Table Of ContentPermutationsgruppen
Jesko Hüttenhain
2013
Winter
Sei N eine endliche Menge. Dann bezeichnen wir mit
S := {σ : N → N|σ bijektiv}
N
die symmetrische Gruppe auf N. Für n ∈ N sei [n] := {1,...,n}. Wir
schreiben auch S := S .
n [n]
1 Zykelzerlegung und Signum
Definition 1. Sei N eine endliche Menge und A = {a ,...,a } ⊆ N,
0 k−1
wobei die a paarweise verschieden seien. Wir bezeichnen mit
i
σ = (a (cid:55)→ a (cid:55)→ ··· (cid:55)→ a ) (†)
0 2 k−1
das Element von S , welches definiert ist durch
N
x ; x ∈/ A
σ(x) = a ; x = a mit i+1 < k
i+1 i
a ; x = a .
0 k−1
Wir nennen σ dann einen Zykel der Länge k oder auch kurz k-Zykel. Wir
nennen A den Träger von σ. Wie auch in der Literatur üblich schreiben
wir häufig (a a ··· a ) statt (†). Die Zykel (xy) heißen Transpositio-
0 1 k−1
nen. Sie vertauschen lediglich die Elemente x und y. Der leere Zykel ()
(cid:149)
ist die Identitätsabbildung.
1
Satz 2 (Zykelzerlegung). Sei N eineendlicheMengeundσ ∈ S .Danngibt
N
es eine eindeutige Partition N = A ∪···∪ A und Zykel σ mit Träger A , so
1 r i i
dass σ = σ ◦···◦σ . Wir nennen dies die Zykelzerlegung von σ.
1 r
Beweis. Die Eindeutigket der Zerlegung ist klar, da eine solche Zerlegung
die Abbildung eindeutig bestimmt. Wir beweisen nun die Aussage per
Induktion nach n := |N|. Im Fall n = 1 ist die Aussage trivial, da S in
N
diesem Fall nur aus dem leeren Zykel besteht. Sei also |N| > 1. Wähle
x ∈ N und setze a := σi(x), wobei also a = x, dann a = σ(x) und
i 0 1
weiter a = σ(a ). Da N eine endliche Menge ist, gibt es Indizes i < k
i+1 i
mit a = a . Indem wir x durch a ersetzen, erhalten wir a = a . Wir
i k i k 0
wählen nun k > 0 minimal mit dieser Eigenschaft.
Wir behaupten, dass es keine Indizes 0 ≤ i < j < k mit a = a
i j
gibt. Andernfalls wäre a = σk−j(a ) = σk−j(a ) = a = a , doch
k−(j−i) i j k 0
die strikte Ungleichung k − (j − i) < k widerspricht der Minimalität
von k. Sei A := {a ,...,a }. Wir haben gezeigt, dass σ(A) = A. Sei
0 k−1
N(cid:48) := N \ A, dann ist also σ(N(cid:48)) = N(cid:48), da σ bijektiv ist. Die Permutation
σ(cid:48) := σ|N(cid:48) ist eine bijektive Abbildung der kleineren Menge N(cid:48) und es ist
σ = (a0 ··· ak−1)◦σ(cid:48). Nach Induktionsvoraussetzung lässt sich σ(cid:48) ∈ SN(cid:48)
eindeutig in Zykel zerlegen, womit wir fertig sind.
Korollar 3. Die Gruppe S wird erzeugt von
n
(1) den Transpositionen.
(2) den Transpositionen (x (cid:55)→ x+1).
Solche Transpositionen nennen wir auch Nachbarschaftsvertauschungen.
Beweis. Man kann leicht überprüfen, dass
(a ··· a ) = (a a )◦(a a )◦···◦(a a ). ((cid:63))
1 k 1 2 2 3 k−1 k
Also folgt (1) aus Satz 2. Es genügt für (2), eine Transposition (xy) als
Verkettung von Nachbarschaftsvertauschungen zu schreiben. Wir neh-
men ohne Einschränkung an, dass x < y. Wir führen Induktion nach
y−x. Für y−x = 1 sind wir fertig, sei also z := y−1 > x. Dann ist
(zy)◦(xz)◦(zy) = (xy),
2
und wir können nach Induktionsvoraussetzung (xz) als Verkettung von
Nachbarschaftsvertauschungen schreiben. Damit sind wir fertig.
Definition 4. Wenn σ = σ ◦···◦σ die Zykelzerlegung von σ ∈ S ist
1 r n
und σ die Länge µ hat, so setzen wir (−1)σ := (−1)µ1−1···(−1)µr−1.
i i
(cid:149)
Wir nennen dies das Signum von σ.
Definition 5. Sei N eine endliche Menge. Wir bezeichnen mit
(cid:0) (cid:1)
N := {K ⊆ N|k = |K|}
k
die Menge aller k-elementigen Teilmengen von N. Die Notation stammt
daher, dass für n = |N| die Formel (cid:12)(cid:12)(cid:0)N(cid:1)(cid:12)(cid:12) = (n) gilt.
k k
(cid:0) (cid:1)
Sei nun σ ∈ S . Für {i,j} ∈ N ist der Ausdruck
N 2
σ(i)−σ(j) σ(j)−σ(i)
=
i− j j−i
unabhängig von der Ordnung der Elemente i und j, daher können wir
∏ σ(i)−σ(j)
sgn(σ) :=
i− j
(cid:0) (cid:1)
{i,j}∈ N
2
(cid:149)
definieren.
Lemma 6. Für σ,π ∈ S gilt sgn(σ◦π) = sgn(σ)·sgn(π).
n
Beweis. Wir berechnen
∏ σ(π(i))−σ(π(j))
sgn(σ◦π) =
i− j
(cid:0) (cid:1)
{i,j}∈ N
2
∏ σ(π(i))−σ(π(j)) π(i)−π(j)
= ·
(cid:0) (cid:1) π(i)−π(j) i− j
{i,j}∈ N
2
∏ σ(π(i))−σ(π(j))
= ·sgn(π)
(cid:0) (cid:1) π(i)−π(j)
{i,j}∈ N
2
= sgn(σ)·sgn(π).
Die letzte Gleichheit folgt, da {i,j} (cid:55)→ {π(i),π(j)} eine Bijektion auf den
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
zweielementigen Teilmengen N → N definiert.
2 2
3
Lemma 7. Für einen k-Zykel σ = (a ··· a ) ∈ S gilt sgn(σ) = (−1)k−1.
1 k n
Beweis. Wegen ((cid:63)) und Lemma 6 genügt es, für eine beliebige Transposi-
tion τ = (xy) zu zeigen, dass sgn(τ) = −1. Sei M := N \{x,y}. Dann
ist
y−x ∏ τ(i)−τ(x) τ(i)−τ(y) ∏ τ(i)−τ(j)
sgn(τ) = · · ·
x−y i−x i−y i− j
i∈M {i,j}∈(cid:0)M(cid:1)
2
y−x ∏ i−y i−x ∏ i− j y−x
= · · · = = −1.
x−y i−x i−y i− j x−y
i∈M {i,j}∈(cid:0)M(cid:1)
2
Theorem 8. Sei N eineendlicheMenge.Für σ ∈ S istsgn(σ) = (−1)σ.Die
N
Abbildung
sgn : S −→ {±1}
N N
σ (cid:55)−→ (−1)σ
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Beweis. Wegen Satz 2 und Lemma 7 ist sgn(σ) = (−1)σ. Daraus folgt,
dass sgn(σ) ∈ {±1} für alle σ ∈ S und Lemma 6 besagt, dass sgn ein
N
Gruppenhomomorphismus ist.
Definition 9. Wir definieren die alternierende Gruppe
A := ker(sgn ) = {σ ∈ S |(−1)σ = 1}.
N N N
Wir nennen Permutationen σ gerade, wenn (−1)σ = 1 und ungerade,
falls (−1)σ = −1. Die alternierende Gruppe besteht also aus den geraden
Permutationen. Da die Identität gerade ist, bilden die ungeraden Permu-
(cid:149)
tationen keine Untergruppe.
4
2 Konjugationswirkung
Wir interessieren uns nun für die Kojugationsklassen der Gruppe S .
N
Dazu lassen wir S auf sich selbst durch Konjugation wirken, wir be-
N
trachten also die Abbildung
α : S ×S −→ S
N N N
(π,σ) (cid:55)−→ πσπ−1
und fragen uns nach den Bahnen dieser Abbildung. Das Studium einzel-
ner Zykel hilft uns auch in diesem Fall:
Satz 10. Sei σ = (a ··· a ) ein k-Zykel und π ∈ S eine Permutation. Sei
1 k N
b = π(a ). Dann ist πσπ−1 = (b ··· b ) ebenfalls ein k-Zykel.
i i 1 k
Beweis. Es ist sicherlich (πσπ−1)(b ) = (πσ)(a ) = π(a ) = b . Sei
i i i+1 i+1
A = {a ,...,a } der Träger von σ. Wenn dann b ∈ N \π(A), so ist auch
1 k
a := π−1(b) ∈ N\ A. Also ist (πσπ−1)(b) = (πσ)(a) = π(a) = b.
Definition 11. Seiσ ∈ S undσ = σ ◦···◦σ dieZykelzerlegungvonσ.
N 1 r
Sei σ einZykelderLänge µ .Wirordnendie µ derart,dass µ ≥ ··· ≥ µ
i i i 1 r
gilt. Dann ist µ = (µ ,...,µ ) der Zykeltyp von σ. (cid:149)
1 r
Theorem 12. Die Bahnen unter der Konjugationswirkung von S auf sich
N
selbst bestehen aus Permutationen mit gleichem Zykeltyp.
10
Beweis. Nach Satz haben zwei zueinander konjugierte Partitionen glei-
chen Zykeltyp. Wenn nun zwei Permutationen σ und π den gleichen Zy-
keltyp µ = (µ ,...,µ ) haben, so betrachten wir entsprechende Zykelzer-
1 r
legungen σ = σ ◦···◦σ und π = π ◦···◦π . Seien σ = (a ··· a )
1 r 1 r i i1 iµ
i
und π = (b ··· b ). Nach Eigenschaft der Zykelzerlegung gilt
i i1 iµ
i
r r
(cid:91) (cid:8) (cid:9) (cid:91) (cid:8) (cid:9)
N = a ,...,a = b ,...,b ,
i1 iµ i1 iµ
i i
i=1 i=1
wobei die Vereinigung jeweils disjunkt ist. Damit ist also
(cid:36): N −→ N
a (cid:55)−→ b
ij ij
5
eine wohldefinierete Bijektion, i.e. (cid:36) ∈ S . Ebenfalls nach Satz 10 ist
N
außerdem (cid:36)σ(cid:36)−1 = π.
Definition 13. Sei G eine Gruppe, im Folgenden meistens eine Unter-
gruppe der S . Wir bezeichnen mit
N
(cid:110) (cid:12) (cid:111)
Z (σ) := π ∈ G(cid:12)πσπ−1 = σ
G (cid:12)
den Zentralisator von σ in G, also den Stabilisator von σ unter der Konju-
gationswirkung. Wir schreiben C (σ) := (cid:8)πσπ−1(cid:12)(cid:12)π ∈ G(cid:9) für die Kon-
G
(cid:149)
jugationsklasse, also die Bahn von σ unter der Konjugationswirkung.
Lemma 14. Sei σ ∈ S vom Zykeltyp µ = (µ ,...,µ ). Bezeichne die Anzahl
n 1 r
der k-Zykel, die im Zykeltyp von σ vorkommen, mit c := |{i ∈ [r]|µ = k}|.
k i
Dann gilt
n
|ZSn(σ)| = ∏ck!·kck.
k=1
Beweis. Sei π ∈ S mit πσπ−1 = σ. Nach Satz 10 muss dann π die
n
Elemente jedes k-Zykels von σ bis auf Indexverschiebung in gleicher Rei-
henfolge auf die Elemente eines anderen k-Zykels in σ abbilden. Bis auf
Permutation der k-Zykel untereinander gibt es dafür gerade k Möglich-
keiten pro k-Zykel.
14
Bemerkung 15. Mit Lemma kann man auch die Größe der Konjugati-
onsklasse C (σ) von σ ausrechnen. Nach der Bahnformel gilt
S
n
|C (σ)|·|Z (σ)| = |S | = n!. (cid:149)
S S n
n n
Satz 16. Sei τ eine Transposition in S . Für jede Permutation σ ∈ A gilt:
n n
(1) Wenn Z (σ) ⊆ A , dann gilt
S n
n
Z (σ) = Z (σ) und C (σ) = C (σ) ∪˙ C (τστ−1).
S A S A A
n n n n n
(2) Wenn Z (σ) (cid:54)⊂ A , dann gilt
S n
n
(Z (σ) : Z (σ)) = 2 und C (σ) = C (σ).
S A S A
n n n n
6
Beweis. Sei s := sgn| , dann ist Z (σ) = Z (σ) ∩ A = ker(s)
ZSn(σ) An Sn n
und die universelle Eigenschaft liefert einen Gruppenhomomorphismus
φ, wobei
Z
Sn(σ)
s
(cid:9)
(cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15) (cid:37)(cid:37)
Z (cid:14)Z φ (cid:47)(cid:47) {±1}
Sn(σ) An(σ)
(cid:14)
Es ist φ ein Isomorphismus von Z Z auf im(s). Daraus folgt
Sn(σ) An(σ)
I := (Z : Z ) = |im(s)| ∈ {1,2},
Sn(σ) An(σ)
i.e. Z ist vom Index 1 oder 2 in Z (σ) – je nachdem, ob Z (σ) nur
An(σ) Sn Sn
gerade Permutationen enthält oder nicht. Im Falle I = 1 folgt aus
2·|C (σ)|·|Z (σ)| = 2·|A | = |S | = |C (σ)|·|Z (σ)|,
A A n n S S
n n n n
dass 2 · |C (σ)| = |C (σ)|. Sei dann π ∈ C (σ) \ C (σ). Dann ist
A S S A
n n n n
π = (cid:36)σ(cid:36)−1. Es ist (cid:36)τ−1 ∈ A und wir erhalten
n
((cid:36)τ−1)(τστ−1)((cid:36)τ−1)−1 = (cid:36)(ττ−1)σ(ττ−1)(cid:36)−1 = (cid:36)σ(cid:36)−1 = π,
also π ∈ C (τστ−1). Im Fall I = 2 ist |C (σ)| = |C (σ)|.
A A S
n n n
1 14 15
Beispiel 17. Wir erhalten Tabelle mittels Lemma und Bemerkung .
Zykel von σ |Z (σ)| |C (σ)| ord(σ) sgn(σ)
S S
5 5
(1)(2)(3)(4)(5) 5! = 120 1 1 +1
(12)(3)(4)(5) 3!·2 = 12 10 2 −1
(123)(4)(5) 2!·3 = 6 20 3 +1
(1234)(5) 1!·4 = 4 30 4 −1
(12345) 0!·5 = 5 24 5 +1
(12)(34)(5) 2!·22 = 8 15 2 +1
(123)(45) 3·2 = 6 20 3 −1
Tabelle 1: Konjugationsklassen von S
5
7
Wie man sieht, summiert sich die Gesamtzahl der Elemente zu 120 = 5!.
Die Gruppe S operiert durch Konjugation auf der normalen Untergrup-
5
pe A . Diese zerfällt in die obigen S -Bahnen, die Signum +1 haben. Ihre
5 5
Elementezahl summiert sich zu 60 = 5!. Wir behaupten nun, dass die
2
2
Informationen in Tabelle (siehe unten) korrekt sind.
(cid:12) (cid:12)
Zykel von σ (cid:12)ZA (σ)(cid:12) |CA (σ)| ord(σ)
4 5
(1)(2)(3)(4)(5) 60 1 1
(123)(4)(5) 3 20 3
(12345) 5 12 5
(12354) 5 12 5
(12)(34)(5) 4 15 2
Tabelle 2: Konjugationsklassen von A
5
Zunächstistleichtzusehen,dassalle3-ZykelinA konjugiertbleiben.
5
Wenn σ ∈ A ein 3-Zykel ist, so gibt es ein π ∈ S mit πσπ−1 = (123).
5 5
Dieses π muss zwei Elemente x,y ∈ [n] fest lassen. Wenn π ∈/ A , so
5
können wir π durch π◦(xy) ersetzen.
Die 5-Zykel liegen zwar in einer S -Konjugationsklasse, zerfallen in
5
A jedoch. Für den Zykel σ = (12345) gilt nämlich Z (σ) = (cid:104)σ(cid:105) ⊆ A
5 Sn 5
16
und wir erhalten das Ergebnis mit Satz .
Schlussendlich bleiben Produkte von zwei disjunkten Transpositionen
in A konjugiert. In der Tat vertauscht bereits eine einzelne Transposition
n
16 (cid:149)
mit einer solchen Permutation und nach Satz folgt die Behauptung.
Wir zeigen als Anwendung noch, dass die Gruppe A keinen echten
5
Normalteiler hat. Die Aussage gilt ebenso für alle A mit n ≥ 5. Dieses
n
Resultat ist eine wichtige Zutat für den Beweis, dass man polynomiel-
le Gleichungen vom Grad größer oder gleich 5 nicht durch „Radikale“
auflösbar ist.
Theorem 18. Die Gruppe A hat keine nichttrivialen Normalteiler.
5
Beweis. Sei K (cid:47) A ein Normalteiler. Nach dem Satz von Lagrange wissen
5
wir |K|·(A : K) = |A | = 5! = 120 = 60, also muss k := |K| ein Teiler
5 5 2 2
8
von 60 = 22·3·5 sein. Außerdem ist K normal, d.h. es ist invariant unter
der Konjugationswirkung, insbesondere ist K die Vereinigung von Kon-
2
jugationsklassen. Nach Tabelle haben diese jedoch 1, 20, 12, 12 und 15
Elemente. Da 1 ∈ K, muss k die Summe von 1 und beliebig vielen der
anderen Zahlen sein. Keine solche Zahl, bis auf 1 und 60, ist ein Teiler
von 60.
9
