worden.AngefangenmitsehreinfachenundtheoretischenKonzeptensindModelleent-
standen, die z.B. in der technischen Entwicklung, der mathematischen Physik oder in
industriellenAnwendungenzumEinsatzkommen.AberauchinaktuellenForschungsthe-
menerhaltenzelluläreAutomateneinsteigendesAnsehen,daSimulationenvergleichswei-
seeinfachaufMulti-ProzessorenoderaufParallelrechnerndurchgeführtwerdenkönnen.
DiesisteineinteressanteEntwicklung,denninsbesondereaufgroßenSpielfeldernkönnen
Ergebnisseerzieltwerden,diesehrnaheanderRealitätliegen,sodasssichauchkomplexe
UntersuchungenmiteinfachenModellendurchführenlassen.
DiesesLehrbuchsollanhandzellulärerAutomateneinenEinblickindieWeltderMo-
dellierungundSimulationvermitteln.ZelluläreAutomatensinddafürbesondersgeeignet,
dasichauchmitvergleichsweiseeinfachenMittelnundohneaufwendigenmathematischen
oderphysikalischenFormelnkomplexeSachverhaltesimulierenlassen.EinbesondererFo-
kusliegtdabeiaufeinerdidaktischwertvollenDarstellungallerThemen.
Zu Beginn der wenigen Abschnitte,in denenVorkenntnisse aus Mathematik,
Physik oderIngenieurswissenschaftenfür dasVerständnisvorausgesetztwer-
den,wirdwieandieserStellemiteinerMarkierungausdrücklichdaraufhinge-
wiesen.
DieInhaltediesesBucheseignensichvorallemfürinterdisziplinäreStudieninhaltein
unterschiedlichenDisziplinenwiederMathematik,derPhysik,derInformatik,derBiolo-
gieoderdesVerkehrswesens.WeiterhinsinddieInhaltesoausgelegt,dasssieimGrund-
studiumanUniversitäten,anFachhochschulensowieimweiterführendenSchulunterricht
sinnvolleingesetztwerdenkönnen.
V
VI Vorwort
Abb.1 AbhängigkeitenderKapiteldiesesBuchesuntereinander.NachderEinleitunginKap.1kön-
nenalle Kapitelunabhängig voneinandergelesenundverstandenwerden.Die einzigeAusnahme
bildetKap.9
InjedemKapitelstellenwireinneuesModellzurSimulationbestimmterSachverhalte
vor,sodassnacheinerEinführungderGrundbegriffealleKapiteljenachInteresseunab-
hängig voneinander studiert werden können,s. Abb. 1. Die einzige Ausnahmedabei ist
Kap.9,welchesaufKap.8aufbaut.
Weiterhin sindalleModelleundBeispielesodargestellt, dasssiesoeinfachwiemög-
lich reproduziert werden können. Interessierte Leser mit grundlegenden Programmier-
kenntnissensolltendaherauchinderLagesein,alleindiesemBuchvorgestelltenModelle
selbstständigzuimplementieren undanschließenddamitzuexperimentieren.Alskleine
HilfestellunghierzuistimAnhangAeinBeispielzumSpeichernundEinleseneinerBild-
dateiinderProgrammierspracheJavazufinden.
Zur weiteren Veranschaulichung der Modelle können zu fastallen Beispielen genaue
Bilddaten,kurzeAnimationensowieinteraktiveAnwendungenunter
www.mehr-davon.de/za/
abgerufenwerden.WeiterhinsindhierzueinigenBeispielenauchkommentierteQuellcode-
DateieninJavaSriptzufinden.DieseDateienkönnenmitjedemTexteditorbearbeitetund
mitjedem aktuellen Browserausgeführtwerden.DamitisteinezusätzlicheHilfestellung
gegeben, die das eigene Experimentieren und Erweitern der grundelegenden Modelle
erleichternsoll.
Beispiele mit weiterführenden Materialien, die auf der zuvor genannten Ho-
mepage abgerufen werden können, werden im Text wie am Anfang dieses
AbschnittesmiteinemIconmarkiert.
Alle zelluläre Automaten in diesem Buch definieren wir durch genau sechs Größen
bzw. Eigenschaften. Um eindeutig zu klären, wie diese Eigenschaften in den jeweiligen
Beispielen definiert sind, gehen wir wie folgt vor: Wir markieren die Textstellen, an de-
neneineEigenschaftbeschriebenwird,durchdieentsprechendeNummerderEigenschaft,
wie z.B. die Drei zur Definition der Nachbarschaft. Jedes Kapitel enthält somit die
Nummern Eins bis Sechs,jeweils mindestens an einer Stelle. Dadurch solles dem Leser
Vorwort VII
erleichtert werden, eine Beispielsimulation möglichstschnellnachvollziehen zukönnen.
Zur weiteren Vertiefungderpräsentierten Modellesindangeeigneten Stellen Fragenim
Textintegriert,dieeinerseitszumVerständnisdesTextesbeitragenundandererseitszum
Nachdenkenanregensollen.
MeinbesondererDankbeiderErstellungdiesesBuchesgiltAnitaSchöbelundMichael
Weyrauch,diemeineakademischeAusbildungmaßgeblichgeprägthaben.Weiterhinbe-
dankeichmichbeimeinerFrauHelenafürdieGeduld,diesiemirgegenüberbeimSchrei-
bendiesesBuchesaufgebrachthat.DarüberhinausbedankeichmichbeiallenFreunden
undBekannten,diedurchgemeinsameDiskussionenoderdurchdasKorrekturlesenzur
VerbesserungderQualitätderInhaltebeigetragenhaben.SchließlichdankeichHerrnCle-
mensHeineundFrauAgnesHerrmannvomSpringer-VerlagfürdiefreundlicheZusam-
menarbeit.
DanielScholz Dezember2013
Inhaltsverzeichnis
1 EinleitungundGrundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ZelluläreAutomaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 EindimensionalesUniversum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 GameofLife. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Waldbrandmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 SelbstorganisierteKritikalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 ErweitertesModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Räuber-Beute-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 VergleichzudenLotka-Volterra-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 AnalysederMobilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5 ErweiterungauffünfSpezies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Verkehrssimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
IX
X Inhaltsverzeichnis
5.4 Animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Fundamentaldiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 ErweiterungaufzweiSpuren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Evakuierungsmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Fundamentaldiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Gitter-Gas-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 DieFlussdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.5 BeispielzumphysikalischenVerhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.6 ParticleImageVelocimetry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.7 WeiterführendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 EindimensionaleBeispielsimulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.4 ZweidimensionaleBeispielsimulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.5 WeiterführendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9 Reaktions-Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 BeschreibungdesModells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3 Beispielsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 Musterbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.5 WeitereBeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
AnhangA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.1 SpeicherneinesBildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.2 EinleseneinesBildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
AnhangB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.1 BerechnungdeskürzestenWeges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Inhaltsverzeichnis XI
AnhangC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.1 HerleitungzurDiffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.2 HerleitungzurReaktions-Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135