PGD-Abaques virtuels pour l'optimisation géométrique des structures

131 Pages·2017·4.22 MB·French

by  Amaury Courard

PGD-Abaques virtuels pour l’optimisation géométrique
des structures
Amaury Courard
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Amaury Courard. PGD-Abaques virtuels pour l’optimisation géométrique des structures. Génie
mécanique [physics.class-ph]. Université Paris Saclay (COmUE), 2016. Français. ￿NNT:
2016SACLN010￿. ￿tel-01266281￿
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NNT : 2016SACLN010

THÈSE DE DOCTORAT
DE L’UNIVERSITÉ PARIS-SACLAY,
préparée à l'École Normale Supérieure de Cachan

ÉCOLE DOCTORALE N° 579
Sciences mécaniques et énergétiques, matériaux et géosciences (SMEMaG)

Spécialité de doctorat
MÉCANIQUE - GÉNIE MÉCANIQUE - GÉNIE CIVIL

Par

M. Amaury Courard

PGD-Abaques virtuels pour l'optimisation géométrique des structures

Thèse présentée et soutenue à Cachan le 18 janvier 2016 :

Composition du Jury :

M. Rodolphe Le Riche Directeur de recherche CNRS, Ecole des Président
Mines de Saint-Etienne
M. Anthony Gravouil Professeur, INSA Lyon Rapporteur
M. Pierre Villon Professeur, UTC Rapporteur
M. Philippe Andolfatto Ingénieur, AIRBUS Defence & Space Invité
M. Alain Bergerot Ingénieur, AIRBUS Defence & Space Invité
M. Ludovic Ballere Ingénieur, AIRBUS Defence & Space Examinateur
M. Pierre Ladevèze Professeur, ENS Cachan Directeur de thèse
M. David Néron Professeur, ENS Cachan Co-encadrant

3
ÀMahaut,

Ces remerciements viennent conclure trois années de thèse passées au LMT Ca-
chan.Jetienstoutd’abordàremercierlesmembresdujury,notammentRodolpheLe
Richepouravoiracceptéd’enêtreleprésidentainsiquePierreVillonetAnthonyGra-
vouilpourletravailderelectureminutieuxfourni,encettepériodesichargéequ’estla
findel’année.UngrandmerciàLudovicBallere,PhilippeAndolfattoetAlainBergerot
avec qui j’ai travaillé avec plaisir. Ils m’ont, non seulement, laissé une grande liberté
dansmesrecherchesmaisontaussicontribuégrandementàleurréussiteenyappor-
tantunregardextérieur.Monseulregretauraétédenepasavoirputravailler,àcause
delanaturedelathèse,pluseninteractionaveceux.
Vient ensuite l’équipe encadrante du LMT avec, en premier lieu, Pierre Ladevèze
dontl’esprittortueuxaaccouchédusujetdelathèseetquim’adonnéunegrandeli-
bertéetautonomiedansmontravail.Sesexplicationsclairesetsonregardbienveillant
ont été d’un grand soutien. Une mention spéciale à David Néron pour l’ensemble de
sonœuvre.Toujoursprésentetsouriant,iln’aurajamaisdouté,nidel’issuedelathèse,
nidemescapacités,mêmedanslesmomentsdegranddoute.C’estgrâceàluiquej’ai
purédigercemanuscritdanslestempsimpartisetsescorrectionsprécieusesrendues
àunevitessedépassantl’entendement.
ConcernantmesrencontresauLMT,jenepeuxpasoublierdeciterladiasporaita-
lienne composée de Matteo, Enrico, Andrea, Omar et Claudio qui m’a accueilli et re-
cueillilorsdemonarrivée.Demême,jeremercieDominikpouravoiranimémestrois
annéesdethèseentantquevoisindebureau.Ons’estbeaucoupmarrés,souventen-
gueulésmaisjamaisennuyés.
Je remercie ensuite Elena et ses mignons, Maxime J., Thibault, Pierre et Hadrien
pour ces derniers mois de thèse entre coups de pied dans les tibias à la savate et le
développementd’unesociologieexhaustivedumondedelarechercheetnotamment
delaplacedudoctorant.JeremercieunedeuxièmefoisHadrienquiaurajouélerôle
demanueldeSAMCEFlorsdecettethèse,levéritableétantparticulièrementindigeste.
JetiensaussiàsignalermareconnaissanceàMaximeB.,Clément,BenoîtetIonutpour
,
avoirdaigném’accepterdansleurspartiesdesquashquandl’unvenaitàmanquer.
Jetermineparmafamillequiaréponduprésentlejourdemasoutenancemalgré
cesujetobscur.Jeremercie,enparticulier,mamèreetmasœurpouravoircorrigéles
fautesd’orthographedecemanuscritsansencomprendrelemoindremot.Ladernière
personnequiseramentionnéedanscesremerciements,estlaplusimportante,Angé-
lique.Mercidem’avoirsoutenujusqu’aubout,jusqu’auxaffresdelapréparationdela
soutenance.

Table des matières
Tabledesmatières i
Introduction 1
1 Réductiondemodèleetvariationsdegéométrie 7
1.1 ProperOrthogonalDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Méthodedeséparationdevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 RéductiondemodèleparlaméthodeGalerkin-POD . . . . . . . . . 17
1.2 ReducedBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 PGD-Abaquevirtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 ProperGeneralizedDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Exemplenumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.4 Phased’update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Casdesparamètresgéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Paramétrisationdelarigiditéetmaillagesuniversels 35
2.1 Paramétrisationdelarigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Unenouvellerelationdecomportement . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Calculdelamatricederigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Calculdelacontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 Applicationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.5 Conclusionspartielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Maillagesuniversels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Sélectiondesnœudsàprojeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 ProjectiondesnœudssélectionnéssurΓ . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 RelaxationdesnœudsdanslevoisinageducontourΓ . . . . . . . . 47
2.2.5 Conditionssuffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.6 Algorithmedesmaillagesuniversels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 AdaptationdesmaillagesuniverselsàlaPGDgéométrique . . . . . . . . . 51
2.3.1 Doublerelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Nouvellevérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 Nouvelalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ii Tabledesmatières
2.3.4 MéthodePGD-maillagesuniversels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Applicationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Méthodedestransformationsgéométriques 61
3.1 Transformationsgéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 ProperGeneralizedDecompositionpourlesvariationsdegéométrie 63
3.1.2 Calculdelamatricederigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.3 Exemplesdetransformationsgéométriquesaffines . . . . . . . . . . 68
3.2 Applicationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Applicationàundémonstrateurindustriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Présentationdudémonstrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2 Extensiondelaméthodeaucasaxisymétrique . . . . . . . . . . . . 74
3.3.3 Partitiondelagéométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.4 Intégrationdelaméthodedansunprocessindustrieldeconception 79
3.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 DiscreteProperGeneralizedDecomposition 85
4.1 Nouveaudémonstrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Paramètresdiscrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 DiscreteProperGeneralizedDecompositionoudPGD . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Approchehybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.1 Exemplesacadémiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 Applicationaudémonstrateurindustriel . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Conclusion 105
Bibliographie 109
Introduction
Deparlarapideetconstanteaugmentationdelapuissancedecalcul,enparticulier
avecledéveloppementduCalculHautePerformance,ilestdevenupossibledesimuler
lecomportementdestructuresextrêmementcomplexes,cequiétaitinenvisageableil
y a encore une dizaine d’années. Toutefois, dans le cadre de l’optimisation de forme,
il peut être nécessaire d’évaluer un grand nombre de fois la solution d’un problème
paramétrique,lebutfinalétantdetrouverlejeudeparamètresgéométriquesoptimal
deconception.
Malgré la puissance de calcul actuelle, ces temps de résolution cumulés peuvent
rendre l’optimisation hors de portée d’un point de vue économique et industriel. En
conséquence, les structures industrielles ont tendance à être sur-dimensionnées afin
de réduire le temps d’optimisation (la phase d’optimisation est interrompue avant
d’atteindre le jeu de paramètres optimal). Cela peut être problématique dans un do-
maine tel que l’aéronautique où la réduction de la masse est un enjeu industriel. En
effet, sur-dimensionner une structure, c’est, avant tout, augmenter son poids et par
conséquent,saconsommationdecarburant.
Les algorithmes d’optimisation proprement dits sontnombreux et ne sont pas au
cœurdecetravail.Retenonssimplementqu’ilsconduisenttousàl’évaluationdelaso-
lutionduproblèmepourdifférentsjeuxdeparamètres.Danscecontextemulti-query
(voir[Boyavaletal.,2010,Manzonietal.,2012b]),ilpeutêtrejudicieuxderésoudrele
problèmeparamétriquecompletunebonnefoispourtoutesetdestockerlasolution
obtenuedansunebasededonnées.Onpourraensuites’yréférer,àlavolée,àchaque
foisquel’évaluationdelasolutionestnécessaire.C’estpourquoileconceptd’abaque
esttoujoursd’actualité.
Les abaques furent, pendant des siècles, de puissants outils d’aide à la décision
dansdesdomainesvariéstelsquel’architecture,l’ingénierie(VademecumdesMecha-
niker [Bernoulli, 1836]) et les sciences en général. Ainsi, en 1202, grâce à son Liber
Abaci,LeonardoFibonaccifutlepremieràintroduirelesystèmedenumérationindo-
arabe en Europe occidentale où prévalait encore le système romain. Il y décrit non
seulementlesnombresindo-arabesmaisaussicommentlesutiliser.Fibonacci,étant
issud’unefamilledemarchands,explique,enparticulier,enquoiilsfacilitentlesconver-
sionsdemonnaiesetlecalculdeprofitetd’intérêt.Cetabaquefutd’unegrandeaide
pour tous les novices au prise avec le système de numération indo-arabe et a contri-
buégrandementàsadiffusionenEuropeoccidentaleenpartantdesbanquiersetmar-
chandsflorentins.Lesabaquessont,parlasuite,devenusl’outilderéférenced’aideà